장음표시 사용
21쪽
dicit pria istam circulus aut p totu est agulus. ut sedo celi & naudi di est. n p meter circuli curuatus in Oibus puctis ec ubiq; expandis sch applicatione pilis no dire
eius in pluribu locis recedit a medio nunc aut e Pimeter circuliubiq; idio utum possibile est in Oibu s Ptiti' luis siue locis. Item si qd est equi an tu maditus est ut dicit lada cucul' autem est equalissim' i maturis tuis quia unitormiteri ruatur eius Pimeterer i equit sum ad hoc circulus est maxinis Preterea si Oest invitatem est mai'ut dicit tercia circui' autem est equestissim' in sius lateti dp3 si describes poligonnim equi latebi itra circulum tunc .n. ca lue lac polligonu abicindit clia portionem de Pimetro circuli q quidem porciones sunt quasi latera
circuli sequitur Φ sum ad hoc circulus in capacissi Lutum igitur ad cnanes coditiones capacitatis circulus maior est in planis figuris: α consimiliter spera in solidis. Couelatium patet de se:&sic est finis huius secundepartis.
habet lex capitula. Capitatu primu de proporti in comunt. Enia consideratio est de proportionibus. Inter est em geometre totaliter tractare de proporcionib'. naaritiametic' nori ti nuctis olima proporcionu modos qm i finite lut proporciora quas nuciosv naturario patitur queadmodu tessat campanus. I. aut urictio proporciois est dilitassaia lata re aelicat oibus adinvice fere coparabilibus sci magis & minus ideo seacundu huc coceptu coem sic pol diffiniti. Proporcio est aliquoφ ad inuice cop rabiliu unius ad alteφ certa hitudo. Verbigia: ut numeri ad nue': magnitudis ad magnitudine lani ad sonu . sue trepotis ad ips. motus ad motu livoris ad liuore saporis ad fas ore coloris ad colore. Gecmena aut trahitit mone F porca Ois ad magnitudine di habet ea sic diffinire. Proportio est duaφ illitatu eius de generis um' ad altera certa habitudo. Dico aut eiusdem generis.quia lota talia coparabilia sit admuice. Di dat aut proporcio in duas spes que accipiunt in coparatione adstitates proporcionaliter diuersas. Na sititatu queda sunt coicates siue comensii,
rabiles quedam dicuntur incc municates sue incc mensurabiles. Quantitates coamunicares diar ille quies cst una Uitas comunis numerans eas. Scitur aute una alitas aliam numerare quesecundum aliquem numerum accepta producit ipsam uti mea pedalis mensulat bipedalc vel trepidati in lineam:sunt ergo ccmunicato linea bipedalis vel tripedalis quas pedalis linea secundu hinatium vel ternarium numerat. Ultates Vero qui Δ non est Ima ccmuniS Uitas eas numerans dicuntur in ccmunicates siue inccmensulabiles cuiae modi sunt di:meter et latera quadrati sunt igitur secundu hcc due proporcionis species scilicet rationalis & irrationalis Prepoicio rationalis debetur utriatibus comunicatibus ipsa quoq; sola est que debetur numeris inationalis vero nequau competit ni meris feci utitatibus incolar, mensurabilibus: Trde manifestu est P ad geometram pertinet totalis propolinois consideratio quia omnis proporcio in magnitudinis..sed non omnis Pi portio est numeralis proporcio igitur rationalis denominatur in mediate ab aliquo nutaro m. n. sit sicitatum comunicantium ori ut secundu alique livetii minoi et aliqua pars minoris maiorem numeret proptero dicit euclides quod omnium duaνγtitarem comunicantium est proporcio unius ad alteram tanu propol cro numeri ad numerum S hoc magis pauhit inferius. Diuiditur autem hec species proporacionis secundu ocin modii i m que diuisa est proporcio in arithmctica na in arithmetica: alta est equalitatis:alia inequalitatis Et proporcio inequalitatis subdiuidi Alia em in maeotis inequalitatis:alia minoris. ct tral accipitur inter eosdi in terminos variato ordine prima enim est habitudo maloris termini ad minorem se
22쪽
simpartiens. em pro poetio multiplex suppaticularis a proponio multiplex suo
parties:& totide habet spes proponio minoris inequolatatis que aede designas nomnibus addita iste prepositionesub ct hecoia sinit dactam arithmetica. Et de multiplicibus diuisioti' istam specieν dictu cibi quate no m hic amplius insi
se Proportio aut irrationalis non denominatur sic in mediate ab aliquo nuero ives ab aliqua proportione numerat nota non est possibile ut tin alique numerum aliqua pars minoris numeret maiore. cotingit in medietate denominari proporationein irrationale a proportione numerali ut proportio diametri ad colla est medietas proportionis dupleta ita capiunt alie species huius proportionis denominatione a numero. Diuiditur aut hec proportio viduas speciesque accipiuturpeanes coparatione ad inuettes in comensurabiles re ad modos diuersitatis ui in out existi pia desce la ad lineas lineam queda lut inc e urabiles in longitudine titi Edn v t i comesutabile. i logi dies simul & i potetia Pometurabiles i logi tu dine titi sut A loortudies no coecat actu. si aut suptates qdrate i qs pollut coicetiae sui Pome uiabiles i inludie tin l3 coimus i pote Et laec e tres pria exesu ut diameter & las quadrati eiusde F no coitatae . quadrata aut eois coicat improportione pla Si vero si erficies quadrare m quas possut due limeqlutir incoicantes &incomensurabiles ur longitudine: unt emi incoicates: tunc ille linee
