장음표시 사용
141쪽
Fac de 3 o duas partes, quarum radices quadrator cubicatae faciata pone quod tales ire sint i positio, fac ex a positione duas partes, quarum quadrata iuncta sint a o,eo quod radices talium partium de
in cubando Binomium , oportet ducere laepol Π Rr V:s m: . Id. quamlibet partium in se,& triplare,& addere quadrato alterius Paratis,& produe tam ducere in illam alteram partem,ideo cum talia pro ducta assimilentur,&sint aequalia,&uirum sit praliud na: quando duceremus triplum quadrati primae partis cum quadrato secundae in secundam,ideo susticiet ducere,triplum quadrati secundae partis,quod est m: ἀ- quadrati cum quadrato primae partis,quod est quadra ii,& fiet totum is m:-bquadrati,in primam partem qus est,tpositio, sed quia haec operatio geminanda est, propter duas partes, habini mus multiplicationem m: quadrati,in a positionem,quae est duo plumipositionis primae partis, igitur tandem Producentur 3 s posistiones nar P cubi,aequalis 26, quare 3 cubus prsa,aequabitur 3o m sitionibus,& rei aestimatio erit ex capitulo suo,ur a m: i, inde habeo his partes, ut uides,& in uerificatione operationis,multo magis hacregula indiges ad facilitatem , uerum
de hoc diximus in tertio libro suo l .m: zp:NU:Rr σψm: Σ
Et ad hanc reducitur quaestio illa quidam emit Croci lib. r. Clonamoni lib. 2. Piperis lib. s,prechs proportionalibus, sic,ut se habuit
Precium totius piperis,ad precium cinamomi, sic precium cinam mi,ad preciumcroci, ita quod precium croci fuit minimum,& piporis maximum,& cinamomi medium,& haec tria precia, iuncta limul. fuerunt G aurei. Denuo sub hisdem precus emit croci lib. 3o,cinamomi lib. so,piperis lib. ,aureis roo. quaeritur singulorum Precia. Haec qussito, a Datre Luca posita est,sed in numeris p portionalibus, nam sic ex istimat eam admodum difficilem,sed non est,nam cum precia haec, ς librarum piperis,& a cinamomi,& i croci sint proportio nalia,ipsa manebunt etiam proportionalia in suis aggregatis, diuide
142쪽
mus igitur 3 o lib. croci Per I, 8c est secunda quantitas per primam, de ita so cinamomi per a ,& piperis per sδε exibunt numeri in margine, id est 3o,pro croco, a s pro cinamomo,& 8 pro pipere, manifestum est igitur quod hi sunt numeri trium quantitatum .pportionalium, quae sunt precia I lib. croci, et cinamomi,& s piperis,& quod prima quantitas seu precium,sumptum 3 o uicibus,& secundum a s uicibus,& tertiti m 8 uicibus faciunt roo aureos,at uero istae quantitates, ut die uesi,stuat Gaurei, simpliciter sumptae, fac igitur ex 6 tres quantitates Proportionales,quarum prima ducta per 3o, secunda per as, tertia Per 8,faciant roo. Ponemus igitur,mediam a positiones, relinquens rur reliquae,3 m: ι positione p: NU:ο m: 3 quadratis na: 6 positioni
38 δ νιψm: 38Pos. m. ' v:ψ3s6mrru 3ψsa quad. in rooψ pos . gulae per suos numeros, quia igitur prime partes Dinomiorum sunt aequales, Sc ambae p: tantum erit ducere eas per 3o,&per 8 , quantum Per 38, Sc similiter, quia radicuuniuersalium una est ira: ducenda per 3o, alia P ducenda per 8, tantum erit, cum sint aequales quantum, si ducant per 2 2,disserentiam 3 o & 8, dc producentur partes, quas uides a latere, &ipsae erunt aequales roo,iunge Ac detrahe simia
143쪽
Hi ERONYMi CARDANis igitur diuiseris haec precia proportionalia,per suarum librarum numerum,reserendo singula singulis, primum per 3, secundum per 2, tertium per s.habebis Precia librarum singularum,uniuscuius ge neris,& ii duxeris ea per duos numeros, in secunda emptione, procium croci per 3o,cinamomi per so, piperis per M,habebis quatum pecuniarum singulis impenderit.
