Institutiones philosophicæ ad faciliorem veterum, ac recentiorum philosophorum lectionem comparatæ opera, & studio V. Cl. Edmundi Purchotii ... Tomus primus quintus Tomus secundus, quo elementa geometriæ, & physica generalis continentur

11쪽

INDEX. CAP. VI. Da saporibus oe odoribus. 373

12쪽

GEOMETRI AE.

viam adolescentibus ad veterum , recentiorumque Philosophorum lectionem nostris Institutionibus Philosophicis statuerimus aperire, brevem iis Elementorum Geometricorum synopsa hoc loco tradi oportere iudicavimus. Nam sine qualicumque saltem Geometriae notitia maxima Physicae pars in abdito latet , nec ullo mentis conatu e profundissimis , quibus immersa est , tenebris in lucem eduei potest . Hinc Academiae foribus insculpta o Iim legebantur haec verba , Nullus Geometriae expers intrato e quod Plato& veteres Plii Iosephi omnino adhibendam Geometriam putarent , nec sine ea naturalem scientiam addisci posse arbitrarentur. Hinc etiam Universitas Parisiensis articulo 4o. Statutorum Fa- euitatis Artium postremae reformationis anni Is 98. omnibus Philosophiae Pio fetaribus mandat , ac praecipit , ut aliquot Euelidis libros Dis auditoribus praelegant, ne ipsi ad rerum naturalium investigationem nimium rudes , R inhabiles a studio deterreantur, & laborem abiiciant. Sed quod in eo studio longe praecipuum nobis videtur, nulla est Philosophiae pars , in qua perfectior iustae

ratiocinationi, forma exhibeatur , quam in Elementis Geometriae . Quamobrem etiam sit Geometras perfectos efficere nobis non sit animus : nec accuratum , & ad amussim geometricum ubique elaboratum opus meditemur : primas tamen Insti

tutiones Geometricas , scilicet definitiones, postulata, axiomata, cum aliquot selectis Euclidis propositionibus , iuvabit exponere , ut & aditus ad Physicam pateat: & methodi syntheticae usus, ae perfectae demonstrationis forma in materia facili, & ad erudiendum aptissima elucescat. m. II. A Prin-

13쪽

α Eumenta Prinei piorum igitur, ex quibus propositiones omnes geometricae deducuntur , tria sunt genera , ut modo indicavimus , ssilicet Dinnitiones , Po-sulata, Axiomata. Dinnisionem vocant veI rei, veI nominis expia-eationem: ut eum ait aliquis se trianguli nomineri uram tribus lineis eontentam intelligere. Posulatum est id quod feri non repugnat: ideoque petunt Geometrae ut id tauquam factum tonis Cedatur . U. g. a quovis puncto ad quodυis punctum νectam lineam ducere.

Axioma est fententia per se manifessa et ut , totum est majus sua parte . Deinde propositionum aliae quiddam faciendum

Proponunt, & voeantur Problemata e v. g. lineam perpendicularem in altera ιinea , ad datum in ea punctum , excitare . Aliae in sola contemplatione versantur, quae idcirco Theoremata inscribuntur; tit eum anguli ad verticem oppositi aequales essa Uenduntur. Aliae praeterea idcirco tantum assumuntur , ut Per eas theoremata quaedam, aut problemata de monstrari possint, x vocantur Lemmata. Aliae denique ex aliis necessario consequuntur, & Coro

Iaria nuncupantur. ιSeboIium est exercitatio quaedam in aliquam propositionem , qua vel explicatur magis, vel iis psius usus, aut utilitas amplius declaratur. Conversae propositiones dicuntur , quarum una ex aliquo posito cliud deducit r altera vero ex eo, quod in priore deductum erat posito , quod in i pia praemissum fuerat , concludit . Ut si dicam : triangulum is ud es UosteIes : ergo angulos Babeo ad basim aequales e vicissim dicere potero , ariangulum sud habet angvlas ad basim aquales: ergo es .foseeIes. Haec nota -- significat plus . - significat minus. significat aequalitatem. Cum autem postulata,& axiomata omnibus libris sequentibus pari iure communia sint , ut ea

hoc loco praemittantur , ratio & doctrinae ordo Praeci Pit. Pol

14쪽

Geometris. 3PH ulata. T. A quovis puncto ad quodvis punctum reinctam lineam ducere. a. Rectam lineam terminatam in directum Acontinuum protendere .

culum describere . axiomata. r. Totum sua parte maius est , & aequale omnibus suis partibus . a. Quae eidem aequalia sunt , ea inter se quoque sunt aequalia e adeoque quod uno aequalium maius est, aut minus, altero quoque est maius, aut minus. 3. Si aequalibus aequalia addantur , tota erunt aequalia . . Si ab aequalibus demas aequalia, quae remam nebunt, erunt aequalia. s. Si inaequalibus addas aequalia , tota erunt inaequalia. 6. Si ab inaequalibus tollantur aequalia , quae remanent, erunt inaequalia.