est incomesurabiles in loci cudine & in potem echec spes Hilcda. meptu accipiatur linea medio loco proportionalis inter diametru eccosta hii arte infla necasti. n. las primi rati & illa linea media inueta fiat income. urabiles ri trudimeeostat ua oti a fuerint incemelinatalia iter se et ut & inccmEi bina cu medio ud m xportione c5 ua geometrica mediat inter ipsa ut Onda in teque
hos ct redet in re incomesurabiles erut in potetia qm quadrata ea noc amam decimaseptia sexti libri euclidis Oim triu lineam cotinuit portionabiliu vaestprima ad tertia issi erit quadratu prime ad Uratu scae inpiuna Q es costae uicomesurabilis tertie q est diametru igr quadrata prune R Icdeque est in medio loco portionalis eris incomesurabilia q brata dicina poteritae earu&Ppiis non quo ad lineas sola si et quo ad potetras Pot aut uti ii spes datavi u in tot spesqd modis accidit tuae si mel sic essetncomesua abile: amno solubio potat elli inccme utabiles in logitudine ina dula lint si idiar tet S cosa. 0 etiam aliis modis foue infim . similiter dico delineis incere Eutabili,' in lonis nitudine de potetia euiano sunt Iolum ille tamque accipi uiui medie intercianetion de cosa sed etiam medie inter illa mediam Sisias uou medie inta illas medias ct sic in atum. a
Rotoitionabilitas aliti in si istestati in in arithmetica in sati litudo inportionum. Vnde ad man Icquirit dua, laniles porcitio
Dicuntur Ttproportiones similasquarti cse an denomina: o victo N Oonlatapla&mpla sex Saltera & s qui altera εἰ sic de abs ct medietates duple ecimedietates duple de Sciarie proportionu mala ali Tales aulam propon ne aut comunicant in uno tonuno aut no.Dptimo quidemodo strinoiv auras continua que ad manus in tribus tomuus inccni Oa ubi se a s eas
Monis est ans leci de vi scuta ad b ita h ad c ct hece ccmumc o ites obice. modo fit proportionabias diuinitura vel disi LM ad manus stituta ubi media lut duaena ut sicut a adb aac ad d. Cougit in i eisde tonus inai t. o. is cara Pros ortas lauru discon
23쪽
iuncta recisa R equa εἰ iste mod' arguendi requirit ad minus dura proportionalitates sicut dc proporcionalitas ad mitis requirit duas proporcionis S est na anaalla veis piis q arte tur vocatu ut tamen quando &ipsi termini antecedentiati 'rantia A qui prior est in proporciones:tate qua 1 v.catur am: posterior vero pii sie accip s hec nomina in deseriptionib' tequenti 5. EConuola igitur proportionabias est eum ex vitibus fiunt mitia di ex piatibus antecedentia ordine cottario sicut arguendo sic sicut. a ad b ita caud ergo sic id ad citat ad a. luceni a&c sunt prio antiare post pntia Recouerso est ded&bi surdiden in num, Misci do.6. q. Utare idem magnitudini P siue comenturabiles fuini hi si ueno mensui abiles em lint se modo nuero Helia de incomenturabilies sion in te ligas per d latus quadrati patui per c eius ciametru pra b latus nitam quadrati ma diametru eiusae vescit F sicut a adb ita c ad d et ex hoc sequit G sicut d ad eita bad a C Permutata proporcio latas dicue ante icde proporciori sit piis prime & ex onci ptime sit ans Iecundὰvt sic arguendo sicut a ad D itra cadd igiturnmutatim si ta a adcinsitab s Ud s. εἰ tenet otia sinulit et suae pur: litteras intelligas numeros siue magnitudines siue ccmentarabiis siue incomensurabiles in C ibus em istis Etitatibus unet ubi pratia. Muinitur iste modus at guendi in aliis scienciis S ad diuersasmaterias trahitur sed. n in alus tenet & Ution dissicultate habet ε alibi videri dym scdo modo ar Suessi Ptoportionalitas ccmposita ex proportionibus urationalibus Pt infori ex Propolitionalitate composita ex racionabilibus εἰ eccnuei lo quia tequitur scin c.s maior ad tuam diametru . ita costa minor ad sua diametru intus sicut costa ad colla ita diametet ad diaminii sed possibile in Occta sit cupia adeo A tunc sc quatur g diare euter sit dupla ei an etio hoc auton non accidit in plua. o mcdo A cauta ii quia in plano si antecedens est cx Dor urove ma cris in qua tuis. c laquens ait
