장음표시 사용
301쪽
a 1 SECTIO NuM CONICARUM ti ad eius diagonalem ς ita in hac eadem ratione erit quoque BM ad BN: & propterea BM quadratum aequale erit dimidio quadrati,quolsit ex BN . Hinc, quotiescumque BC non minor est , quam BM , nee etiam BC quadratum minus erit dimidio quadrati, quod fit ex BI . Quotiescumque vero BC minor est , quam BM,erit itidem BC quadratum minus dimidio quadrati, quod fit ex BI.
Solvuntur problematis quaedam circa Operbolae diametros, s parametros.
I. I. OmparatIs Inter se mutuo, tam diametris, quam parametris hy-vmi e perbolae ς sequitur modo, ut problemata quae-
. hzi. sunt. Primum itaque problema hoc erit edais Fio.6o. Oxibus Operbola , invenire duas diametros conjugatas, quae datam habeant rationem tuis ter se . Quem in finem reserat in triangulo rectangulo ABC hypothenusa AC axem majorem , & latus BC axem minorem. Per ea , quae superius ostensa sunt . iam eo res redit, ut producta BC versus X , inveniatur in CX tale quidem punctum E , ueAE .dBE sit in data illa. ratione . Itaque,queta ducta Cs , ipsi AE parallela . AE est aclBE, ut CS ad BC , erit Cs ad BC similiteein
302쪽
ΕLEMENTA. at In illa data ratione. Unde solvetur propositum problema, applicando intra angulum ABC rectam CS , quae ad axem minorem BC datam habeat rationem ς & ducendo per punctum Arectam AE , ipsi CS parallelam.
Patet autem , in solutione propositi pro-hlematis illud a nobis assumptum esse , ut ratio data sit maioris ad minus . Unde , si fuerit minoris ad maius , necesse est, ut ea invertatur . Sed liquet etiam , rationem datam mino rem esse debere ea , quam habet axis maior ad axem minorem I quia aliter punctum E reperiretur in ipso axe minore BC , atque adeo
problema impossibile latet. II. Secundum problema Ita se habet: da- II. tis axibus hyperbola, invenire duas diametros ζ V,
conjugatas , qua datum rectangulum consis nsen reneant. Maneant omnia , ut supra , ct producta CB versus T, sit AB T rectangulum datum, quod quidem majus esse debet rectangulo a z.ῶACB . Secetur AB bifariam in s . Et juncta ST , extendatur AB versus V , ita ut SV Ipsi ST sit aequalis . Describatur deinde super A Usemicirculus AEV; Sc erunt ΑΕ , BE diametri quaesitae.
Quum en Im duae ST , SV inter se sne
aequales ς erit quoque ST quadratum aequale quadrato , quod fit ex SV . Sed ST quadratum est aequale duobus quadratis Bs , BT ;& SV quadratum est aequale rectangulo AUB una cum BS quadrato . Itaque erunt quadrata duo BS , BT aequalia rectangulo AVB una cum Bs quadrator & propterea dempto communi quadrato ex BS , supererit
303쪽
184 IECTIONUM CONICARUM BT quadratum aequale rectangulo AUB. Et quoniam , tulicta VE , rectangulum AVB aequale est V E quadrato a erit etiam B T quadratum aequale VE quadrato . Unde, quum duae BT, VE inter se sint aequales 3 erit rectangulum ABT aequale rectangulo ex
AB in VE . Sed tectangulum ex AB In VEest aequale rectangulo AEB ; quum AB sit ad AE, ut est BE ad VE. Quare rectangulum AEB erit aequale tectangulo ABF: & propterea duae ΑΕ , BE erunt quaesitae diametri.
