장음표시 사용
391쪽
De nonnullis numerorum proprietaIisis:
Rus TR A fieri per plura , quod potest fieri per pauciora , ostendit evidenterrΤabula sonascripta, hanc enim si consueta supputandi formula construx ille mus, non minus quam 34O calculis, O pu ruisset, cum tamen paucissimi ide ubso duntaxat Triangulorum resolutionibus, tanta numerorum moles expedita
suerit , qui eo compendio non minorem nacti sunt praecisionem, nam in ipsi, vix unicum scrupulum tertium abundat sive deficit: Potio qualite sic extensa fuerit haec Tabula, visum est hoc loeo ex nere, etenim: res est non solum scit jucunda,sed etiam iis, qui Geometricis subtilitatibus delectantur multum profutura: omnes si quidem Tabula quarum numeri certa ratione continue crescunt, vel decrescunt,hac methodo ex paucis principiis maxima possunt capere incrementa : quod animadverti primum occasono sane inlici, de multis deinde probavi ex. petimentis: Cum enim aliquando Triangulum quempiam suscepissem tesolvendum et togatithmos,quos tunc prolixiores habere cupiebam id exigente casus necessitate primaε fionte judicavi,accuratam ejus solutionem expectandam non esse a Tabulis logarithmicis, licet satis amplis,in qua togarissimos undecim notarum exhiberent, eo quod differentiae illotum essent valde ina: quales.& continue decrescerent re tamen diligentius inspecta..deprehendi praedictam differentiarum imminurionem erto quodam ordine continuari, atque inde partem proportionalem disserentiae togarithmorum cuivis arcui respondentem obtineti posse jam non dubitavi Ar servata lem L subjiciunt ut hi numeli, di fiere
tiaitaedicta inaequaliter distribueretur, hujus autem inaequalitatis eam esse norrriam competi, ut harum differentiatum differentiae squas diffitentias secundas distinctionis gratia opoliet appellari J minus inter se discrepent quam primae i& tertiae minus quam secundae, se aliae deinceps minus atque minus , donec tandem occurrant differentiae in quibus. omnis inaequalitas evanescat cessat aute inaequalitas praedicta citius in fine unadrantis,
quim alibi, ibi quippe paucissimae sunt dii terentiaru differentiae: sed initio Quadrantis nimiae.Neque his tantummod logarithmis,sed etiam logarithmis numerorum absolutorum, quibuscumque Tabulis trigonometricis, ni Sinuum, Tangentium,4 Secantium, hanc. inesse proprietatem observavi et immo rem penitius et scrutatus , Tabulas etiam Astronomicas Mempe Posthaphaereseon, Declinationum, Ascensionum tectarum,& Latitudinum,Ephemerides quoque motuum caelestium, non aliter se habere,sed praefatis ob temperare legibus , magna cum animi voluptate sum expertus unde jam non dubitas. de recundo,quem ausus fueram sperare successu quin potius tot casuum quae in dies.ste licitet resolvebam,divet arate edoctus decrevi rem adeo utilem quibusdam complectilptaeceptis, simulque Lectori usum illorum idoneis inculcate exemplis. Atque ut hujus argumenti statuatur initiumsciendum est,numetos illos,qui in iam sexie descripti aliquem continue progrodiendo servant ordinem ves unam,vel duas, vel tres,v I. qua tuo immo quam plurimas habete polle differentias,ut appatet in quadruplici seque lium numerorum serie Α, Β, C, D. Numeri enim signat Astimas tantum habent dissereri
392쪽
DI B. IlI. De nonnullis numerorum proprietatibus. 3m
emquartast similiter alii admittunt quintas , alii sextas, septimas , 8 quascumque alias differentias Nec desunt, qui habeant infinitas , ut numeri geometrica progressione crescentes vel decrescentes si enim ex iis educantur differentiae primae, Disserentia. pr. I se rer
