Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

291쪽

Ma, IECTIONUM CONICARUM'. IV. Inde vero inferre licet, stubis3.M aia A diametror Θperbola reciproce proportionales re sunt m 'is disterentias laterum suarum Aurorum .eIonales eum Ut enim diametri AB parameter estae d. AD , ita sit EH parameter cujusvis alterius m-diametri EF. Dico , AB esse ad EF, ut est dif-F16.6a. ipsorum EF, EH ad differentiam, quae' est inter ipsas AB, A D.

ob ostensum namque theorema , differentia inter quadratum alicujus dia tri , ad figuram ejus est eadem ubique . Quare differentia inter AB quadratum ,& rectangulum DAB aequalis erit differentiae inter EF quadratum , ct rectangulum HEF. Iam disserentia inter AB quadratum , ct rectangulum DAB tantundem valet , ac re

Etangulum ex AB in disserentiam ipsarum AB, A D. Et similiter disserentia inter EF quadratum , ct rectangulum H EF perinde est, ac . rectangulum ex EF in differentiam ipsarum EF , ΕΗ . . re, quum aequalia sint inter se duo ista rectangula ; erit, ut AB ad EF, ita differentia duarum EF , ΕΗ ad disse.

rentiam duarum AB, A D. V. V. Atque hinc modo facile erit ostende---. - 's quod ex binis diametris, ad easdem Θ- ad easim perbolas terminatis ea , quae major es, majorem parametrum habeat.

oo maiorem Maia eant enim omnia , ut supra . Et no-δabet , qua namus, diametrum AB minorem esse diametro

EF. D co, parametrum AD , quae resertur ad , - diametrum minorem , esse etiam minorem parametro ΕΗ, quae resertur ad diametrum maiorem.

292쪽

ELEMENTA. a 3 ostensiim est namque , quod diameter AB sit ad diametrum EF , ut est different a ipsa tum EF , ΕΗ ad differentiam , quae est in ter ipsas AB, A D. Quare, sicuti B minor est, quum EF ; ita & disterentia duarum EF , Et

minor erit differentia duarum AB , A D. Disserentia igitur inter diametrum EF,¶metrum suam ΕΗ est minor disserentia, quae est inter diametrum AB , ct parametrum suam AD . Sed EF major est, quam AB . Ita inque ΕΗ multo major erit, quam A D. Id quum ita sit, perspicuum est, quod, sicuti omnium diametrorum hyperbolae minima est ea , quae axis vocitatur ; sic omnium parametrorum illa quidem sit minima, quae refertur ad axem . Et quemadmodum omnes aliae diametri in recessu ab axe continuo augentur ; sic & parametri earundem in eodem recessu perpetuo quoque maiores evadunt. VI. Notetur autem hic sedulo velim, pro- vr. prietatem Ulam veram esse in iis tantummodo diametris , quae majores sunt suis parante tris; priraas non quum allata demonstratio dumtaxat in eis illius veritatem evincat. sed longe sucus se res ,

habet in diametris illis , quae parametris suis sunt minoreS ; quum in eis duo sunt .casus diis μ stinguendi. Primus casus est , quum quadratum axis non est minus dimidio quadrati, quod fit ex suo conjugato . Et quum id contingit, minima quidem parameter est ea , quae resertur ad axem; aliarum autem eae semper sunt minoreS, quae ad diametros item minores reseruntur:

ydeo, ut hic quoque generaliter verum erit,

293쪽

FIO.63. a 4 SECTIO NuM CONICARUM quod, crescentibus diametrio, augeantur etiam parametri ipsarum. Alter casus est, quum quadratum axis minus est dimidio quadrati , quod fit ex suo conjugato . Et tunc , comperta diametro , cuius quadratum adaequet semissem quadrati , quod fit ex eius coniugata, erit parameter istius diametri omnium minima , tum item aliarum eae semper minores erunt, quae Tela, runtur ad diametros , minus ab illa distantes. VII. Neque vero dissicile erit , utriusulcasus veritatem ostendere . Si enim in triangulo rectangulo ABC reserat latus BC axem hyperbolae, & hypothenusa AC eius conjugatum ς per ea, quae superius ostensa sunt, exhibente BE aliam quamvis diametrum, exhibebit ΑΕ conjugatam illius . Unde , ere

ctis super ipsis AC , AE perpendiculis AI, AL ; fiet Ct parameter axis BC , S EL par

meter diametri ΒΕ.inum enim in triangulo rectangulo CAI ex angulo tecto A demissa sit ad hyp the nutam CI perpendicularis AB , erit, ut BC ad AC , ita AC ad CI. Sed parameter axis BC est tertia proportionalis post ipsum axem, & ejus conjugatum . Itaque , quum sit AC conjugatus axis BC, erit CI parameter ejusdem axis BC.

