장음표시 사용
21쪽
tum M K crit ad quadratum FI , ut KD ad a) per I V. Verum ob parallelas IV, Κ D, est saὶ NK ri η' ad Iu I, ut KD ad I U; ergo MK quadratum erit ad quadratum FI, ut N K ad N I.
b .ec ipsa linea parabolica eadem prorsus cum illa est , quam in medio non resistenti descriabunt corpora projectilia . Constat si quidem ex Balistica, quod si in medio non resistenti pila aliqua projiciatur juxta directionem horizonta-Τ a. II. lem AR, vel horizonti quomodolibet inclina. stam, ejusdem semita est curva linea AOH, in qua ductis ordinatis GE, L O , earum quadrata sunt inter se ut correspondentes abscissae AG, b per A L. Id autem convenit soli lineae b ) parab P licae 3 ergo projecti semita Α Ο H est parabolica.
Ga. II. In quavis parabola MN G si post abscissam N KFig. . & ordinatam MK invcniatur tertia propon tionalis N S; haec ipsa N S erit quoque te tia proportionalis post quamlibet aliam abscis. sam NI , & ordinatam FΙ ipsi correspon
. per c Uadratum M K est e) ad quadratum FI, Pr 6- ut NK ad aut pro communi altia d) per tuuine sumpta NS) ut su) rectangulum ex Pr, a. NK in NS ad rectangulum ex NI in NS Verum ob continue proportionales N Κ, M K , . a per N S, est quadratum M K e) aequale rectan-Pr. 17,l-6- gulo ex N K in N S ; ergo & quadratum FI
f) per aequabitur fὶ rectangulo ex NI in NS, un- Π Α i I de N I erit fgὶ ad FI, ut eadem FI ad N S , se G.M. bc N S erit tertia proportionalis post rectasNI, FI .
22쪽
Haec constans linea recta. NS, quae ad angm Ios rectos jungitur ipsi N Κ, dicitur Latus roctum sive Parameter parabolae MN G respectu diametri primigeniae N K.
Si ergo ad parabolam MN G ordinetur ali qua recta FI , ejus quadratum aequale erir rectangulo ex correspondenti abscissa NI in ta in la- a 3 tus rectum seu para metrum N S a atque adeo latus rectum tertia erit b proportionalis post abscissam & ordinatam. pr. 17 l .
PRo vos ITIO VIII. Datis positione axe parabolae & vertice, ae latere rccto magnitudine etiam dato, ipsam in plano describere , infinita ejus puncta determinando .
ctae , reserant axem parabolae & latus re- Fig. 6.ctum, vertex autem axis sit in N. Producatur
axis N R in Α, donec N A aequetur lateri recto N S, & sumpto in axe quolibet puncto G, super AG diametro fiat semicirculus Aos, Occurrens lateri recto in O . Agatur denique GT recta, quae sit normalis ad N R , aequalis vero ipsi Nor dico, punctum T esse in par hola describcnda. Nam cum requentur sc) NO, ς γ p G T, illarum quoque quadrata aequalia erunt . Atqui in semicirculo AOG est No quadratum aequale sdὶ rectanguIO GNA, aut etiam m e in alteri ex GN in NS; igitur etiam G T quadratum aequabitur rectangulo ex GN in NS, . per sive ex abscissa in latus rectum, arque adeo pimia in 'ehum T est f) in parabola describenda . Pati sin per modo ostendam, etiam punctum F, & alia i 'P 7'B 3 num
23쪽
numera hoc modo determinata , ad quaesitam parabolam pertinere. se HOLIUM LHusus propositionis ingens in Physica usus
est ; ex ca namque c*ligitur ratio velocitatum, Τ x. II. quas successive acquirit grave in G & L, dum Fig. s. ex puncto quietis A descendit libere per AF . Nam si quovis recto latere AR sumpto , fiat: per circa axem A F aὶ parabola AOH, cui sint λωκ pr. ordinatae G E, L O S erit vclocitas acqu1sita I pia in G ad eam, quam grave acquirit lapsu AL, ut ordinata G E ad ordinatam L O. Nam luxista Galilei hypothesim gravitatis, quadratum Ve- Iocitatis acquisitae post lapsum ex A in G, est ad quadratum velocitatis obtentae post calum ex
Λ in L, ut spatium A G ad spatium A L . Sed tιὶ die, o iam in parabola Α OH est ι quadratum o
pr. 6. dinatae G E ad quadratum ordinatae L O , ut per A G ad AL; ergo quadratum c celeritatispr D i I acquisitae in G erit ad quadratum. celeritatis Obtentae in L , ut quadratum ordinatae G E ad quadratum ordinatae L O , ideoque etiam velo. ἡ) precitas acquisita lapsu AG erit dὶ ad acquisitain W- -i s. lapsu AL, ut indinata GE ad ordinatam LO.