tis proporcio εἰ ec ello. nonuna cui ncn e: Gi r nas P hanc prepositici subee per consequens irai sis non inferi malacnsim ncc ecciauerto. e cotincta proporcionalitas est Ucticiis adurunctificaminia tagiana ad cor rectos vidiscendo sic scur et ad h.ita e ad est igitur cciuoigcticia itamua iasia sicut ab ad b itac d ad d cccire cidine Iei Laro. . Duivii 2Pr Orcicutatas ei cu econuerso a coniunctis remunis ad cole. dual ob arguitur , t sicut ab .acb itac d ad digit sicut a ad b ita cado. 1 tiastis sc alide cido inuaminis inubus fitilini et Euerse proporcicnalitas cst adluissees placibus ini Munis adcouinctos ves inpositos non eodem Croresed eccueco propol clcnalis illatio. t scutia. id vita cadd. igitur sicut d c ad citaba ad a Et vincit a coniuncta quiam illa arguebatur ad conlequentia hic aut ad incedentia re ideo vocatur euenis. Et pctest esse duplex vel Gema comuneta ves eversa disiunctarer miscendo em cscua spe, ci b' pdietis. Etia poliunt alis rumi arguedi fieri ex pei iuxtione ho modo Equa proporcionalitas est duabus multitudinibus sititatam propoliis di Gi isimilitu reproporcionum corin 'αὶ tib'ι Lbu aetib mediis primari in Rultim in liabitudine propincionalis illatib. sic arguedo sicut a d b S c inter se ita definter se igitur sicut a ad c ita d ad fLt issis Lint modi.aTucndi utiles in omni illitato tam continua udeseria Tt in ossius quatuor utitatibus proportionalibus potest facere quis oes has psittas Pter vitanam que ac manus sex tarminoa requirit. Undes fuerint quatuor termini vel utitates proporcionales conuersim: erunt propor cionales di pinutatim et coniunctim & e sim N tur diu san Auod dico quia divisam oportet conuicta precedere sicut in desiptione proporcio litatis distin edictum est et Generalis autem forma ars adian omnibus istis pol esse talis sculptimulast ita reiciti ad viui sicut etita adterciu.ita schad primu ut in coirena vel se ago sicut primu ad inausic ich ad quartum viva 2 mutata
24쪽
' etlla desiss Rhine sub Inserem cret primi ad tertiuea proporcio talis vel talis re
m serundi ad quartu est propincio cosimilista sic suo modo est in aliis arquedae Aristoteles aute in tertio topicotii utitur tali mo ar edi in porporcionalitate permittata licui primum ad iucundu ita telum ad quai u igitur perinutatini sicut primu ad tertiu ita lecundum ad quartum sed prunum lupenat tertium plusci teristiu superat quattu ergo se radu plua luperat quartu 2 idem tercium suDat manu
ex plum lut natur ista numeri. O. q. . 2. N arguatur sic. sicut se habet. o. ad . . ita
cu proportiones ex quialtera proportio aut alapia maior est proporctoe lex uiti a igitur sic se trabo.' M. 2.quia superat. q. Pum2.3.2. Ulupo O.q. au. α fm proportione dupla ted. . au. 2.i m proportione loquialtera ut putas tenet aut illa forma per hoc qd proportio prinia in tertiit sc secundi aci quartu lut miralas sicut cocludis P gnate tonna argutat ergo utu una .rportio e maror di a M. Capim. . regulis Sporci um c 'Priana testula
ι . Vbiugam nuc qua cla rias si coclusiones δ portionu i coi prima:t hee
is C mta aliqua utitas ad alia tanta elideriolatio eius promitiorus ad i a lila m inductive qfit si s . it una linea equalis altera. M pro porcio erit iter illas oc si ci pia tuerit linea etia re proportio dupla erit de si inerit ira comesurabilis de excresceSin logitudine di potecta re Sporcio in iis siliter ene Mi a porctois denotatio cotomala habitudini termicis Iti hic in Iesu est e nulla sitas excedit altera i ptoportionabiliter uti s una excedat alia incoinclinabitit' ς ι risae Proportio extri motu ex proportioe medioru proportit imbi hu costat.uta H ex pria accipio.n. duas lineas a dc e dupla & sub dupla. disco tuc si pi porcio a ad c coponit ex proporti mediivl medioria suptoru iteratae sitiit. biter alc c siue i, proportiostilitate cotinua & proportioes siles sueri proportioes dilii miles d. ii s seu dii turmas collat o intuebadc ea adcta adhuc apti qa i a excedit bergo a excedite ' proLoitiOes duouet excestu sapioix igr excetius ille comaet exceti' illos qre hiluco coemet hi tudies di proporismo proporti S& hocv o proportione corona ex propolti Wcosil)ter quom si fuerit pia media ex olb' propomoles ob medioMis ite sere ad extriacoponii proportio extreo q propter videi P cis Proportio pol relolui multipli i pro otiora. Ex ut de propor edi Da pt n rciolui i Quas proportioes siles α uelut irroalestat etiaJesolui ipromitiora ronalesu no siles. vel bigia lia lex Itoa ct lexqtortia ticut 'ternari' excedit binariti ruta is proportione locis rasi est innarii ad innanu A siti sexutocia cj in uuat aris ad terna tu si aut accipias dupla proportione in senatiuoctonariu inuenies plura inedia diplines proportione. o sic soru aecedendo ad naviores numeros.
