장음표시 사용
151쪽
Hi ERONYMi CARDANI nam c L est superficies ex G c in A B,ut ostensum est,& A B est a qdra. tum,quia ponimuS,AD 1 qdqdratum, F L uero & MN, fiunt ex cciii c B,ex 4a' primi elementorum,quare superficies L N n,& est numerus addendus fit ex G c in duplum c t,id est in numerum quadratoirum,qui fuit o,& G c in seipsam,id est numero quadratorum addito,& haec demonstratio nostra est. Hoc peracto semper reduces partem qd adrati ad m, id est ad dendo tantum utrici' parti,ut I qJqdratum cu quadrato & numero, habeant radicem,hoc facile est,cum posueris dimidium numeri qua
dratorum,radicein numeri, item facies, ut denominationes extrema
sint plus,in ambabus aequationibus,nam secus,trinomium seu Bino natum reda fium ad trinomium,necellario careret radice. Quibus iam peracitis,addes tantum de quadratis,& numero uni parti,per tertiam regulam,ut idem additum alteri parti,in qua erunt res faciat trinomium habens Rr quadratam per positionem, & habe. his numerum quadratorum,& numeri addendi utri* parti, quo h bito,ab utro extrahes m quadratam,quae erit in una, i quadratum P numero,uelm:numero,ex alia, I positio uel plures p: numero, uelm: numero,uel numerus m: positionibus, quare per quintum capit Iuda huius,habens propositum.
Exemplum. Fac ex I o tres partes proportionalis,ex quarum ductu primae in secundam, producantur 6. Manc proponebat Ioannes Colla,& dicebat solui non posse,ego uero dicebam,eam posse soIui, modum tame ignorabam,donec Ferrarius eum inuenit. Pones initur mediam 3 positionem prima erit ο& tertia erit cubi, quare haec aequantur 1 o,ducendo omnia in 6 positiones,habebimus fio positio. nes,aequales 3 'd'qdrato p: F quadratis p:3 6,adde ex quinta regula, o quadrata utri parti,habebis r 'd'Adratum p: ra quadratis p: 36, aequalia 6 quadratis p: positionibus,nam si aequalibus aequalia addatur,tota fient aequalia,habent autem x qd qdratum p: ra quas
drati & numerus idem ex utracp part ut in priore relinquatur in inium habens radicem,in altero autem fiat,sit igitur numerus quacira
152쪽
torum x positio,& quia,ut uides in figura tertiae regulae , c L & n x, sunt ex duplo G c in A E,& G c est 3 positio, ponam numerum qua dratorum addendorum semper a positiones,id est duplu G c,& quia
numerus addendus ad 36, eli LNM,&ideo quadratum G c cum eo quod fit ex G c duplicato in e riseu ex G c in duplum c B,&est rarumerus quadratorum priorum,ducam igitur 3 positionem,dimidium numeri qdratorum additoru,semper in numerum qdratoru prioru,& in se,& fient a qdratum p: 1 a positionibus addenda ex alia parte,
R etiam a positiones pro numero quadratorum, habemus igitur itorum ex communi animi sententia, quantitates in ascriptas, inuicem aequales,& utracis habent radicem,prima ex regula tertia, sed secum da quantitas ex luppo
pos. additi numeri pra aequalia. et pos. 6 qdratorii,pr6o pocp: 1 qd. P: r a Pos. numeri additi. sito,igitur dinsta prima parte trinomii in ter. tiam, fit quadratum di. midiae partis secundae trinomia,quia igitur ex Amidio secundae in se,fiunt 'oo,quadrat ex prima in tertiam, fiunt a cubi p: 3o quadratis p: a positionibus quadratorum, similiter erit deprimendo per quadrata, quia aequalia per aequalia diuisa, producunt aequalia,ut acu. prso quadratis p: a Positionibus aequantur 'oo,quare a cubus p: i s quadratis p:36 positionibus aequantur qS O.