T a. II. Hinc colligi quoque potest ratio celeritatum Fig. . fluidi ex vasis soramine erumpentis. Esto enim vas quodlibet B A F, in quo altitudo fluidi sit AC, seu ejus libella sit in MI, tum quoins Q per recto latere ΑR sumpto, fiat e) circa axem , nc Pr, AC palabola AOH , cui sint ordinatae CE , LO: dico, velocitatem fluidi erumpentis ex foramine A, dum ejus libella est in M I, esse ad elocitatem qua exit, dum ejus libella est in V G, ut ordinata C E ad ordinatam L O. Constat si quidem ex Hydraulica quadratum vel setatis fluidi erumpentis in primo casu , elle ad quadratum velocitatis in altero, ut AC ad A L.
24쪽
Sed etiam in parabola A OH est ordinatae CEquadratum sa) ad quadratum ordinatae LO, per ut AC ad A L ; ergo quadratum velocitatis pr 6 fluidi in primo casu b) erit ad quadratum ve- b prelocitatis in altoro, ut quadratum ordinatae CEN- -l s ad quadratum ordinatae L Ο, ideoque sc) etiam per velocitas fi dierumpentis ex seramine A, dum ejus libella est in MI, crit ad ejus velocitatem, quando cjus libella est in V G , ut ordinata CE ad ordinatam LO.
In ellipsi, hyperbola, atque oppositis sectionibus quadrata ordinatarum M K , FI sunt inter TAa. II. se, ut rectangula QΚN, in N, quae dia- FQ. 8. ymetri partibus inter ordinatas de utrumque verticem positis, continentur.
IN plano. trianguli BAD traducta per punctum I recta RV parallela ipsi BD, trajiciatur planum per rectas RI, I F, quod sicuti dὶ in parabola , ita & in hoc casu gignet in P cono circulum R F V, cuius diameter est R V, P & huic recta FI normalis, unde FI qRadratum e) aequabitur rectangulo RIV . Sed etiam in Gp circulo B MD est f) MK quadratum aequale rectangulo B Κ D ; ergo quadratum M K erit . f ρος ad quadratum FI , ut rectangulum BKD ad idςm ς0ς aliud RIV, sive in ratione gὶ composita ex fg Pςrratione B Κ ad RI, & ex ratione KD ad IV. eliri' Sed propter triangulum B simile h) alteri ώγ per R in , ratio B Κ ad R I eadem est ac ratio ς' ' Pr
QK ad in , & ob triangulum Κ N D simile '
si) alteri INV , ratio KD ad IV eadem est Per ac ratio Κ N ad IN ; ergo etiam M K quadra 4 ' ς' 'tum erit ad quadratum FI in ratione composita ex ratione QK ad in , atque cx ratione' . B Κ N ad
25쪽
Si fiat , ut rectangulum QKN ad ordinate M K quadratum, ita latus transversum ON ad quartam proportionalem N S; etiam quosvis aliud rectangulum in N crit ad quadratum ordinatae FI, ut idem latus transversum N ad N S .
OI Iadratum M K est se) ad quadratum FI,
ut rectangulum QAN ad rectangulum Por i N. Igitur permutando din, quadratum M ΚPr i 3' erit ad rectangulum N, ut quadratum FI per ad rectangulum i N, & invertendo se , re- schol Π ωngulum QA N erit ad quadratum M Κ, Ut rectangulum in N ad quadratum FI . Atqui f) per rectangulum QA N sfὶ est ad MΚ quadra- yp tum , ut m ad N S ; ergo & rectangulum in N erit ad quadratum FI, ut aN ad N S.
Haec constans linea recta N S, quae ad rectos angulos iungitur ipsi NK, dicitur Latus re Hum sive Parameter ellipsis, hyperbolae, & s
ctionum oppositarum. COROLLARIUM. I.