Rroportiones sunt equales quatis denominationes sunt equales. CHecp se litur in Prima accipio.n.duas lineas a&bsiue sint equales siue nota. & arguo sic uta est linea a ad sua medietate lata e proportio eius ad sua medietate per pruria legul m. sed est . est a Uitiam medietate tanta aeb ad si re go illa e proportio a ad tua medietate. tata e proportio b ad sua meditate Iste proportiones lint equale denotatione qa i ut duple. igis proportiones liabentes eaeda' nominationes lut equales di code modo arguituran oli,' Et ex hoc pol accipi argumetu ad picbadu relatione esse distinctam te a rebus absollatis qm si linea alit maior Iliacab sititates ei ut mequites di in lunt inuales proportiones earum ad uias edietates sicut nunc in lorarit. t Quarta regula. 3. Koporcion sunt inequalesquarii linoiationes sui in ualis Rimes. p t1 pucibus quide scena eude ordine se habet denominatio &proporcio in li Ipaiticulatibus vero ordine Gouerso. Pruria pars huius p3Drter ilis au 'i cqualitas pro itionis A dcirc minationis coiugulurnccis ut pro
roscio dicitim si ergo coulei h opposita ualitasPoporticis a uali l
25쪽
multiplicibus qm tripla proportio maiorem denominationem habet et dupla rei pia etiam est navior proporcio a dupla proporcio est. n. α δ pars proporcionis triple viri per secundam huius p3 hoc in sup particularabus ubi est ordo conuen'
nam ibi proporcio matur minorem habet denotatione et mi Or maiorem quia sex qui altera maiotesta sex qui tercia qui asex qiurauia Ps sex et stere est ba minorietumeri denotationem l sequialtera. Quinta regula. - Vantitates sunt equalesqad una utitate parate pro mora lintri quales. e iam si hiit equale Norcione adtercia equalis est excessus ειν suo illa tertia ex pinissis di si in equalis exeaeus e sup ide coeipe illitato erut equales inter se P quinta cori scies. Ex ista pol sumi rum' argut ictu ad probandii qd unu ins tu no sit marus alio i lauto citioim infiniων ad unam magnitudine vel multitudinu finita est equalis excolis, w mfinit'd P coseques equalis proporcio. Qii Oia infinita erunt i in se equalia
agit unum non erit maius alio. Ggo lupposita temtare Iissi a parte anteno fuissent plures reuoluti s lunealolas plerite. Sexta regula.
antitatesquaue multiplices sunt eulas ipse inter se sunt equales Criq qm sub multipliciu rem multipliciti de est proportio re hocm ex anui metica. lequis igis sin proportionalitate mutata sicut multiplex inadmultiplex ita sub multiplex ad rub multipi sed multiplacia sunt equalia ex imissi ergo sub multiplicia civi equalia. Ex istis pol sumi argumentu ad coclusionem oppositam coclusioni inducte in pinu .Lqd inu ius tu polistiae maius alio. nam si detur oppositii accipio tunc unitate di dualitate et ualautas unitates di iri finitas dualitates dc arguo uc infinite unitates sunt est multiplices ad unitatem si, cui infinite dualitates ad dualitatem: infinite dualitates sunt equales infinitia Unitatibus pet te igit unitas equalis est dualitati quod est impossibile. et Capitulu. s. de proportioib' irratiositi' in speciali. Prima regula. UI- Ccedam nuc m l pali magis ad proporci sitates irrationales ponen eo tegulas&coclusi oessito laee coclusio pria Cois utitas iuutari est proporcionabilissed no Ois ot comensurabili Pruna pue ex difa finitione proporrionis re ex primaprecedentis capituli qua cinnis uis νε- tatas ad omnem Ititatem aliam eiusdem generib in abuta quia vel minor Vel maior vel equalis Suta est una sitas ad aliam tanta est proportio eius aditum po primam precedentis capituli ergo omnis unistas in aliam utitate eiusdeEm est abuta proporcio. lecunda Pspm ex diffinitione Urtatu commensurabilia
G. 3 α incomensurabilis. t. n.esse duebitates quaυ inaest maior si a &finite qui nulla est utitas cois eas numerus sicut sui diametri di cosa quadrati isti no Ois ciest comensurabitis. Secunda conchasio.. Nntu duaν utitatu coicantiu est proporcio altrii' ad altera tanu num ado nu . si aut eis nost proportio tau nueri ad n υ in coicfites in te Suposita r Iastat i 3p3 ista ex diffinitioe coicam utitatu R in coicati v si ei sunt coicates ergo lit utitate aliqua se coiter nuerante ut i suppam laia, et minor ira maiore iasnat ut imultiplicib' illa aut sitas coitern insem sm aliquE & aliquoties i maiori iaci aliquoties & fm aliquentie' i nori. large accipi ido num aliter illa sitas no nuriabit maloia re more coiter accipio ergo istos
26쪽