Sussicit igitur deducendo ad regulam, habere semper 3 cubum prnumero priorum quadratorum,addita ei quarta parte p:numero P sitionum tali,qualis est numerus squationis primus,ut si habuerimus
3 qd id ratum pri a quadratis p:36, aequalia 6 quadratis p: posistionibus,habebimus 3 cubum p: 3 s quadratis p: 36 positionibus a qualia so, dimidio quadrati dimid a numeri positionum, & si habe. remus 3 id qdratum p : 36 quadratis p: aequalia 3o positionibus, haberemus i cubum p: ao quadratis p: positionibus aequalia soo,& si haberemus i qd qdratum p: zo quadratis prioo,aequalia So positionibus,haberemus 3 cubum p:aς quadratis p: roo positionibus aequalia Soo,igitur hoc habito,in priore exemplo habuimus, 3 cub.p: is quadratis p:'positionibus aequalia ψso, igitur rei aestimatio, per i capitulum,est Iuv: bica 28 lp: in so-- , p. MV: cubi ca 28 hnuru 8o D mi: ς, hic iginir est numerus quadratoru,qui
duplicatus, est addendus ex utracp parte, quia supponuntur a res ad dendae,& numerus addendus ex utracp parte ex demonstratione, est quadratum huius,cum eo quod fit ex hoc in ra,numerum quadrato T a rum,
153쪽
Hi ERONYΜI CARDANIrum manifestum est autem,quod in quadrata primi aggregati, se, per est i quadratum p: dimidio numeri quadratorum,abscp alio, id est p:mv:cubica 28 et P:W8o4 9 P: Rrv:cub. χε lm: Rr 8o p: i hoc quia dimidium prioris numeri quadratorum fuit 6, R in
addito trinomio fuit m gitur totum fuit,ut dixi,uem reliqua pars, fuit quadrata 6 p:duplo huius numeri,igitur fuit numerus quadratorum iu v: cubicaa 3oo p: N q8 Sa P: N Vr cubica 23oo m: ius 3 87sa na: ε&numerus rerum ex supposito fuit & numerus est ut ostensum est quadratum dictae quantitatis, plus duodecuplo ipsius quantitatis,uerum quia ex suppotito,ex numero quadrator in numerum aequationis fit quadratum dimidη numeri rerum, igitur diuiso ooo quadrato dimidii numeri rerum,per numerum quadratorum,exibit numerus,quantitates igitur sunt hae, ut uides, & quia latus A G est compositu ex lateribus duorum quadratoru A D & D R dis
missis supplementis, erunt m primae & tertiae harum quantitatumiuiustae inuicem,Rr V:totius aggregati,quare ira primae & tertiae quantatis,aequantur F quadrato Prim V:cubica a s d p. in So 49 I p: NWcubica a 8 zm: Rr 8o- γέ pzr,sed imprimae quantitatis, est num
rus rerum,quia est Rr totidem quadratorum, & Rr tertiae quantitatis est numerus,quia tertia quantitas est numerus habemus igitur a quadratum p: numero,aequalia rebus &numero,minue minorem ritimorum de maiore, accipiendo Rr,id est accipiendo im denominatoris S numeratoris,habebis I quadratum p:hoc numero toto :numero in Dascripto aeqlia numero rem,huic scilicet, ni uniuersalissima ni V:cu.
bicae 23oo pr Rr siq8 sap: Rr V: cubica a 3oo m: Rr ς 48 sam: nec restri,quod numerus ille sit compositus ex pr& m: nam tali, tum refert dicere, I quadratum P:8, aequatur 6 rebus, quantum dice. re i quadratum p 3 o m: 2, aequatur 6 rebus, sequere igitur capitolum quintum, de quadrato & numero, aequalibus rebus, ducendo dimidium numeri rerum in se,& auferendo numerum aequationis, in .de residui sumendo Rr uniuersalissimam, quam addes dimidio nume. ri ro
154쪽
Da ARiτπMRTIe A Li m. o rerum, & habebis rem quae suit media quantitatum Pronortionas lium quaesitorum. Q V STIO VI. Inuenias numerum,qui sit aequalis radici suae quadratae, & dii bus radicibus cubicis pariter acceptis,dices igitur si talis numerus fuerit cu quadratum radix sua quadrata necessario est a cubus,& duae radices cubicae sunt a qd. igitur 3 cu qdratum , aequabitur 3 cubo p: aqdratis,deducendo igitur ad inferiores denominationes per qd. erita qdqdratum aequale r positioni P:2,posui aut a radicibus cubicis, quia cum regula sit generalis,hoc tame modo dupliciter solui potest, ut patebit. Nam si 3 qd qdratum aequatur 3 politioni pra, igitur rq l qdratum m: a aequabitur 3 positioni p:r,nam ab aequalibus aequalia auferuntur,divide igitur ambo haec,per I positionem pra ,communem diuisorem,habebis I cubum m: a qdrato p: I positione m: ι , ae 3 qd ld. m: pos. prpos . P: qualia 3 ,igitur I cubus P: 3 positione, aequatur 3 quadrato pra, igitur ex a8'capitulo, rei aestimatio est in v:cubica m
