장음표시 사용
31쪽
convenit punctis omnibus rectae A E tam supra quam infra A; ergo eadem recta A E parabolam tangit in puncto A. Sit deinde sectio data ollipsis aut hyperbola CIA, cujus diameter . CR. 8c diametri vertex C. Ducta, ut prius, ordinata AB, &huic parallela C D, qine utranque curvam con-
a pertinget ta) in puncto C, jungatur RA, quae P 'fli' producta secet CD in D, & bifariam secta CD in E, jungatur A E: dico, A E utranque curvam contingere in puncto A . Iungatue enim AC, 8c ordinatae AB parallela agatur P r quaelibet G Hl Κ L. Quadratum A B est bὶΠ' '' ad quadratum IL, ut rectangulum R B C ad e per rectangulum RLC, sive in ratione e composita ex ratione R B ad R L, & ex ratione da per B C ad C L. Sed ob triangulum RBA d)sic r, pr- mile R LG, ratio R B ad R L eadem est ae' ' θ' ratio A B ad G L, & ob triangulum A C B si- . t. per mile se in X L C, ratio B C ad C L eadem est idςm ς - ae ratio AB ad KL ; ergo quadratum AB erit ad quadratum I L in ratione composita ex ratione AB ad G L , & ex ratione eiusdem AB ad KL , hoc cst, ut quadratum
a3. I. s. ideoque quadratum I L aequabitur recta
I , p. IL, ut eadem I L ad KL prorsus uti accidit'. 37. l.6. in parabola. Si ergo hic denuo repetatur e dem demonstratio, quam supra dedimus in parabola, ostendetur, A E ellipsim aut hyperbolam tangere in puncto A.
τλη.III. Producta in parabola tangente A E In O, 7. ubi conveniat cum diametro, recta BO quae etiam sub tangens dicitur, hi fariam secta erit in
puncto C. Quippe ob parallelas AD, CO,l, per triangulum AD E est ti) simile O C E , unde
32쪽
AD erit ad Co, ut DE ad E C. Sed est DE sa) ipsi EC aequalis ; ergo & AD seu BC bin aequabitur ipsi Co.
COROLLARIUM ILSi diameter C B sit axis parabolae CIA , emius parameter C F , agaturque A M normalis tangenti Ao, quae occurrat axi CB in M; rccta B M, quae etiam dicitur Subnormalis, ditamidia erit CF. Cum enim ex recto angulo OAM demissa sit ad O M perpendicularis AB, erit te) AB quadratum aequale rectangulo OBM. Est vero idem AB quadratum etiam
aequale id in rectangulo ex C B in C F ; ergo rectangulum OB M aequabitur alteri ex CB in CF, & BM e) erit ad CF, ut CB ad Bo. Sed est C B dimidia fὶ ipsius BO; ergo & B M dimidia erit C F.
In ellipsi vero & hyperbola si producatur tangens A E in O, ubi conveniat cum diametro ; erit R O harmonice secta in C & B. Producantur O A , C A , donec in V & Zconveniant eum R T. Quia aequantur gὶ CE,
ED, erit sh in RV ad CE, ut RV ad ED. Sed propter parallelas RV, CE , est si in Ruad C E , ut R O ad O C, & ob triangulum D AE in simile VAR, cst RV ad ED, ut R A ad AD, aut ut RB ad BC, ob triangulum AR B iὶ si mile DR C; ergo & ROerit ad O C, ut R B . ad B C, ideoque R Ο harmonice secta smὶ erit in C & B.
Hinc semilatus transversum S C est media proportionalis inter SB & SO. Cum enim
sit nὶ in ellipsi R O ad OC, ut RB ad BC, etiam so) componendo, RO cum GC erit ad OC, ut R C ad BC, sumptisque dimidiis
antecedentium , SO erit ad OC , ut SC adt a per
33쪽
a per ad CB, & a denique convertendo So,, i eris ad SCD ut eadem SC ad SB. In hyperiba per hola autem cum sit b) RB ad BC, ut Ro OC, etiam scin componendo, R B cumph. LL,. BC erit ad BC, ut R C ad OC, sumptisque dimidiis antecedcntium, S B erit ad B C, ut d) per SC ad OC , dc d denique convertendo , erit S B ad S C, ut S C ad S O.