latetis quadrati ad diametru no est tau nuta ad nueru:hoc probo qm diain ter ei diu proportionale iter extrema dupie proportionis ut olidi ibi nuetis volsibile est inuenire nuesv proporti ale mediu inter nu i duplu S lub dupluteum ter extrema duple proporticis ergo diametri ad costa no E proportio diutudinen ueri ad nu . allaptu probo sita sit .n .ec lat'qdrata Putoc diameter eiulae. de. sup linea d e costituto qdratu alid siti a b e d ec ducat a e diameter ei' collatae e dupla ad e e l3 sicut se laue e e ad d c itale id d c ad a c Putrobile copulo lateris orati adlua clametruergo ille. 3. linees 3.a c & d c tu e c hiat se u Nortionalitate cotinua igi d c e medio loco proporti bilis iter ac&ec qius extaea pro , portio is duple H ergo oositio iducta aut adiugil i theoremate Φ ois dia, metet e asi mei colle e iteratio ite pinille i verbis Ud aristotele usitatici citi. metru illas, e comesurabile a simetru alii ldqde iccni Hurabile. Ali' mod' probadidictu pri' at Iuptu e ex proportioe udratoru diametri S colle re iste laget i semii capto. Ex pdactis ri qlis debeat dici proponio diametri ad costri qui est me ne, tas duple proprotiois na proportio dupla a c ad e c copiarui ex proportioe maioris ad mediu icy a c ad d e.& medis ad minore s3d cadec qiut proportiora viles & similes & qb e e meditatas illo' extremose tu a c re ec im e dupla pio portio rago e medietas dupla pruportiois Sinopter altera ea ct q0 simul dacidi medietas proporticis dupla sicut alicui' toti ps aliq dr meiateras. Us et quasi cotinuari pol ista proportiones tas sue accipi edo maiores utitates siue minoressini hoc fit murado ecua quadrati maioris i clametrunainoris brati vi ec raso cramenti Gotis in ecta maioris. istud ex luelamosurn phia. io declarationi eius magis insisto quarta coclusio erit de messio proportiona li miremedo geometrire ' inter duas lineas datas quascu* siue e MN fuerit nota propolito siue no et e talas. Quarta coclusio.
duab' agregata describas te micircul et a coi medio ci. lineis sic collatisi linea Ottogonali ad cuctiferata venerit iura datas lineas f propol tionalitate eotinua mediabit. Huc declaro i termis accipies dataractoci cclia Fiativolo lueture media linea F, proportionalitate cotinua media iura iPas si ci etα- abcosab e totam Iinea ex hus coposita sita es hac iῖr hanea civi Male curii
tu a d e & a puctob reiga P dictale linea usty in d& hae dico re media linea tue ma re dico. y lineas istas coimue te propo rtionales. ita ui sicut te habet ab ad b d.
xiat nobis e lidis auctoritas curui di e ista propcicio sexti lihil gec metrice coclus tone nona re est sensus in breui P ois linea in circulo a cucufoetia sud diuite mi v es ottogoniatdic tameti o issies.seccat apas dimetiu in duas stes itumas est ipsa medio loco proponionalis. Quinta concluso. I fuerit due utitatesvni eman corites spe quini; mulae cotest res nota mira se nulli is coicat octie Prima pampdi1 itionem utitatu eoicati uti P scdam capituli precedens. Migra sint due utitates a&buni sitati ictus Ra sitiae tripla byem ad c sit dupla dico ergo qda&beoi 'cat na Pisiani P si a Resia sicut duo num tib et caet sic. tanum resto amR e set sie.3. num io a se h3 ad b sicut nuci' ad n v ct P pris a et bsia coitates Mea psseat expria ex opposito. s pntis Teredo oppositu antis pro ut clare etiaptedit iba forim theorematis sub qua pomi. Ex quo ri illud quod m primo inis
rea' rapitulo dictu est de media lineaproportionabiti mire cina Ndiametru ipam ctit necio m couas ta coste a diametro ex quoipa intra se no coicantimetiri quod inquadrato nololudiametra est assiniore colleumo toti Pimetroqi adratim diametra assamem nil costa coicatcs Pimetro in propomoe sub quadrupla αudiametremicaret cupimetro in diameter6cosa colatici minis D prelaum Setia conclusi
27쪽
