장음표시 사용
321쪽
- SECTIO NuM CONICARUM dem AD una cum quadruplo ipsius ΑΙ .Quεε re excessus , quo Kl superat Eld, aequalis erit excessui, quo qudruplum abscissae AR sum. rat quadruntum abscissae AG . Sed excessus iste est quaaruplum ipsi ut GR . sive EQ. Ι-que pet idem hoc quadruplum parameter Κ, superabit parametru in m. . ., quum ita sit , perspicuum est , theorema generale, quod in hac re locum obtinet, ita quidem eoncipi debere; nimirum, ρηιed diffreatis parametrorum , quιτ ad duarquo ir diariet ros refermitur , sit aequalis portioπi, quam ex diametro, axi propisquiore, auferι perpendicularis ad eam dacta ex verti-ee alterius remotioris.
V. Sed nolo hic reticere puleherrimum Uad theorema. respieiens exosus, quibus parametri aliarum diametroram superant paramctrum axis r scilicet . quod excessua isti sint inter se in duplicata ratione rectarum quibus ipsae diametri distant ab axe. Esto enim AB axis parabolae . EF di
meter propinquior, S KL diameter remotior. Sint autem AD, ΕΗ, Κ I parametri ipsarum. Dico , excessus , quibus parametri diametrorum ΕΗ, Κ I superant parametrum axis AD , esse inter se in duplicata ratione redha
rum , quibus ipsis diametri EF . KL distant ab axe AB.
Ducantur namque ex verticibus diametrorum Ε,& K ordinatae ad axem EG, KR. Et quoniam ordinate istae rectos cum axe angulos constituunt , metientur eae distantias diame-
rotum EF, KL ab ipso axe AB. Unde eo res
322쪽
E 1 ε Μ Ε N T A- redit , ut ostendamus. cxcessus . quibus paria metes diametrorum ΕΗ, ΚΙ superant par metrum axis AD , esse inter se , vuluti sunt quadrata ordinatarum EG , , Id vero ostendemus in hunc modum. Exiscessus, quo Eri superat AD, est quadruplum i scissae AG. Pariterque excessus , quo Κl i Perat A D. est quadruplum abscissae AR. Qua-xe excessus. quibus parametri diametrorum
vi, KI superant parametrum axis AD , erunt ut abscissae AG, AR, atque adeo, ob parab
is naturam,ut quadrata ordinatarum EG,ΚR. VI. Caeterum ex eo , quod parameter cu- Da ι, ' iso jusque diametri superet parametrum axia per quadruplum ejus abscissae, quam aufert ex axe e aer, οπε- ordinata ad eum ducta ex vertice diametri, sa- .
invexire dis trum, chariat par metrum tis.' vitam. FIG.69. Sit enim AB axis parabolae, & AD para- meter eius . Et quoniam parameter axis est omnium minit ita; utique parameter data maior esse debet ipsa A D. Capiatur itaque excessuS, quo data parameter superat AD, & quadranti ejus aequalis constituatur abscissa AG. Erigatur porro ex puncto G perpendicularis GE, Parabolae occurrens in E . Et, ducta per punctum E recta EF , ipsi AB parallela , erit illadianaeter quaesita. Esto namque ΕΗ parameter ipsius EF. Igmque, ex superius ostensis , parameter illa EH superabit parametrum axis AD per quadruplum abscissae AG. Sed , ex constrisestone , per hoc idem quadruplum par meter
323쪽
go 4 SECTIONUM CONI cARUM data superat eandem AD . Quare erit EHqualis datae parametro et S propterea erit EF a
VII. VI l. Si loco axis, ct suae parametri det uendiameter quaevis alia cum parametro ejuS , ω per ea , quae superius ostensa sunt, etiam lice hit invenire diametrum alteram, quae habebit tarametrum datam. Sed hic duo sunt casus .isis dit tinguendi . Vel enim datat parameter ei bisaior eat, uuae refertur ad diametrum datam .
