장음표시 사용
481쪽
circumscripta ad inscriptam minor est, quam ut e ad c
Quotus est M, tota pars ipsius B accipiatur s. h. N. ia diuisa basi per numerum D, sit inscriptita figura st, circumscripta adscripta S. Demonstr. a. p. Quoniam B ad 'U; est ut M ad unitatem, velut L ad H permutando B ad L, est ut N ad ρ- ρ- Η Ω a B ad L, ut a V ad H. Sed a D, minor est, quam L: ergo a N, minor est, quam H emgo 2GN rectangulum,minus est rectangulo GH. sed rectangulum GH, est aequale ipsi spatio F: emgo a GN, minus est,quam F. Et est E ad 2Gη , ratio maior, quam E ad F. Sed E ad F ratio, maior est, quam c ad e-d: ergo E ad 2G2gratio,maior est,quam e ad c-d. Est autem R, maior, quam E: ergo ad ratio, maior est, . b. quam e ad e d. Est autem R - S, squalis ipsi SN: & non maior est, quam a GN: e go R ad Φα, maior est, quam c ad c in 3 3. ergo, per conuersionem rationis, R ad minor est, quam ut e ad d. Ergo M est numerus
Dscripta, & forma, sunt quas xquales.
482쪽
Demonstri Nam data qualibet inaequalitatis ratione, popsunt inueniri, circumscripta formae, & inscriptari propiores riualitati est autem viralibet adscripta,& sorma, minor, quam circumscripta, & maior, quam inscripta: ergo potest inueniri adscripta ad formam propior squalitati, quam in data qualibet inaequalitatis ratione. Quare adscripta, & forma, sunt quas aequaleS.
ADscripta cuiusque formae,ad sormam in vertice si
mosae tabulae,est ut a radice numero partium basis, masta homonyma, ad totam unitate plus ordinata, quam sit basis tabulae speciosae, ad quam pertinet massa. Hypo RSunto duae formae, una in vertice formosae defiab. l FO.u, quae est quadratum AB; alteram. Ioaars,
super eadem basi in qua finis abscissurum A; finis residuarum R. Et esto AR diuisa in partes aequales,mediatibus puctis λαλλαZ per quae ordinatae sint,in altera forma,rectae DL, , , G N, HO, ν; & in quadrato, sint ER, FAGT, HX, IV &sint DL, EM, , GO, m parallelogramma, ex quibus componitur ad-l scripta, quae vocetur S: N AS DR, ES, FGl GR Hr, IF parallelogramma aequalia, in quq di-
483쪽
uiditur quadratum AB. Assumatur etiam numerus i, partium aequalium ipsius AR: radices, massa O. Ioaars, quae ad quintam basim pertinet specioia tabulae: sumatur que ab eadem radice si tota sexta is. Dico AB ad S, este ut i s ad O. I Oaar3, a radice t. Demonstri Quoniam ad DK, rationem habet compositam, ex duplicata LAR ad AD, S ex triplicata AR ad M, &ex subdecuplar videlicet pro abscissa unitate ' compo. tam ex ta ad aa, &ex ι3 ad r3, Sex subdecupla: idest, Ccc a eam dem,
484쪽
eamdem, qu im is ad I Oaar 3, pro abscissa unitate . sed Ax, est ut G R ad T X: ergo Au ad Ax, est viis ad Ioa21 3, pro abscissa unitate. Similiter D ad D est ut is ad I Oaar 3 pro abscista binario: necnon similiter pro reliquis abscissis numeris. Sunt autem tot parallel gramma componentia ascriptam S, quot ordinatae per puncta D, E, F, G, H, I, totidemque, quot ipsa punctae. :& unitate pauciores, quam numerus partium ipsius ARnempe totidem, quot sunt eiusdem numeri t abscissiones, N abscissae. Ergo per homologiam, aequemultiplicato utrimque antecedente per si collectisque consequentibus, quadratum B, ad adscriptam S, est ut si ad O. I Oaar3. Quod &c.
