장음표시 사용
11쪽
A B rotando impingit in punctum E, debet congruere cum A E . Est vero A B in superficie conica quam producit 3 ergo & Α E in eadem jacere debet. COROLLARIUM ILEtiam recta AH, quae jungit verticem coni A cum aliquo superficiei conicae puncto H, j cet in conica superficie. Quippe cum recta AB, quae rotatione sua gignit coni integram superficiem , transeat per quodlibet ejus punctuna , transibit quoque per punctuna H , proindeqssa coincidet cum A H t, ergo haec quoque erit In conica superficie , ideoque producta , attingetb sim in puncto E. COROLLARIUM II LAt si HI, quae non transit per verticem c ni A, jungat duo puncta quaelibet H & I eiusdem conicae superficiei, tota debebit cadere inistra conum. Quippe si iunctis ΑΗ, ΑΙ, quae ulterius productae attingent sa) basim in E& B, agatur EB, haec intra circulum tota b cadet; ergo etiam triangulum E A B quod transit per EB, secatque propterea basim coni, necessario immergitur intra conum. Sed recta HI
quae secat binas A E, AB, positas in plano sotrianguli E AB, est in trianguli ejusdem d
planos ergo & ipsa immergitur intra cocum. DE si NI Tro ILRecta AC, quae jungit verticem coni A cum centro basis, dicitur Axis coni. Quando axis est rectus ad planum basis, conus vocatur R esus 3 quando autem est obliquus ad planum basis, conus Scalenss dicitur.
12쪽
Si conus secetur plano, quod per verticem ejus transiit, inde genita sectio, erit triangulum rectilineina. Conus A DEB secetur plano traducto per Τ a. verticem ejus A, 8c per duo puncta quae- Fig. x. Iibet D & E circumsercntiae baseos DE B. Cum tria puncta A, D, E sint posita sa) in ca 3 persccante plano, utique si jungantur redis AD, d Τ ΑΕ, jacebunt ipla in illo plano. Atqui sunt quoque b) in conica superficie 3 igitur ambae ιγ pererunt communes sectiones secantis plani , nicae superficiei , atque adco planum quod per verticem secat conum , in hujus efficit superficie duas rectas AD, A E. AtquI idem planum efficit quoque in plano basis rectam sc) ce) per DE, quae communis est sectio utriusque ; igi-Py-3-' tur sectio conica inde orta erit triangulum re chilineum D AE.
Quia planum per axem A C . traductum . transit quoque per verticem coni Α, & per centrum baseos DE B, utique si conus secetur plano per axem ducto , sectio inde orta
erit di triangulum rectilineum D A B, cujus f : Pςrhasis D B est diameter circuli DE B. P
Quoniam in cono recto A DEB axis A C TAg. I. est se in rectus ad planum basis , . quaevis sectio 3. triangularis per axem facta, erit f) recta ado. ἡ planum basis. Secus autem accidit in scaleno f) perADFB , cuius sola sectio DAB quae transit Pr- 8 per axem AC, & altitudinem coni A E , TAs. 1. est fg in recta ad planum basis ; aliae autem sic l' bibetiones hinc indu factae, veluti F Α Η, etiamsi eandent.
13쪽
transeant per axem AC, sunt obliquae tamen. ad planum basis.
Tha. I. Si conus A D E B secetur plano parallelo ad Fig. 3. ejus basim, sectio inde genita HI G,
DUcto axe AC qui secanti plano occurrat in puncto L, per ipsum secetur conus a plano trianguli D A B, quod cum planis parallelis HI G, D E B faciet sectiones H G, D Bmutuo bὶ parallelas . Sumpto deinde aliquo puncto I in sectionis perimetro HI G, & juncta AI quae producta scin attinget basim in E, jungantur IL, E C , quae cum sint communes sectiones plani trianguli E A C cum planis parallelis HI G, D E B, erunt dὶ quoque m tuo parallelae . Ob parallelas ergo IL , EC, est e) EC ad ΙL, ut CA ad A L. Sed propter parallelas HL, DC, ctiam DC est adHL, ut GA ad AL, ergo EC erit f) ad IL, ut DC ad HL. Est vero EC ipsi DC equalis, cum ambae sint radii circuli DE B, ergo & IL ξὶ aequabitur ipsi H L. Simili
modo ostendam, eidem HL aequari quamlibet aliam rectam , quae jungit aliud quodvis punctum perimetri H lG cum puncto L; ergo haec sectio crit circulus , habens pro centro L, dc pro diametro ipsam H G.