Eadem ratione , quoniam in triangulo

rectangulo EA L ex angulo recto A demissa est ad hypothenulam EL perpendicularis AB; erit, ut BE ad AE , ita AE ad EL . Sed para' meter diametri BE est tertia proportionalis post ipsam diametrum ejus conjugatam,

294쪽

Itaque . quum sit AE conjugata diametri ΒΕ,

erit E L ejusdem diametri param ter . VIII. madmodum ergo CI est para- imeter axis BC , ita EL est parameter diametri εBE . Et quoniam anguli CAI , EA L, qui cruribus suis abscindunt ex eadem A X portiones CI, EL, sunt aequales inter se ; iam hic

etiam sumus in eo casu , in quo angulus re dii lineus vertitur circa verticem suum , ct ex recta, positione data , cruribus suis parpetuo Portionem aliquam abscindit.

Hinc , siquidem MAN sit positio anguli

recti , in qua crura ejus aequalia fiunt, erit portio MN omnium minima ἔ tum item alia rum eae semper minoreS erunt, quae ad ipsam MN magis accedunt. Unde eo res redit . ut ostendamus, BC quadratum non minus esse dimidio quadrati, quod fit ex AC , quotie cumque BC non minor est, quam BM; esse vero minus , quum per contrarium BC minor est , quam B M. id vero liquet abunde . Nam , propter aequales AM, AN , sunt etiam aequales duae AB , B M . Quare , quum BC non minor est, quam B M , nec etiam minor erit, quam AB: Sc propterea quadratum ejus nec item minus

erit dimidio quadrati, quod fit ex AC . Uicissiim vero , quum BC minor est , quam BM; erit BC minor quoque , quam AB : adeoque BC quadratum minus erit dimidio quadrati, quod fit ex AC. IX. Caeterum nolim hic silentio praeterire,

quod sicuti, erectis super ipsis AC , AE per- Pendiculis AI, AL, fiunt CI, EL parametris a ipsa-

295쪽

ινε SECTIONUM CONICARUM Iunt 6 ipsarum BC , BE ; ita , demissis super iisdem

Quum enim in triangulo rectangulo ABC ex angulo recto B demissa si ad hypothenusam AC perpendicularis B H ; erit, ut AC ad BC , ita BC ad CH. Sed parameter axis AC est tertia proportionalis post ipsum axem , & ejus conjugatum . Itaque , quum sit BC conjugatus axis AC , erit CH parameter ejusdem axis A C.

Simili ratione , quoniam in triangulo rectangulo ABE ex angulo recto B demissa est ad hypothenusam AE perpendicularis ΒΚ; erit, ut AE ad BE , ita BE ad ΕΚ . Sed para- meter diametri AE est tertia proportionalis post ipsam diametrum, & ejus conjugatam. Itaque , quum sit BE conjugata diametri AE, erit ΕΚ ejusdem diametri parameter. Jam , si super AB , velut d ametro , seis micirculus describatur, transibit iste per illa

cadem puncta , ita quae cadunt perpendiculares ΒΗ, ΒΚ . Unde portio suae circumstrentiae AH considerari poterit veluti locus parametrorum , quae reseruntur ad diametros AC, AE . Et inde rursus apparet, quod crescentia hus hisce diametris , augeri debeant quoque parametri ipsarum. X. Ex his omnibus colligi et Iam denuo potest veritas theorematis superius ostensi , proce pr. Quod duae suavis hyperholae diametri sint re-

296쪽

ELEMEN ΤΛ. a 2 ctangulum ex diametro quavis in differentiam Iaterum suae figurae adaequare semper quadratum datae rectae AB. Sit enim primo ΑΕ diameter, de qua agitur. Et quoniam, ex ostensis , ΕΚ est ejus parameter , erit AK disserentia laterum suae

figurae . Unde eo res redit, ut ostendamus ,

rectangulum ex AE in AK aequale esse quadrato ex AB . Quod quidem liquet abunde; quum tres rectae AE , ΑΒ , ΑΚ sint in continua Proportione.