. Quae eiusdem dimidia sunt, ea inter se sunt aequalia. Similiter quae eiusdem sunt dupla , vel tripla, vel quadrupla , inter se aequalia sunt.

8. Quae mutuo sibi eongruunt, aequalia sunt. Congruere vero illa dicuntur , quae sitnul cominposita sic conveniunt , ut extrema unius cadant in extrema alterius, nec excedant, nec exceda turr ut si linea pedalis lineae pedali applicetur , extrema unius puncta cadent in extrema alterius,& ambae unam facient lineam . 9. Duae lineae non inclinantur ad se mutuo , quando earum una non magis quam altera inclinatur ad aliquam tertiam versus eamdem partem . V. g. si Iineae L D : & I H M. I a. tab. 3. aequaliter ad rectam B H inclinentur versus eamdem

P rtem, erunt parallelae. A a I. I.

15쪽

Elementa

De lineis, ct angulis. DEFINITIONES.

a. R Agnitudo id omne significat, per quod res L aliqua collata eum altera eiusdem generis dieitur ei aequalis , aut inaequalis : adeoque extensionem localem, numerum , motum , ac tem-Pus comprehendit. Verum ex his magnitudinibus extensionem potissimum localem Geometrae considerant, quod ex ea caeteras metiri facile sit. a. Est autem extensio localis , aut quantitas molis , certus ac definitus magnitudinis modus ;nempe id quod respondetur quaerenti quanta sit rei moles. Et ea quidem quantitas vel spectatur in longum tantum, & dicitur linea; vel in longum & latum , & vocatur superseies ; vel denique in longum, Iatum, & profundum , ac soli

dum nuncupatur.

3. Lineae termini, puncta dicuntur. Est autemptinctum apud Euel idem, id euius nulla pars: sive potius est id quod concipitur quasi nullas habens partes, licet re ipsa partes habeat. 4. Linea alia est recta, quae inter extrema sua puncta aequaliter protenditur ; ut A B , fg. I. Fab. 3. alia curva, quae a recto tramite deflectit, ut C D, fg. a. rab. 3. Superficies item vel plana est , eui scilicet recta I in ea quoquoversus accommodari potest , ut superficies ta hialae marmoreae r vel est curva, ut superficies globi. s. Si duae aut plures lineae iisdem contentae sint terminis, quae recta est, ea est brevissima , ut C B,

fg. 3. rab. 3. Ex curvis autem , quae alias con tinent, eae sunt contentis maiores; ut C d B maior est quam Ce B. Quod tamen tunc solum verum est, cum eae lineae curvae in eamdem partem incurvatae sunt, seu excavatae r si enim quae conintinetur, in diversas partes inflexa sit, variosque anfractus efficiat, tum ea major esse poterit quam alias

16쪽

Geometriae. Lib. I. salia, qua continetur, ut C f B maior est qua in C A B .

6. Si duae lineae aequaliter ubique a se mutuo distent, seu in infinitum protractae numquam concurrant , aut ad sese invicem non inclinentur ,

dicuntur parallelae, ut A B, & C D, fgura 4.

. Si duae lineae in unum punctum concurrant, caetera distractae, & divergentes, distractionis huius & divortii quantitas dicitur angulus , ut B A C,

M. f. rab. 3. Punctum vero , in quod concur-Tunt lineae, vertex anguli appellatur, ut A. Et enim omnis angulus tribus literis exprimi solet, quarum media punctum concursus , seu vertie emanguli denotat . Notandum autem , non ex longitudine Iinearum angulum conssit uentium , sed ex earumdem diηνactione , anguli quantitatem Uimari . Nam angu- Ius D E F , figura 6. tabula 3. major es angvis G Η Ι , figura . tabula 3. tametsi minoribus Iineis eontineatur. Si enim angulus G I imponatur angulo D E F punctis notato , 1. cile qui ueinteuiget angulum G H I angulo DEF esse eomprehensum , oe Iineas eonfluenses angulum DE FmuIto magis didractas esse, quam eas, quae conse ruunt angulum G Η I.