In priore casu solvetur problema in hune modum . S t EF diameter data , & ΕΗ γ-- rameter ejus . Capiatur excessus, quo data
' parameter superat in , & quadranti ejus qualis constituatur portio EQ.Εrigatur deinde ex puncto Q perpendicularis QK, parabolae occurrens iii K . Et, ducta per punctum Κ redha KL, ipsi EF parallela, erit ista diameteo
que,ex superius ostensis, parameter ista ΚI suia perabit parametrum ΕΗ per quadruplum porationis ΕQ.Sed ,ex constructione, per hoc idem quadruplum parameter data superat eandent FH. Quare erit Κl aequalis datae parametro &propterea erit KL quaesita diameter. ἰIn secundo autem casu solutio problematis siet hoc pacto . Sit KL diameter data ι& ΚI parameter eius. Capiatur excessus, quo ΚI superat datam parametrum , & quadranti ejus aequalis constituatur recta ΚP , ipsi KL in directum existens. Erigatur deinde ex puncto P perpendicularis PE, parabolae Occur
324쪽
rens in E. Et, ducta per punctum si recta EF,
ipsi KL parallela , erit ista diameter optata. Sit namque ΕΗ parameter ipsius EF. Jamque, ex superius ostensis , ducta KQ, ipsi EF perpendiculari, parameter ΚI superabit parametrum EF per quadruplum portionis Ed, sive ΚΡ. Sed, ex constriictione, per idem hoc quadruplum eadem KI superat parametrum datam . Quare erit ΕΗ aequalis datae Para metro : ct propterea quaesita diameter erit ipsa EF. νPatet autem, problema esse semper solutionis capax in primo casu , sed non item in secundo ; quia fieri potest, ut perpendicularis P si minime occurrat parabolae : quod quidem quum contingit, nulla erit diameter, cui data parameter competit. Nec id mirum esse debet i, quandoquidem, si parameter data minor sit ea, quae resertur ad axem, Onan no necesse est, ut problema sit Ibtutu impossibile VIII. Non dissimili artificio , data para- vli I. metro unius diametri , inveniri poterit para- meter cujusvis alterias diametri . Sint enim EF , KL duae quaevis parabolae diametri. Et, data parametro unius diametri EF , quae si Qi . a a ιEH , oporteat, invenire parametrum alterius diametri ΚL. FiO.69. Ex vertice Κ alterius diametri dem itatur super EF perpendicularis Kae, Jamque duo contingere possunt. Primo nempe , ut punctum Q cadat infra verticem Ε. Et secundo, ut idem punctum Q cadat supra verticem Ε. In priore casu parameter diametri KL ma jor erit parametro diametri EF . In secundo Tom.I. V ve-
325쪽
SECTIONUM CONICARUM 'ero casu erit per contrarium minor. In utroque autem casu disserentia para-
metrorum est semper quadruplum portionis ΕQ. Unde, siquidem contingat, ut pundium Quadat infra verticem Ε, invenietur parameter diametri ΚL, addendo quadruplum ejus poristionis ad EH , quae est parameter ipsius ΕF-Quod si vero accidat , ut punctum incadat supra verticem Ε . habebitur quaesita para meis ter , subducenda ex EH quadruplum quiadem illius portionis. Fieri quoque potest, ut perpendicularis , quae demittitur super EF ex vertice alteis rius diametri Κ , cadat in ipsum verticem Ε. Et in isto casu , evanescente portione EQ. utraque constructio nobis ostendet , eandem ΕΗ esse etiam parametrum diametri ΚL. Quod quidem mirum esse non debet ; quia, quum id contingit, binae diametri EF , KL Teperiuntur aequaliter hinc inde ab axe diis
alia η . quoque, data parametroam unius diametri, reperire parametrum alterius diametri , eodem illo artificio , quo superius Astiis an . usi sumus , ad idem problema solvendum in
'ε ' quaevis parabolae diametri. Et, data parametr unius diametri AB, oporteat, invenire diametruni alterius EF.
Sit AD parameter diametri AB , quae eum ipsa AB ponatur in directum . Tum , si cta AD bifariam in puncto M,describatur per tria puneta A , E . M circulus AEM, occurrens ipsi EF productae in puncto N . Ex tei
326쪽
ELEMENTA. te datur porro EN usque ad punctum Hi ita, ut sit E H dupla ipsius EN . Et crit EH parameter diametri EF. Demittatur si quidem super AB perpendicularis EG . Jamque , per superius ostensa,
differentia parametrorum , quae reseruntur ad diametros AB, EF, est quadruplum portionisAG. Unde eo res redit, ut ostendamus rectas ,
AD, ΕΗ differre a se mutuo per quadruplum ipsius A G. Id vero facili negotIo ostendemus. Nam, demissis ex puncto N super eadem AB perpendiculo alio NO,erunt duae AG,MO squales inter se et proindeque differentia rectarum AM , EN erit duplum portionis AG. Sed eneonstructione AD est dupla ipsius AM , RE H dupla ipsius ΕN. Itaque differentia rectarum AD , ΕΗ erit quadruplum ejusdem AG. X. Reliquum jam est , ut breviter ostenis
damus quaecumque pertinent ad angulos quos parabolae diametri cum ordinatis suis constituunt. Hunc in finem, praemis tendum es alam ιν
prius sequens theorema, quod si AB , EF sint gizi: ....
