장음표시 사용
31쪽
huius & de quib'insea .s tetracedron exacedron o cedron duodecedron γ cocedron. v tetractaro ad piramides re Macedro ad colupnas reducatur. Deno East incoliapna laterata q pii anus a multitudine sui fici siue latest i lii su erectarum circu circa basi circus cripta ut dicatur piramides nilatere q hsit tres supficies laterales & quadrilatere qlint . . R siliter colupna dici pol trilateta adrilatera re niuiti latera nueυ IuPficieN lateratisi no conumerando basim in piramide nee duas supficies teraramales in collapnae Coluptae aut pol sub diuidi in eorpus serra
tile & lolidu parali logranati R alia multilatera corporari dices corpus serratile colanipna trilatera solita aut paralelogramu colupita quadrilatera Alia aut sunt si cui colupna petilatera & eptilatera.&e sui aut cors serratile D solidu paralelogra
inu in geometria magis Vsitata quapropter prio de eis ansis edu est Com' serratile di qa s.subficieb'qua y sunt paralelograme& due trilaute eotinet & finde fuerit basis eius una supficieν triagulariu colume h3 sititudine si aut statua sub una supfici paralelogram tac couenit ei figura dom' siue tecti iuxta adapta
tione capam. Solidu paralelogramu di quod contines.6. supficiebus paralelogramis eque distantibus S i multas spridiuiditur ut in columpna cubum a te laterculum & corpus cuneum que nomina in arithmet ea ad numeros transumuntur Omnia autem corpora conica habent angulos corporeos siue solidos sicut supis
ficies plane poli gome habent angulos planos Angulus corporeus siue solid' estque eotinent anguli plani plures u duo qui non in una supficie siti ad punctuma angulare conueniunt & dico plures a duo quia pauciores esse non possunt tribus anguli plani qui angulum solidum continere debeant. si autem quem multitudianem maiore angulON planON dico P in minus statur ad 3. in maius n5 est status quia no tot pnt esse quin plures possint angulum solidis cotinere Rideo in talib'cil processus in infimium. quod postea aut dicitur non in una supficie siti perii aecipiendum est quod mutua aplicatio talium animio lanorum sit non directa conformiter ad illud quod supra dictum est in capitulo de lineis in dimitione anguli plani. minantur aute klida ad sup ex sup eram autem illa super E erigitur figura solida basis vocatur que autem in sublimi eriguntur latera apellantis in piramide aut punctus Oppositus basi m quem terminatur figure mi es verin ves conua aps ellatur. Accidit autem in pluribus & maxime in corporib' testulatibus. u, quelibet superficies sit equaliter apta nata esla basis pmptet quod tilia corpora figure multav basium vocaturre ideo iam inolevit modus vi y cedro
dicatur inu ra. m. hasim & conismiter de aliis corporibus regularibus cum in
quodlibet tale corpus de facto tantum unam supficiem super 5 statuitur habet so tum pro hasi Et quemadmodum solida terminatur ad superficies. sicsuperficiest iminantur ad lineas que lanee similiter temunm ad piictari diuidi tur linearuenm quedam tota iacet in plano &vocat bafis. Alia vero in sublimi erecta&sissidiuidinu harum erum quedam in que erigitur perpendiculariter R vocatur cathecus alia veto ad angulos consurgit inequales re vocatur ypotemita & hoc mastinaripta in in trigono ore gemo habente in plano basim & duo latera alia in aere teleuata. unde versus. Lmea protracta basis est erecta cathecus Extenditur ad me, in y remina duas desincis in comparatione ad corpora Iis notatisponende suntconclusiones & incipia a lincis secundum in linearum consideratio ad hane partem pertinet sit ergo lare cocla prima vixta diuisionem de lineis. Claneam rectam partim este in platio di partim in sublimi est impossibile. sipossibile est: ponas qd linea sit te
ab cui pars iaceati plano dc sit a c. pars vero Nolamitaliter stirgat theodmi perpendiculariter surgat rumis .essa simu a rati si ergo riparci illincto
32쪽
hi plano iacet puta a e alia linea in eode plano directe addictilex eassim patiere a sta pauial , conlargit puta b d erunt uni R e dem lineescit 3 a c. due alie limeatu e penitus ex eade parte adiecte quod in impossibile Ite ex hoc sequitur opa. situ petitionis quivile qucream costat ex bur a potin duci linearecta que notranseat per punctum e si ergo b c ast linea remergo due linee recte superficiem clauderent isto modo sumi poti st argument pro uaduri sibi libuian a sitata planum ciu insistat lineae d siue perpendicularito sue ypotemisialiter. tunc arguoi sie impolsbile est.e d linea habere parte in plano cu sit in subim erecta per piis theorema sed aliqui ipsius e d Ut m plano quia tangit planum &no nisi secunduat quid sui igitur est dare aliquid linee d in non est pars cius hoc aute nonis nisi indiuidbile ergo induasibileest dandum. Secunda conclusio. o Mnium duarulmearu se inuice latrantiuicomaus sectio est punctus Ista p*ex pretiussa pra pnam ccotrario'quonia ex opposito vula imito oppositu ili us sit eiulinea. 6 d mtersecans aliam lineam oblique ab que. est diameterm udrato si rasit ea in plus Q in pucto sicut dicut uda ponetes coli. anuli ebponit xii diuisibilab' ecculi saluare voletes quod plura lunt iacta in diametro E i costa cili logior sidiameter costaqd aliter lauarino piat nisi ponedo quod linea d tagit unu pinu in cossa tangit plura puncta in diametro si uaq coisDccto ii 'arii linean fit plus il punctus tunc e d sit planu & a s sit linea et e cta in sublimi&fg sit accio cois ergo cu fg sit portio linee erecte sequitur neccio istius recte lineeq est recta esse Pte in plano puta g f partim i subi imi puta g a P e oppositum conclusionis premisse. Tercia conclusio o Nnes due lime recte se intricates in eadesup ficie si te I ut. Ista probose:actin. tales due lineevie intercat iacet sup planu E se habet proposita em in eade extensasupficie si tessit:aut v na iacet in plano ct telica in sublua herecta est vel vitam in submu ercta est & siue si siuesic copulabo tem os earu meem ad inuice p. q. lineas .ectas ut si sit una earu ab altera e d eopulabo a cu e vilinea a e re sic de ab is enti lup es Uragularis ab c d in quasi te sui tu ea c ed quod fuit prohandum. Quarta conclusior . v Nam de eade linea numero in diuersis supficiebus si inesse polibilem GHecp3 P premisia: iaceati n. due itinee a b ct c d si te in plano S a coie seceione ducat cathessutiu& deorsu sece Gutraq; linea in supficie planam sites collatqdestineacstineade lupMicie cua b Sestineadesurficie rue dex eo
i una ct eade lineastin diuersis sup in us hoc specialiterno coligit iusi in tali casu.w ipficies seccat supficie ex eo. n. vnali est in diuos sis p e
bus quia iste supficies seccat se sup illa linea. Et isse coclusiones sufficiat rei quas deuentu est a pucti; ad lineas S P lineas ad suprascies S per stipei scies ad solida
tis igitur cosequerer dicanius. Cad lutei nudemgtius lolidis. I trna coclutio.