Quare Sc. Theor. 3. Prop. 9.Forma omnes multiplae, ad sormam omnes simplas easdem proportionales, super eadem basi iacentem, aest aeque multipla. Esto A forma omnes duplae: Nesto B sorma omneS simplete eaedem proportionales, super communi basi ia
Dico A ad B duplam csse. Demonstri Diuisa enim communi basi, per quemlibet nvom ob l incium, in palics aequales, ordinate per puncta d, uisio-
485쪽
uisionum in A, duplae sunt ordinatarum per eadem puncta in F, singulae singularum:&adiacentia parallelogramma, quae adscriptas componunt, dupla sunt singula singulorum; & simul omnia simul omnium: & adscripta A, adscriptae B est dupla : sed adscripta P quasi est squalis ad suam sommam B: ergo adscripta A, quasi est dupla sommae B: sed forma A quassi est aequalis adscriptae A: &sunt seraeae A, B, quantitates determinate. l Ergo ad N cst dupla. Quod &c. Quare Sci
Mnes quadraturae super eadem basi consti tuis, sunt inter se aequaleS. Demonstri Nam adscripta cuiuslibet quadraturae, ad sormam in vertice formose tabulae iacentem, est uti quadratrix homonyma,ad totam unitate plus O dinatam,quam in qua basi est quadratrix in sua ta-l bula: sed quadratrix ad huiusmodi totam, quasi est aequalis: ergo adscripta quadraturae, ad sormam in vertice formose iacentem, i iasi est equalis: scd & ad suam quadraturam quali est aequalis: et go quadratura ad formam in vertice sermo iacentem, est aequalis. Quare omnes quadrat m, cum eidem determinatae sormae sint aequales, inter sic sunt aequales.
486쪽
IN unaquasque basi tabula: subquadraturarum, subqua
draturae sunt aequales: & simul omnes, componunt quantitatem formae, in vertice formosae tabulae iacentis.
Nam in unaquaque basi tabulae subquadrat rarum,quadraturae sunt aequemul riplar. Sed aequales , ipsae sunt inter se quadraturae: ergo aequales etiam sunt inter se subquadraturae. Deinde in unaquaque basi tabulae subquadral turarum, quotupla est quadratura una unius, toti siunt siubquadraturae:atque tolupta est sium ma Omnium subquadraturarum, ad unam tantum . quare summa omnium subquadraturarum, uni quadraturae est aequalis: sed unaquaelibet quadratura i aequalis est sermae in vertice sermosae tabulae ia-ἱ centi. Quare in unaquaque basi tabulae subqu i draturarum, summa omnium,aequalis est uni sor-l mae, in vertice formosae tabulae iacenti.
Porrυ in Tabisti Formose, in ipsius formis , praeter ea, qua inopistola ad Excellentissimum Cassinum commemoraui ex meo libello Nouarum auadraturarum aba inuem duo, quae hὶc pro coronide recensebo: alias publicanda cum demonstratione , s D us olim, lteriorem fortunam concesserit . V tim de mixti lineis angulis, si V de cornibusformarum 9 gr
487쪽
Secundae basis secunda N penultim sorina, est bina a.
gula, cuius angulorum sinus rectus duplus verti. tertiae v Io, & quarts,ac reliquarum deinceps omnium basium format, prima & vltima, secunda & penultima , sunt unicornes, & vnangulae; quarum sinus rectus angulorum, ad versum totuplus est, quotus est ordo balis: in tertia, triplus;
in quarta, quadruplus; in quinta quintuplus, &sic deinceps . reliquae demum formae omnes, sunt bicornes. Altera de centrisgrauitatum bipartitum,cuius prima pars est.
Cuiusque sormae in tabula sermola, recta linea per centrum grauitatis Ordinata, facit partes basis reciproce proportionales, ab scissam ad residuam, silcut eius ordinum numeri in sua basii a prima, & ab ultima. Exempli gratia. Formae in quartabati, secundae trit ultimae per centium, ordinata, facit partes basis, abscissam ad residuam proportionales , ut 3 ad a, ordo tritultimae ad ordinem secundae. Secunda pars est. In unaquaque forma, linea ex centro grauitatis ducta ordinatim ad basim, a basi, S: centro
finita, dicetur, Altitudo centralis. Itaque formarum in tabula sormosa, centrales altitudines habent reciprocamurationem com politam ex rationibuS numerorum,qui quadraturas ex sormis producunt ; ex directa iacentium inijLdem basibus, & lateribus tabulae quadraturarum, & ex conuersa iacentium in basibus duplordinatis, & in lateribus unitate nuntis, quam duplOrdinatis. Exempli gratia. Centralis altitudo FO.a3ra. formae in sexta basi tertiar quintultimae, ad centralem altitudinem FO.airci, sermae in nona
488쪽
basi septiniae quartultimae, rationem habet compositam ex rationibus numerorum quadraturas producentium exsormis; ex ratione, inquam, Ioue, tertij quintultimi in istabati,ad 8qo,septimum quartulti inum in nona basi;Se ex ratione 33 27 Is, tredecimi septimultimi in decima octaua basi, ad σψ3 3, quintum nonultimuin in duodecima basii. Vel aliter. Altitudines centrales sormarum in tabula sormosa iacentium, rationem habent compossitam,tum ex ratione earumdem formarum conuersa,tum etiam ex directa aliarum in cadem tabula in basibus duplordinatis, & in lateribus unitate minus quam duplordinatis. Exempli gratia. Centralis altitudo FO.avia, ad centralem FO. a 3rct, rationem habet compositam, ex. rationibus, FO.a3rct, ad FO.a raFO.a8r , ad ma5rI2.