장음표시 사용
41쪽
Quare vis comburendi radiorum Solis potetit propagari ad quemlibet datum locum, etiam ab axe speculi valde dissitum. Quippe ad id praestandum unice opus est, ut ante focum D tru Τ E. V. cati speculi A G F C statuatur exiguum aliud Fg. 2. convexum speculum parabolicum S B M , quod habeat socum codem in puncto D, & circa Dpro lubitu verti queat. Tunc enim si vis combustiva sit transserenda ad Iocum P, satis ostsi circa punctum D ita revolvatur exiguum spe- culum S B M, ut axis ejus D B vergat & diti. gamr ad punctum P. Paralleli siquidem Solis radii, veluti HO, Ra, incidentes in supermciem concavam speculi A G F C , dirigentur defo) per vergent sa) Omnes ad secum D. Sed cum ita
Py' convergentes incidant in superficiem convcram
alterius speculi SBM, utique omnes plurimum b) per condensati reflecti bὶ debent paralleli axi DB;ς - ideoque vim combustivam transferent usque ad
P. Unde facila intelligitur quod plures fide digni Auctores tradunt, scilicet Archymedem Romanorum Naves prope Syracusas, & Proclum Vitaliani Classem prope Bizanti una combussisse. Non equidem puto ejusmodi comburendi vim tantam esse, quanta in soco D , ubi est persccta unio radiorum, sed eam solum, quae convenit iis radiis plurimum condensatis , & ad persectam unionem jam properantibus, quae s ne vis comburendi sussiciens per se est ad animalia , alia, corpora, non arctae admodum contexturae penitus concremanda.
42쪽
Quaelibet.recta AF, ducta ex quoris parabolae T a. v. . puncto A ad secum F, aequalis est ipsi AP, se 3. . Peipendicularitet ductae ad directricem.
ORdinata mi ΑΒ, & ducta tangente Ao, erunt sa) aequales GO, BG, quibus si ta, per addantur hinc inde b) aequales GF , G n prodibunt quoque aequales F O, B Q. Porro est a p. AF ipsi Fo se) aequalis , ii& ΑΡ d in ipsi cor v. def. B in ergo aequabuntur quoque AF, Α P. De
Igitur recta AP, quae est distantia puncti A ca) per .a directrice, aequabitur ipsi Fo, distantiae so P 'i' ci F ab occursu tangentis O 3 utraque enim aequalis se) est ipsi ΑF. . e P
Quin rectae FP , ΑΟ se se ad angulos rectos secant. Quippe tria latera ΑF, FH, H Α - ... parianguli F Η Α aequantur h in tribus lateribus h ὶ per A P, P H, H A trianguli P H A ; ergo angulus , SHI FHA aequabitur si) PHA, ideoque F P , cor. a. ΑΟ se se ad angulos rectos secant. .Li 2
Denique recta HG, quae jungit punctum H cum Vertice axis G, erit ad rectos angulos bipsi '
43쪽
fa 3 per & angulus O GH aequabitur sa) OB A. Est I 7 ux autem rectus angulus OB Α, quia GB cst axis; igitur rectus erit & reliquus OG H.
Hinc datis politione axe AB , Se parametro magnitudine, continuo motu parabola describe.τ a. V. tur . Insta & supra verticem axis A capianturris. . AF, AI singulae aequales parametri quartae par ι . ti, agaturque DIE ipsi IB normalis, eritque
QR describendae. Deinde ipsi DE applicata regulaeoν.r. def. DH, sumatur filum C MF, cujus una extremitas sit fixa in soco F , altera vero in termino C alterius regulae GEC , longitudo autem ejusdein fili aequari debet rectae I B aut EC . Quod si applicato stylo M ad regulam G E C , haec promoveatur juxta ductum regulae imiliotae DH, shlus quaesitam parabolam designabit . 8 per Cum enim longitudo fili CMF sit c d) ipsic M- Ε C aequalis, utique utrinque ablata C M, r manebunt semper aequales MF, ME. Est vero F secus parabolae describendae, & DE directrix, cui est normalis recta M E , igitur punctum M m. b. y M quaesitam parabolam ein pertinebit.
Tas. v. In quavis parabola L C T, si ducta ex Meo FFig. s. ordinata mi F M, agantur M G, C O, qu
rum altera curvam tangat in puncto M, altera in vertice axis C s erunt aequales tam
'i' L ipsam cadat perpendicularis M S, cui aequa si per bitur si in recta MF. Sed in parallelogrammo
44쪽
bὶ ut M F ad FG; ergo cum sint aequales M F, ς ) N FG, etiam aequabuntur OC, CG. Est autem ξιν me C G ipsi C F sr in aequalis, ergo aequales erunt P quoque OC, CF. per
Quoniam FG medietas s d ) est. parametri , his
Iisdem positis , si ordinetur axi quaelibet alia LR, occurrens tangenti MG in V, jun- . a i cta F L aequabitur ipsi V R .
D Emissa perpendiculari L H ad directricem,
De parabola diametris se dariis .
