장음표시 사용
311쪽
ayx SECTIONUM 'CONICA Rurisit BL ι erit ELB rectangulum , quod sit ex parametro ejus in differentiam laterum suae
ligurae . Sed rectangulum ΕLB est aequale quadrato ipsius A L . re , sicuti A L qua
dratum , ex constructione , datum rectangulum adaeqtiat e, ita quoque eidem dato rectan ingulo aequale erit rectangulum ELB. Hoc idem problema poterat etiam ad PraecedenS revocari. Quum enim datum sit rectangulum , quod sit ex parametro in di ferentiam laterum figurae; Sc rectangulum ex diametro in eandem illam disserentiam si. militer sit datum : dabitur quoque disserentia forum rectangulorum , hoc est quadratum ex differentia laterum figurae; Sc consequenter ipsa latetum differcntia etiam data erit. Unde eo res redit, ut quaeramus diametrum. quae disserat a sua parametro per datam disi
FIG. 66. XI. In undecimo problemate ostendemus
quo pacto, datis axibus Θperbolae, inveniri possit diameter , cujus quadratam disserat squadrato parametri per datam disserentiam . Atque hic quoque duo sunt casus distinguendi. Nam quaesita diameter, vel invenienda est inter eas , quae parametris suis sunt majores , vel etiam inter illas , quae vicissim sunt minores suis parametris. Quantum ad priorem casum solvetur problema in hunc modum . Extendatur CB
versus M , ut fiat B M aequalis ipsi AB. Tum juncta AM , describatur super ea , velut di metro, semicirculus AN M , in quo applicetur
tecta MN talis longitudinis, ut quadratum ejus
312쪽
eius datam differentiam adaequet. Jungatur deinde AN . Jamque , si in semicirculo AKRapplicemus rectam AK , aequalem ipsi AN erit A E diameter quaesita. um enim ΑΚ sit aequalis ipsi AN . erunt quadrata duo ΑΚ , MN aequalia quadrato ex AM . Sed quadratum ex AM, velut duplum quadrati , quod sit ex AB, est aequale dupla re. anguli EAK . Q re quadrata duo AK , MN duplo rectanguli EAK pariter ae
qualia erunt: & consequenter, apposito communi quadrato ex ΕΚ , erunt tria quadrata
ΛΚ, MN, ΕΚ aequalia duplo rectanguli EAΚuna cum ΕΚ quadrato.
Jam duplum rectanguli EAK una cum ΕΚ quadrato est aequale duobus quadratis ΑΚ, AE. Q re erunt tria quadrata ΛΚ, MN, ΕΚ aequalia duobus quadratis AK, AE; adeoque, dempto communi quadrato ex AK, remanebunt quadrata duo MN , ΕΚ aequalia quadrato ex AE . Unde quadratum diametri ΑΕ superabit quadratum suae parametri ΕΚ per MN quadratum, quod ex constructione
Quantum ad secundum ea sum, solutio problematis fiet hoe pacto . Extendatur rur sus CB versus M, us fiat B M aequalis ipsi AB. Tum, junm AM, erigatur super ea perpendicularis MN . Et in angulo AMN applicetur tecta AN talis longitudinis, ut quadratum eius datam differentiam adaequet . Fiat postea 'BL aequalis ipsi MN. Et,erecta super AL perispendiculari AE , erit BE diameter quaesita. Ruum enim Α M quadratum sit aequale
313쪽
a 4 SECTIO NuM CONICARUM duplo quadrati ex AB , si v c etiam duplo te.ctanguli EAL: apposito communi quadrato ex MN, sive EL ι erit AN quadratum aequale duplo rectanguli E BL una cum BL quadratorae propterea, addito riit sus communi quadrato ex BE , erunt duo quadrata AN , ΗΕ te. qualia duplo recta liguli E BL una cum duobus quadratis BL , BE . Et quoniam duplum rectanguli EBLuna eum duobus quadrotis BL , ΒΕ est aequale quadrato , quod fit ex EL; erit E L quadratum aequale duobus quadratis AN . BE. Unde quadratum diametri BE suputabitura quadrato suae parametri EL pee AN quadratum , quod ex constructione datam disserentiam adaequat.