Itaque si in ellipsi , hyperbola , & oppositis sectionibus ordinetur aliqua recta FI diametroeprimigeniae NK , rectangulum oe N erit aclis γ per ordinatae g) FI quadratum, ut latus transve N -- sum QN ad rectum N S.C ω
26쪽
Hinc si latus transversum Q N aequale sit I teri recto NS quo in casu tam hyperbola quam ellipsis dicitur AEquilatera in etiam rectangulum in N aequale erit quadrato ordinatae FI.
Ellipsis igitur aequilatera est prorsus eadem at que sa) circulus. ta per
Datis latere transverso & recto , describere in plano ellipsim atque hyperbolam, infinita earum puncta determinando. Rina: BM, M S ad rectos angulos junctae, Τλa.1IL reserant latus transversum oc rectum , sin FQ. I. . perque B M diametrum facto semicirculo BOM, ex ejus quolibet puncto O agatur O , quae in figura prima perpendicularis iit lateri transverso BM, in altera autem circulum in o tangat. Ruisus latere transverso B M producto donec M L aequetur lateri recto M S , describatur svi per B L diametro semicirculus alius B V L, Occurrens ipsi MS in V. Denique fiat, ut B Mad MU, ita OI ad quartam proportionalem ιὶ per IE, quae statuatur ad rectos angulos ipsi M I r consis.
dico, punctum E esse in ellipsi aut hyperbola , describenda. Nam cum Ol sit b) ad I E, ut B M ad M V, etiam quadratum OI erit scin ad h. .
I E quadratum, ut quadratum B M ad quadra- a . l. 6.
MV ad ML, etiam B M erit se. ad ML, ut dio. I. 6. quadratum B M ad quadratum M U ; ergo & in Frquadratum OI erit ad quadratum IE, ut B M I. ribad ML, vel ut fὶ B M ad MS. Verum OI cor. r. pr. quadratum aequatur rectangulo gὶ BIM, etiam rectangulum BIM ad quadratum 1 E , Π. Τ'
27쪽
a per erit, ut B M ad M, , sive ut a latus transimustr- versum ad rectum , ideoque I E eiit ordinata b) per ib) ellipseos aut hyperbosi describendae, pun- my pr ctumque E spectabit ad utramque curvam. Si mili modo ostendam , etiam punctum R, minnumera alia hoc modo determinata, esse in ellipsi, aut hyperbola describenda.
TH.III. Si in ellipsi aut hyperbola ductis axi M H om Fig. I. z. s dinatis H R, I E , superque latere transverso B M fiat semicirculus B O M , qui in ellipsi secetur ab ordinatis in F & O, tangatur vero in hyperbola a rectis H F, IO ; erit H F i ad Io, ut H R ad I E.
QVia in semicirculo B O M est quadratum H F aequale scin rectangulo BHM , &
quaaratum Io rectangulo BIM, erit H F qu per n. i s. dratum ad quadratum Io , ut rectangulum 1 3. BHM ad rectangulum BIM . Est vero etiam HR quadratum ad quadratum IE, ut rectangu-
ὰγ per tum B HM d ad rectangulum BIM ; ergo ex ' & H F quadratum erit se) ad quadratum IO, - ut quadratum H R ad quadratum IE, ideoque saper f) H F ctit ad Io, ut HR ad ΙΕ.
De rectis lineis qM contingunt sectiones cons. DEFINITIO In REcta, quae conicae sectioni in unico puncto currit , utrinque vero producta extra ipsam cadit , dicitur contingere curvam in eo
28쪽
Recta AD quae ita est divisa in tres partes Τλη.III. AB, BC, CD, ut tota AD sit ad unam ex FG. 3. Extremis C D , ut altera extrema A B ad partem mediam B C , dicitur Harmonice secta in
P oro si Tro XIII. In omni sectione conica MN G si ex vertice Τάκ.III. N diametri ejus NK agatur NF paralicta Fig. 4. alicui ordinatae M G ; ipsa continget cum vam in puncto N .