primis secundae , e secundis tertiae, cita deinceps aliae atque aliae, nunquama men ad ultimas,seu aequales perveniri poterit differentiac de quibus hic disserere non est animus, satis enim notum est , quomodo intervalla numerorum Geome- metrica progressione incedentium in quolibet partes dividi possint, quae militet Geometrice progrediantur hoc est quomodo inveniri possint quivis medii proportionales inter datos numeros. De illis itaque numeris nobis agendum est , qui certam quamdam progressionis rationem continue servantes, quotquot differentias sortiantur . ultimas tandem habent aequales,inter quos,qui primas tantum habent differentias,hi sola divisione intermedios quotlibet numeros equaliter crescentes vel decrescentes admittunt,quod per se satis est evidens: Qui vetb duas, tres , quatuor, plures habent differentias, hi quoque tecipiunt intermedios quotlibet numeros non quidem aequali passi incedentes , sed qui eamdem quae integris seu primitivis inest numeris . retineant progressionis rationem. Hoc autem , etsi, speculative loquendo , velum se,moderatione tamen indiger, ubi ad exequutionem venitur : cum enim nimia est dii serentiatum congcries , ibi labor est maximus, nec minus fastidium: Quare intervalla numeroru illotu,qui ultra differentias sextas, sive septimas, alias recipiunt, accurate quide distribui poterunt, si sint rationales , ardua tamen erit, mulitque temporis operatio. In numeris vero irrationalibus, minus prospere succedet, etiam cum maximo temporis dispendio, propter ultimarum notarum impersectionem, quae a vero vel minima unitatis particula aberrantes , eodem vitio differentias omnes inficiunt, eoque magis, quo longios distant differentiae a suis numeris unde liquet .ultimas omnium maxime averitate deflectere; sed huic incommodo opportuniam adhibet potest remedium, si numeri praedicti notis aliquot augeantur pia te initio datas: ita enim notae illae ultima initio datae adiunctarum valore diligentius expressiae, differentias quoque ultimas , eodem,qui erat antea, notarum numero, magis aequales producent. Quod mihi in omnibus sere sequentium Problematum exemplis , ad dissetentias ultimas coaequandas, praestandum flit,ut suis locis videre licebit
393쪽
L 13. LII. De no dris numerorum o istat bin.
PROBLEMA PRIMu M. Datis in eadem serie aliquot numeris , qui una eademque ratione tantinue progredientes habeantsecunda disserentia aquales, quotlibet intermedios
numeros eamdem progressonis ratιonemservant inventre. SI enumeris propositis eliciantur differentiae primae 3 e primis secundae, quae, ex lege hujus h pothesis, sunt intc se aequales , dabunt hae differentiae integrae
differentias intermedias irimae scilicet primas , secundae secundas, si utraeque dividantur et numerum partium , quae in intervallo dividendo requiruntur, hoc est , si assumatu divisor , qui sit semper una unitate major numero terminorum intermediorum . qui datis inserendi sunt. Pram,igitur dividantur per aliumptum divisorem dissetentiae secundae, quae , quia distant duobus gradibus a numeris Wopositis , ideo secund dividendus est per eumdem diviserem Quotiensitimae divisionis it sic secundus Quotiens dabit differentias secundas nec crescentes,nec
decrescentes e regione terminorum collocandas.
Vetum indiscrentiis primis , quae uno tantum gradu distant a numeris propostis , unica divisione utendum est, ride, si quaelibet illarum pet divisolem jam admissum dividatur, Quotiens divisonis erit differentia intet media scribenda loco medio inter omnes differentias primas assumpti intervalli, mod diviso sue rit numerus impar. Si vel b diviso numerus par fuerit,praedicta differentia sic inventa semel augenda est semille differentiae intermediae secundae jam cognitae. semes minuenda eadem semisse in sic in serie primarum differentiarum habebimus duas
differentias intermedias contermina , alteram quidem altera majorem,collocandas
non,ut antea, loco medio, sed hanc supra , illam infra, prout differentiae primae crescunt vel decrescuncioli ira in reliquis intervallis , media seu duae mediae simili operatione sciri poterunt, inde omnes reliquae ad idem pertinentes intervallu,per solam additionem & substractionem obtinebuntur. Quo facto , si dato numero addatur,vel subtrahatur differentia prima media vicina , prout numeri crescunt, vel decrescunt , fiet numerus termino intermedio proximo conveniens in similiter, si numero isti ultimo addatu vel subtrahatur differentia prima media vicina, fiet alius mimerus termino intermedio sequenti conveniens in ita intei valla in quotlibet partes divisa debitis implebuntur numeris. Res exemplo fiet clatior.