COROLLARIUM RIn ellipsi itaquc & hyperbola quadratum se- ὸν per milateris transversi SC aequabitur se in rectam
Quin & reet angulum S BO aequabitur RB C. Nam in ellipsi quadratum SC aequatur f) rectangulo OS B, sive s g) quadrato B S una cum rectangulo SBO. Sed idem S C quadratum equatur quoque h ὶ quadrato B Suna cum rectangulo RBC 3 ergo BS quadratum una cum rectangulo S BO aequatur B Squ drato una cum rectangulo RBC, & dempto 'utrinque BS quadrato, rectangulum S BOaequale erit rectangulo RBC. In hyperbola vero quadratum S B aequale est i) rectangulis simul B S O , SBO. Sed idem S B qu dratum arquatur ) quoque quadrato SC una cum rectangulo R B C ; ergo duo simul recta gula B S O, S BO aequalia erunt quadrato S Cuna cum rectan8ulo I BC. Quadratum autem SC aequatur st) rectangulo BSO; ergo Zereliquum rectangulum S BO aequabitur retia quo RBC.
Cum rectangulum RBC sit smὶ ad ordin tae AB quadratum , ut transversum latus C Rad rectum C F, etiam rectangulum S BO erit n) ad ordinatae AB quadratum, ut transversum latus ac re mal
34쪽
i Si diametcr CR sit axis ellipseos aut hypem , holae, cujus latus rectum CF, ducta aci A Eperpendiculari Abi, quae mi oceurrat in M, erit S B ad subnormalem BM, ut CR ad CF. Nam rectangulum S BO est sa) ad ordinata: tis 3 pisA B quadratum, ut C R ad C F. Sed quia cxo recto angulo O A M demissa est ad O M petapendicularis AB, cst b) quadratum AB aequa- perte rectangulo MBO , ergo etiam rectangulum cor Pr-5BO erit ad rectangulum MBO, ut CR ad ': CF. Sed rectangulum S BO est e) ad te ris. 7'ctangulum M BG, ut S B ad MB: ergo & NyS B erit ad MB, ut CR ad CF. Pr L i 6.
. Si recta A o quae ellipsim aut hyperbolam T , IV tangit in puncto A , secet in E & V vertica- ng. r. des tangentes CD, R Z; rectangulum ex C din R V erit pars quarta rectanguli ex latere transverso CR in rectum CF. i Ectangulum RBC est d) ad ordinatae per
ta. AB quadratum ina ratione . composita ex cor a Pr
ratione R B ad B Α, & ex ratione CB ad B A. Ri'k si Sed ob triangulum RDC se) inlle RaB, M per ratio R B ad B A eadem est ac ratio R C ad ς' Pt CD, & ob triangulum R C Z simile M A,' ' ε' ratio CB ad D A cadem est ac ratio R C ad RZ; ergo rectangulum RBC est ad quadratum ordinatae A B in ratione composita ex ratione R C ad C D , & ex ratione ejusdem. R C ad RZ, hoc. est, ut f) quadratum RC per
ad rectangulum ex CD in. R Z. Sed idem reia cor γ N.ctangulum RBC cst fg etiam ad ordinata: λ . b. ΑΒ quadratum, ut R C ad CF, seu sumpta - ι, N. altitudine communi R C ) ut quadratum R C '. C ad
35쪽
ad rectangul*m ex R C in C F ; ergo quadra- a 3 per tum R C erit sa) ad rectangulum ex CD in pr. M.t s. RZ, ut idem quidratum R C ad rectangulum ex R C in CF, ideoque rectangulum ex CD M mei in RZ aequatur ιὶ rectangulo ex R C in CF. Pr. s. l. s. Demum cum parallelae CD, R Z in eadem se per ratione sint stetit sc in in E & V, sique C D' . I se bifariam dὶ secta in E, etiam RZ bisecta erite str. in V ; unde rectangulum ex C E in R V erit pars quarta rectanguli ex C D in R Z. Sed re- M ex ictangulum ex CD in RZ aequatur se) rectan- ηοUV quies ex R C in C F ; ergo & rectangulum ex CE in R V erit pars quarta rectanguli ex R C
Τ a. ΙU. Si recta EA, quae ellipsim tangit in puncto E, Fig. i. occurrat axi BI in A, & ducta ordinata EI, super B M diametro fiat semicirculus B O M, occurrens ipsi EI in O; juncta AO circ. Ium tanget in puncto O.