duae quaevis parabolae diametri , super quibus Iutuu - eX alternis earum verticibus ducantur ordinatae EG , ΑΟ ; ordinatae istae sint in subduplicata suarum parametrorum ratione. Sit enim AD parameter diametri AB, REH parameter diametri EF . Erit igitur , ob Parabolae naturam, EG quadratum aequale rectangulo DAG, S AO quadratum aequale rectaneulo HEO . Quare erit. iit EG quadratum ad Ao quadratum . ita rectangulum
327쪽
Fia.69. gos SECTIONUM CONICARUM Et quoniam ex superitis ostensis, ordinatae EG , AO abscindunt ex dis metris AB, EF portiones aequales ; erit abscissa AG aequalis abscissae EO. Unde, quemadmodum rectangulum DAG est ad rectangulum HEO, ut AD ad ΕΗ ; ita in hae eadem ratione erit pariter EG quadratum ad AO quadratum : &Propterea ipsae ordinatae EG, AO erunt in - subduplicata ratione parametrorum AD , FH. XI. Hinc vero prono alveo fluunt quaecumque obtinent circa angulos , quos parabo Iae diametri eum ordinatis suis constituunt. Nimirum consequitur primo , suum anguli , quem diameter quavis consiluit cum
Ordinatis suis, esse ad radium iu sub plicata
ratione ejus, quam habet parameter axis odparametrurn ejus diametri.
Posito enim , quod AB sit axis parabolae, & EF diameter q laevis, si ducatur ad hanc diametrum ordinata AO, S ex puncto o demittatur ad axem perpendicularis OL ; erit, ut statis anguli BAO ad radium , ita o L ad AO, sue etiam ita EG ad AO . Sed EG ad Ao est in subduplicata ratione parametro runi AD , ΕΗ . Qtiare in hac eadem subduplicata ratione erit cliam sinus anguli BAo ad
Consequitur secundo , sistis angulorum, quos duae quae vis diametri constituunt cum ordinatis fuis, esse in subduplicata ratione reciproca fuarum parametrorum. Jam enim ostensum est, quod finus anguli, quem constituit diameter at qua cum tu is ordinatis,sit ad radium in subduplicata rati
328쪽
rametrum eju1 diametri. QVare, ex aequo per . turbando, sinus anguli, quem constituit di meter una cum suta ordinatis , erit ad sinum anguli , quem essicit diameter altera cum oris dinatis suis, in subduplicata ratione ejus , quam habet parametur istius ad parametrum illius . ConsequItur demum , angulum acatam. quem consiluit diameter cum ordinatis suis, eo minorem evadere, quo magis i a diameter ab axe recedit. Nam , ex superius ostens s , parameterdῖametri eo maior evadit, quo magis ipse diameter ab axe removetur . Sed ei parametro est reciproce proportionale quadratum sinus, quem eadem diameter cum suis ordinatis constituit. Ouare per contrarium, tam sinus, quam ipse angulus acutuS , ad quem sinus refertur , necesse est, ut eo minor fiat, quo magis diameter recedit ab axe.
329쪽
LIBRORUM, ET CAPITUM, Quae in hoc Primo rimo
modis plano secari potest. sCAP.II. Ruae curvae sectionum conicarum nomine veniunt, ct quae sit earum origo. ι CAP.III. De diametro fictionum conἰcarum, deque ejus verticibus, ordinatis,
ct abscissis. 22 CAP.IV. sit natura ellipsis relate ad
diametrum definitur. 3 CAP.U. . Ruria hyperbola relate ad diameiatrum accidat, ostenditur. 3 9 CAP.VI. Res sit parabolae relate ad diameiatrum natura aperitur. 48LL
330쪽
LIBER IL' De Sectionum Conicarum in Plano Def iptione.
P .I. xinione essipsis in plana peη cm num describi possit ostenditur. 3 7 CAP.II. Ratio describendi hyperbolam in plano per conum explicatum 71 CAP.III. Parabolum in plano per conum de scribendi ratio aperitur. ggCAP.IV. ratio- allipsistas rectas doscribi possit , demons stratur. ' 96 CAP.V. Ratio desiribendi hyperbola in pla-
. no per rectas solas explicatur. io7
CAP.VI. ino pacto d scribi possit parabola impiam per roctos oponditur. II
metris aliis. . CAP.I. Ellipsis omnes alia diametri de
. CAP.II. Diametrorum ellipsis communia - quaedam ostenduntur. I 39 CAP.III. 'perbo lae omnes alia diametri δε- terminamur. lsa