Datur sit , ex b pothesi Lamberatiana motus Solis verus , Lugduni, hora meria diana . ad infrascriptos dies Anni Isio, nempe ad so Septembris, in X gr.
motum Solι verum,ad Omnes dies intermedios uve dabunt certis e numer intermedii jamjam in stigandi , dummodo a lege progressioni suorum primitivorum non recesserint. Diyilias by Ooss
394쪽
LIB. II De nonnullis numerorum proprietatibuL. 37I
Describo igitur in una eademque serie radictis immeres , ex quibus sum disserenis primas e vrimis neundar οὐ litiis inter se aquales , ut videre est in adjunctoiatereulo. Quoniam numerin quinarim jam
pro divisere assumptin est, integram dius
rentiam secundam quamltibet , qua est scrup. secundorum 1 'partior in .er re. manet pro Quoriente Is π unius secundi, vel utendo fractιonibus deeimalibus Is rhune Quotientem iterum divido per L ervenit ultimus Quotiens a - , qui est differentia secunda intermedia non rescens neque decrescens , quam ideo coctie ἡ ωgian sisPιlorum terminorum , ct si e
lumna seundarum differentiarum impletur numeris inter se aqualibiM. v autem habeantur differentia prim
cujusque intervalli puta primi seu superioris , qua est grad. si s C, Drtior in L cst dixit Quotiens ς qui ι
una ex disserentiis intermediis, uam sta-ru loco medio , inter o=nnes dilberentias primas intermedias praedicti hupis inter- vadi , reliquas vero intermedios primas ejusdem interoalli facile obtineo persum additionem a substra tionem tmermediarum secundarum , nam , ab intermedtit prima radict. D Ira aufero interis mediam secundam remanet intermedii prima proxime recedens 1 9 qua iterum secundam interm diam V subtraho, e relim uisu alia hane pracedens 9 7 - . Item. hi termediae prima primo revelira do intermediam fecundam ' , ct consargit intermedia prima proxime subsequensn is , ad quam rursus ad is interviediam secundam citi r intermedia prima hanc subsequens Q icta Eodem modo comparatis disserentiis inter- medus primis reliquorum intervadorum, singulis jam terminis etiam Ditermediis convenientes numeros attribu : Nam numero graΗ qiι it primo omstituitur termino, addo intermedi ..m rimam viciuam 19 quo numerum
395쪽
aebetur termis. - mi e Moue asingulis termini intermediis congruentes numeros adscribo , ut cerui potest in adiuncto quadrangulo.
Sed i a, uti per id, praemonui, Aut alia ratio est inveniendi differentias se.
termedias primas, cum diviso patis numeri assumtur, idcirco alterum subiicio exemplum, ne quicquam dubii in hac opetatione Lectori remaneat, te ut aeque expedite in utroque casu praedicta divisio absolvatur.
st per Meridianum, seu culminat initium Arietis Angulus grad. 66oci I 29Gr. Eclipt.
Anguli Meridianio Ecliptica. viserentia
culmina secundus gradus Arietis completus: eateri angat , quos adjunctum laterculum exhibe ; volo autem cognoscere angulos in termedios, quos adem Meridianusfacit eum Ecliptica, dum patries intermedia, hoe est graduum sextantes culminant. Ideoque elleio ex
datis angulis disserentia primas, ct e primis secunda ,s a sunt quales unque ad serupula terιιc duaenim nota ultima sua sum scrupulorum tertiorum centesima, eo tantum fine conquisitα sunt,ut numeri isti irrationale pereas paulo accuratius evres disserentias quoque se cundas magis aequales exhibeant quod in simili eas semper observandum VP te valla autem idost disserentias primas divido in sex partes inaequales, hac ratione. Integram disserentiam secundam, qua loco severiori seribiιαν , ἡ regione primi gradus Arietis sartior in habes Quotientem 3 9 qui iterum diu suspe 6 relinquis ultimum Qvtientem - , qui est fre uita secunda intermedia, quam,quia ex aliis etiam secundis dissereniti integris divὸfa non prodit, ιοβoco e regione singulorum terminorum. Integram disserentiam primam superioris intervalli, qua est cis ac , divido pers, ct restat mihi Quotiens ivra quem, quia diviso est numerus par, Meo semisse disserentia iniermedia secunda jam inυenta49 eui numerus c ac ' pro una ex intermediis primis. Rursus eumdem Ouoiiani inti eadem emisse resta numem qui est altera intermedia prima pradιcta comem
396쪽
Lia. III. Pe nonnullis numerorum proprieta Au. 3 3