111. III. Tertium problema in huiic modum concipitur i datis axibus Operbola , iuvenire
M. ἐ-νωινε duar istametros conjugatas ,.qua datam fammam conficiant. Iisdem , ut supra , manentibus , capiatur recta data super B X , ct sit BZ , quam
ex superius ostensis majorem esse oportet summa duorum axium AC , BC . Jungatur dein- O 6 de AZ, cui perpendicularis erigatur AT, ipsi BZ occurrens in T. secetur postea TZ bi fariam in Ε ; Eh iuncta AE , exhibebunt duae AE , BE quaesitas diametros. Quum enim angulus ZAT sit rectus, secmicirculus descriptus super TZ, velut diametro , transibit per punctum A . Sed centrum hujus semicirculi est punctum E i ut quod ex constructione dividit bifariam diametrum ejus TZ. Quare duae ΑΕ , ΕΖ aequales erunt inteese : proindeque , quia apposita communi ΒΕ, fiunt duae AE, BE aequales toti BZ , erunt eaedem AE , BE optatae diametri. Disti tuis, Qu/rtum Problema huiusmodi eriti. datis axihus Byperbolae,invenire daas diametros
304쪽
ELEMENTA. a ς autem solutio est fere eadem cum praecedente.
Capiatur enim differentia data super CB pro- ..ia ducta , ct sit BT, quam , per superius Osteiasa, minorem esse oportet differentia aκium AC, Fio. 64. BC . Jungatur deinde AT , cui perpendicularis erigatur AZ,ipsi BT occurrens in Z.Secetur postea TZ bifariam in Ε . Et iuncta AE, fient AE , ΒΕ diametri quaesitae. Nam similiter , quum angulus ZAT se rectus , semicirculus, qui describitur super TZ, velut diametro, transibit per punctum Α, Sed centrum huius semicirculi est punctum E et quippe quod dividit ex constru Aione hiis fariam diametrum ejus TZ . Quare duae ΑΕ, ΥΕ aequales clunt intor se et & propterea , quemadmodum BTest differentia duarum TE, BE ; ita erit eadem BT differentia duarum ΑΕ, ΒΕ. V. .ntum problema ita proponetur :datis axibus Operbola n venire duas diametros conjugatas , quarum quadrata datam fummam eonstituant. Mus autem resolutio nullam d in eonis aias .ficultatem involvit . Quum enim disserentia eorundem quadratorum aequalis esse debeat iam μα- differentiae , quae est inter quadrata axium; utique data erit, tam summa , quam disserentia eorum quadratorum.
Hinc , siquidem ad dimidium summae addatur dimidium differentiae , habebitur quadratum diametri majoris . Quod si autem ex dimidio lummae auseratur dimidium differenistiae , orietur quadratum diametri minoris. Quare diametrorum quadrata data etiam erunt seorsim . R. consequenter dabuntur quoque
305쪽
sECTIONUM CONICA Ru MIpsae diametri, quas oportet invenire. Sicuti autem , quum quaeruntur binardiametri conjugatae , quarum summa sit data. necesse est , ut data ista summa sit maior sumiama axium ἶ ita quoque , quum invenire oportet hinas conjugatas diametro. , quarum quadrata datam summam constituant , illud quidem requiritur , ut istiusmodi data summa si e major summa quadratorum , quae fiunt ex axibus. nisu Iin, VI. sextum problema hunc in modum, efferemus et datis axibus δ' erbola, invenire
contineant. Sed facile erit, problema istud eum angvi. ad secutidum reVocare , in quo datis Paxibus hyperbolae , quaeruntur binae diametri conjugatae , quae datum rectangulum comprehen
Nam semper ac datus est anguius , quem quaesitae diametri continent; data erit ratio, quam habet ejus sinus ad radium . Sed ratio ista est aequalis ei, quam habet rectangulum sub axibus ad id , quod sub ipsis diametris
continetur . Quare etiam haec alia ratio data erit: & propterea , quum datum sit rectangulum sub axibus, dabitur quoque rectangulum, quod continent quaesitae diametri. VII. VII. In septimo problemate illud porro quaeremus, ratione, datis axibus hyperbolae, ,τen re-- inoenire liceat diametrum,qua datam parametrum habeat . Huius autem problematiS, pe-- ' rinde ac eorum omnium , quae sequuntur, duo Dio.6s. erunt c/ὶS , Nam diameter , quam quaerimus, yel invenienda est inter ego , quae terminanis
306쪽
ELEMENTA. at tur ad hyperbolas axis majoris; vel etiam inister illas , qtiae suos terminos habent in hyper-holis axis minoriS .
