장음표시 사용
311쪽
ayx SECTIONUM 'CONICA Rurisit BL ι erit ELB rectangulum , quod sit ex parametro ejus in differentiam laterum suae
ligurae . Sed rectangulum ΕLB est aequale quadrato ipsius A L . re , sicuti A L qua
dratum , ex constructione , datum rectangulum adaeqtiat e, ita quoque eidem dato rectan ingulo aequale erit rectangulum ELB. Hoc idem problema poterat etiam ad PraecedenS revocari. Quum enim datum sit rectangulum , quod sit ex parametro in di ferentiam laterum figurae; Sc rectangulum ex diametro in eandem illam disserentiam si. militer sit datum : dabitur quoque disserentia forum rectangulorum , hoc est quadratum ex differentia laterum figurae; Sc consequenter ipsa latetum differcntia etiam data erit. Unde eo res redit, ut quaeramus diametrum. quae disserat a sua parametro per datam disi
FIG. 66. XI. In undecimo problemate ostendemus
quo pacto, datis axibus Θperbolae, inveniri possit diameter , cujus quadratam disserat squadrato parametri per datam disserentiam . Atque hic quoque duo sunt casus distinguendi. Nam quaesita diameter, vel invenienda est inter eas , quae parametris suis sunt majores , vel etiam inter illas , quae vicissim sunt minores suis parametris. Quantum ad priorem casum solvetur problema in hunc modum . Extendatur CB
versus M , ut fiat B M aequalis ipsi AB. Tum juncta AM , describatur super ea , velut di metro, semicirculus AN M , in quo applicetur
tecta MN talis longitudinis, ut quadratum ejus
312쪽
eius datam differentiam adaequet. Jungatur deinde AN . Jamque , si in semicirculo AKRapplicemus rectam AK , aequalem ipsi AN erit A E diameter quaesita. um enim ΑΚ sit aequalis ipsi AN . erunt quadrata duo ΑΚ , MN aequalia quadrato ex AM . Sed quadratum ex AM, velut duplum quadrati , quod sit ex AB, est aequale dupla re. anguli EAK . Q re quadrata duo AK , MN duplo rectanguli EAK pariter ae
qualia erunt: & consequenter, apposito communi quadrato ex ΕΚ , erunt tria quadrata
ΛΚ, MN, ΕΚ aequalia duplo rectanguli EAΚuna cum ΕΚ quadrato.
Jam duplum rectanguli EAK una cum ΕΚ quadrato est aequale duobus quadratis ΑΚ, AE. Q re erunt tria quadrata ΛΚ, MN, ΕΚ aequalia duobus quadratis AK, AE; adeoque, dempto communi quadrato ex AK, remanebunt quadrata duo MN , ΕΚ aequalia quadrato ex AE . Unde quadratum diametri ΑΕ superabit quadratum suae parametri ΕΚ per MN quadratum, quod ex constructione
Quantum ad secundum ea sum, solutio problematis fiet hoe pacto . Extendatur rur sus CB versus M, us fiat B M aequalis ipsi AB. Tum, junm AM, erigatur super ea perpendicularis MN . Et in angulo AMN applicetur tecta AN talis longitudinis, ut quadratum eius datam differentiam adaequet . Fiat postea 'BL aequalis ipsi MN. Et,erecta super AL perispendiculari AE , erit BE diameter quaesita. Ruum enim Α M quadratum sit aequale
313쪽
a 4 SECTIO NuM CONICARUM duplo quadrati ex AB , si v c etiam duplo te.ctanguli EAL: apposito communi quadrato ex MN, sive EL ι erit AN quadratum aequale duplo rectanguli E BL una cum BL quadratorae propterea, addito riit sus communi quadrato ex BE , erunt duo quadrata AN , ΗΕ te. qualia duplo recta liguli E BL una cum duobus quadratis BL , BE . Et quoniam duplum rectanguli EBLuna eum duobus quadrotis BL , ΒΕ est aequale quadrato , quod fit ex EL; erit E L quadratum aequale duobus quadratis AN . BE. Unde quadratum diametri BE suputabitura quadrato suae parametri EL pee AN quadratum , quod ex constructione datam disserentiam adaequat.
XII. In ultimo problemate docebimus , qaomodo,datis axibus hyperbolae noeniri possie diameter talis , ut data sit summa quadrat rum, quaesum ex lateribas faeae figurae . Ac primo quidem , si diameter invenienda debeat
esse ex earum numero ., quae parametris suis sunt maiores , solvetur problema in cum, qui sequitur, modum.
Extendatur AB usque in Y, ita ut duis pIum rectanguli ABΥ datam illam summam exhibeat. Tum secetur AY ita quidem in puncto V . ut AB quadratum sit aequale duplo rectanguli A UY . Describatur postea su per A V , velut diametro, semicireulus AEU. Et tecta AE exhibebit diametrum quaesitam.