Rincipia aute solidotu videntur esse anguli solidi. accepta aut eoν prae diffinitione sit prima coclusioE Sitio anguli si perficiales angulu loli,
sunt maiores ista p3 ex clausular croi prier dices aqd tecti me br Rinu sie ut inter eosde traminos linea recia sit breuior u linea cumavelfracia findit inter easdelineas NMies recte cxtesa in breuior citrua supficie vel fractativoco stactura su D sciet vel hnee qn duebnee ves septicies tibi tui ce aplicate sis nodire mi hoc suptosito accipio angulus du tribus singulis staficialis' coicis usita, ct accipio agulu ltaficies sit axam' illo multa aetnimis ad duas liuos cocu uetes in pucto a rebuet duo anguli suputases tomimi ad easde duas lineas.
ure manifestu e ae iste due supines simul lupin sinusi una sus es rumavist
33쪽
cta no. n. recta h3 ἔiasione illa vero una recte protendit ad eos de terminosv3 ad easde lineas e si rectu est ili' aliquo vel cui vovet si acto sibi plei natabilites
F angulusque iter eas accepim' est minor duob' aliis anguli, ec ita quicum MPm iter accepti reliquo maiores eruti Conclariti m stati qua aguli laterales aligeristes basm cu agulis basis pilit i agulos solidos duos aguli, laterabb'ip alige, tib'vnua lucxagulis basis. Ex quo manifestu eqd sim supficiales similis iores Oibus ιllis qui sunt basis. Secun hi eonclusio. Mnes anguli laterales cuiustu piramidis latera te Valet tin utit cis anguo h l ins de ultra hoc quatuor rectos piae. 4 Ex texta propolitione capia. - tuli de lἱneis in prima parte huius libri hes quod oes aguli basis tot rectissimi equales quot sunt ipsi duplicati demptis. q. Constat autem quod omnes anguli laterales piramidis tot rectissunt equales quot lunt anguli basis duplicati pro quol3. n.angulo basia habes triagulu unu laterale na quot i ut anguli basis tot sut, trunguli lateratra re qui' triagulus valet duos rectos anguloS ergo sequat v, antiguli laterales valet plu4 2 anguli basis re excedunt eos in. rectis qd est pi opositum mei tiIeorematis. Tertia conclusio.
Mnis angulus solidus. q. rectis minor est nccio. Dicit aut angulus solio dus tantus esse uti sunt oes anguli plani ipm cotinetes qd aut oci illi aguli plani mutus valet.q. tectis et si essent millesies mille tequit euadet et ex duabus propositionib'smisssis statuat naippiranus multilatera&sta supremus angulus eius in quo Qfida propositu. accipia. n. exsecuda coclusone qd oes aguli laterales. i.oes anguli plet angulos basis excediit oes angulos basis pcile in. q. rectis. cu igit anguli laterales diuidatur in angulos qui attingiit basim & in angulas qui costituutiangulu solidii supmu a accipio ex prima qd anguli qui attingunt hasm sui maiores angulis basis relinquit ergo nccio qd anguli qui l ut ape a lunt minores. q. rectas 2 si pessent valere. q.rectos Pala ponat . accipiatur cu angulis qui attingui basin:led anguli attingetes basim valet tm situ valet anguli basis ct aliquid plus P prima igit ora anguli laterales addui sup Ces angulos L ass. rectos di aliquid pilasqd est impollibile P secunda cu igit ex opposito conclusionis cu altera bmissa' puta pria tequas oppositu alterius premiste su coclusiois lati eunde p3 quod illa prima illatio erat bona. No aut solii concludat hec demonstratio de angulis preamiae sed de quibuscul agulis solidis qm si accipias angulum
solidum ycocedronis. I. 2αsuPhcle triangulariu vel alienus corporici solidi regularis Sc suhtendas ei luPficie abscidente ipm angulu stat si, habes piramide di etitit demolitatio sicut prius. E t iram quod issa demolliatio viis est ad oem anguisium solidum, istis ergo apparet via ad demonstrandum dispositiones et natu
Capitulum quinum de constitutione corporum regularium
X supficieb' magulatib' tria tni corpora regularia pstituere possibile est e Tertracedro.n. octo cedron N icocedron ex l uPficiar in ues latib' coestut nec plura possibile est pstitui corpora regularia ibisti magulatib'. dictitur aut corpora regularia qequiangula lunt Reqvilatera S at Da P a se inuice citcsscriptibilia vi capanus dicit epropter H qd sint ex lapsu icti regularib' q siit euangule Nealatere hoc igit Iupposito patibit inret I possibiis . Lex.5. angulis inagul ON taliu coponi angulu solidii lex plurib' p pi Glam 2'. 5. anguli tales. q.rctos valet & plures valet apti' nec ex duob' tm polliHie est coponi angulu solidii P diffinitione angulisolidi igit ex tris' solii di ex. q.