Hic modus secandi conum , circulum gignens, aeque cono recto convenit ac scaleno; sed alia etiam in scaleno fieri potest sectio ei culum generans, quam praemisso sequenti lem
14쪽
Si in figura aliqua ADC quadratum cujus- Τλκ. LIibet rectae DF perpendiculari ter ductae ad po- Fig. s. sitione datam AC, semper sit aequale rectangulo AF C; figura eadem ADC circulus crit, cujus diameter est A C. Bifariam secta AC in E, de juncta ED, erit A E quadratum aequale sa) quadrato F E ta) preuna cum rectangulo AF C. Atqui FIa quadra- Π l. r. rum b) aequatur rectangulo AFC ; ergo & - preA E quadratum aequale erit duobus quadratis 'U' simul FE, FD, sive uni sc) quadrato DE, e eunde A E aequabitur ipsi DE. Pari modo con- W-Α7.l I. stabit, ipsi DE aequari quamlibet aliam rectam , ductam cx quovis altero puncto curvae ad punctum E; figura itaque ADC circuluserit, cujus diameter cst A C.
Si conus scalenus A B E C sectus per axem TAp. I. triangulo BAC recto ad planum circuli sis. MBEC, rursus secetur altero plano ad rectos angulos ipsi BAC, quod ex parte A absci dat triangulum G ΑΚ simile alteri BAC, sed positum subcontrarie , ut nempe angulus AGK aequalis sit alteri ACB, sectio inde genita G H K circulus erit.
IN plano baseos B EC agatur EI ipsi BC
normalis , & sumpto quolibet puncto H inperimetro sectionis, demittatur ex illo ad G Κpcrpendicularis H F. Quia triangulum B A Cest d) rectum plano circuli BEC, vicissim d me hoc quoque erit rectum plano trianguli BAC, hyr ideoque EI quae normalis seὶ est ad BC com- ε permunem illorum intersectionem , etiam rectaς in '
15쪽
a per planum pariter GH Κ est sa) rectum planct P trianguli BAC, utique H F quae normalist ιγ pes est bὶ ad GK communem illorum intersecti
e str. nem, etiarp erit se) recti ad planum triangu-
d) per H Fi unde per punctum p traducta DO parat pr-6-i G tela ipsi BC bime DF, FH aequidi stabunt binis BI, Ι Ε, & planum transiens per mi ε) per res, crit se) parallelum plano baseos BECyro a D nanseunti per posteriores, ideoque sectio D Ho f) per circulus ) erit, cujus diameter est D O. Ianan vero obpatallelasDO, BC, angulus A O D aut s)mΚOF aequatur g) angulo AC B; ergo curris - angulus AGK vel DGF sit quoque s h) aequa lis angulo ACB, etiam angulas DGF aequa- ἐγ in bitur ΚΟ F. verum angulus DFG aequatur si λn ipsi OFK; ergo reiangulum G DF in erit simile OF Κ, & GF erit ad FO, ut DF ad ιγ per FK, unde rectangulum GFΚ aequabitur si Fr. 6 ὶ ο aIteri DFO. Sed quia est H F recta ad pla- n, pernum trianguli m3 BAC, etiam normalis sn etir Ipsis DO, GK, ductis in illo plano , cr-dἡs .l.ri go in circulo D HO erit H F quadratum aequa- . di pes le oὶ rectangulo DFO aut sibi aequali altericor- r. Pr. G F Κ , unde eirculus quoque erit sp ) sectio
Ex Circulares sectiones coni quas hactenus exposuimus, solent produci a plano non Per ve licem transeunte , & numquam cum plano baseos conveniente . Caeterum quando planum quod non transit per coni verticem , secat bainum, tunc gignit sectiones alias curvi lineas ire praesentia indicandas . Secetur prinro conust. A B M D per axem triangulo is AD, & ducta , . 7. in huius plano qualibet recta N Κ, quae occur-8. s. rat illius basi BD in Κ, agatur ex K recta ΚM , eidem BD normalis. Detiique rursus
16쪽
CONICI s. conus secetur altero plano transeunte per binas rectas N Κ, Κ M, quod cum ejus basi conveniat in recta M G . Pro triplici positione eiu dein rectae N Κ respectu laterum A B, AD trianguli BAD, tres curvilineae fiunt sectiones coni . DE v IN retro III. Si recta N Κ sit parallela later; uni A B Τλη. Lirianguli B A D ; tune sectio e nica M N G Pa- F g. r. rabola appellatur.