Eodem modo soluitur quaestio haec,sac ex νε tres partes proportionales, quarum maior ducta per 2,media per 3, minor per ψ, Pro ducta haec iuncita,faciant 36,peruenies enim per modum superioris, ad i qdratum p 9τ positionibus,aequalia s 3ό,quare res est iu νς .m: est ,media quantitas posita media quantitate a positione,
non ut in priore, a politionibus. Q V AESTI I π.Diuide i in tres partes proportionales,ut ducta prima per et, secunda per 3,talia producta aequetur tertiae multiplicatae per .m nes secundam Asse a Positiones ,reliquae erunt ut uides, dincta se imda per 3,fiunt is poli. tioncS, modo prima
habet multiplicari pa,& tertia per I,N h hent detrahi,igitur cum ambae partes sint similes, de prima in anitia bus sit p:&secunda in prima sit P: in tertiam: ideo primam partem suifficit multiplicare a disserentiam & a,quae est s, & producentur pro tertia parte, 3 s m: S positionibus,quibus demptis positionibus producto secundae partis,habebimus ira: si positionibus, pro disserentia tertia & secundi producit,primum autem producetur,dii nos aggregato primi & tertri,in radicem uniuersalem, & fit ni v:m: O ; positioitibus ira: χ43 quadratis,hKc igitur aequatur 3s ira: ii positionibus,qua re quadratum quadrato,igitur 322s m: τ o P . tionibus p: iai quadratis,aequantur 3969 m: ιι δε positionibus ni: a 3 quadratis,aequa partes,habebis a -- equalia 3 6 positionibus D: 3 1 quadratis,quare 1 qd.p: una positione aequalitur τen quare rei aestimati si cognita, et eius duplum est pars secunda, scilicet ni
Fac de S tres partes proportionales,ut aggregariam quadratoru primae & secundae,triplum sit quadram secundae,pones quantitatem mediam a positiones, eius quadratum est ψ quadrata, cuius triplum . est agoreoatum quadratorum Primae-tertiae,est autem prima 4 ira:
144쪽
plicare,deinde os porteret ducerentu: in prima partem bis,quare cum in una iducatur p:in alia m:suppositis, partibus aequalibus,nihil producet,igitur habebimus aggregatum quadrato vim σψ m: 3 2 positionibus mἰqqdratis,& hoc est squale a a quadratis, triplo quadrati secundae igitur a qdratum pra positionibus squatur ε& res est ira ς m: ι ,α duplum eius,est quantitas media scilicet iuao inret,& reliquae,ut uides, quadra/tum secundae eit rq m ira 3ao, quaεdrata autem primae & tertiae , a mp' s m: iu ς p: Rr vr limrim a 3' s m: iu ς m: Iu V: sm: tua N 288o probata est. Sed si diceret, quod quadrata primae & tertiae, tripla essent quadratis secundae & tertiae,tunc difficulter per hanc reo gulam ituitur,uerum facilius longe,per primam regulam 3 o capi tuli,ponendo quantitates i, positio,& a quadratum, habebis a qJqdratum P: triplum de 3 quadrato p: I ,quare res nota est.
Si dicas, fac ex s duas partes, quae uicissim diuisae per alterius quadratum, producant iuncta prouenientia ro , Pones Partes q P: positione & m: r positione,& per hanc regulam, peruenies ad capistulum derivativum, idqdrati & qdrati δc numeri,& est facilis.