R. . talibus pol esse angulus lolidus. cu ta . . . . u. F.deficaat αὐ.rectas ct ideo
t. . t. s.anguli lapsciales ad coponendu angulu corporale cocurrui. En igie ex trib' angulis manguleυ regulanu fiat angulus salidus luc H quod. q. sin t tu Nerficies magulares ua corpore illo propter Plattacedron Nucupatur a tetra ca
34쪽
mm triarii latita gulos. Idicti igitur ex illis fiant anguli solidis sidium temni
OS α m. Ita uni. q. t marii marusestu est quod. g. erunt ibi anguli solidi Si autem. ψ. angulis triaguloria fiat angulus solidus tunc oportit quod fuit. S. trianstuu in illo corpore & ob Iroc dicitur o cedron. in quo conflatin lunt sex anguli solidi initio corpore. S. enim triangula trabent angulos. H. cum enim scurro Q. ce illis concuriant adc6pone dii angulusolidiana&.2q. sint inccies. si clariu est quod lex et ut anguli solidian illo corpore. Si aut . s. angulis trianguloru fiat angulus Iolidus tunc o3 quod in illo corpore sint. D. supficu S triangulares undimviri ad lentu i corpibus taliter fabricatis unde S vocat ycocessio. L2orbastu ficol ita qd erui.Ita anguli solidi in toti corpore.2o. em tria li lint fici angulos. oeg
tui illiscoponatur Uulisolidi finquinatiosSimo intutaquinariari iulcitu est P. u.erunt anguli solidi in eo & P hoc habetur via clara ad fabricadu talia
Halym. n. quod sit exossi' quadratis suPMIAE': angulus' alit quadiati rea est igit tm 3. anguli tales colum postat angulii corporale facere :na si addae iam noctit angui solidus ex eis. viri ex conclusione tertia. Si ergo 3. anguli quadrato': cocurrat ad uulu solidu causandia tuc in tali corpore resa.c. luptates quadrate. sicut est in taxillo. & hec figura cub' vocatur R ex acedron ab exa meceu e. o. latine de cos lato in tali corpore. 8. sui aguli solidi. Tertia coclusio e X sup ficiebus pelagonis viis tin corp. regulare coponatur. Ista statun m. na cu ansulus pctagoni regularis sit maior agulo quadrati sicut p3 ex ' Pria Ne nui' Spori . O .cpri de lineis mcd miti' pol Iit agui' solidus costare ex q. an iis pelagoni regularis et ex ψ angulis quadrari. cu ergo no pol collat exutis.ergo nec illis. . cu sint maiores: m igit ut solii tres agula pelagoni c utrat
' tintiata tematis io ncce e vi sint. 2o.aguli solidi in corpore tali ct sic ri probatio.
P Reter quilas corpora regularia predicta impossibise e ut sit cors regulare inultilateria. dico aut multilarem propter tra q regularissima capacisssia α uniformissima e Os nata e in corpies re. et Coclusio m qm post peragonii
sequit exson' in ordine figuravim sup ' --sonis no inpossibile qd sit aliq figura regularis P nullus angui' cor Palis pol fieri ex angulis taliu exagono noue propter hoc qdH.aguli tales valet. q. reciOS.cta O . 5. aguli exagoni valet. S. sic ex pria pae notu e:cii Cis lita' agui Talis valeat. Φ. rectos ex lenia epiti, cedetis:Sagulus coi palis n5pot ee ex pauciorib' Q ex trib' angulis ipficialis' sunt aguli exagoni. ipolssibile e qd fiat aliq figura regulatis ex ci&ergo i pnn cpro
inuestigauim' breuiter numerii re dispositione corpori: regulanu per euidentiam de monstrativana per quam etiam patet fabricatio testu corporum. Capitulum cuintum de loca repletione.