8. Anguli, quos faciunt lineae in superficie , dicuntur superseiales . Ac si ea superficies sit plana , Vocantur plani: si sphaerica, spastrici: sed de

sphaericis non agimus . s. Planus angulus, si fiat ex duabus rectis, di- . citur rectilineus ; euiusmodi sunt anguli figurarum S. 6. 7. rob. 3. Si fiat ex curvis, curvilineus voineatur ; ut L Μ N M. 8. tab. 3. Si ex recta & eurva , mixtus nuncupatur ; ut o P Q , fgura 9. xab. 3. Io. Angulus quilibet vel rectus est , vel obtusus, vel acutus.1 r. Angulus rectus is est, qui alterum ex altera parte habet aequalem , si unum latus produxerit: ut angulus B EA Mura ro. tabula 3, est rectus , si ei ex altera parte aequalis effiei possit AEC, producto latere BE in C. Hi ne collige, omnes angulos rectos esse inter se aequales .aa. Cum igitur recta A E M. Io. rab. 3. superis a rem

17쪽

s Elementa recta B E C eonsistens in neutram panem inclinatur , ac proinde angulos utrimque facit aequa-Ies ; ambo isti anguli AEB, & A E C recti sunt . Recta autem A E alteri insistens dicitur perpendia

cularis .

I 3. Anguli, qui unum latus commune habent,. quique ex utraque parte istius lateris fiunt, dici silent deineeps positi ; ut M. Io. tab. 3. A E B , R B E D. Quod si producatur B E in C , ut A E in D productum est , anguli B EA, & DE C dicuntur ad υerticem oppositi . 14. Obtusus angulus ille est, qui recto est maior : talis est angulus E D C fg. II. rab. 3. IS. Acutus vero , qui minor est recto ; qualis est in eadem figura ED B. Hinc collige angulos obtusos posse esse alios aliis maiores , vel minOTes,. non secus ac angulos acutos .

16. Si recta linea , ut O P, in duas rectas qua GNumque incidat, plures angulos facit , ut figura Ia. yab. 3. anguli, A, B, G , Η , externi dicuntur ἰ C, D, E, F, interni C & E, vel D & Fἐnterni ad easdem paνtes: C & F, itemque D & Ealterni . Denique F & B vel E & A die uni ut nurnus, oe externus ex eadem parte oppositi. Tbeorema primum. Recta linea super alia recta consistens aut duos deinceps rectos angulos facit , aut duobus rectis aequales. Nam si AD figura II. tabula 3. insistat perpen die ulariter lineae CDB, erunt anguli A D B, &ADC utrimque recti, peν definitionem II. ω ΙΣ. Si vero E D oblique insistat eidem lineae CDB, concipiatur perpendicularis A D. Cum tunc an inguli E D B acutus , & E D C obtusus idem spatium occupent, ac duo recti ADB, & A D C. Proindeque iis congruant, erunt his illi aequales, Fer axioma S. Quod erat demonstrandum.

Eisdem modo demonstrabitur , si plures rectae quam una eidem rectae ad idem punctum in s stant , angulos , qui per eas efficiuntur , simul duobus reius esse aequales , ea . R. a. Pun

18쪽

geometriae . Lib. I. T2. Duae rectae sese mutuo secantes, ut A E D, &B E C figura ro. tabuIa 3. efficiunt in intersectionis puncto quatuor angulos quatuor rectis aequa

3. Omnes anguli circa unum punctum C consti tuti, ut figura I 3. tabula 3. aequales sunt quR-tuor rectis et sunt enim quatuor recti in plures partes secti. Theorema secundum. Anguli ad verticem oppositi sunt aequales. Nimirum angulus B , figura I 2. rab. 3. est aequalis angulo C. quod ut de monitretur, uterque debet cum an tuto intermedio A componi . Nam angulus B & angulus A simul sunt aequales duobus rectis, per theorema primum . Item angulus C & angulus A sunt aequales duobus rectis , per idem theorema primum. Ergo anguli C & A simul sumpti aequales sunt angulis B & A simul sumptis. Ergo ablato communi angulo A, remanebunt anguli B , R C aequales , per axioma quartum: quod erat demonstrandum.

Theorema tertium.

Si recta linea o P duas rectas parallelas N L, R M I seeuerit , angulum internum externo e Teadem parte opposito faciet aequalem. Nam cum lineae LN & IM M. I a. tab. s. sint Parallelae, aequaliter inelinantur ad lineam o P versus easdem partes , per definitionem sextam , de axioma nonum. Ergo anguli B & F, vel A , R E, qui fiunt per inclinationem linearum LN, R I M ad lineam Ο P, sunt aequales.

- Theorema quartum.