v, &cu'qdratu huius est numerus quaeolitus,cuius Ri quadrata,& 2 radices cus 1 bicae sunt illi aequales , & tales radices sunt duplum quadrati huius quantitatis cum suo cubo. At regula generali sic faciemus quia enim x qd udratum aequa tur 3 positioni tm 2,addemus ad utramq; partem, a positiones quadratorum cui sui scripsimus qd. ut intelligas non esse ex genere priorum I cu .m: qd. P Pos. m: a
denominationum,sed et Ie possiti squadratorii, igitur numerus addens dus,eii a quadratum numeri qdra torum,& hoc est,ut in tertia regula huius capituli, quadratum D F , nam
hic additio supplementorum est ut D c, Ac, D E , ad quadratu simplex A D, igitur sufficit addere quadratuo F , absq; additione superficierum F L & Μ N,quae erant necessariae in exemplo quintae quaestionis, quia igitur additis a positionibus p: r quadrato numeri quadratorum, ada positionem pra,fit totum a positiones numeri qdratorum p: I pos. p 2, 1 quadrato numeri quadratorum, Maoc habet radicem,oportet ut quadratum dimidii mediae quantitatis,quae est 3 positio,aeque
155쪽
Hi ERONYrariCARDANitur ductui extremorum,igitur quadrati,aequabitur quadrato, a cuborum p: ψ positionibus numeri prioris, quare abieetis quadratis ut in ,fiet aequalisa bis p:ψpositionibus,&ε squalis 3 oibos': a positionibus,quare rei aestimatio est Rr v:cubsta Rr blIp: τὸ na: inv:cubica rit mr i,hic igitur est numerus quadratorum adderudus utriss parti,& duplicatur,& quadratum huius erit numerus ad dendus ad utramcp parte,& gratia clarioris intelligentie apposui hic. Prima 4 qd' ld. pzqd. Rem eu. Rr 39 R JνP: zm: Rr V: cu. in 'm: et P. numero NVzcu. 1 RUR: Eta p. rum m. N
hoc,ut dixi,ua latus A D qdrati,cdponitur ex An&B caateribusqdratorii extremoru,sisP c5memoratione supplemendo M. Manifestarnest etiam quod numerus,qui est cu 3 qd. est minor numero qui est curebus gitur habebimus i qdratu tale rebus ni v ' inu: cubicae N ly
p: m: iuv:cu. Rr IEI m: L. Quare ducemus dimidium numeri rerum in se,& est,ut ducamus totum in se,& tit idem,demptam ν' , deinde accipiemus quartam partem producti, & est dimidium ultimae ni P: quae est m: supra positae,ideo addita, linquetur numerus totus compositus in V 'cu.-p: Rr Priatvrcub. Elim:
Et si dixisset,quod numerus propositus equaretur radici quadratae& cubi e pariter acceptis,non potuisset solui,nisi hoc seciindo modo.per regulam generalem. Deducere autem aestimationes aequales ad idem,ut primam aestimationem ad secundam,iam te docui in libro quantitatum irrationalium,quamuis sit difficillima operatio, & ideo complementum in his operationibus, est quasi extremum, ad quod peruenit perseetio humani intellectus .ues potius imaginationis, in hoc em cognostes illoru disserentia. Q v A D
156쪽
Si quis igitur dicat, inuenias numero qui ductiis in in cubicam suam p: is faciat 6 ,dices igitur, posito eo numero 3 cubo, habebismus 3 id qdratum p:6 cubis aequalia quare per septimam transmutandi regulam septimi capituli huius habebimus a qd' id. aequa. Iehrebus p: , unde habita aestimatione ex hoc capitulo per nonam regulam eiusdem capituli, habebimus intentum. Et quibusdam adeo
uidebuntur dissiciles hae operationes, ututa eas ueras esse credant, nos autem ostendimus modum,quo quantitates istae irrationales in qui ualentes numeris, ad numeros reducantur, & dedimus demonis
stratione utramq3, & Geometricam a causa,& Arithmeticam ab emo
Fac ex s tres partes proportionales,quarum quadrata primae Scsecundae iuncta simul faciant ψ, ponemus primam I positionem,quasdratum eius est i quadratum, residuum igitur ad ,eii quadratum secundae quantitatis adest ψm: ι quadrato,huius radicem,& r positio. nem detrahe est 5, habebis tertiam quantitatem,ut uides,quare dueta
ace r udra. tum m ex partibus,habebis equalia 6 positionibus m: in v quad.m: i id qdrato, quare si positiones m: in aequantur tu V: quadi amarum ira: 3 qaudrato,quare quadrata horum etiam aequalia sunt,a quibus ab ace 4 quadrata comunia,ex utraq3 parte, habebis tandem 3 aquadrata p: i 6 p: i qdqdrato,aequalia q8 positionibus,quare addendo et o utriq3 parti,id est reliduum quadrati dimidii numeri quadratorum, habebis i qd'qdratum p ῖα quadratis p: aso,aequalia V positionibus p:r o,addes igitur a positiones quadratorum p: r quadrato p: ; a positionibus numeri quadratorum utrio parti, prima igitur pars habent radicem necessario,& quia uolumus secundain etiam habere,quae est a positiones quadratorum PHs positionibus,ex prioriabus