XII. In ultimo problemate docebimus , qaomodo,datis axibus hyperbolae noeniri possie diameter talis , ut data sit summa quadrat rum, quaesum ex lateribas faeae figurae . Ac primo quidem , si diameter invenienda debeat
esse ex earum numero ., quae parametris suis sunt maiores , solvetur problema in cum, qui sequitur, modum.
Extendatur AB usque in Y, ita ut duis pIum rectanguli ABΥ datam illam summam exhibeat. Tum secetur AY ita quidem in puncto V . ut AB quadratum sit aequale duplo rectanguli A UY . Describatur postea su per A V , velut diametro, semicireulus AEU. Et tecta AE exhibebit diametrum quaesitam.
Nam , demissa super AE perpendieulati ΒΚ , erit summa quadratorum AE . ER ad summam quadratorum A V . BV, ut est Ag
314쪽
quadratum ad AU quadratum olive etiam, ueest AB ad Av; sive demum , ut est re angulum ABΥ ad rectangulum ex A v in BY. Sed summa quadratorum A v, BV est aequalis duaplo rectanguli ex AV in BY ς quum rectai gulum istud sit aequale rectangulo AVR uiui cum rectangulo A Vr , quod ex constructio, ne aequale est dimidio quadrati ex AH. Quare etiam summa quadratorum AE , ΕΚ aequalia erit duplo rectanguli ABY.si veto diameter mvenienda dei. heat essse ex numero illatum, quae minores
sunt suis parametris , solvetur problema hactatione. Extendatur quoque AB usque in Y, sed ita tamen , ut duplum rectanguli BAΥ exhibeat datam summam . Tum secetur Brita quidem in puncto V , ut AB quadratum fit aequale duplo rectanguli BVY . Deseribais tur postea super ΑV , velut diametro , semi.
circulus AEU . Et recta BE exhibebit quaessitam diametrum.
Nam,erecto super AE perpendἰeulo A L. erit summa quadratorum ΒΕ, EL ad summam quadratorum BV, AV, ut est BE quadratum ad BV quadratum; sive etiam , ut est AB ad BV ; sive demum , ut est rectangulum BArad rectaneulam ex B v In AY . sed summx quadratorum BV, AU est aequalis duplo rectanguli ex BV in ΑΥ ; quum rectangulum istud sit aequale rectangulo BVA una cum reis ctangulo Bur, quod ex eonstructione aequa te est dimidio quadrati ex AB . Quare etiam summa quadratorum BE, EL aequalis erit du-4plo rectanguli BAY.
315쪽
Fio.67. SECTIO NuM t. es NM ARUM XIII. . . Caeterum, quae requirantur, ut si gula ista problemata resolvi possint , abunde, nos docent , tum ea , quae superitis ostensa sunt , tum-i Psin. eorum problematum allatae lalutiones . Unde, ne diutius in iis recensen. eis haereamus , sufficiat istud indicasse , & ad thestriae huius complementum pstendemus. modo , qua ratione , datis axibus Operbolae,
de iri possit rote ad eos positio cujusvis dia
metr; datae. Nam ire solutione illorum problemmatum apolloniaua exhibetur quoque positio diametri relate ad datos axes hyperbolae.
Sint itaque Ad , KL axes hyperbolae. sit autem EF aliqua ejusdem. hyperbolae diameter data , quae suos terminos haheat in i iadem illis hyperbolis , ad quas terminat ut axis major AB . dam, innotescet diametri huius positio, si demissa ad axem AB ordinata .EG , nota sit longitudo portionis CG. Unde , C Ws redit, ut inquiramus , quo pacto ipsius eG longitudo possit definiri. - . Et sane, propter hyperbolam , CA quain aratum est ad CR quadratu mut est rectangulum AGB ad FG quadratum. sed EG quadratu in aequale est differentiae quadratorum CE, CG ; sc rectangulum AGB aequale est diffsrentiae quadraturum CA, CG. Itaque erit, ut CA quadratum ad CΚ quadratum , ita βifferentia quadratorum CA, CG ad dissere tiam quadratorum CE, CG. 4 Huu , quum convertenda st , ut CA quadratum ad d-ifferentiam quadratorum CA,
' Κ, ita differentia quadratorum CA, CG ad differentiam quadrato um CE , erit, per .