Anguli alterni sunt inter se aequales. Nam angulus B M. I a. tab. 3. aequalis est an gulo C sibi ad verticem opposito , per theorem Rsecundum . Sed idem angulus B aequalis est angulo F per theorema tertium . Ergo angulus Caequalis est angulo F alterno, per axioma secundum a Theorema quintum.

Si linea recta duas parallelas secuerit, angulos A 4 in

19쪽

g Elementa internos ad easdem partes faciet duobus rectis ae

quales .

Nimirum anguli alterni C & F fg. ra. tab. 3. sunt inter se aequales , per theorema quartum . Atqui anguli C & D deinceps positi sunt aequa-Ies duobus rectis . per theorema primum . Ergo anguli D & F sunt aequales duobus rectis: quod erat demonstrandum. SohoIium . Propositiones conversae loeum habent in tribus praecedentibus theorematis. Nam si duae lineae L N, & I M M. aa. tab. 3. cum tertia OP angulos B & F, externum & internum eX eadem parte oppositos , aequales eminciant , aequaliter ad illam lineam o P ine lina huntur: unde erunt parallelae per axioma nonum.

Similiter ex eo quod anguli alterni C&F sint aequales, sequitur lineas L N , & I M esse parallelas . Cum enim anguli ad vertieem oppositi BR C sint aequales ; sitque C aequalis ipsi F , erit

angulus B angulo F , externus interno sequλIis tΩdeoque per demonstrationem praecedentem , lineae L N, & ΙΜ erunt parallelae. Denique si anguli D & F interni ad eamdem Partem sint aequales duobus rectis , erunt similiter lineae L N , & I M parallelae . Nam anguli BR D deinceps positi sunt aequales duobus rectis , Per Iheorema primum. Sed anguli D F ponuntur etiam aequales duobus rectis. Ergo anguli BA F externus & internus sunt aequales inter se radeoque ex modo demonstratis lineae L N , & I Msunt parallelae.

LIBER SECUNDUS

De triangulis, quadrilateris , pentagonis , hexagonis , ct reliquis postgonis .

DEFINITIONES.

T. V Igura est spatium undique conclusum. Un- de angulus non est figura et quia non cir

cum Diuit eoo by Coo e

20쪽

Geometri . Lib. II. yt. eum quaque clauditur . Hinc etiam duae lineae . rectae figuram non constituunt; quia spatium non comprehendunt: ad hoc enim opus est tribus saltem lineis .

a. Ex figuris aliae sunt planae, aliae solidae. Dei solidis postea. 3. Planae sunt eae, quae lineis in aliqua superficie exaratis continentur . Quae lineae si recta sint, figura vocatur rectiIinea ; si curvae, eurυili. nea ; si partim rectae , partim curvae, mixta. 4. Lineae illae, quibus figura terminatur , simul sumptae , dicuntur ipsius circumferentia , aut cir euitus , η ut perimeter . Unde figurae , quae aequalem habent ambitum , uno nomine vocantur Uoperimetrae.

s. Ex omnibus figuris curvilineis , & mixtis praecipue a Geometris spectatur circulus , aut portio circuli. De circulo dicemus libro sequenti. 6. Inter rectilineas maxime simplex est triangulum, quippe quod tribus tantum lineis totidem

angulos efficientibus continetur. i . Triangulum autem ve I secundum augulos dividitur , vel secundum Iatera . Si secundum angulos: vel habet unum ex iis angulis rectum, & . dicitur rectangulum , ut A B C M. I . tab. 3. vel unum habet obtusum , & vocatur ambinonium , ut D E F M. I s. tab. I. vel omnes habet aetitos,

S ovgonium appellatur, ut G HI, vel ΚΜ L ,

8. Jam si laeundum latera dividatur , ac tria latera habeat inaequalia , dicitur scalenum , ut ABC M. I . tab. 3. Si duo latera aequalia tantum habeat, vocatur Uosceles , ut ΚΜ L R. a . rab. 3. Si omnia habeat aequalia , aequi laterum nuncupatur, ut GHI fg. 16. ab. 3. q. Si duo trianguli lat pra sumantur, appellari Possunt crura ; dc tunc tertium dicetur basis. Quod libet latus sumi potest pro basi . In triangulo tamen rectangulo , vel amblygonio maximum Iatus se quod scilicet angulo recto, aut obtuso opponitur , appellari solet basis, vel etiam H potenuissa , ubi agitur de triangulo rectangulo. In triangulo quoque i scele latus inaequale dieitur basis. Io. Triangularem figuram sequitur quAdrilate