157쪽
HIERONYMI CARDANIbus p: 1 quadrato p:3 a positionibus numeri quadratorum p: asso licemus primam partem trinomii in tertiam ut uides, & dimidium se. cundae in seis fient f is quadrata aequalia a cubia quadratis
P:3a quadratis , P: pos. a , quare Per 3 capitulum huius, habebimus robum aequale ror TreMrum ao io,inde habita huius estimatione per suum capitulum, nue I o i,tertiam partem numeri quadratorum, ut in eo ι ' capitulo habes,& consurgit rei fictae aestimatio, habebis igitur 3 quadratu Ina 6 indicta aestimatione,ex una parte,aequalia rebus quae sunt in du/pliaetiimationis inuentae p: tu aggregati ex quadrato dietae aestima,tionis,& eadem sminatione duista per 3 a,& 2qo numero addito, hoc autem ut liquet, est minus priore numero,quia si loco a adderemtur a sq,essent aequales,igitur 3 quadratum praestimatione inuenta N36 m: tu v: illa trium quantitatum, id est quadrati aestimationis cum eadem diaeta per 3 2,& cum asso tan* uno numero,aequantur rebus
quae sunt secundum radicem dupli aestimationis inuentae, quod est Propositum.
Inuenias numeriam, ius qJqdratum, cum quadruplo siti,W8squetur decuplo sui quadrati,dicemus igitur I oaqdratum ': pocP: 8,aequantur x o quadratis. Quare semper positiones dabimus quadratis,& auferemus a qd'qdrato, Sc - ,
quia videmus numerum quadratos rum es Ie magnum,& rerum paruit, ideo conabimur minuere numerum quadratorum potius,quam augere,& faciemus ut diminutio sit ex utrasque parte a quad. nam a minori imo a a quadratis semper serme est inci. Pleiadu, quia non oportet ut uenias ad nari quad. ex parte rerum, quia sic non haberent radicem,subducitis igitur a quadratis utra parte,
158쪽
m: a quadratis P:8, aes qualia 3 quadratis mi ε positionibus,clarum
est aut, quod si i qd'qdratum ira: a quadratis debet habere radia
igitur oportebit auferre ex utra P parte habebimus igitur 3 qd Pdratum m: a quadratis p: r,aequale S quadratis m: positionibus ni: γ,addemus igitur per ira: ut diebam est, a positiones quadratorum ad reliqua χ qdrata m:ex regula,& addemus per mut in eade, ad numes rum i qdratu pra positionibus ex utracp parte,quare habebimus partes aeqles, quae enim adduntur & minuuntur sunt ae ilia, igitur 8 m: a positionibus quadratorum m. 4 positionibus,p: a quadrato p: a pomtionibus na: numeri, habent radicem, multiplicando igitur primam partem,quae est 3 mra positionibus quadratorum tertiam,quae esta quadratum pr a positionibus m: , fit illud quod uides a latere, pro numero quadratorumis hoc aequale esse debet quadratis, qui est numerus produ stus,ex dimidio mediae partis in se, quare abriciendo quad. utrino, fiet illud multinomium,aequale quare tandem redoctis partibus ad suas consimiles erunt a cubi prso,aequales ψ quadratis p: 3 o positionibus,& 1 cubus Pr 3 o,aequalia a quadratis P: r ς possitionibus,quare res ualet 2,ues Per capitulum,uel etiam solo sensu experiendo. Circa quod notanda sunt tria. Primum,quod reduxi rem ad exis Not . perimentum in numeris,ut uideres ueritatem rei facilius , stultum est enim semper difficultatem addere dissicultati,secundum , quod i mishus p: 3o squalis a qd.p: ι ς rebus,habet aliam rei pstimatione quama quae cognita est ex suo capitulo,sed pro nunc ne operatio longior euadat,eam relinquimus.Tertium notandum est,quod tu uides, deis monstrationem sic tenere in in sicut inp:& quod numerus semper est addendus necessario,quia consurgit ex quadrato numeri quadrato rum cum numero quadratorum priorum , seu quadrata sint adden, da seu minuenda,dum, in dimidium numeri quadratorum minuens dom.Hoc stante,diximus quod rei aestimatio est et,& addendae sunta res per m quadratoria gitur minuemus ψ quadrata ex utracp para
159쪽
3 ,manifestum est autem quod a bo haec habent radices duplices,ut uides,sed Bustare
necessario ad duo capitula,vel 3 qήdratum aequale apolitionibus P: 2, uel r quadratum
P: a positionibus aequalia Α, horumpitulorum aestimationes sunt in
positionibus p:8,aequantur o quadratiS,cuius probationis exporimentum habes a latere dilucidum,ut patet,non declaro autem,an facta alia positione perueniremus ut dixi, cum cubus p:3o,squabatura quadratis p: a s rebus, ad alias duas aestimationes, sed si te delectae operatio,per te ipsum potes illud inquirere.