Onsequenter ad ista videre M de loci repletioe S q de corpis regulam e hus locii replere nata sui e Circa hoc aut negociatur ta methephisici Anaturales.queadmodu notu est y ann intro celi & nitidi & p cometatitore est:& σptet hoc arguit utilior hui'rei Pilia. H aut recipe repletione loci in solidis propotionabiliter ad replcctrone loci i planas de u dictu e supra Pte pria cpso de lineis sicut n. ibi replere locussi occupare totu spatiu qd circus lat alique pum in plano qd fitet. . tectos agulos m Mima ves i valore sicut ibi dictu P.ita & hie plere locv. est replere totu spanu corporale qd circuslapi ictu sup que itersequat sedi linee ad figulos rectos Et dicat metuis. qd paucitas sup teplinu sua loca
causa est paucitatis corporu replerum sua loca . scimus te ex ptima pane huius labri quod tantum tres ligure superficiales regulares scilicet triangulus quadranseus S exagonus replent lociam propter u videtur meruis ponan-tantam cui a prianus ins obdis replant locum autas cium in corporali repletam cor es
35쪽
Dondet Urazo in stipliciali repletione quia cubus it ex litiails sup fici iis ,
cularibus A piram is corres det triangulo regulari quia fit ex triangul: s. sed susime exagone no corres det figura tertia corporalis reples lociam q ni ex exagoniis non est possibile aliquod corpus regulare constitui ut patet ex precedenti ea, pitulo demonstratione vitinia. Sed i ecnon est m si persuasio. dico ergo quod Iecundum vetitatem cubus replet locumled secundu opinione auerui spiramis etiareplet locum. Ad lindam aut certitudine de cubo plus valet experientia vid ni enim ad sensum K ad expientia in octo cubi co gregati circa unu punctu totuspatvi circa im replent ad oem dram positionis. si . n. intelliganaus. 3. lineas in arte inresecantes se octogonaliten sicut apparue m tribus paleis sibi mutuo plicatis qfaciut. u. angulos rectos sicut p3 inter illas lineas supius intercipietur. H .cubi si, ne interuallo & alii. g. in erius co similiter ita quod lupra sectione. Φ.8c inita etii q. R ita. 8. cubi tota spatiu occupabunt. Est in tiam ad hoc ratio satis cogens nivi declaratu est in alithmetica si cubus ducatur in cubu produretur cub'. accipiatur ergo corpus ciaucu S multiplicabo talia corpora cubica lecundum cubicumnum est gra secundit.S. qui est primus numerus cubus ex illa ergo propoliistione arithmetice si coponatur illa. S. faciunt cubu. sed non faceret cubu nisi replerem locu circa unu punctu que oes attingunt manifestu est qm aliter magna eri I r leparatio adinvice extrinsecus. misgo ut locu repleant. Sed si obice es quods ista ratio concluderet sequeretur quod. 27. cubi replerent locum quia. 27 est num s cubicus di ita de Oibus aliis cubicis qnod est manifeste falsum nam si . s. replent locum impossibile est plura vel pauciora corpora concurrere ad repleradu lo'. me sicut inlapsicles us quia. s. trigoni. 3.exagoni. q. tetragoni replent locii impossibile est ut ex eis plures vel pauciores repleant locum & dico ad illudquod in proposito locus dicitur repleti quando corpora repletiva χoncumit de eotingunt unum punctum ita qnod non sui scit ad repletionem loci in proposito quod n5
intercipiatis vacuu siue lepatario uater partes. sed cu hoc requiritur quod ista cor, ra c Otingant unu punctum in melot nune autem cubi.ου .sic excludunt vacuusiue separationem paritu ui quilue eo γν transmint angulum unum ad coetu puctii in medio sit tim Q non facit quisl alius numerus cubico' .ex quo ri quod ta, tio predicia sclum habet locum in octonario cubo S in nulla alio nuero siue cubico siue non cubico. adhuc alia instantia siue ambiguitas soluenda: si essi. S. cuhi replet iocum.s octo angulis solidis concurrentibus ad unum punctui cu quil3 talis anguius solidussit ex talibus tribus lificialibu s angulis rectis vξ quod ad te
Pletione loci requirantur. 2s. rectimam Let .S.lunt. 2Φ. nunc a ut tribus lintisse intersecantibus Ic lum. I 2 apparent angula recti ut sirpta dictu est. Ad hoe dicendum est quod in i orporibus congregatis circa Vnum punctum semper duo anguli lupistiales duplost anguloν corporalium coniuncti sunt secundu profundia scideo ni, plus faciunt duo u si esset unus solus. De piramide magna est altercatio maueruys ponit PII. piramides reflent locum. Propter hoc in. u. anguli pira nudis vruciat. b. angulos cubotum igitur ita replet locum una figura sicut de alia assumptum probatur sim quilibet angulus solidus piramidis est ex tribus angulis supellicasibus qui valent. I. rectos qui abet enim est tertia pars duoix re φ ergora. tales valent. 2 . rectos sicut octo angula cubi N. Alii repreliendunt avem Hinhoe dicentes quod non minus viis replent locum di allegat experientiam Pse Rhoc ut satis rationabile quia ex eis resultaret cc us . to basium quod voca euocedron. εἰ si uitelligamus lubili maginatioe laocedron diuidi in piramides ductas lineas a singulis angulis cuiuslibet basis de. 2O.bas S eius i n medium i pagus corporis videtur resultare viginti piramides. Et ita videtur esse veris milior tentia eorum qui dicunt viginti pyramides posse replere locum. R omnino certum est ratio auctura non procedit. non. n. Valet pna anguli supficiales. II. piraα dum valent angulos lupficiales. S. N igitur tanta corpulentia est sub illis sicut sub illi iam Italle. n.es O angulus iid'mioris eo utent te cotineatur sub tatis vel maioribus angulis planis sicut minor. supficies cotineti potest sub equalistas vel maioribus lineis ut in secia da Ne demortaratu est propterea si valeret ta tio metuis de piramide cocluderet necessario de o cedron quia repleret locum quod ni nulla op o nec ipse instineses dicitiangulus. n. solidus o cedro coa