eant erit coitas. ista p3 similatet ex secuda lavi' capituli qui iste dues:tates et ut sicut duo iii ieri & p piis tota ex eis copositu erit licuitaquis mininus& v pias coicabie init parcia. Septia coctu . . Miuu quattuor utilatii geometrice proporcionabiliu si fuera ptia coio . eas secura tercia qὐoqi coicas erit quarte si vero pria fuerit incoicas. secude tercia quot coicas erit quarte si vero pria furere incoicas secude A tertia erit incoicas 'ille Ista illati H in modo arguedi sit proportionalitatii hus na si ah c &d utitates sint propomonabiles ergo sicut a ad irae ad Guelio: Quod linium in mi possibile saetb sint coitates ecc&d incoitates vel econueris alioqui pro retinacitas posset esse excoicanti dc incoica tib' & p pns oes Ptitates eent proporcionales quia minus dint alii modi proporcionlitatu ucdicates a incoicates.G cu sit impossibile p3 Φ non sit ypotesis ex qua sequit possinis. Capitulum quintum de potentia linearum. . . Ictu eli de ptoporctoni magnitudinu & incoicatione ea ν Sc potisd . . sene delaededo ad logit ies lineaN nue dica aliquid breuiteroe line ώ - potetin resperuituPfici in quas piat. prio qd nois ponedosupiicies aut inima pol aliqua linearest bratu eius S di linea pinse in ipse staficiem cuia ex dictu sui in seipam ea producit 'pria rego coelusio sit asta. Equales lineetia sudficiespsit equales. dupla ant in quadrupla trini, vero ut nonocupla dc uni necaltin quodl3 multiplex linee date pol i multipliceiupficies dat et rure denotaim a nuero denotante multiplex linee in se ducis. Ista m inductivellinea n.bipedalis pii Otuptu respectu linee pedalis re lanea tripedalispi i non usu de Ona sed alas in te decuplii qm qdraria pedalis lanee est tm viri' pedis Frati blatu vero linee hipedalis. Φ.pedii Orato & bratu linee qdripadalis. 16 dc sic ulterius ut apparet in arithmetica quia bIs duo sunt.6. ter tria lin. 9. π qtuor tui. Io. Ecco. Secunda eonclusio.. 1 Inee qua una potin plurespectu alterius sui sicut diametet Eccosta.
coinnatione aut i ui snte apon limina coclusione decimi libri ipsius ramis i
institu in No sciatu d etit duplu ad quadratu e sed collat'ad Fratu e est
28쪽
tus i par laut Φ nuer' P dc nuer' i par init multiplices respectu eiusde numeri Rita et ut eouales P quira tercii cpn pcedetis. si vero e e nator de Uar diuidatur a b in duas medietates dum g c linea Ptiiciatq; quadratu ductis lineis a s de e f si isti tur; portio ab adae est inu proportiod ad e 1gr couersaproportioe a e ad a best rao proportio e ad c is it proportio a c ad medietate a b puta ad a gest sicut propor tio e ad medietate d agi δ portio quadrati a c ad quadratu a s est sicut proportio si drati e ad medietate quadrati d i ut prius quadratu e erit duplu ad qdram medictati, d se tostat qd ad quadratu medietatis d fit altis nuctus par dupl'ergo adratu e si nyn' & merui nue par δέ ipar eade habetes proportione ad eudedit si di P cos ns erut equalessicut γ' ergo nuer' i par erit o te equalis nucio mTertia conclusio. s I iuerit. 3. Iinee cotinue proportiosesseda lato poterior est pria ta Emponio tertie ad prima. Ex quo mammiu e u linea proportionaliter media stet diametrii & costa e icomesurabilis utrim in logitudine si mr 8e in potetiae Ista coclusio capit una pie euadet te a pria hui' cpti & alia a seda. amaen emit euidelia pro utitatib' coicat ':accipiantem. 3. linee. s pedalis bipedalis quadrupedalis qsim cotinue proporri ales is porportione dupla costilem interea e udrupla ad primastida aut q e dupla ad ipH pol iqdruplu respectu ei'um pol illa orima ut dicit pria propo cpli hui qre lato potetior e scda sup pri sita e proportio tertie ad primati Ex seda aut aercipit euideria pro icomesurabilibet.accipia em. Llineas qua* seda se li3 ad prima sicut diameter ad costa & slitet tertia ad sedasi cui diameter ad costa costat qd tertia e dupla ad prima ex tertia pcedetis coli collat et*qdiatu sede e dupla ad qdratu prie.ex secipiatis cpli .ectistis dis potetior e scda sup prima Ma est proportio tertiae ad pruna. Cor u m ex dimitione mee icomesurabilis i logitudine Spoletia. Quaata comissos I fuerint. 3. linee cotinue proportioses qd fit ex ductu prie stertiamine Orato mediet Ista exanthmetica lassicarie tu euidera i sitati P coicii 3 pedalis. I. r
- λ qaripedalis . . in ' :na sic est uniuersaliter verum in numeris cotinue proportiodalibus quod si alud P prouenit ex ductu minoris num in maxima equa vi aurarato meati mediri. Verbigia. Lq. S. sui proportionalia cotinue fin proportione dupla constat Phi S. s. &ser. g. ide facilit sed utitates coicates lint se sienum igil sit ter erit in illis qre i utriussi' i coicaties erit ide mod' Peade epotetici ista dc millis. Quinta conclusio.
s I fuerinr. q. utitates propnionabiles cotinue Φ fit ex ductu primi i qetu usi e ei recta lo qd sit ex ductu secudi i tertiu Et voco rectagulii figura altera ptelogiore q coemetur sub ab' lineis mediis in seducis Issam si
liter in numeris vi. 2 q. S. M. nam quater.S.&bis. in . idem facilitergo vera eum utitatibus coicatibus ergo re in aliis na eande ratio est.