SI tres parallelae AD, BE, CF junctae sint TAa. v. binis rectis AC, D F, convenientibus mu- : g. 6. 4ruo ad punctum Ο ; erit AB ad BC, ut DE
Agatur A F, occurrens ipsi B E in H. Quia est B ii parallela lateri C F trianguli A C F ,
45쪽
a) per erit sa) AB ad BC, ut AH ad H F. Uerum pr. . t si ob HE parallelam lateri AD trianguli AF D, ι, pes est b) DE ad EF , ut AH ad H F; ergo eand. etiam AB erit te ad BC, ut DE ad EF.
Τλη.VI. Omnis recta, ut EP, parallela tangenti DK , Fis. I.i. & utrinque parabola terminata, bifariam in L secatur a recta DN , quae ex contactu Dducta cst parallela axi m. U .
ΡRoducta D N usque ad diremicis occursum
A, agatur ad focum F recta A F , quae o currat tangenti D K in T, & rectae E P in G. Deinde ex E R P demittantur ad directricem perpendiculares EC, PM, quae erunt parallelae d per tum s d) intch se, . tum rectae LA, & refoechi-y'io νε Ve aequales se in ipsis EF, PF. Demum centror . o. E per C dcscribatur circulus CFH, qui ob re irix etum .angulum ECA, tangetur si a recta β' ' 'CA in C, rursusque occurret ipsi AF in H . Quia recta T G siccat parallelas DK, EP, r g per eiusque est i g angulus D TG , etiam rectus ςψζ' 3 P erit rei uus E G T; ideoqtie E G ducta ex h) per centro E circuli CFH , erit normalis cjus ehordae FH, quam ideo si) bi cabit in puncto pr. . lyn G , quapropter junctae PF, PH mutuo O P aequabuntur. Sed est P F .ipsi PM l) aequalis; y Q his igitur sunt aequales PF, PH, PM, de circ. pr. 1o. lus radio PH descriptus transibit quoque per M & F , atque ob rectum angulum P MA ,s tim tangetur sm) ab ipsa AM in M'. Cum ergor' δ' - μ' AM tangant in C & M circulos CFUI, MFH , quos A F secat. in F & H , singula T quadrata CA, AM aequalia erunt ni cidem FV'3 '' i' rectangulo HA F, unde aequabuntur etiam inter se, atque adeo & rectae CA, A M. Verum
46쪽
In parabola itaque E in quaelibet recta iD N parallela mi in , erit diameter Secunciaria , cui ordinabuntur lineae rectae omnes, utrinque panabola terminatae, de parallela: ta genti curvam in puncto D.
.Si recta AF sit dupla TF , & FH dupla TAE. VI. FG; etiam AH dupla erit T G. 3 ε . Id per se liquet , quando est AF minor AHiat ubi est A F major A H , sequenti methodo demonstratur. Quia est A R dupla T F, & H F, dupla G F, dictrentia rectarum A F, H F aequabitur differentiae dupli TF a duplo GF . Sed disserentia rectarum AF, H F est ipsa AH, Ee disserentia dupli T F a duplo G F est d plum T G; ergo de AH dupla erit T G.
Si ab uno extremo E ordinatae EP demittatur Τλη.VI. E N perpendicularis diametro secundariae D N S I. . erit EN quadratum aequale rectangulo ex abscisia DL in parametrum axis I.
QVia triangula ABF, F ΤΚ, praeter communem angulum F, habent quoque rectos seu aequales angulos B & T, erunt b) quo- . pra que similia inter se, & IA erit ad FB, ut Py' '' ε' FK ad F T. Verum ob parallelas DK, o G, e) per
47쪽
tor Pr GF , erit AH ce in dupla T G; ergo & F A erit ιγ per ad duolum FB, ut KQ ad AH. Verum in pa-Π- rallelogrammo L DKO est ΚΟ aequalis c d Itim. 2e. ipsi DL, & duplum FB aequatur se9 param γ d per tro axis of ergo F A erit ad parametrum axis pyio Oi, ut DL ad AH, atque rectangulum cohorά. def. FΑ H aequale erit rectangulo ex D L in para . ό. metrum axis i. Fidii nus autem idem redisnasse l. M. gulum FAH aequari sg) quadrato C. A vel th per E N ; ergo E N quadratum aequale erit rectan- . t νω gula ex DL in parametrum axis Qbu
Q-υr Quadrata rectarum EL, BR, quae ordinantur sis. s. ' diametro secundariae DN, sunt ut abscissae ' DL, DR ab ejus vertice computata: ι
AG ntur EN, B S perpendiculares diametria
kcundariae, axis autem parameter sit G H etia mi Quia EN quadratum aequatur si) rectangulo pr. 1 . ex D L in G H, atque B S quadratum rectangulo ex DR in GH; erit EN quadratum ad quadratum B S , ut rectangulum ex D L id ., me G H ad rectangulum ex DR in GH, sive pr. r. l. 6. ut DL ad DR . Sed ob triangulum E LN si- O per mile ιὶ BRS, est EL ad BR, ut EN ad pr. 4 i B S, & quadratum E L ad quadratum B R , ut is a re m9 quadratum E N ad quadratum B S ; ergo n. aa. l.6. etiam EL quadratum erit ad quadratum B R, ut abscissa DL ad abscissam DR.