cum se numera pares , sed duobus lacia medio vicinis , minorem supra , est majο- rem infra, quia disserentia prima refcuna descendendo. Pliquia intermedivi primu ejusdem intervalli obtine per addisionem substractione intermediarum secundarum Nam ab intermedia prima radicta θρι-ri cripta subirabo Drmediam ferundam restat intermedia prima proxime praeedens sic L. Ghac quoque intermediam secundam β' tasubiraho , ct relinquitur alia hane praeedens Item insemedia prima inferiori addo intermediam δε- eundam T fit intermedia prima proxime subsequens eui etiam addo intermediam secundam 38'
venit intermedia prima hanc subse ueras O . Inventi ue eodem modo disseis rentiis primi intermediis reliquarum s tervassorum Uingulos jam terminos etiam intermedios suis eo in numeris. Nam numero grad. 66 of o'. qui in primo eonstituitur termino , addo intermediam primam vicinam o 9' produes numerum grad. 66 so scis in qui debetur termino secundo intermedio Ramsu huic adjici intermediam primami quentem o i ta , ollus numeram rad. 66 36 ', qui convenis teris mino terris intermedi atque ita singulis terminis intermediis, idesti duum el*ιica sextantibis ulminanιibus, Angulos Meririani o Ecliptica ongruentes a
tribuo, in appare in ad Musi. Quadrὸ
397쪽
Daiis in eadem fieri aliquot numeris , qui una eademque ratione eontinue progredientes, habeant tertias disserentias aquales , quotlibet intermedios
numeros eamdem progressonis rationem servantes invenise. EDatis numeris eliciendae sunt differentiae primae, e nimis secundae, rursusque
e secundis tertiae, quae quia aequales sunt ex thesi, non datur ulterius progredi. Jam illae differentiae integi dabunt disterentias intermedias , si dividantur per numerum partium, quae in intervallo dividendo requiruntur, hoc est, si assumatur rivisor qui sit semper una unitate major numero terminorum intermediorum,qui datis inserendi sunt. Itaque sunt prim dividendae dissetentiae tertiae per assumptum divisorem , quae, quia distant tribus gradibus a numeris propositis , ideo secundo dividendus est pet eumdem divisorem Quotiens primae divisionis in tertib Quotiens secundae divisionis tertius autem Quotiens dabit disserentias teristias termedias nec crescentes , nec decrescentes , quae sunt collocandae in columna tertiarum differentiarum , non e regione terminotum . sed locis omnibus
Simili modo , quia dii gerentiae secundae duobus distant gradibus a propositis
numetis, ideo duplici divisione utendum est , ut supra peractaque secunda divissones, Quotiens dabit differentia secundas intermedias crescentes ascendendo, vel descendendo,quarum unaquaeque locanda est e regione illius termini, ad quam integra spectat differentia reliquarum ver,iis inserendatum datur quaelibet additione, vel substractione differentiae tertiae intermediae. Diffitentiae primae intermediae paulo aliter investigantur, nec tamen minori cet titudine, quam reliquae obtinentur modus illas inquirendi talis est.
Sumantur e columna secundarum differentiarum mediarum , quae jam notae habentuc, omnes numeri inter datos existentes terminos, ita ut primo loco ponatur numerus primus incipiendo superiori, si differentiae primae crescunt desce dendo aut contra , incipiendo ab inferiori , si differentiae primae crescunt asceindendo secundo loco aggregatum primi & secundi numetici tertio loco aggrega tum primi secundiae tertii numerio Quarto loco aggregatum primi secundi tertii di quarti numeri mira consequenter alia aggregata . li differentia tota in plures subdividatur differentias: Haec omnia aggregata in unam conjice summam, quae si integrae differentia prini aequalis fuerit, minima ex intermediis primis erit o. Si veth ab eadem desecetit, desectum hunc , per divisorem in aliis differentiis jam assumptum , partire; eritque numerus Quotiens differentia minima ex intermediis primis assumpti intervalli: sic in relicuis intervallis minima ex intermediis primis , simili operatione cognoscetur. Reliquae ver iis interserendae fient majores atque majores per additionem differentiarum secundarum mediatum : Quibus habitis, si dato numero addatur, vel subtrahatur differentia prima media vicin3, Disilias by Ooste
398쪽
U B. LII. De nonnullis numerorum proprietatibus. 3 s
proti numeri crescunt, vel descrescunt, fiet numerus termino intermedio proximo conveniens 4 similiter, si isti numero ultimum invento addatur, vel subtrahatutdifferentia prima media vicina , fiet alius numerus termino intermedio sequenti conveniens: cita intervalla singula in quotlibet palles divisa debitis implebuntur
