장음표시 사용
21쪽
ra, quae quatuor lineis rectis , totidemque angulis comprehenditur.
II. Quadrilaterum, si opposita latera parallela
habeat , Parallelogrammum dicitur , ut A B C Dri. 38. pab. 3. alioqui Trapezium vocatur , ut E F G H M. I9. ι ab. 3.12. Parallelogrammum, si quatuor angulos rectos habet , . dieitur simpliciter Rectangulum , ut AK L M M. m. tab. 3. I 3. Si omnia rectanguli latera aequalia sint 2 uadratum dieitur, ut CD E F , M. ar. rab. 3.
Si opposita tantum aequalia, vocatur atrera parte Longius, ut IK LΜ fg. 2O. rab. 3.14. Si quatuor anguli parallelogrammi non sunt recti: tum vel omnia latera habet aequalia, diciturque Rbombus , ut G H I Ic M. 22. ab. 3. vel tantum opposita aequalia , ut ABC D fg.. a 3. rab. 3. & vocatur Rhomboides. 13. Porro parallelogrammum notatur literis quatuor ad quatuor angulos appositis, ut A B C Dri. Σ3. tab. 3. interdum etiam compendii causaliteris duabus per diametrum oppositis , ut BC. Est autem diameter , seu linea diagos alis , ea , quae ab uno angulo quadrilateri ad oppositum ducta est, ut B C . I 6. Si per assumptum in diagonali BC M. α 3. rob. 3. punctum I ducantur binae rectae lineae AF , GH lateribus parallelae , dividetur totum Paralle ogrammum in quatuor par3llelogramma quorum duo E G , H F dicuntur paraIlelogrammastrea diametrum, duo vero reliqua AI , I D v
tr. Si figura plures habeat, quam quatuor an. gulos, & plura quam quatuor largra, poluonum, dieitur, si sex habeat latera , hexagonum ; si septem , heptosonum , &ς.
Theorema primum. In omni triangulo externus angulus aequalitae st duobus internis oppositis: & tres eius anguli aequales sunt duobus rectis. . Sit tri gulum A B C fg. 24. tab. 3. cuius latus BC producatur in D . Dico primo , angu-
22쪽
Geometria. Lἰb. II. A. Inis oppositis, A & B: secundo tres angulou A , R B, & A C B aequales esse duobus angulis rectis. Demonseratio prima partis . Ducatur lilaea C Eparallela ipsi B A : tumque recta A C Paei det in parallelas AB , & CE . Ergo angviris A , sive BAC aequalis erit alterno ACE, per theorema quartum libri primi . Item recha R C in ei det in parallelas BA, & CE. Ergo angui us B internus aequalis est externo ECD, per theorema tertium Iibri primi. Ergo duo A & B tant aequales duobus ACE, & ECD, hoc est toti A C D . Democ ratio Detinde partis. Duo anguli A, LB sunt aequales angulo AC D. Ergo addito communi A C B, tres anguli A , & B , & A C B sunt aequales duobus ACD, &ACB, per axioma tertium . Atqui A CD , & ACB deinceps possiti aequales sunt duobus recti s per theorema primum libri primi . Ergo tres A ri δε B , & ACB sunt aequales duobus rectis, per axioma secundum.
Huius eximiae propositionis , quae est trigesima seeunda libri primi Elementorum Euclidis , auctor dieitur Pythagoras, ut & propositionis quadragesimae septimae , quemadmodum suo loco adia monebimus . Quoniam vero continuus pene est illius usus in Geometria , ideoque accurate debet teneri , aliam huius demonstrandae rationem subire tendam putamus , quae quibusdam adolescentibus visa est facilior, Sit triangulum A B C fg. 23. tab. 3. Dico I. tres angulos A & C & B esse duobus angulis rectis aequales . Etenim ducatur linea E F parallela Iateri C B , certum est angulos e & , adiacentes angulo A , iunitos simul cum illa angulo A seis quales esse duobus angulis rectis per corall. I. Theorem. I. lib. I. Sed angulus e aequalis est angulo C , & angulus b angulo B alterno , per Theorema 4. Iib. I. Ergo pariter anguli C & Biuncti angulo A aequales sunt duobus rectis, per
axioma 3. Dico a. Angulum externum d aequalem esse
23쪽
ret Elements quales sunt duobus rectis per Theorema I. Iib. I. Atqui anguli A & C simul eum angulo B sequales itidem sunt duobus angulis rectis per de monstrationem praecedentem . Ergo angulus dexternus aequalis est duobus internis A A C op-Positis, Per axioma 3. CoroIIaria. I. Tres anguli simul sumpti euiusvis trianguli aequales sunt tribus angulis simul sumptis euiuia cumque alterius et nam ubique pares sunt duobus rectis. a. Omne triangulum duos necessario post usat acutos angulos. Nam si unicum haberet acutum, duo reliqui vel recti essent , vel obtusi , quod dici non potest; cum tres simul anguli trianguli duobus et an tum rectis aequivaleant. 3. Quoties in uno triangulo duo anguli , aut singuli, aut simul aequales erunt duobus angulis, aut singulis , aut simul in altero triangulo , etiam tertius tertio aequalis erit Theorema fecunaeum. In omni triangulo angulus maior est, qui maiori lateri opponitur, & vicissim. Nimirum angulus E M. I. νab. 3. qui opponitur maiori lateri DF, maior est, quam angulus D vel angulus F . Etenim cum magnitudo arsemuli a linearum, quibus comprehenditur, distractione desumatur : cumque eo magis illae lineae distrahantur, quo majus latus intercipiunt; claxum est, angulum E oppositum maiori lateri etiis alterutro aliorum D, vel F, majorem. Item uiatori angulo maius vicissim latus opponitur ob eamdem rationem. Corollaria. r. In triangulo aequi latero G H I 16. rab. q. tres anguli sunt inter se aequales: quia aequatibus lateribus opponuntur . Atque ita sunt omnes acuti . Nam non possunt esse omnes recti. , aut obtusi, per corollarium secundum theorematis primi hujus libri.