In priore casu erigatur super AB perpendicularis BQ , quae dimidium datae parametri adaequet . Tum, juncta AQ, describatur centro intervalloque QB circuli circumferentia , cum qua ipsa AOonveniat in punctis T , S V . Denique in angulo ABC appliceis tur recta ΑΕ , aequalis ipsi AU. Et erit AEdiameter quaesita. Demissb enim super AE perpendiculo ΒΚ, erit eidem AB quadrato aequale , tam remctangulum EAK , quam rectangulum TAV, Quare duo ista iectangula EAK, TAV aequalia erunt inter se : S propterea , quemad modum sunt aequales duce AE , AV . ita aequales erunt pariter, tam duce AK,AT, quam duae ΕΚ , TV . Sed TV , velut dupla ipsius BQ , datam parametrum adaequat . Et igitur eidem parante tro aequalis quoque erit ipsa EΚ , quae est parameter diametri ΑΕ. In secundo vero casu applicetur in angulo ABQ recta Ad, quae semissem adaequet datae parametri. Fiat deinde QE aequalis ipsi Ain. Et erit ΒΕ quaesita diameter . Nam , si centro Q, intervalloque QE semicirculus describatur , ipsi BE occurrens ad partem alteram in L : ob angulum rectum EAL , erit EL parameter ipsius BE ; adeoque, quum EL
sit dupla ipsius . , sive AQ, erit EL datae
Vt Il. Ad octavum problema quod alit' net, quaeremus in eo, qua ratio , datis axibus
307쪽
rametrum suam datam habeat rationem .Et ubi frum uuidem data ratio est maioris ad minus , dia- .is meter , quam quaerimuS , in enienda est intera eas, quae terminantur ad hyperbolas axis ma-r . 04'-. Quotiescumque vero est minoris ad majus, comperienda inter illas , quae suos terminos habent in hyperbolis axis minoris. In priore casu extendatur AB usque in Vi ita, ut A V ad BV sit in data ratione . De. scribatur deinde super AV semicirculus ΑΕV. Et erit AE diameter quaesita. Nam, demisso super AE perpendiculo ΒΚ , fiet ΕΚ parameter ipsius AE . Sed AE est ad ΕΚ, ut
ΑV ad BU . Itaque diameter AE ad parametrum suam ΕΚ erit in data ratione. In secundo casu extendatur quoque AB usque in V . sed ita tamen , ut BV ad A V sitIn data ratione . Postea describatur similiter super AU semicirculus ΑΕ U. Et erit BE dia. meter optata. Nam, erecto super A E perpendiculo AL , fiet EL parameter ipsius B E. Sed BE est ad EL, ut BV ud AU . Itaque diameter BE ad parametrum suam EL erit in data
Idem problema potest etiam ad primum revocari. Nam, semper ac data est ratio, quam quaesita diameter habere debet ad suam para. metrum , utique data erit pariter ratio , quam eadem quaesita diameter habebit ad suam conis iugatam: quippe quae illius est duplicata. Unde vicissim primum problema ad octavum istud poterit reducit quaerendo nempe diame- rum . quae Ad suam parametrum habeat ratio
308쪽
r ' E I g Μ g N T A r Z ars nem subdit plicatam ejus , quae inter utramque diametrum esse debet. id X. Nohum problema eo se vertet , ut IX. datis axibas opersolae, raveniatur)viameter ed' ' , et quae,vel constituat datam summam cum sua , noen rametro, vel disserat ab ea per datam disseren-nam. Et quantum ad priorem partem , sibi ve- v i πνει- tur problema in eum , qui sequitur , modum. ι 'Sit primo dima meter invenienda eκ e -cum sua φώ Tum numera, quae parametris suis sunt majo- az I.ι res . Extendatur CB versus M, ut fiat B M ae ,'' ' '
qualis ipsi AB . Tum iuncta AM , erigatur Fis.6s.