,3 me Quia sicut in diametro primigenia tn , iis
ρο- 6- & in qualibet so secundaria quadrata ordina .h24 μ rarunt fiunt , ut abscissae a vertice computatae; patet, ca omnia quae ostendimus circa param uum , M tangentem respectu diametri primi.
48쪽
gentae, etiam habere Iocum in secundaria. SI-cuti ergo parameter G H diametri primiqeniae oGI est sal tertia proportionalis post abscissam i νοῦ G Κ, & ordinatam D Κ, ita & parameter dia- eor. a. Prometri seeundariae D N erit tertia proportionalis γ' post abscissam DR & ordinatam BR. Et sic si tangens D O, ducta ex termino D ordinatae i DK, diametro primigeniae G I sic oecuriit, ut sint ibin aequales ΚG, GO, ita tangens B , Ni ducta ex icrmino B ordinatae BR, Q oecurret D P 'cliametro secundariae DN , ut sint aequales RD, DO.Ρ o Posiae ro XX VL
s; diametro secundaria D N producta usque ad Τλη.VI. directricis occursum A , agatur ex Vertice F S. 6. axis G recta GE parallela rangenti DO, erit ordinatae E L quadratum aequale rectan gulo ex abscissa DL in quadruplum ieeta DA . Vcta ex foco F recta FA, quae conveniat Ccum tangente in puncto. T, jungatur ,6. GT, quae ei it normalis sc) aH GI , & cur- 4 iam tanget a J in vertice eIus G . Quia re-iι.ctus se) est angulus FTO, inque T G ipsi c. ia ex Fo normalis, erit OT ouadratum aequale f)αι P 'rectangulo GO F. sed ob th in aequales o G, si a DL, nec non th) FO, D Α, rectangulu1n N GOF aequatur alteri L D A; ergo etiam O T ι per quadratum aequale erit rectangulo LDA. Sed pr. 3 -l 3. eum Do sit si in dupla OT , est quadratum Do quadruplum quadrati oT; ergo & idem io. DO quadratum erit quadruplum tectanguli LDA, seu aequale rectangulo ex DL in qu druplum rectae DA. Est autem Do aequalis 'r
49쪽
quadratum aequabitur rectangulo ex DL in qu . Udruplum rectae DA.
Hinc etiam quadratum cujuscunque alterius ordinatae B R aequale erit rectangulo ex abscisinia D R in quadruplum rectae DΑ. Est enim ea a per ca) EL quadratum ad BR quadratum, ut DLy ι, p. DR, sive s b) ut rectangulum ex DL in Pr. I. l. 6. quadruplum rectae DA ad rectangulum ex DR in quadruplum rectae D A. Verum E L quadris . 3 phe tum est c) aequale rectangulo ex D L in quais pr. 26.1 druplum rectae D A ; ergo d) etiam B R qu ἡ dratum aequale erit rectangulo ex DR in qu
Si itaque sit DC quadrupla rectae DA, erit ipsa secundariae diametri DN parameter. Cum . per enim cujusvis ordinatae BR quadratum sit e hanc Pr aequale rectangulo ex abscissa D R in quadruplum rectae D A, ctiam aequale erit rectangulo
ex abscissa DR in D C , ideoque DC erit fa pressin tertia proportionalis post abscissam DR &r in is ordinatam BR , flac proinde gὶ diametri DN
Parameter ergo diametri cujuscunque est quadrupla distantiae ejusdem verticis a directrice , , per ideoque axis parameter , quae est shὶ quadru-ςp dς6 pla ipsivis G in minima erit omnium param
50쪽
De diametris. coniugatis elli eos .ct hyperbola.
PROPOSITIO XXVII. Si ex quolibet puncto N ellipseos aut hyperbolae agatur ad centrum C recta N C. , haec producta usquedum iterum cumae occurrat ,
secabitur bifariam eodem in pqncto C. DUcta ordinata N F, capiatur CP ipsi PF aequalis , & rursus ducta ordinata altera PM , jungatur C M. Cum igitur sa) sint aequales C P, C F, nec non C A, C ab erunt quoque aequales AP, Q F, atque QP , AF, unde rectangulum A P aequabitur alteri A F 4. Verum P M quadratum est ib) ad F N quadratum, ut rectangulum A P Q ad aliud AF
ergo cum laec rectangula sint aequalia , aequabuntur quoque quadrata PM , FN, rectaeque
ipsae P M, F N ; ideoque duo latera C P, PM trianguli MCP aequalia erunt duobus C F, FN trianguli F C N . Sed propter parallelas P M , F N, etiam angulus C PM aequatur se alteri C F N ; ergo etiam C M aequabitur sdὶ ipsi C N , & angulus M CP alteri N C F , unde utrinque addito angulo MCF , duo anguli MCΡ, MCF aequabuntur duobus N C F , ΜCF. Sed duo primi conficiunt e) duos rectos; ergo & duos rectos facient posteriores , atque adeo recta erit linea N C M . Vidimus autem aequales esse N C, C M 3 ergo N C pr ducta usquedum iterum curvae occurrat, bis