At si N Κ occurrat lateri uni A D ttianguli TAa. I. B A D infra vertieem A in N, conveniar vero F g. . in Q cum latere alio AB supra eundem vertucem A t, tunc sectio M N G 'perbola dici istet , & recta N utroque latere intercepta ,
Sicuti ipsa NK versus N producta, occurrigin puncto Q cono opposito Admb, ita si pI, num transiens per rectas N Κ, Κ M, produc retur pariter versus N, cum cono opposito comveniret ad punctum in gigneretque in illo sectionem alteram m Q g , similem alteri M N G, cuius Opposita diei stilet.
DEFINITIO RSi denique recta N Κ occurrat utrique lateri τAs. I AD, AB ttianguli BAD insta verticem coni RA, velut in N & Q, tune sectio MN G ELIipsis vocari solet, cujus Latus tranfe resum est recta N in utroque latere intercepta . Necesse est autem, ut haec sectio nec parallela fit basi eoni, nec subeontraria, alioquin ta circulus cast me
Sicut N K producta occurrit lateri A B In O, Ita & planum transiens per rectas NK, K M, si produceretur, occurreret lateri A B in Q ideoque ellipsis est curva linea in se rediens.
17쪽
Ultra expositos modos secandi conum , nutilus alius csse aut fingi potest , unde erunt quin-uue sectioncs coni, triangulum nempe, circulus, parabola, hyperbola, &ellipsis. Nunc a tem solum spectandae veniunt tres postremae , nam symptomata circuli & trianguli ad Euclidaea pertinent Elcmenta.
Υ κ. II. Si parallela: G Κ, D C jungantur binis DG,
ID. I. t. C. Κ convenientibus mutuo ad punctum A, 1nde autem ex A agatur quaelibet recta A E, quae
TA 3 II. Si conus AB M D secetur per axem triangulo Fig. r. B A D , & ducta in plano basis qualibet recta M G perpendiculari ad diametrum ejus BD , ex quovis superficiei conicae puncto Fagatur F H parallela ipsi M G, & terminata, ad oppositam partem supcificiei in H ; erit 'F H bisecta in puncto Ι, ubi nempe occurrit plano trianguli BAD. 0 d*L IUncta quae producta attinget g basim ' ch, me J in O, ducatur. in plano basis recta OR p P i i allela ipsi MG , sive h ) normalis diametro
. 'In BD, quae bifariam secabitur ij in puncto S,
18쪽
iungaturque AR quae erit sa) in conica super- a) perficie . Quoniam FH , OR parallelae sunt ter stiae M G, utique erunt bὶ etiam mutuo paIal- ι) peelelae, ideoque jacebunt in eodem plano, in quo I -s lx eriti ctiam sc) rccta AO, quae illas secat in e) per F & O . Itaque recta FH est in plano recta Π-7 ι tum AO , OR, sive in plano di trianguli ὰγ pejOAR , idcirco sicuti recta OR occurrit ipsi pr. 3 l, M. ΑR in R , ita & F H, quae parallela est ad OR & inclusa triangulo O A R , necellario conveniet cum ipsa AR in H . Demum quia puncta A & S sunt tam in plano trianguli B A D , quam in plano trianguli OΑR, utique juncta AS erit communis sectio utriusque plani , qui, proinde transiibit per punctum Icommune se in utrique plano, unde ob parallta t. st per
ergo aequabuntur quoque FI, IH . I. m. Praec., P Ropos ITIO V.