Capitulu sextu de quadratutis. Ost predicta decesest ingere aliqua de quadraturis. N em aliqua figit,p ram qudiare area quadrati inuenire equale. Causa aut in quadratum est ista in figura Osdrata est cenioris messire u quecu alia figura: m. n. habes quod superficies data es duorum pedia quadratotu vet. q. aut scem alium
numetsi iam certificatus es demensura illitatis erus certatudine ultima propter Pgeometre inter est tractare de reductione aliarum figurarum ad hae quia geomeu εtre antiqui oes alias propter sui varietate i eam reducere cos uerunt 8cnon istam in alis:pona ergo aliquas coclusiones paucas de quacratum di incipiam a superficiebus similioribus quadratis re deduca cosideratione usq; ad circulos A sit prima conclusio de Mura altera pte longiore que in quadrato sinutior. Pruva conclusio. Cis
29쪽
Igura altera pie logior P medie rei inuentione & est ductu in selon; i q ras eratu reduc ε Medie rei laetione accipies in qrto tapitulo hui' piis politioe quarta. 0 ex quarta capituli Pcedetis habes ut quadratu in quod pol aliqua linea media est altera pte longiori date equale.Hee oltello est univer alis di geomctrica cita aiestat arithmetica qui si fuerit una latus altera pie logioris duo' pedu dc aliud. S. erit tota area Io.pediiqdratoN: qua si quadrare vellis accipias unu latus. q. pedu S ipin m se ducas ct habebis supficie udrata cuius area esto .pedu fc huius demonstrationis meracione trabes secudo de anima & tricio me thaplusice ubi Phus hanc quadratura medae rei inuetione vocatiqua medie linee inuetione habetur quesituita. Secunda conclusio. Rea magula equi lateri vel noclaetis equa est tetragono colento sub duas a bus lineis quas una est medulas basis altera vero linea diuides basim angultio basi oppositu dc totu magulii P mediu in seductis. si Illa manis, sta est statim expria coclusione inde magulis sit. n. tria lus equilatet' vrymacheles ab c 8c no est dra nisi quod in magulo equitatem uili latiis i distincte potella basis in y Iochele vero latus tequalitatis citi basis & ducatur linea d ad uides p mediu basim b c S angulua & totii magulii a b c oia. n. laec diuidit. dico tuc Narra maguli e ilis est tetragonismo colento sublineis ad N dc in seductis ducaeem una linea m alia & erit tetragonilinus a e d c qui diuisus est in duos triangulos equales per lineam diagonalem. a e & erunt in tota figura tres trianguli partialesti intre te equales sicut deductu est euidentre in capitulo yseperimetroν coclusione seeunda quare cu duo istoν sint omnes paues maguli plata & duo illo ν sunt omnes parte, tetragoni memorati manifestu est tragonus isse & tetragonus ea quales habeat area, u erat ostedendu & hoc modo triagulus in forma tetragonisim alicia parte longioris reductus est:quem si ulterius quadrare libuerit artificio pcedentis propositionis de medie rei inuentione utendum est. Tereia conclusio. a Rea trifiguli ora lateν inequalium equalis est medietati tetragoni contetilis duius lineis quas una est latus maximu eiulde maguli. altera vero est a maximo angulo eius sup maximu latus maede maguli Ppediculatim venies m te cL S. et igia:st triangulus gradatus a b e in quo maxim' angulus sita di maximu latus P pns sit linea b c re opposite angulo maiori tune ab angulo.aducatur inea a d nea culmis sup latus o c.dico tunc P medietas tetragoni lubduabus hils lineis contenti si equalis atre maguli & ecouerso Duca ena b e equalem & eque distante a d siliter cuca sc N pficiam paralesogramu in e fqd coema sub duab' tineis 23 e h que est equalis ad Ee b e q est maximu latus trifiguli pdicti regu erit hoc paralelogramu diuisum in duo paralelograma per linen a d re Ps3
paralelogramu divisum in duos magulos equales P lineas diagonales quaν una est ab N alia a csed ex penultuna Fri de triangulis est manifestu duos triangulos iuxta linea diagonale a h acceptos mi es esse in se sirim Salios duos iuxta linea diagonale a c led duo illoυ triangu o' hoc modo e tu sui oes pres triaguli pricipalis a b c & Iunt medietates locius tetragoni e b c f quare totus magulus a b c erit medietas eiusde tetragoni.diuida No huc tetragonu i duos latragonos Aldiles per linea g li S ait trigonus tetragoni atus & tunc habita medie im imieti
P prima hui' cpii erit trigon' pdict' udrat'u, doceri debuit A sic apparet propositio. Quarta conclusio gmeralis.