316쪽
mutando , ut CA quadratum ad . disse, iam quadratorum. CA , CG . ita dissetentia quaadratorum CA, CK ad differentiam quadrat rum CA . GE . Unde , addendo antecedentes constquentibus , erit, ut CA quadratum ad CG quadratum , ita differentia quadratorum C A , CK ad differentiam quadratorum CE,
Describantur jam super ipsis GA , CEiemicirculi AMC , ENC; A. aptentur in iis . rectae CM . CN , quarum utraque sit aequalis ipsi CK. Jamque, junctis rectis AM, EN , erit AM quadratum aequale differentiae quadrato rum CA , CK ; Sc EN quadratum aequale dis- ferentiae quadratorum CE, CK. Unde erit,ut CA quadratum ad CG quadratum , ita AM quadratum ad EN qua dratum : & propterea, quum proportionales sint quatuor rectae AM , EN , CA . CG ; in v edietur CG, si fiat, ut A M ad EN, ita .d ips- CG. , XIV. Ne aliquid nic omittamus, osten- XIV. demus denique, qua ratione in ipsa Θperbola, data parametνo unius diametri, inveniri pοσιν parameter cujusvis alterius diametri.Sindigiatur AB , EF duae qtiaevis hyperbolae diametri . Et, data parametro unius.diametri AB, :iis, viam oporteat, invenire parametrum alterius dia- p
. Sit AD parameter diametri AB , quae super ipsa AB capiatur. Tum , secta AD binis 'riam in puncto N, describatur per tria puncta A , E , M circulus AEM, occurrens ipsi EF in puncto N ..Abscindatur porro ex EF po
tin E i. quae sit dupla ipsius EN Et erit EHParameter diametri EF. Est
317쪽
SECTIONUM CONI ARUM Est enim, propter cireulum,iectangulum
ACM aequale terungulo ECN . Sed tectaniagulum ABD est quadruplum rectanguli ACM , & rectangulum EFH est quadruplum rectanguli ECN.Quare duo rectangula ABD,ΕFH etiam aequalia erunt: & propterea erit. ut diameter EF ad diametriim AB , ita BD ad FH.
Jam per ea , quae superius ostensa sunt,dIametri EF , AB sunt reciproce proportiona. Ies differentiis laterum suarum figurarum. Quare erit ex aequali, ut BD ad FH, ita disseis rentia laterum figurae diametri AB ad disserentiam laterum figurae diametri EF i & pi Pterea, quemadmodum prior differentia est aequalis ipsi BD; ita quoque differentia pineistior aequalis erit ipsi FH . Unde erit EH pat meter diametri EF.
Parametri diametrorum para bolae inter se mutuo comparantur.
I. Iametros parabolae haud quidem
neeesse est , ut inter se mutuo conseramus. Nam , quum sint infinitae lon. gitudinis, ex mutua losarum comparatione nihil quidem erui poteri. Consetemus autem inter se invieem parametros diametrorum .