I Ungatur punctum O cum centro S: cireuli& ellipsis. Quia E A ellipsm in E tangit,
f3 per erit f) AS ad BS, ut eadem B S ad I S. V 4 H- Verum B S est ipsi OS aequalis; ergo & AS '' erit ad OS, ut eadem OS ad I S. Circa commmunem ergo angulum S latera hina A S, O Strianguli ASO proportionalia sunt binis OS, IS trianguli OSI, atque ita angulus AOS bis aequabitur I ΟIS. Sed cum sit EI ordinata pr.'. l. s. axi BI, rectius est shὶ angulus OIS; ergo &P rectus erit reliquus ROS, & AO circalum
36쪽
PEodos Irro XV i I. si recta EA, qt ae hyperbolam tangit in pun- Υ Ε.IRcto E, occurrat axi Bl in Α, & ducta omdinata EI. super B M diametro fiat *micimiculus MOB, agaturque Ao normaliter ad . , M B : juncta I O circulum tanget in puncto O. t Ungatur punctum o cum centro S circuli & hyperbol e. Quia ΕΑ hyperbolam in Et angit, erit sa) IS ad BS; ut eadem Bs ad fa) perAS. Verum B S est ipsi SO aequalis ; ergo & y N S i erit ad S O , ut eadem S Ο ad AS . Circa '' eommunem ergo angulum S bina Latera S I , . SO trianguli IOS proportionalia sunt binis S O , Α S trianguli Ο Α s; ideoque angulusi OS aequabitur sb OAS. Rectus autem est ι με angulus c) ΟA S i ergo & rectus erit reli-D;ο l. 6.quus I OS , & IO circulum tanget d) in a.s j. y puncto O. per
capiatur GF aequalis quartae parti ejus p rametri; vocabitur punctum F parabolὶ Focus
Si ducta ex soco F ordinata axi F T , agatur T in quae curvam tangat in puncto T, & axi occurrat in Q. , inde aulcm per in traducat ut C a recta
37쪽
recta Κ N, ordinatae F T parallela; eadem K Nvocabitur Direti rix parabolae DGI.
c. a pes Quoniam est FQ bifariam sa) secta in ver cor. r. n. tice axis N, hic aequidistabit a foco & la dire-' ι, νε, ctrice , unde s bin etiam G quarta pars erit
def. Ia. parametri axis G R . COROLLARIUM II.
Quia GF, G QAquantur tum inter se, tum etiam parametri quartae parti; liquet, F in, quae est distantia foci a directrice, esse paramelli in
dietatem . P novos ITIO XVIII. b
TAE.Iv. Si ex quolibet puncto A parabolae DGI agan- Fig. 4, tur AS, AC , quarum altera curvam in Α Ontingat, conveniatque cum axe GR inr O, altera vero sit parallela eidem axi ; ang Ius F A O semper aequalis erit alteri C A S.
DUcta ordinata AB, agatur AM perpendiacularis tangenti AS , quae axi in M oc- eὶ percurrat. Quoniam sunt aequales sc) GO, G B, ς'x P nec n/ Gin G F, erunt quoque aequale da per Oin, FB. Est vero Q F ipsi B M aequalis , Cor, a PV cum utraque se) parametii sit medietas ς ergo' ., νε, si aequalibus O Q, F B addantur hinc inde aequa- cor a.def. les Q F, BM, fient aequales O F, FM; quare i si centro F & radio F O circulus describatur , f) per transibit ipse pcr punctum M , atque ) per W-33 i 3 rectum angulum OAM , ideoque aequabunturpe. s. iTFO, FA , & angulus FAO aequabitur ig) ha per F O A. Verum ob parallelas O R, AC, angu- N. 7 i. ι- lus F O A aequalis hὶ est alteri C A S; ergo ec angulus FAO aequabitur C AS.