Mne poligoni u P resoluti s factas in tria los & p quadraturas factaso illos triasulcN. S demili P circularipti s gnomonicas in forma quaodiati reduci possibile est. De Fratura cuivn3 poli gomi i speciali tracias te nimis longii foret & difficile:& ideo eligeda est via in palicioribra modo autem resolumi poligonia ola in magulos habes propostione sexta cpsi de lincis. De modo aut quacuadi man tu rin suas spes hes in hoc m. Demodo aut circ strahendi quadrata sibi regnomonice hespropositione ultima cpli deqdifigulis mariuestu est ergo P cta media ciner Obgomu Posse udrata quare P imetu.
30쪽
Quinta coclusio de quadratura circuli. a Rea culii' circuli equalis est tetragonismo lub medietate circuseretio Amedietate diametri coleto. e Suppono vna .rpositione arctumenidis de mesura circuli & etriti nitu pelicio qm ea demostrare regreret maiore tracia tuu sit istud capitulu re e ista p oportio et Ois circui magulo orthogomo est muscuius unu duoφ rectu lateN Multi cotinetiu est semidiameter circuitia latus alteruequas linee cotincti circulu Est at Pportio linee colinitis cel, ad diametru tripla sex usepimanta P ita circi taetra cocinet ter diametru Aseptima Pte ei trahoc ut habes ab eode archim de in i icto libello. verbigra in circulo. a b c. sit a e. diameter cui semidiameter se a d re a puncto d ducatur orthogonaliter linea d erim ad equalitate cir factae circuli & ducat linea a e P ficies magulii a d e e et potuc intelio arciumenidas Q, tria id a d e est equalis circulo S hoc Gnostrat certissime ex quo p3 interei S ducar linea a se u dis latet d e R ducar linea se dista ter a d tetragoni muPficies hcs ιν palelogramu fc3fa d e diuisii i duos manu Ios p linea diagonale a eb illi duo tria guli sui mira P ltima detri agulis& cucul'
est uni eoφ eqlis P FG ais edis ergo circi P est rilis medictata illi' tetragoni diuidat igir illud tetragonu i duos tetragonos et les D linea s h R erit circul' es terutri eo, culis si ut, coni tetragonismo' cotures sub medietate circularentie &medietate dometri ciso circul' est e is tetragono sub lemicircuictetia &lemidiametro coicto si ergo Ῥres tetragon' ille reii cum quadrat'. Et hee deqdratius uiticiat Hales vrio. Dprio' cpla dei moe init tale argumetu qd circui drari possit sic: ce 'le figure recti linee udrati pol lue ois circui est inlis alicui filagure tecta linee ιν dic. in asor m 2a ois figura recti linea quadrari pot:ut docet in . prrimis. q. diniostration ' hui' cpli minor lietur P siniM archim dis di sie videt hoc totu .rna trecte ad hac coclusione qd circulus quadrari possit.Alia prohatione minoris tangit aristoteles poportiones lunulares si in reputat in aliis locis phie insumta cie R id de ea no curo ad presens.
Tractatus quartus de figuris solidis seu de eorporibus Capitulu primu de diffinitionibus di diuisonibus corporu ita hui' opis uticula est circa dispositiora solidoru corporu&hic et q a diffin tionit us e inchoadu Dico ogo corp'illud ome qd li 3 Iostitudine latitudide di profuditate: mesuratiumM diametris intersecanti esse orthogcnalita in eo de pucto Cme aut corpus aut una sup e aut pluribus superficia' terminari noc est. Corpora aut una lilym te tomimatas ovi titur rotum a Sine aut totudii aut hue ora lineas a coi pucto ductas ad circii feretia exiles aut noli prio mo est corpus qd vocat spera unde est spera corpus rotudum cuivis oes dicinem lut riles. dii aut nolis ora lineas a cin pucto docias equales tuc diametri nolui equales:autogo axis est logi Or c ris diametris aut no. si priore oest corpus otiate quot h3 fgura oui. si scdo mo sic est corp' leticulare. s.coi ' ud leticula di ct axe las breuior c. ste alia diuisio corporii multis ipficieb'cotitoruA: a totudis. Alia insularibus luPficae scotetasiit. Rotud aut lupfici corpora. Alia qu&ep tota ligit me corpulem lint e e. Alia no prio mo colu ne
actu de suellulindri vocatur.q aut regulariter minorata remunatur ad conupi
ramides totii de siue coni appellatur. Ex ist Sm quomo p dictis corporib' aplicatur ci1finitioes quas euesides ponit undecimo libro geometricis. qdsma est ita situs archi , circi Melle dini id si circuli. Et piranus e trasitus tria gula recta uti &coli pia acii nasi palae ogrami recta anguli Modemo pol distinui leticularis
ale si, corpus otiale est ri astus portionici semicirculo minoris corda ex fite fkaletici l Meeti sic s citioissimi circulo maloris suP corda fixa murore dilanetici
circulit Corsorii aut i latici institudine sup scio N S aguloN qda dicut conica mi in angulos re conos quos i fit ri hoN Oa lint equale glicie sis tota Iomfusire R dicui colupiae laterat Qqda aut uniformita minorata ad conii inmutant Rcicutur piremices latriae. Pr colurnas aut S piramides est tertiuum' conico* corpoi ii in quo reponutur corrora. s. re lana enumerata ua principio libri corpus lenticulare