Nam , demissa super AE perpendieulati ΒΚ , erit summa quadratorum AE . ER ad summam quadratorum A V . BV, ut est Ag
314쪽
quadratum ad AU quadratum olive etiam, ueest AB ad Av; sive demum , ut est re angulum ABΥ ad rectangulum ex A v in BY. Sed summa quadratorum A v, BV est aequalis duaplo rectanguli ex AV in BY ς quum rectai gulum istud sit aequale rectangulo AVR uiui cum rectangulo A Vr , quod ex constructio, ne aequale est dimidio quadrati ex AH. Quare etiam summa quadratorum AE , ΕΚ aequalia erit duplo rectanguli ABY.si veto diameter mvenienda dei. heat essse ex numero illatum, quae minores
sunt suis parametris , solvetur problema hactatione. Extendatur quoque AB usque in Y, sed ita tamen , ut duplum rectanguli BAΥ exhibeat datam summam . Tum secetur Brita quidem in puncto V , ut AB quadratum fit aequale duplo rectanguli BVY . Deseribais tur postea super ΑV , velut diametro , semi.
circulus AEU . Et recta BE exhibebit quaessitam diametrum.
Nam,erecto super AE perpendἰeulo A L. erit summa quadratorum ΒΕ, EL ad summam quadratorum BV, AV, ut est BE quadratum ad BV quadratum; sive etiam , ut est AB ad BV ; sive demum , ut est rectangulum BArad rectaneulam ex B v In AY . sed summx quadratorum BV, AU est aequalis duplo rectanguli ex BV in ΑΥ ; quum rectangulum istud sit aequale rectangulo BVA una cum reis ctangulo Bur, quod ex eonstructione aequa te est dimidio quadrati ex AB . Quare etiam summa quadratorum BE, EL aequalis erit du-4plo rectanguli BAY.
315쪽
Fio.67. SECTIO NuM t. es NM ARUM XIII. . . Caeterum, quae requirantur, ut si gula ista problemata resolvi possint , abunde, nos docent , tum ea , quae superitis ostensa sunt , tum-i Psin. eorum problematum allatae lalutiones . Unde, ne diutius in iis recensen. eis haereamus , sufficiat istud indicasse , & ad thestriae huius complementum pstendemus. modo , qua ratione , datis axibus Operbolae,
de iri possit rote ad eos positio cujusvis dia
metr; datae. Nam ire solutione illorum problemmatum apolloniaua exhibetur quoque positio diametri relate ad datos axes hyperbolae.
Sint itaque Ad , KL axes hyperbolae. sit autem EF aliqua ejusdem. hyperbolae diameter data , quae suos terminos haheat in i iadem illis hyperbolis , ad quas terminat ut axis major AB . dam, innotescet diametri huius positio, si demissa ad axem AB ordinata .EG , nota sit longitudo portionis CG. Unde , C Ws redit, ut inquiramus , quo pacto ipsius eG longitudo possit definiri. - . Et sane, propter hyperbolam , CA quain aratum est ad CR quadratu mut est rectangulum AGB ad FG quadratum. sed EG quadratu in aequale est differentiae quadratorum CE, CG ; sc rectangulum AGB aequale est diffsrentiae quadraturum CA, CG. Itaque erit, ut CA quadratum ad CΚ quadratum , ita βifferentia quadratorum CA, CG ad dissere tiam quadratorum CE, CG. 4 Huu , quum convertenda st , ut CA quadratum ad d-ifferentiam quadratorum CA,
' Κ, ita differentia quadratorum CA, CG ad differentiam quadrato um CE , erit, per .
316쪽
mutando , ut CA quadratum ad . disse, iam quadratorum. CA , CG . ita dissetentia quaadratorum CA, CK ad differentiam quadrat rum CA . GE . Unde , addendo antecedentes constquentibus , erit, ut CA quadratum ad CG quadratum , ita differentia quadratorum C A , CK ad differentiam quadratorum CE,
Describantur jam super ipsis GA , CEiemicirculi AMC , ENC; A. aptentur in iis . rectae CM . CN , quarum utraque sit aequalis ipsi CK. Jamque, junctis rectis AM, EN , erit AM quadratum aequale differentiae quadrato rum CA , CK ; Sc EN quadratum aequale dis- ferentiae quadratorum CE, CK. Unde erit,ut CA quadratum ad CG quadratum , ita AM quadratum ad EN qua dratum : & propterea, quum proportionales sint quatuor rectae AM , EN , CA . CG ; in v edietur CG, si fiat, ut A M ad EN, ita