Nam, velut finita longitudinia, inter se mi tuo
318쪽
tuo collat se , plures nobis proprietates subministrahunt. Ad hane eomparationem Instituendam conducis non parum sequens theorema r nimi
rum , quod si AB sit axis parabolae , AD parameter eius, AM subtensa aliqua, ex axis vertice ducta , & MN ejusdein axis ordinata:
quod, inquam , quadratum subtensae AM fit aequale tectangulo , quod si ex abseissa AN in summam ipsarum AD , AN. Ostendet tir vero theorema istud in hune modum. Quoniam MN est axis ordinata, erit angulus AN M rectus . Quare quadratum ipsius A M aequale erit duobus quadratis AN,
MN. Sed, ob parabolae naturam, MN quadra- ,
tum est aequale tectangulo DAN; & AN
quadratum una eum rectangulo DAN est quale ei, quod fit ex AN in summam ipserunt AD, AN . Itaque quadratum subtensae AH erit aequale rectangulo , quod si ex abscissa AN in eam, quae componit ut ex ipsis AD, A NaIl. SIt jam EF diameter parabolae , cuius N. ordinatae parallelae sunt subtensae AM; sitque
etiam Eri parameter ejus . Ducatur ex ejus. dem vertiee E ordinata ad axem EG . Et ex ostenso theoremate Deile erit inferre . quod ν --, parameter diametri PH superet parametrum
axis AD per quadruplum abscissae AG. FIO.69. tim enim subtensa AM a diametro EF secetur histriam in D, erit MN dupulpsius EG et adeoque MN quadratum quadruplum quadrati, quod fit ex EG. Sed MN quadratum est ad EG quadratum , ut A N ad AG
319쪽
AG. Quare etiam AN quadrupla erit iplius AG : S propterea . quia ex superius ostensis duae AG , ΕΟ sunt aequales inter se ἔ erit e dem AN quadrupla pariter ipsius ΕΟ. Hinc , sicuti AM quadratum quadr plum est ΑΟ quadrati, ita rectangulum exEH in AN quadruplum erit tectanguli exEH in Eoi proindeque erit, ut AM quadra tum ad Ao quadratum , ita rectangulum ex ΕΗ in AN ad te tangulum ex ΕΗ in Eo. SedMb parabolae naturam, Ao quadratum est aequale rectangulo ex ΕΗ in ΕΟ . Quare etiam AM quadratum aequale erit rectangulo ex EH in AN.
Et quoniam , per ostensum theorema, idem ΑM quadratum est aequale pariter re
diangulo 'ex AN in summam ipsarum AD , AN ; erit tectangulum istud aeqnale ei, quod sit ex ΕΗ in AN i proindeque ΕΗ aequalis erit ipsis AD , AN simul sumptis . Unde parameter diametri EH superabit parametrum axis AD per AN , quae est aequalis qu*druplo ipsius AG. III. Atque hinc modo liquet abunde ,
omnium parabolae parametrorum minimam σε νον- iri illam , quae refertur ad axem - quum parame-
. IT . ter cujusvis alterius diametri superet param per quadruplum ejus abscissae,quam Fio.69. ab ipso axe ordinata , ad eum ducta ex
Patetque etiam , aliarum parametroram eam semper minorem esse , quae refortar ad diametram,ari propinquiorem. Nam, quo magis diameter EF accedit ad axem AB, eo mi-
320쪽
nore vadit abscissa AG, per cujus quadruplum parameter diametri stiperat parametrum
Patetque demum , aequaler ese parametros earum diametrinum , qua aqualiter hinoinde disant ab axe. Nam ordinatae , quae ex Ipsa rei in verticibus ducuntur ad axem , ea n dem ab ipso axe auferunt abscissam I adeoque Idem est excessus , per quem cuiusque di metri parameter superat parametrum axis. 2Vidimus autem , haec omnia obtinere etIam, generaliter quidem in ellipsi , ct in hyperbola tunc tantum , quum axis est major suo conjugato . Unde . quia utraque earum curvarum vertitur in parabolam, quotiescumque centrum abit in infinitum ς poterit hac item ratione eorum omnium veritas ostendi. IU. In recessu itaque diametri ab axe pasrabolae,augetur parameter ejuS. Sed, quemadmodum nobis innotuit excessus, per quem parameter cujusque diametri superat paramς-trum axis; ita licebit etiarn,excessam definire,
per quem parameter diametri , aι axe remotio. ris, superor parametrum diametri, eidem axi propinquioris. Maneant enim omnia , ut supra ; sitque
XL diameter altera , remotior ab axe AB., cujus parameter sit recta XI. Ducatur ex ve
lice eius Κ ad axem AB ordinata ΚR , quae occurrat diametro EF in puncto Q. Dico, parametrum Κl superare parametrum EH porquadruplum ipsius ΕQ. 1 Nam,sicuti Eld est aequalis AD una cum quadruplo ipsius AG , ita ΚI aequalis erit ei dem