Sit secundo BE diameter, de qua est quaestio. Et quoniam, per superius ostensa, ELest parameter eius; erit BL differentia laterum suae figurae. Unde eo res redit, ut ostendamus , rectangulum eκ BE in BL aequale esse quadrato ex AB . Quod quidem ad huc liquido patet; quum tres rectae BE, AB , BL fuit

in continua proportione .XI. QDmquam autem vi huius theorernatis differentia laterum Murae diametri miis de summa a nuatur, crescente Oametro 3 attamen non Pe--ninum rinde res est de famma eorundem laterum. Ubi enim diametri majores sunt suis parametri ; Fio.63 tunc , quia cum diametro augetur quoque parameter ejus, necesse est, ut summa laterum figurae cum eadem diametro pariter augeatur. Ubi vero diametri minores sunt parametris suis; tunc duo oportet casus distinguantur. Primus casus est , quum quadratum axis non est minus triente quadrati, quod fit ex suo coniugato. Et quum id contingit, sum ma laterum figurae ipsius axis erit omnium mianima , ea vero, quae resertur ad diametrum,

297쪽

x II.

FiG.6ῖ.aν SECTIONUM CONICARUM axi propinquiorem , minor erit illa , qtrae re fertur ad diametrum, ab eodem axe remotio rem et adeo , ut hic quoque generaliter verum erit quod , crescente diametro , augeatur etiam summa laterum suae figurae. Alter casus est, quum quadratum axis est minus triente quadrati, quod sit ex stio conjugato. Et tunc, comperta diametro , cujus quadratum adaequet trientem quadrati, quod fit ex ejus conjugata;erit summa laterum figurae istius diametri omnium minima , ea Vero , quae refertur ad diametrum , ipsi propinquiorem , minor erit illa , quae resertur ad diametrum , ab eadem remotiorem.

XII. Pendet autem atriusque casur δε- monsatio ex praeclaro iso theoremate , quod manentibus omni hus, ut supra, si anguluS reinctus CAI revolvatur circa verticem suum A, summa duarum BC , CI eo minor evadat, quo magis ipse angulus ad eam positionem accedit, in qua quadratum cruris AC adaequat semissem quadrati, quod fit ex crure altero AI.

Sit enim MAN positio anguli recti, laqua quadratum cruris AM est aequale dimidio

quadrati, quod fit ex crure ultero AN . Erit igitur summa duarum B M , MN omnium minima ue tum item aliarum summarum eae semper minoreS erunt, quae ad summam illam magis accedunt. Unde eo res redit , ut ostendamuS, BC quadratum non minus esse triente qua drati, quod fit ex AC, quotiescumque BC non minor est, quam BM; esse vero minuS,

quum vicissim BC minor est, quam BM . Id vero facili negotio ostendemus . Est

enim

298쪽

enim AM quadratum ad AN quadratum , ut B M ad B N. Unde , sicuti AM quadratum est dimidium quadrati, quod fit ex AN; ita quoque B M semissis erit ipsius B N.Hinc, quotietacumque BC non minor est , quam B M , nec etiam BC minor erit, tum semisse ipsius BI, cum triente totius CIt adeoque, quia BC quadratum est ad AC quadratum , ut DC ad ad CI, nec item BC quadratum minus erit triente quadrati , quod fit ex AC. Vicissimvero , quum BC minor est , quam B M , erit BC minor triente ipsius Ci; & BC quadratum minus quoque triente quadrati, quod fieex AC. XIII. Memorabile est autem, quod Iocum

habet in disserentia quadratorum , qua sunt a. δἐνὸν ιε- ex figurae lateribus . Ista enim in diametris, quae sunt majores parametris suis, augetur, crescente diametro ; in diametris vero , quae Para metris suis sunt minores , minuitur , ubi ' δ' diameter crescit: adeo , ut omnium minima est illa , quae resertur ad axem.