38쪽
Hinc si parabolicum speculum MARS con- TAB.Iv. vexitatem ita Obvertat Soli , .ur ejus radios, ve- r luti Q Ρ, Ο , excipiat parallelos axi AC sipsi post reflexionem in P & V colligentur omnes ad socum F. Constat siquidem ex Cato. ptrica, radium lucis OJ ita reflecti debere in P, ut angulus incidentiae atquetur angulo rcfl xionis .iSed ducta IT tangente curvam in P, angulus incidentiae est O PI; ergo cum isti sit aequalis sa) altor FPT, hic esse debet angulus ta pπreflexionis; ideoque radius QP reflexus tendet hUR ad focum F. Cum velo id etiam competat ratio OV, 8: aliis omnibus parallelis axi AC ,ltique tendent omnes ad focum F , ibiquegnem , Ob corum concursum mutuum excita- r uni. En igitur rationem, cur punctum F v cetur secus aut umbilicus r. COROLLARIUM IL. Contra si fax candelae posita sit in F , tunc ejus radii hinc inde emissi, atque in cavam sum perficiem speculi inciscntes, veluti in P & V, post reflexionem pergent paralleli secundum ructas Poe, V O ; sic enim angulos incidentiae . t ἡ facient aequales angulis refcxionis, IJnde can- .s . Modelae lumen collocatum in soco F, ad magnain distantiam eadem semper vi poterit propagari , quippe ob radiorum sic reflexorum parallelisi mum, lux ad majora spatia lateraliter non diti ' . pergitur, sed velut collecta, eadem vi & den-
. Irem si os loquentis .collocetur in soco C Τλη. IV. parabolicae tubae V M Κ Di per longa intervalla Fig. s. Anus poterit Nopagari . . Nam phonici radii
CK, CL, C M, CN emissi e puncto C , ita repercutientur in Κ , N Uut singuli inci-dcntiae & restexionis anguli sint aeqωkγκφio
39쪽
quidem non obtinetur , nisi radii repercussi in
ab in illis punctis , incedant sa) per rectas ΚΟ,h Mn LF , MR, NS, parallelas axi CB 3 atque
adeo ipsi per ampliora spatia lateraliter sonum non dissipabunt , sed velut collectum cadem vi, Sc densitate ad ingens intervallum poterunt
vicissim ctiam si auris positus sit in seco , excipiet submissas voces in magna etiam distantia colloquentium, cum hae in seco velut collectae & condensatae maxime intendantur. Hinc instruimentum quoddam inventum fuit , instar corniculi efformatum, quod fert surdastris ean dem opem, quam senibus perspicilla. Hujusmo- ΤΑ,.Iv. di est Machina A R EO, cujus anterior pals Fig. r. ΑΟ latior caeteris esse solet , habetque parabolicam superficiem A REO, cujus focus C . Prope hunc secum adnecti solet recurvus tub Ius RBE, habens foramcn angustum B, applicandam meatui auditorio. Incidens namque sinnus in cavam corniculi seperficiem , velut per lineas rectas parallelas ejuidem axi , reflectitur per ib) ab eadem ad focum C, ubi veluti conden-
r satus per tubum recurvum ad auditorium me tum transit, atque ita intensior reddi solet. COROLLARIUM V.
Taa. v. Nedum lux & sonus ope speculi parabolicii. intendi, & longius diffundi solent, verum Mipsa vis comburendi radiorum Solis ad intervalla maxima propagatur. Sit enim tubus parabo licus M N S in versus verticem sic truncatus , ' ut inus eiusdem D sit positus extra tubum . Deinde ultra D statuatur exiguus alter tubus parabollaus I FVR , truncatus pariter versus verticem , qui cum priori habeat communem
axem L O , 8c focum D . Quod si tubus M N S Q. ita expositus Soli sit ut, eius radi
40쪽
veluti AB, CG, exeipiat parallelos mi Lo , utique illos reflecter, colligetque sa omnes ad ca perseeum D. Hi aurem radii contrario sitii ex Q ς co D incidentes in cavitatem tubuli I FUR , exibunt omnes post reflexionem b) paralleli ei- ba perdem axi, in gisque juncti & condensati, quam cum ingrederentur priorem tubum MN SQ.Verum cum ustio nedum fiat in mathematico puncto D , sed aliquantulum etiam remote a D, ubi nimirum radii sunt densiores, vegetiores , 6c quasi igniti , potcrunt ipsi , praecipue uando est valde exiguus tubus I FVR , eunem constipationis & densitatis gradum ad dia
stantiam maximam conservare , atque adeo per eandem comburendi vim propagare. PRO POST Tro XIX.
Si aliqua recta H P ita cadat in convexitatem Τλη.IV. parabolae MAR, ut producta tendat ad so- Fig. s. cum F, & dueta ex puncto P tangente IT, agatur PG parallela axi AC3 angulus HPI semper aequalis ei it alteri GP T.
io Roducatur GP in Qu. Quoniam recta I Τa parabolam tangit in puncto P , angulus F P T aequabitur e j in' I. Sed angulus F PT . . l. ' est aequalis d) alteri H PI, & angulus QPI da per
alteri GPTI ergo etiam angulus VPI aequa-Px xs i τ'
Hinc si radius lucis H P ita in superficiem convcxam cadat parabolici speculi MARS, ut vergat & dirigatur ad focum F, ipse post res xionem perget per PG parallelam axi AC; sic enim incidentiae angulus HPI fiet aequalis e) reflexionis angulo GPT. te per