Sint dati, in una serie , sequentes numeri, qui sunt Ascensiones recta prim , se cundι, tertii, quarti quinti, sexti graduum elistiea eompletorum. Fropositum est autem mihi, eorumdem graduum sextantibm congruentes Ascensione resa Ugηare. Ex iis nummis elieis differentias prima , primis secundas ctes cundis tertia i ct eum numerus senarius jam pro divisere si assumptus,
integram disserentiam rertiam quamlibet frapartire in6 remanet pra Quotiente V - . Se- eundi hune Quotientem
exit pro alter Quotientes quem rursus dimi-d per aris venis ulti rem Cotiens rat , qui est disserentia tertia media non crescens neau decrescens, quam iri collae intra quoslibet duos terminos intermedios confines Loesi calumna ibferentiarum terιiarum impletur numeris interse aqualibus. Venio nune ad secundar. Inteream disserentiamsecundam scis ' divido per dictveni in Q Otiente numer 3 - quem rursin partiar in Quotiens extis ': Qui est differentia secunda intermedia, quam statu e regione se di termini,Juxta quem sua est interra disserentia. Similiter pariter integram differentiam secundam per φ ct venit Θωiens , quem iterum partis perin restas Quotiens qui est digerentia secunda intermedia , quam eoluto e regione tertii termini juxta quem si est integra disserentia. Eάdem rati e obtine alivi Aferantia ejusdem columna respondentes suo unamquamqv termino quibm postea interjiei reliqua intermedim secundas sola additione aut substractione teritarum intermediarum. Nam a seeunda n-
399쪽
Vii. III. De nonnullis numerorum proprietat bus.
secunda intermedia proxim/su sequens huie quoque addatertiam intermediam, efficitur secunda intermedia hane subsequens o ita omnes alia disserentia hujus Olumna mi hi innotescunt.
Supersunt jam disserentia prima intermedia inquirenda moem praestem fumo, secundum pra
eeptiim supersius traditum lumna intermediarum secundarum , qua jam nota sunt, omnes numeros, qui intra quoslibet duas includuutur terminos, ut sunt, qui intra prιmum fecundum cominentii scribo primo loco numerum superiorem 6' si enim
in hoc eas primiti est , eo quod diserentiae prima crescunt descemdendo lorabo seundo loca arare-gatum primi secundi numerio': Tertio Oeo auregatum primi secundi ct tertii numerio Δ Quarto loco aggregatμ primi fecundi tertilior quarti numer Quinto loco aggreg/ tu primi secundi tertii quarti quinti numeri ex quo m
additione sit summa s- με c. minor existat integra derentia prima, qua est es V,
indicat diserentiam ex interme diis primis minimam esse majst rem Ouanta autem illa esse debeat, is ita colyto. Summamidam ultimo inventam subtraho ab integra digerentia r 'na , qua est 48 tinruitur numeri m, qtiem per assumptum divisorem uaraior exi numermi is pro di serentia ex1ntermediis prunis minima. Ianc statuo loco suprem inter cetera
400쪽
L DB III. De nnata numerorum proprie inae
intermedias primas primi intervalli Guam illa erasun descendendοJneaue dissimili ratione investiet' dipserentia ex intermeiuis rimis minima retiavorum inre vallorum , quas similiter statuo loco supremo inser eateras intermedias primas Lysia iis intersero relianas sola additione intermediarumsecundarum. Nam differenιι ex im
Datis in eadem sirie aliqvit numeris auruτά eademque ratione continuo Iroiredientes, habeant quarsas disserentias aequales quotlibet numeros intermedios eamdem Uressumi ratione ervantes mυemre. Sumantur' propositis numeris differentia prima: Sptimis secundae De secundis:e tiae: e tertiis quartae,quae debent esse aequales Constituatur praetere divi. sor horum intervallorum qui semper una unitate excedat numerum et minorum intermediorum et minis datis in selendorum se hunc dividendae sunt dissetentiis quartae hujusque divisionis Quotiens secundo dividendussaltetque hic Quotiens ruti dividendus s& tertius hie Quotiendi quati dividendus per eumdem semper divisorem factaque hac quadruplici divisone, remanebit quartus Quotiens , qui erit differentia quarta intermedia collocanda in columna quartarum differentiarum . . regione singulorum terminorum, ubique eadem. Dividenda quoque est per eumdem divisorem quaelibet differentia tertia rursu D que Quotiens divisionis primae,sicut 6 Quotiens divisionis secundae eritque ret ius Quotiens differentia intermedixsetibenda loco medio inter omnes differentiaν tertias intermedias assumpti intervalli , dummodo divisor fuerit numerus impar Mns divisor numegus Ea suetit, praedictavissetentia sic inventa semel augenda est