super ea perpendicularis MN aequalis di nidio datae summae . Describatur deinde centro N, intervalloque NM circuli circumferentia MOR., conveniens cum A N in punctis Ο, &R . Jamque, si in angulo ABC applicetur rein
Ha AE , aequalis dimidio ipsius AO ; fiet AE
Demittatur enim super AE perpendlauia Iaris ΒΚ 3 eritque , tam rectantillum OAR aequale quadrato ex AM , quam rectanguluin EAK aequale quadrato ex AB. Sed , ex conis structione , A M quadratum duplum est quadrati ex ΑΒ . Sare etiam rectangulum
OAR duplum erit rectanguli Ε Κ proindeaque , secta AO bifariam in s . fiet rectangua Ium SAR aequale rectangulo EAΚ , atque adeo , ob aequales AB, AS, erunt etiam aedquales , tam duae AK , AR . quan duae ΕΚ, Rs . Unde , additis aequalibus A E , OS ; erie summa duarum AE , ΕΚ aequalis toti OR,
quae dupla est ipsius MN. - a Sit deinde diameter invenienda ex nuaerim. . T m
309쪽
SECTIO MIR eo me ARULrmero uiarum, q iae vieissim sunt minores suis parametris . Extendatur quoque CB versus
M . u:-B M aequesta ipsi AB. Tum, jancta AM, fiat adhuc angulus tectus Abin , in
quo tamen applicetur recta AN , aequalia dimidio datae uim p. Descri hatur pariter ceu tro N , intervalloque NM circuli cireumserentia MOR, conveniens eum AN in pundus
O , & R . Jamque, si ex Bx abscindatur poristio G , aequalis dimidio ipsius ΑΟ , fiet BE
Erigaturetam super AE perpendieularisAL . eri eque , tam reliangulum QAR aequale quadrato ex AM , quam rectanguium EB L aequale quadrato ex AR . Sed , ex constructione , AM quadratum duplum est quadrati ex AB. Quato etiam rectangulum OAR duplum eri e rectanguli EBL: proindeque, secta AO bifariam in s , fiet retiangulum S ARaequale rectangulo EBL; atque adeo , ob ae-miater BE , AS , erunt etiam aequales duae BL, AR. Vado summa duarum BE , ae. qualis erit summae duarum AOLAR, quR dupla est ipsius AN.
Mitum ad se eundam partem , nutilo negotio solvetur problema. Nam, si diameter invenienda sit inter ea , quae parametria suis sunt majores; satis erit, in semicircuIo, descripto super As velut diametro, applicaret rectam AK, quae fit aequalia datae differe tiae; quandoquidem ista,producta usque ad E, dabit diametrum quaesitam . Quod si vero diameter comperienda sit inter GS , quae misnores tu ut suis Palametris 3 tunc extendatur
310쪽
ELEMENTA. ast ICB usque in L , ut sit B L aequalis dIsserentiae datae. Et,erecta super A L perpendiculari AE,
si et BE diameter Optata. X. . Decimum problema illud ostendet, qua X. ratiore , datis axibus byperbolae, invenire licetu diametrum , cujus parameter cum disseis i , iuvem . rextia latςrum figura datum ractangulum coar- ' - J4mque , si diameter invenienda debet rer metreussu ἐκ numero earum , qu* sui. Para metri S Nnι- tito 1 unt majore. , solvetur problema, si descripto
sutar Ad, velut diametro semicirculo AKB applicetur in eo recta BK , cujus quadratum datum rectangulum adaequet. Nam, juncta ΑΚ siet , AL diameter quaesita. Quum enim diametri Ad parameter qui, dem sit EK , differentia vero laterum figurae sit AK ; erit AKB rectangulum , quod fit ex Para metro. ejus indifferentiam laterum suae sirigurae. Sed rectangulum AKL est aequatu qua-di. to ipsus ΒΚ . Qitare , sicuti ΒΚ quadratum , ex constructione , datum rectangulum adaeqliat ; ita quoque eidem dato rectangulo aequale erit rectangusti m AKL. . Quod si vero diameter invenienda debeat este ex numero illarum, quae minoressu ut suis parametri. . solvetur problema , si producta CB versas L, applicetur in angulo AB L recta AL talis longitudinis , ut ejus quadratum sit aequale dato rectangulo. Nam,s deinde super A L perpendicularis erigaturAE , ipsi BC occurrens in E ; fiet BE diameter optata.
menim diametri ΒΕ parameter quidem sit IL, differeulia vero laterum figurae T a sit