36쪽
tincturae, ingulis magulo' regulariu.qpropter cu tres de ilias valeat duo reactos & unus una tertiam duom recto sequitur quod erusianguli valent. S. angulos cubo'. valebunt enim tales.' primo. IS. rectos re remanet de quoi 3 unus angulus:& ita. s. sunt anguli plani remanentes qua valent. 5. rectosagitur omnes valent. .rectos quantus est valor S. anguloru cubicoN. Item sita. piramides replereti locu sequeretur quod ex eis resultaret corpus.Ita hasium mangula coagregatis ipsis circa viruin punctum:quia de qual3 piramide esset unus triangulus in superficie illius corporis. 8ccinia isti trianguli essent equales & regulares oporteret tale corpus este regulare:& ita preter.F.copora regularia esset lextu corpus regulare. cuius oppositum demonstratu est. m. m. piramidibus si repleant locu aisuis detur probabile non est in viqiquat certia. quia qui diceret. S.piramides replere locv:diceret similiter ex ipsis resultaret corpr. S.hasium si vocatur octo dro& item ipsum octo dro similiter resolueret lubtiliter maginas in.8. pira dea Si tamen constaret quod piramides in quas predicto modo resolueretur ycoces dron essent regulares.Iam non videretur res esse dubia:sed quia pervia disputatio rus non possumus pro nunc ad plenam certitudinem deuerum ideo reliquuta ad
prestas illud vidisti tam Capitulit sextu determinat de spera. Vnc post tractatii de coiporibus poligonis regulatibus tangedu est alisn quid despera.que est figura regularis simpliciter Hulamus maximam talis&perfecta incipiedo a diffinitionibus. & subivinga coclusiones de
circulis in spera significabilibus sequendo dicta vaeodosii L. Secundumergotlieodosiu . spera est figura solida una tantusuPficie colentae in cuius stipe ei medio est punctus a quo omnes linee recte ducte ad superficiem eiusdem spere sunt equales & hic Micim punctus diciturspere centrum. Hac quidem diffinitionem coprehendit arastorei breuiter quatio & septimo metiraphisice ubi dicit spera est Muta solida remedio equalis. Secundu theodosiu diameter semest linea transitiens per tria spere applica1 extremitates suas superficies spere ex utraq; Pte. Axis spere est diameter ei cim spere:que cum spera circa ipam diametra volvitur fura manet Axis aute extremitates poli spere nominantur. Polus circuli inspera signati es punctus exsis in superficie spere. a quo omnes inire ducte ad ipsius circula cirserentiam sunt equales. Circulus in spera per centrum citare dicitur in cuius Linficie centrum spere consilitiei mili in spera a centro mi taliter distare dici tur U. Perpediculares Imre a cetrospere ad τὸν omasorii fiam fieres cuine fuerint ad inuicem equales sicut duo tu pici. Plus te circulus ceno distare dicitur superculius iupeficiem cadens linea perpendiculatis est longiori & nota. quod circulus in hiis diffinitionibus non accipitur pro circunferctia tantum In superficie convexa ipsius pere descrapta. sed pro circulari superficie plana transeunte imagirabilita dispere corpulentia & ad circunferentiam in spere superficie des cras tam terminata. Angulus speratis dicitur angulus ex duobus arci hus in superficie spere prouenies Angulus rectus speratis dr angulus intra duos arcus interceptuS omnes interaceptiones arcuum equales fuerint. Augulus qui recto maior est obtusus dicitur qui vero recto minor acutus appellatur. Circulus in suPficie spere descriptus suo circulu inclinatus dicitur cu eo in intersectiones fuerint secundia angulos mequales. inclinatio aut αν dicitur dissemitia recti anguli & circuli in spera suo alios. circulos equaliter inclinari dici tur quo inclinationes sunt equales. Magis aut inclinati sunt qucν inclinatio fuerit maior. minus inclinati dicuntur γου incliti
natio minor fuerit. Spera supficies cotingere dr q spera tangit in Furup ptem fuerit protracta eandem speram no seceat.sit ergo pria cocluso de spera tangente
planum que est apud ureodosium tertia & est talis.
s I spera plana superficies contingat in uno 'puncto lassi co gerenae est Ex quo manifestu est. multo magis spera a spera cotui in pucto ESi enim implati contingat u in puncto. aut igitur m linea aut in superficie. &siqui Min superficie: cesse viri et in imo contingat. quia superficies non est sine linea si fit i linea cotingati ia redit demostratio quarti csi de circulas q probat circulsi
contingere laneam in puncto solii. Si aut spera i tata planus et lunam a cenis
37쪽
dit, spere que sit a ad terminos linee sin qua spera coringit Hamrq sunt. bc protra
m: a d. linea incidit. c b. linis orthogonaliter aut no. si licerit in utro* in illa tingui' d d di cius S p coseques in istis triagulis erut latera. a b. R. a c. logiora latere a d. per totia capituli de triangulis cum maioribus angulis in illis manguis, lis opponatur. Si vero a d. linea non incidat linee. b e orthogonaliter. tunc augulu3 obtusum facit cum linea. b c.&ei in suo magulo maius latus Opponitur per eadem intia' ex quo sequitur quod 3. Is nee venientes Ventro. a. vlsi ad piacta b. d e. non sint equales. sed illa tria pucta sunt pina circuferetierigitur in spera lime
venientes a centro ad circularentia nosit equales quod est oppositu3 spe & ciuilli diffinitionis Cortelarium despera speram tangentem manifestem declaratioone distinitionis. Secunda conclusio. v Nam spera. II. spere equales circumsite contingunt. Ista Ni3 est ma nifestis ustima cpri de circulis. P em .ci. spere orbiculariter applicetur