gregatum, primi secundi & quarti,sit i aggregatum primi 8c tertii & quarti si i ,tunc dices,igitur cum lisc aggregata disserant,per disserentiam secundae & tertiae igitur tertia est a p: quam secunda,ponam igitur secundam, a positionem m: i ,& tertiam 3 positionem p: rnam sic disserentia illarum erit a,relinquetur igitur aggregatum priomae&quartae 16 m: r positione , duc secundam in tertiam,fit 3 qu.m: ι ,fac ex ν 6m: a positione duas partes,ex quarum multiplicationet inuicem,producantur ν quadratu ira: 3 erunt partes ut uides, quia
145쪽
tae ad tertiam, est ut HIERONYMI CARDANI
a cub. P: 6 pos. secundae ad primam, ex constituo,quia P duetiam secundae in tertia, aequale est producto primae in quartam,sussiciet ad demonstrandum,quod sint continue proportionales, quod cubi secundae 8c tertiae iuncti aequales sint, productis quantitatum quartae dc primae, in sua quadrata motuo, at tales cubi, fiunt solum ex multiplicatione tripli quadrati socundae partis, in quadrato primae,in ipsam primam, eo quod reli qua multiplicatio tripli quadrati primae partis,cum quadrato secuti. dae in ipsam secundam,excidit,eo quod in una est p: in alia m: igitur habemus cubos iuncto , a cub. p:6 positionibus,& tantum debet fieri ex multiplicatione quadratorum primae Sc quartae quantitatis, in ipsas quantitates uicissim,hoc aut ut demonstratum est, aequale est ductui unius quantitatis in alteram , multiplicato in aggregatum ipsarum quantitatum,ex dictis in sexto libro, duc igitur quantitates inuicem,& quia in Wsunt similes, multiplicatio in crucem nulla erit, quare susticiet quadrare utram partem,& minuere unam ab altera, quia m inp: facit m: producentur igitur a partibus similibus a qd.m: i ,aggregatum etiam radicum est 3 6 m: positio,eo quod in v: excidunt, igitur producstum erit 36qdratam: ι cubo p: 3 positione metis,& hoc aequatur a cubis p:6 positionibus,igitur 3 cubi p:s positionibus p: ν 6,aequantur 36 quadratis,quare res est in capitulo , uides autem quoniam inextricabilis quaestio ad magnam reducitur facilit tem,S posset reduci ad regulam de modo,nam tibi differentia cn a, semper 3 cubi p: ς positionibus, p: numero medio inter duo apgregata per aequidistantiam,squantur totidem quadratis,quotus est nume
Est trigonus A B c orthogonius,& eius perpendicularis ad basim A D, ius latus A B,cum B D,est 3 6,8c A c cum c D,est et , quaeritur
146쪽
DE AR1THMETic A LIB. π. τε de εο m: r positione per aequalia,fit 3o m: e positiones, duc in se, fityoom: 3o positionibus p:4 quadrati, detrahe ex dimidio quadrati a c,relinquitur . quadrati p: 3o positionibus m: ooo,cuius ire,addita& detracta,a dimidio aggregati A B R A c,ostendit partes, est igitur A B 3o m: - positionis p:Rr V:4 quadrati p: 3o positionibus mNoo,&A c 3o m: l positionis m:iu V: quadrati p: 3o positionibus m: 'oo, quare si detrahatur A B ex aggregato AB&BD, relinquetur BD G p: positionis m: Rem quadrati p: 3o positionibus m:'oo,& similiter, detrach A c,ex aggregato A c & c D,relinquitur c D, i positionis na: p: in W: quadrati p: ; o positionibus m:'oo,est autem manifestum ex demonstratione primi elementorum Euclid. quod differen. tia quadrati A B,a quadrato A c,aequalis est disserentiae quadrati B D, a quadrato c D,dimerentia autem duarum quantitatum, est semper in partibus dissimilibus,nam quae similes sunt,nullam producunt di meo
rentiam,quare cum quadrata partium constent ex nouem multiplic tionibus, quarum tres sunt quadrata partium,erunt illae tres omnino
similes,comparando AB ad A cAE E Dad c D ,& similiter multiplic tiones duae 3 o in P positionis,sunt communes A B R A C, cum utrium producant ira:& ita in B D & c D,communes sunt multiplicationes , sin im v:nam utrino prouenit idem ira: differentia igitur A B R A c , ex parte A B,est multiplicasio 3 o in Rr V:& ex parte A c, multiplicatio positionis in Rr inquare differentia quadratorum A B,& A c, est illud
cedit in v:Δ qd adrati p: τ bcubis na: ras quadratis,eadem est ratione differentia Bo&CP quadratoriam,est qua 3 positiones excedunt in v:Δ qaqdrati p: e cubis na: ars quadratis,oportuisset aut comis
si druplum est aequale qdruplo,igitur & simplum simplo, haei utur disserentiae squales supponuntur,& radices v: etiam sunt idciigis S 3 tur
147쪽
Hi ERONYΜr CARDANI igitur ex comuni sententia, 3 positiones aequantur illi N V: primae, id est,iu V:aa, quadratorum p:a ooo positionibus mἰ83 oo oo, igiturai 6 quadrata p:2 ooo positionibus aequantur 8 oo oo,8c a qd.p:llas positionibus,aequabit 3τpo,N res erit Rr 76s6-m: 6a , quod est as,& tanta fuit B c,unde habes alias.