SI fieri potest, recta N F producta versas N,
occurrat denuo curvae in O , adeout recta - ,
sit linea O N F. Quia est N K diameter sectionis, cui ordinata est recta MG , utique biso cabit lineas rectas omnes, terminatas utrinque a curva, & sa) parallelas ipsi M G. Sed est ca per ON terminata quidem utrinque a curva , at non bifariam secta a recta NK 3 ergo non esto N parallela ipsi M G, cui proinde nec parallela erit N F, contra hypothesim . Igitur recta N F occurrit curvae in unico puncto N , utrinque vero producta , extra ipsam cadit, ideoque b continget curvam in puncto N .
CORO L LARIUM I. Et contra, si N F contingat curvam in vertice N diametri , erit parallela quoque ipsi MG. Nam si NF parallela non esset ad MG, utique duci posset per punctum N alia recta, quae parallela esset ipsi MG3 ideoque haec ipsa, non vero N F , contingeret curvam cὶ in puncto N , contra hypothesim .
COROLLARIUM II. Si diameter N Κ fuerit axis curvae, tangens
N F perpendicularis erit ipsi N K. Quippe obpara
29쪽
cor. r. aequabitur NKna i itur cum sit sc) rectus est j. ζL 3Πgulus N Κ Ei , etiam rectus erit reliquus . , per F N Κ , ideoque N F perpendicularis est ad
Τ a.III. Hinc μι ex utroque vertice C & R diametripet. 8. &CR ellipseos aut hynerbol e agantur verticales Τ a. IV. tangentes C D, R Z; h.e crunt di parallelae Fig. . alicui ordinatae AB, atque adeo se etiam
da per inter se. ι ' ., pos C ROLLARIuM IU. pr. 3o. I i. Et si diameter CR fuerit axis curvae utrius. que, verri cales tangentes CD, R Z perpendia
T ,.IIL Si hujusmodi sint tres rectae G L, IL, KL, Fig. s. o. ut quadratum prime GL st ad quadratum secundae I L in ratione primae GL ad tertiam KL; erunt ipsae continue prop0rti males. Si rectar GL, IL, KL non sunt continue proportionales, sunto si fieri potest, proporti ix pernales GL, IL, & H. Itaque erit st)GLad ut quadratum G L ad quadratum I L.
ιγ per Sed etiam GL est ad KL, ut th) quadratumh I ,- GL ad quadratum IL; ergo GL si in erit ad pr. ii. I s. H , ut eadem G L ad K L , atque adeo H erittat per hὶ ipsi KL aequalis'. Sunt vero si in continue y V, a proportionales GL, IL, & H , crgo erunt eonstr. quoque GL, IL, KL.
30쪽
Ex quolibet puncto A sectionis conicae CIA Τ a.III.
SIT primo parabola CI A cujus diameter
CB & diametri vertex C. Ductis ordinata F g δ' R B, & huic parallela CD, quae parabolam ranget saὶ in vertice ejus C, agatur per A re- a percta AD parallela diametro CB, quae occurrat Py' tangenti CD in D. Demum bisecta CD in Ε, jungatur AE: dico, AE parabolam rangere in puncto A. Nam juncta AC, & ducta qualibet GHI KL parallela ordinatae AB, quadratum AB erit ib) ad quadratum IL, ut ι3pe B C ad L C. Sed ob triangulum A C B eὶ si- pr 6-mile Κ CL, est A B ad KL, ut BC ad I CI E. I. ergo quadratum A B erit ad quadratum IL, ut 4. i. 6. AB ad K L . Sed cum G L sit ipsi dὶ A B ain per aequalis, etiam GL quadratum aequatur qua- P 'di ato A B ; ergo & quadratum G L erit ad quadratum I L, ut G L ad K L, ideoque tres rectae GL, IL, KL erunt continue ce) pro- . Per portionales ; undo GL erit ad IL, ut IL ad
KL, & dividendo f), GI ad IL, ut IK ad cya De KL, & permutando st) , GI ad I Κ, ut IL P ad KL. Est vero IL major ΚL; ergo & GI n. vi s. major erit IK, & duplum G I majus GI &IΚ simul, seu maius GK. Porro ob paralle-Ias G Κ, D C, quas A E secat in H & E, est G H ad H Κ, ut shὶ D E ad E C; ergo si pra cum DE sit si) ipsi E C aequalis, etiam GH aequabitur ipsi HK, & duplum GH aequale eoint. erit G Κ. Vidimus autem duplum G I esse m Ius G Κ; ergo & majus erit duplo G H, &G I maior G H, atque ideo punctum H rectae A E cadit extra parabolam CIA. Id autem