Inuenias tres numeros proportionales, quorum aggregatum sit 3,& quadratum tertii,sit aequale aggregato ex quadratis primi & se cundi,ponemus eos per primam regulam 3, POL 3 quad. erunt igitur quadrata x, quadratum, id qd. igitur 3 qd'qd. aequatur 3 uodrato p: 1 ,quare ex capitulo derivativorum a ', habebimus rei aestiis
macionem Rr v. in i . p: b, & tertia quantitas,est eius quadratum, scilicet ira 3 pret, & prima fuit ,igitur totum aggregatum est a q- p: Rr
160쪽
Da ARrTu METrcΑ3 Dp:suvmi r p: phoe aut non est 8,ut propositu est,dic igitur per regii Iam trium quantitatu , si ab p: Rr i P:NU:Rr rep: testet 8,cidestet i prima qualitas duc 8 in i ,nt 8,divide 3 Per I 3p: ira p: MV:Rr i Sp: LM exit ψ p: Rrv Rr so op: o m: NU:m 19zop:18,S haec est prima quantitas, qua habita si duxeris eam Per u pra6habebis tertiam quantitatem, qua si duxeris denuo in Primam quantitatem ultimo inuentarum,m v ' produciti,est secunda quantitas,&ne mireris quod tertiam quantitatem praeponam secun dar in operatione, quia est longe simplicior.
Si quis dicat,inuenias numerum,qui ductus in in suam cubi mm: 3,faciat M. Pones illum i cubum,igitur dueius in Rr cubicamna: 3Producit 3 qdqdratumna: 3 cubis,aequalia i , igitur ld'qdratum me 3 cubis,aequatur ,dico quod postumus soluere modo septimae quaestionis,& etiam alio modo, sine transmutatione,quo potest etiam solui septima quaestio,& facilius, sed uolui docere ambos modos, ut melius scires operari,debes igitur scire duo. Primum, quod ut res debent semper manere ab alia parte, a qua est numerus cum quadratis,& non a parte qaqdrati,sic cubi,seu prseu ira: debent manere vi qd'qdrato. Sccundum, quod ut numerus rerum nunw debet uariari, sic nec numerus cuboru. Et possumus addere tertium his , scilicet, quod ubi sunt res,peruenimus ad a qJqdrariim P:quad. P: numero,aequa lia quad. rebus p: uel in &numero se: sic hic peruenimus ad qdqdrastum P quad. p:numero, aequalia qd' ld. cubis p: uelm: Sc quad. p: Hoc intelledio, sic soluitur quaestio addes ad numerum a positiones adratoru, igitur ducto eius dimidio in se,st i qdratum numeri quadratorumquadratoru,diviso igitur eo per i habes λ ld. numeru
addidisti ad haubendam radicem is quad. pro numero qd'qd. & a politiones pro numero quad. igitur addes eadem ad 1 qdqdratumna: p cubis, &habebis is quadrati p: 1 ,pro numero qd id. S m: 3 cubis & a poli
tionibus, pro numero quad. igitur ad hoc ut habeat radicem,oportet ut extrema inuicem ducta,producant,quantum dimidiu mediae quantitatis in se,est autem dimidium 3 cubi,quod ducitum in se,producita cu quadrata,& A quadrati p: i numeri qd'qd. in a positiones nuV a meri