Rursus disponatur trigonus A B c,orthogonius,cum perpendiculari A D,& sint A B cum c Dro,&Ac cum B D 3 ,qurritur area, ne mus B c positionem,& erunt rursus AB&ac eadem, ut in superiore quaestione,sed cave, ne maius latus ponas ex parte maioris numeri,
ut in priori,detrahe igitur A B ex 29δε A c, ex 33 ,& habebis quanti tales, ut uides, disserentia igitur quadratorum A B R A c, aequalis est disterentiae quadratorum B D&c D,est autem disserentia quadrato rum A B & A c,ut prius,at disserentia quadratorum B D & c D, est ut uides, sumpta eodem modo ut in priori quaestione, sed est superatio absoluta,non autem mutua, ut in priori quaestione, quia igitur qua dratum A B,excedit quadratum ac in disserentia quadrati BD, ad quadratum c D,erit disserentia quadratorum BD Rc D, addita qua drato A c constituens quadratum A B,quare in v:aas quadratorumma ooopositionibus m: 8roooo, aequabituri positionis p: Rr V: qd'qdrati p: φo cubis ivrooo quadratis,nam haec Rr V: est aggregatuexnru: disterentiaeqdratorum B D&co, &partis quadrati A C, in qua superat quadratum A B, quare ducendo partes in se, habebimus6 ς - quadrata pra ooo positionibus ira: - id qdrati m: ro cubis ms 3 oooo,aequalia Rr V: s qd Idratorum p:a ooo cubiS m:8roooo quadratis,& cum duxeris partes in se,peruenies ad rem,qus non ha-
poc prim V:Hqd qd-Pr e cub. m: aas 'd. bent aestimationem,&ideo soluenda est regula particulari. Volcii t meia,ut intelligeres facilitatem operandi in hoc,& quaestionem DaIesedissicileni usi Geometrico auxilio dissoluatur, manifestum est enim
148쪽
Dz Astirn rix Tre A Lin. ποῦ quod a e est ze,ut in priore quaestione,uerum generalis debet esse solutio,latera irarerr trigoni a d as,A B ao,Α c I S,λ D 3 2,B D r 6,c D 9, area igitur eius est 3 so.
De regula qua pluribus positionibus inuenimus ignotam quantitatem. Caput XX XIX.
EavLA I. Ita regula similis est regulae de medio,est autem talis,Coostitue quantitates totidem in denominationibus liberis, quotus est numerus querendarum,inde inuenies proporationem,qua inuenta,denuo pones res sub numero quan titatum inuentam,utin propositum est,perfice operationem,& habe bis aequationem,qua habita,habebis rei aestimationem.
Q VAESTIO I. Exemplum.Inuenias tres numeros proportionales,quorum quadratum primi sit aequale secundo Sc tertio, Sc quadratum terti j sit a quale quadratis primi Sc secundi,quia totair quadratum tertii aequa Ie est quadratis secundi Sc primi, ipsum sit 3 id'qdratum,aequale a q drato p:r, quare res,seu proportio,est Rrum 34p: bigitur ponemus res ι,&R1V: in I p: b&Re r .p: l,quadratum igitur primae quam litatis, quod est 1 quadratum,aequatur seor pos. 'd.