spe principali. p3 p illa ui si signetur circulus maior in spera qual3 tuc erit demonstratio ut prius sed qui spatiu est utrobiq; iuxta latera illiv. o. siperatu ordinata in circuitu spere principalis. faciliter couincitur ut non nisi. . spere in uno spacio&.3. in alio capi possint &sensus hoc inducat. na cum ferimus. . speras decera esquales vadebimus quod . r. sic possunt applicari circa tredecima ita qd quel3 ilitarii cotingat eam in enus & cu hoc quattuor de lpens lateralib' ut sit contractus iussi bet speratu lateralium fin. .puncta que sunt te tru diametrorum seccanistrum se lateraliter siue orthogonaliter m vno quoq; nisi quia apud terminum unius diametri qui est sextus puctus non est cottactus quia superius alias speras non contingunt. Post hoc ponam coclusiones de circulis m spera sigruficabilibus αetit illa que est tenta in ordine Tertia conclusio. I m spera plurimi circulis eiuris qui per centrum spere transierit ommb' erit malor. Reliquoiv quidem. hiiquo inrtudo a cetro lis fuesa ordin Pt ad astrononi a Q couenienter ni spera celesti vel materiali Messe spetira represetate ex lificarim t. siet ri in spera cesini plurimi circuli signati sicut min spa materiali. eoru aut q quid P cetru traserit aliis sui maiores sicut eqnocialis S 3odiacm colori & lamoi: a P cetru transeut & sunt maiores tropicis di circa articis qui P cetru spere non traret t. Et isto*hii quid sunt les quodi logitudo a centro equalis est duo tropici R duo artici. In equales aut sunt quou logitudo a cetroest inequalis & maior cuius longitudo a centro minor est minor vero in longitudo a cetro maior. sicut m accipiendo tropicu cancri & circulum articum Rccipitur aut hic circulus non ς circuierentiam ted o sup ficie cuculari sicut in Precedin capitulo repositii est. Ex ista propositione accipiuntur ille diffinitionea maioru 8c minor si circuloν ispa materiali l. qd maior circu in spa M.q descripsmiuinae spere sup eius cereo spera diuidit in duo equalia mior vero qui diuidie ea in portiones inmies. Ex illa etia accipitur numerus utrobiq; circulo in spera materiali quia maiores sunt.5. qui so tri ut per centru spere. minores avita . qui extra centis transeu Tla domatit no limitat hos aut illos ad aliquem deterini tu nu . qua coclusio sit de m distatiM. Quina conclusioc Irculi equiles R eque dii lantes in spera nolunt nisi duo titi in tes vesro S ineque dis antes infiniti. Crentu aut eque distantiu eos de Ale polos
necesse est CPrima ps sequis ex premissa. uales ussit circuli quoν logitudo ε
qualis a caro vi dicat pici issa.hec aut logitudo mensurat persediculares lineas a centro spere ad ipsoν circulis superficies ductas P diffinitione euliter distatiua centro tales aut p pedici lares respectu eque distatim circulotu a caro no possis esse nisi due q coiuguntur in centro & una recta linea faciut ergo. die. Istud i ciam mm circulis spere materialisma tropico cancti nullu equedistate cui ulu pocille est esse equale ius tropicii capricorni & si l)tet de duobus circulis. l. artico R ataiticona circulo anico nullus in spera est equalis nisi cireulus antauicus. Quod autε in equales & m m distantes possunt esse infiniti manifestu est quis in spera mate
38쪽
' ctus in supficie spere a quo oo linee recte ad ipsius circuli circi serenti aprotracte
sunt equata. nunc aut quicum paraleloru accipiatur in spera constat quod omes linee ducte a polo munda ad eius circuteretia lunt equales. Quinta coclusio sit de circulis contigentibus. Quinta conclusho.
. e Irculoru se cotuagentiu diuersos esse polos iacce Minitiliam tu poli in - uno circulo transeute per locu contractus e Primaus in qm circuli sese
cotingetes in ossius locis leparatur nisi mpuncto cotingentie vel cotrictus.pet in: 3odiaco re tropico qua tantu m puncto tropico incontingui. accipio ergo pol i.. rruns curiali puta potu mussi qui cil polus circuli tropici. quia ab eo .ptlacte linee, . Mi tropicu sui equaleslinee perpoli diffinitione. si agit puctus iste sit po 3odiaci sequitur quod tua re ab eo ducte ip ad 3odiacu sunt equalis. hoc aute apparet Elafalsu adsensu& facile em deducere ad impossibile cotria cete cuda pars phna polus 3odiaci est in eode circulo cum polo msidi in circulo sim qia uasit per ocm contractus Placidc tropici. hie aut circulus in colum soliticioru si tot iiij a materiali. Sexta conclusio est de circulis ide mi ecatibus in si ra. Sexta conclusio. I alique circulii maiorem spera circulus alius per equalia diviseriti et quo qi diuidete de maioribus circulis esse necesse citu, si orthogonali testat, equalia su ad angulos rectos diuiserit:Wril per polos alterius trusire conueniet. Priina Ps m si . n. aliquis cuculus aliquem maiore circulii per equalia diuiserit os quod diuidato sup eius cetri centrii aut maioris circuli ut spera est centra spere quapropter o3 qd talis circulus divides traseat P centru spm ergo erit circia' -α vir in spera P leuia hui' cpli Se daps ri si hoc quod diuidit ip peuliadaudit vim ad angulos re scu mutuose diuidam orthogonaliter & D equalia mutuo qum per suos polos transibunt sicut patet de duobus coluris inspera et de a.terutro colorum et de equiraccita circulo & sic de aliis similibus.Ex hoe pi, quod in spera utare per polos re secare orthogonaliter & diuidere per equalia cotimsi tui nccio & inu illarii altera antecedit Mevir de hoe multu H ad noticiacit' & occasus signotii in astronomia sicut alias declaravL Septima coclusio desequetra erui decuculasquctu unus est inclinat' sup alia isti sunt etiam de intri Jrihusiperam. Septima conclusio.