Omnis recta, ut FH, parallela ipsi MG, & T a. I. terminata uti inque a lectionis perimetro 7 M N G, bifariam secatur ab ipsa N K in I. 9'REcta FH utrinque est terminata a sectionissa in perimetro M N G. Atqui perimeter se- I perctionis jacet in conica superficie; ergo & recta hyP FH terminata erit utrinque a conica superficie . Sed eadem recta F H parallela est quoque h) ipsi MG , quae est normalis si) diametro per BD circuli BMD; ergo bifariam εὶ divid, hyP
tur in occursu trianguli B A D. Occurrir autem schol. pr.
plano trianguli B A D in puncto I, ubi nimi- 3 rum incidit in N Κ communem sectionem pla- , in P ni MN G& trianguli B A D; igitur recta FH secabitur bifariam ab ipsa N K in I.
19쪽
Si triangulum B A D rectum sit plano circuli a per B MD, veluti usu venit semper sa) in cono re se i Π ho, & semel accidit sbὶ in scaleno, tunc omnis' ιγ per recta, ut FH, parallela ipsi MG, nedum hiatdς fariam, verum ad angulos etiam rectos secatur ab ipsa N K in I. Siquidem in hoc casu etiam planum circuli B MD rectum erit plano trianguli BAD, atque adeo M K , quae normalis est ad B D communem sectionem circuli S trian- η per guli, etiam normalis sc in erit plano trianguli dς64 i Is i D, rectusque prodibit din angulus N Κ M . Verum ob parallelas FH, M G, angulus N I Fc , per aequatur se in alteri NKM; ergo etiam rectus pr- 7 Ι- - erit angulus NI F, & ideo FH bisecta erit ad rectos tangulos ab N K.
Recta N Κ , quae bifariam secat omnem aliam, ut FH, parallelam ipsi MG , & terminatam utrinque a sectionis perimetro M N G, vocatu Primigenia diameter sectionis, & punctum ΝVertex diametri.
, Quia in hyperbola latus transversum QNest in directum cum N Κ, & in ellipsi coincidit cum eadem ; etiam latus transversum QNerit diameter sectionis, unde & Diameter transversa dicitur , ejusque punctum medium C vocatur Centrum ellipseos aut hyperbolae. DA FINITIO VII. Quando eadem recta N K bifariam simul atque normali aer secat omnem rectam, ut FH, parallelam ipsi F G ; tunc specialiter induit nomen Axis.
scholi pr. Ergo in quavis sectione conica M N G D- ' nita in cono recto, semper NK est fὶ axis , idem idque semel accidit gὶ in scaleno , in alim . ain
20쪽
lem sectionibus quae in cono scaleno fiunt, est semper N K diameter. Dus INITIO VIII. Rectae F H , M G , sive earum se sies FI , M Κ , vocantur ordinata diametro primigenice N Κ , partes autem diametri N I , N Κ ab ordi. natis & cur in vertice intercepis , Abscissa adipellari selent.
De trium sectionum toni Symplomatis principalibus . PRO post T Io v I. In quavis parabola M N G quadrata ordinat, T a. II. rum M K , FI sunt ut abscissae
IN plano trianguli BAD agatur per punctum . I recta R U parallela ipsi B D . Quoniam binae rectar RI, IF parallelae sunt binis B Κ ,ΚM, utique traductum planum r rectas RI, IF , erit a) parallelum basi B M D transeunti per reliquas B Κ , Κ M , gignetque proinde b) in cono circulum RFV, cujus diameter est R V. Item ob rectas RI, I p parallelas ipsis ΒΚ, ΚM, angulus RIF se aequabitur BKM; ergo cum sit rectus angulus BKM , etiam rectus erit reliquus R I F, ideoque FI quadratum aequabitur d) rectangulo RIV . sed etiam M K quadratum aequatur eὶ tectangulo B Κ D; ergo quadratum M K erit ad quadratum F I , ut rectangulum BKD ad aliud RI v. Sed quia in parallelogrammo B R IK aequantur f) ΒΚ, RI, rectangulum BKD est g) ad rectaag .ium RI V , ut KD ad I V; ergo & quadra B a tum