P. T cundae& tertiae,scilicet totidem rebus,igi. tur rei aestimatio, est aggregatum ex secunda Sc tertia,quia diuidere aliquid per unitatem,qui est numerus quasdratorum, est non diuidere, igitur rei aestimatio est, im 3 p. P p: istu: n: a Jp: l, & secunda quantitas,est quod producitur ex hac, in M: Rr i .p:- , Sc tertia habebitur, ducendo rem quam habes in Rr i S
QVAEsTIO II. Inuenias tres numeros proportionales, quorum tertius sit aequa
Iis secudo 8c primo, & quadratu primi,sit aequale aggregato secundi Sc tertri,pones primum quadratu, secundum rem, tertium unitatem, 8c quia tertius,aequalis est secundo Sc primo,igitur 3 quadratum, a quatur i rei p: l ,δc proportio erit ire a 3p: bpartes igitur erunt, I positio,& positiones Rr 34p. ,& positiones 1 Pp: Rr i 8c quia quaadratu primi aequale est aggregato secundi 8c teris li*,igitur a quadratum aequanir positionibus im P: et p: 1 P: Rr quare rei aestimatio erit nis p:ῖ,& partes ut uides. P: a
149쪽
Inuenias quatuor quantitates proportionales, quarum quadrartum quartae,aequale sit quadratis primae, Sc secundae, & quantitates iunctae simul,faciant a o,capiam a ,rem, quadratum ti cubum,igitur qd cubus,squatur r quadrato P: I, quare res ualet ex capitulo derivativoru,N V ': iv v:cubicael priura p:imV: cubical in Ab, igitur posita prima unitate, haec est secunda quantitas, & tertia erit quadratum huius,scilicet m v bicalp:W- π V: bica m: nquarta erit cubus secundae seu proportiois,inde iuncitis quatuor quantitatibus scilicet unitate,re,quadrato, & cubo, & diuiso 3 o per aggregatum,exibit prima quantitas,qua dueta in rem hiabebimus se, cundam,hac denuo,du sta in rem,habebimus tertiam, qua ducta per
rem,habebimus quartam. Qv K. s T I IDI. Inuenias quatuor quantitates continue proportionales, quarum
quadratum quartae quale sit quadratis primae & tertiae,& aggregatum earum sit ro,capiam ut in Praecedente I ,rem,quadratum, cubu,
erit igitur cu'qdratum aequalis qd'qdrato p: i ,quare ex capitulo deriuatiuoru,res aestimatio est istu ': Rr v cubi Ap: Rrp: Tp:Rru: bica iam: Rr i ,& huius qdratu,quod est idem, abiectitae v ': est tertia quantitas,inde ductis inuicem secunda & tertia, uel secunda ad suum cubum, uel tertia ad quadratum, & addita unitate consurgit quarta ,quibus quatuor quantitatibus iunctis,si per eas diuiseris 1 o, habebis primam quaesitarum,qua ductia per secundam,& tertiam,&quartam,praecedentium, habebis secundam & tertiam & quartam quantitatem quas qusrebas.
Alia est regula nobilior praecedent est Ludovici de Ferrariis,
qui eam me rogante inuenit,& per eam habemus omnes Gimationes
ferme capitulorum qd' 'drati & quadrati rerum, & numeri, uel ud' quadrati cubi,quadrati & numeri, & ego ponam ea per ordinem,
150쪽
qd' id. cum cubis aequalia numero S id'cld. cum rebus aequalia numeros qd'qd. cum qd. aequalia cub. & numeroro qd' ad. cum qd. aequalia rebus & numerori qd ld. cum qd. & rebus aequalia numerora qd' ld. cum qd. & cubis aequalia numeror 3 qa ld. cum qd. & numero aequalia cubis3 id qd. cum qd. & numero aequalia rebus qd'qd. cum numero aequalia cubis qd. 36 qd' id. cum numero aequalia cubis3 qd ld. cum numero aequalia rebus&qd. 33 qd ld. cum numero aequalia rebus 39 qd ld. cum cubis & numero aequalia qd. ao id qd. cum rebus & numero aequalia qd. In his igitur omnibus capitulis, qus quidem sunt generalissima.
ut reliqua omnia sexaginta septem superiora, oportet reducere capistula,in quibus ingreditur cubus,ad capitula, in quibus ingreditur res ut septi num ad quartum ,& secundum ad primum, deinde quaere mus demonstrationem hoc modo. DEM ON sT RATIO. Sit quadratum A F, diuisum in duo quadrata a D & D p,&duo supplementa oc&D E,& uelim addere gnomonem K P a circucirca, Ut remaneat quadratum totum A H, dico quod ratis gnomo, coniti bit ex duplo G c additae lineae in C A,cum quadrato G c,riam F G con stat ex G c in c p,ex diffinitione data in initio secundi elementorum,etc F eli aequalis c A, ex distinitione quadrati,& per μ' primi elementorum, K Fest aequalis p G, igitur duae superficies a p& FK,constant ex G C,in duplum c A, Sc quadratu Gc est F Η,ex corrotario quartae secundi elementorii, igitur patet propositum, si igitur A n fit i qd'qd
&c Dac DE, 3 quadrata,&D F', erunt B A r quadratum, S B c 3 ne cellario, in igitur uoluerimus addere 'adrata aliqua, ad D c & D E, R fuerint cLRK M, erit ad coplendum quadratum totum necessaria superficies L N v, quae ut demon. stratum est,constat ex quadrato a c numeri quadratorum dimidiati,ae nam