G Mnis circulus maior secans circulos quoscii pequeditates in spera εἰ inclinatus sup ipsos diuidit eos ora m euas portiones in uales binium maiore qui eis equedulabit. α Vna que Pr Una apparctui illunt inter cit, culu maiore ex eqdisiatis' ia polum ma limita scinicirciso maior cii At vero laeam q sui inter dem maiore circulii re polii occultu est semicirculo minor. Coalis teme vero pomones circulorii equessistatvi ct equabu aduruice eulis sui es istam propositione theodosii breuiter expono in terminis Ee hoc sufficiet maior cucurinclinas est 3odiacus vel oribo obliqv equedulates circuli sunt cuculi ymagulatimur tropicos duos quoii maior estequinoculis quos ora lectat 3odiacusvi ori35 liquus adponaones inequales preter e Imcialem. ElpOmones q sunt v v potu viticii apparentes suprasunt maiores semicirculo. portiora vero no apparito vero polit antamcii lut inmores scina cuculo.sed coaeterne portiones circui
. quia potiro pates ex una parte equinoctarct potiis ad tanta distantia equales sunt.&siam speranoetium diuersis treotib sequitur igitur quod tu equestu lunc inde sunt equales. ctio latens ad alia Ptem equin tali
insidi arcus isti sunt arc' die ii &noctium diuersis tepotim' sequitur iritur quod dies 8c noctes sunt inequales: fc ex ista propositione potessit patere ea que accidat circa irilitate dictu de noctu i diuersis anni teponti'. Octaua coclusio. e Vm in spera duo circuli maiores se inuice secat si ab alterutr eam se onii ex utroq; eoru duo arcus equales adinvice separentur quos pumsecarionis eois cotinuat rectas laneas aeotu extremitates cocinuat oportet esse rite Cristi gra sint duo circuli maiore ecates se in spera. s. equinocialis&3ovia puncta vero semonu sint puncta equin alia. Accipia tunc alteris puta mansecclonu puta punctum arietis re sit a. di accipiam duos arcus equalis in Iodraco conte tirunatos ad aput a signum plicium.&signum arietis Sc accipia in equinosciali duos arcus equales copulatos ad in sint b a B cae& b ae coire odeat in piscita a c. signo mens tunc dicori s ducatur una tecta linea a pricipio pisciu ad
39쪽
xpparet quod tanta est declinatio solis insignis australibus cita est in septetrionali
, Scul olestuanae arietis tanto declinat illo In principio Pisciu ec sic de aliis. - . . . Nona conclusio.
t Iicii us maior in spera si suo estu circulu maiore fuerit inclinatus: ea ruarii ex una qualibet quarta cuculi inclinati cia' principiu sit alterar ita pucha duaru sectionu duina' arcus separati equales cotinui ars cit
a culo in triaiora a polo alterius per extremitates hoN duos: arcuu in ipsius circuierentiarn cadentes ex ipla circularentia arcus uiriuales abscindunquorum ille est maior qui erit ab eo*sectione com m remotior. erbigratia. Fdiacus inclinatur sup equiri alcimaior circulus inspera luP altu maiore de 3 diaco: accipio una quarta illis. qne est a principio metis v 3 m fine gemino να ex hac quarta volo: arare duos arcus equales pluvios ξc suit duo signaariore friurus.volo tunc quod descendant tres arcus circuloν malosya polo mundi quies Polus equinocialis per tria pucta illo 3r arcuum sc3 per primu punctu arietis RPer prunu pulictum tauri 6c per prima punctum geminoν usi ad equinocialem cuculum isti tres arcus sic descendetes apolo mundi in equinociale P tria puncta Pledicta ab uadentes equales arcus a 3Ossiaco abicindunt ab equinociali arcus in equales quoν ille est maior . est a comum sectione. La puncto arietis remotion o quo A quod arcus equinocialis qui abscinditur cu tauro est maior arcu equinociali qui ablanditur cum ariete. silmiliter arcus qui abicinditur cu geminis maiorestera qui abscinditur eum tauro.& hec est ratio quare signa cum equalia sintssi ut equales habent ascen siones:quia equales arcus de equinociali circulo habent ne, cessano equales ascensiones. quia motus celli est sup eius polos & es equalis S unio Ischine aut est in cum equali arcu de Iodiaco oritur q plus qnq; minus de equinociali circulo. sicut conuincitur per hanc conclusione ciudenter iami, coplet est quarta pars huius libelli. EEt sic est finis huius operis. . .