Capiatur etenim primo diameter AE , quae major est parametro sua ΕΚ . Et quoniam ΑΕ quadratum est aequaIe ΑΚ , ΕΚ quadratis una cum duplo rectanguli AKE , sive etiam duplo quadrati,quod fit ex BK, erit differentia quadratorum AE , ΕΚ aequalis quadrato ex ΑΚ una cum duplo quadrati ex BK ; atque adeo aequalis duobus quadratis AB , ΒΚ. Sed

summa horum quadratorum eo maior evadit , quo magis augetur diameter AE . Quare , crescente diametro AE , augetur etiam

differentia quadratorum AE , ΕΚ.

299쪽

.a o IECTIONUM CONICARUMCapiatur secundo diameter BE , quae mi- .nor est parametro stia Ε L. Et quoniam EL quadratum est aequale BE , BL quadratis una cum duplo rectanguli E BL , sive etiam duplo quadrati, quod sit ex AB i erit differentia quadratorum BE , EL aequalis quadrato ex BL una cum duplo quadrati ex AB, atque adeo aequalis duobus quadratis AB, AL . Sed

summa horum quadratorum eo minor evadit, quo mugis augetur diameter BE . Quare , crescente diametro ΒΕ, minuitur differentia quadratorum ΒΕ , Ε L. XlV. Reliquum jam est, ut , quid obtia

μmma neat in summa quadratorum , qua sunt ex Hlata risus, breviter ostendamus. Sane in rat/- ilia metris , quae majores sunt suiS parametris, ea crescit , crescente diametro . Et ratio est,' quia una cum diametro augetur quoque Para meter eius . In diametriS autem , quae param

e tris suis sunt minores , duo sunt casus distin guendi. Primus casus est , quum quadratum axἰs non est minus dimidio quudrati, quod sit ex differentia laterum suae figurae. Et quum id

contingit, summa quadratorum ex lateribus figurae ipsius axis , ecit omnium minima ue ea ivero , quae refertur ad diametrum , axi propinquiorem , minor erit illa , quae resertur ad diametrum , ab eodem axe remotiorem ζ adeo, ut hic quoque generaliter Vor sm erit, quod crescente diametro , augeatur quoque summa qudratorum , quae fiunt ex figurae lateribus. Alter casus est, quum quadratum axis

est minus dimidio quadrati, quod sit ex disi

300쪽

E L E'M E N T A. rentia laterum suae figurae . Et tunc , comper ta diametro, cujus quadratum adaequet semis.sem quadrati ex differentia laterum figurae ejus 3 erit summa quadratorum ex lateribus figurae istius diametri omnium minima ue ea V ro , quae refertur ad diametrum , ipsi propinquiorem , minor erit illa , quae resertur ad dianae trum, ab eadem remotiorem.

XU. Utriusque autem casus demonstratia TR pendet ex hoc altero eleganti theoremate, quod manentibus omnibus , ut supra , si angulus rectus C A1 revolvatur circa verticem suum A, a. di motν summa quadratorum ex Ipsis BC, CI eo minor evadat , quo magis ipse angulus ad earn vim. positionem accedit, in qua quadratum cruris FIO.6ῖ.

AC est ad quadratum alterius cruris AI In eadem illa ratione , quam habet latus cujusque quadrati ad ejus diagonalem. Sit enim MAN positio anguli rem , laqua quadratum cruris A M est ad quadratum alterius cruris AN , ut est latus cujusque qua drati ad ejus diagonalem . Erit igitur summa quadratorum ex ipsis BM, MN omnium minima ; tum item aliarum summarum eae semper minores erunt, quae ad summam illam magis accedunt. Unde eo res redit , ut ostendamus,

BC quadratum non minus esse dimidio qua drati , quod fit ex BI, quotiescumque BC , non minor est , quam BM ς esse vero minu , quum vicissim BC minor est , quam B M. Id vero nul Io negotio ostendemus . Est

enim AM quadratum ad AN quadratum , ut B M ad BN . Unde, si euti AM quadratum est ad AN quadratum . ut latus cujusque quadra