Recollectio omnium proportionum numeralium. Nnis proportio aut est equalitatis aut inequalitatis. Equalitatis octo tio est quando due utitates equales adinvicem coparant vl..2.&.6 α sci. .Rc. , topomo inequalitatis est duplex 23 maioris inequalitatis S minoris .Maioris inequalitatis est O maior terminus precedit re minor subsequitur
Ut S. ad. q.mioris vero ec eris. in proportione marinis inmittatis si maior te minus excedit minore eliquoties dr proportio multiplex. us species sui dupla
tripla ripsi M. dupla proportio in qn una uritas cotinet aliam bis.& tripla ivna coimet alia ter. H. S. ad. q. s.ad. . Si Vero maior terminus cotinet π iore malum semel di cu hoc aliquid ultra P mdiuisum est in aliquot amiotis luces prosportio surparticularis. v . M.q.Cuius spes sunt lexqui altera sexquaterera lexa aquarix ergo si illud aliquid quod maior terminus cotinet ultra minore sit medietas mi s. termini me vi proportios quialtera vet interi6.αq. & si sit uitia padicit sexmettia ut inter. S.&.o.&sic de aliis.Et si maior inminus cotinet mi ore
solii semel&cu hoc aliud aliud P indauisum no est pars aliquota intons. iac drpis mitio supparties ut Lad.3. Cui spes sunt suPbipta stercias suptripartiensqrtastia si illud aliquid et indiuisum no. pol este pars aliquota miotas. diiudai in duas dies aliquotas minoris vocabitur proportio su a parties et si in. ydi supertriparutiens. Sc. ct tunc co cruda est quel 3 isti partium vel trium Vel. q. quota pars est riuoris . termini quia si sunt due re quel3 est tertia ramiotis voca turpi portio susi partiestertias vel sumitertia vel in.s 8 3. ε Ιαε 6. di si sint. . Presoc ques in quarta pars minoris. vocabitur 'porcro stipitipantesquartas vel suPm arta ut uater.γ.ε q. t.2γ.ε . u.S sic de aliis. Ex prima ista*t ex multiplici Rex duabus reliquis componuntur alie due species proportionis L 3 multiis Plex stiperpani Maris.& inultiplex superpartiens. R iste due species non diffinita superpat taculati di superpartienti .nisi quod ibi maior inminus continet mino,
--m IemeIsed in hiis ad minus bis et aliquid ultra. quod si illud aliquid sit
40쪽
mediem minoris dicitat dupla sex altosed insiliit a pars dicitur duplanxqui tritia& sie de aliis speciebus multiplicis supparticularis proportionis vetlagratia. ra. ad . in propculo multiplexdupla superparticularis sexqaltera aut dupla ex qui altera I aa G. est dupla exquitertia. Et eodem modo dic edum est de multiplici suprepartienti ut mi π.M. S.σ.est proportio dupla superbitertitie cdupla xquialtera Iq.
interor. u. Ir. in duplasupertriquarta.&sie de alis. Et nota quot modis dicit proportio maioris mequalitans tot modis dicitur propolito nui oris in ualitatis re in tot species diuiditur que non dicterunt a prioribus spectebus nisi propossita hac plebositione sub. Deo gratias. Tractatus de quadratura circuli editus a quodam vestiepiscopo ordinis fratrum minorsi Proiaemium. Ristoteles in eo qui de cathegorii dilibro inscnbitur dicit. q iratura quidea circuli scit ilis est scientia aut eius nodu lueta est Be impletili locis reprehendit multo, re magnos qui hoc de strare conantes moimiter et aversit Nie veto quadratura circuli demonstratur δέ primo pmittunt. codusiones N probatur. secudo ex hiis inducitur re cocluditur quinta principaliter intra V Prima conclusio. i Ineu orbi lariter ductam bina diametro in. 4.equalia secare. E Diameis ter est linea recta ab extremo in extremit per cetra ducta diuidens figura in duas pire equales ut m hic in prima figura. Sivero duo sunt diametri sese uitersecates in centro ad angulos equales diuidunt figura in. .ptes ut hie pso sedus es dicitur es t diameter abdia P est duo remetros inest me ura. quin ον mensura. s. duaW medietatu. CSecunda con o Inee orbicular ter dum linea rectam equale dare. CI uina mathematis eoru Tteria &phisica veritate circulus diiudi rurin. 22. Ptes qua* una remota in vicesima coda Pte tenia ps sume remanctis e diameter circuli so septenari' siue.τ tripleturigo diameter re addesse iacia metri ps ordinetur*ptes huius in recto εἰ hebitur linea recta lis circuli linee visic liquidu est videre.
I Inea tecta in . q.equali A lecare. sic ri fiat circulus uiuis deinde Kricino no restricto nec ampliato sed stante uniformiter ut prius: ponat pestimes i citchferina εἰ ducat re scdus circulus constituas uin duobus locis inter seccet primu&iter seccetur ab eo transies P com primi. de hine ducatur linea rectarer abo cetra ab extremo in extrema Vinu circuli & hi termutabit laee linea inciresseretia secudi circilli. ponans pes msbb dispositiorem Stadventurvetere iis circulus co statuatur qui in duoes locis interse re scdm 8c intersectatur ab eo cotinetens primu Be centru sdi. trahaturq; predicta linea recta usq; ad circulariatia tervi circuli ut p3 in figura pnti. Producta ty linea recta mansiens p tria cetra ab extris primi cuculi ad extremu tertii diuidi i m. A. pleis es.na due Heshdicte linee ait in eode cireulo a cino ad circularetia ducte ergo Iutriles &qm cum vni R eidestit milia Ma intersei utrilia. πgo ql3 Ps linee in uno predictoν circuloru cincta emiis il3 ali pii linee i do circulo tete Ite pi fieri alio modo fiat circul' unus dcinde pede circini no diuersificauposito i circuseretia eiusde circuli .reliquus autem pes ipsius circini non Variati protendatur extra circulu supradictu ibim fixo centro ducatur ut secundus circulus constituatur contingora primu in pu . possimi in plicto cotingetie pede circius no mutati ducaturali pes circini ut tertius circulus costituatur Hice secas duos Dictos circulos uasio Deor etra: ita trahatur linea recta P tria cetra q sequatucin. panes diles ut manifestu est na ol3due pera. M.ut supra . M in.hac figura. Quatra cociusso e X quattuor rectis liticis Ulibus. quadratu costituere. si Hoc quid manifestu est & mlulominus pol demostrati sic suit. due linee recte sese i t apite coligetes ex quaN cotractu costituatur mic' angulus rectus. deinde ponaturpes circini in cotractu ipsam lineam reliquus vrio pes in capite alteruis linearum predictam ducatq; v i ad caput at mus linee nec circul' copleatur sed coplatusntelligatur sicut patet in hae figura. deinde pones pes circini no variati in capite