24쪽
astuli Κ & L super basi K L constituti sunt aequales ; quia aequalibus quoque lateribus oppo
3. Perpendicularis, A B , fg. 26. tab. 3. est brevissima omnium linearum , quae ex puncto A ad rectam B C duci possint . Cum enim angulus Brectus sit , necesse est per corollarium secundum theorematis primi huius libri , angulum ACBesse acutum. Ergo AB minor est , quam quaelibet linea AC, per praesens theorema. . Ex uno puncto ad unam rectam lineam una tantum duci potest perpendicularis . Id patet ex corollario praecedenti.
Si duorum triangulorum latus unum uni , &alterum alteri sit aequale; ac praeterea anguli illis lateribus contenti etiam sint aequales , aequa hu ntur quoque & bases, & tota triangula.
Nam si intelligamus triangulum D E F, fg. 28. tab. 3. triangulo BAC M. 27. superponi , angulus E congruet eum angulo A sibi aequali , ac latera E D & E F aequalibus lateri linis A B , &ΑC convenient e adeo ut tria puncta D, E, F cadant supra tria puncta B, A, C. Ergo basis D F tota cadet supra totam basim B C. Sed &anguli D & B , itemque F & C, totaque trianis
gula sibi mutuo. tunc congruent . omnia igitur per axioma octavum aequalia erunt et quod erat demonstrandum. Corollaria.
i. Simili ratione, nempe ex eo quod duo tria gula sibi mutuo congruant , si ipsa habuerint mnia latera sibi mutuo aequalia , etiam angulos omnes aequalibus lateribus oppositos habebunt aequales, S ista erunt inter se aequalia. x. Item si in uno triangulo duo anguli seor-sm sumpti aequales fuerint duobus seorsim an gulis alterius trianguli ; & unum latus uni ait rius lateri aequale ; reliqua omnia erunt aequa Iiar qaia si unum triangulum alteri imponatur, ea sibi mutuo congrue a L.
25쪽
In omni triangulo duo quaelibet latera tertio sunt maiora. Haec propositio instar axiomatis est Archimedi. Nam , ut diximus definitione quinta libri primi . linea recta est omnium linearum , quae ab uno puncto ad aliud punctum ducuntur, brevi iasima : & proinde cum unum trianguli latus ab uno puncto ad aliud punctum recta ducatur ,
duo vero reliqua a recto tramite deflectant : necesse est omnis trianguli duo quaelibet latera teristio esse majora . Theorema quintum. Parallelogrammorum opposita latera sunt sequa-
Iia , & anguli, uti & partes per diametrum factae. Quoniam AB, & C D , M. 23. rab. 3. sunt parallelae per definitionem I r. hujus libri, in easque incidit recta BC, quae est diameter seu linea diagonalis parallelogrammi A B C D ; erunt anguli alterni ABC & B C D aequales , per theorema quartum libri primi. Item quia AC & BD sunt Parallelae , in easque incidit recta BC: erunt a linterni anguli ACB, & CBD aequales . . Ergo totus angulus A C D toti A B D aequalis est . Eodem modo ostendam angulos Α & D esse io. ter se aequales . Iam vero quia triangula ABC, & CDB unum Iatus BC commune habent, & angulos isti lateri adiacentes aequales ; erunt etiam latera AC
ipsi BD, & AB ipsi CD aequalia; itemque ipsa
triangula aequalia erunt , Per theorema tertium
hujus libri, & eius corollaria.
r. Complementa AI, ID, M. 23. tab. 3. sunt etiam inter se aequalia. Nam duo triangula maiora CBA , CBD iunt aequalia per praesens Theorema. Ex his igitur si subdueantur aequalia
triangula CI H, CIF, & I B E , I BG, residua spatia AI, ID, quae sunt Parallelogrammi comis
26쪽
momenta. LiR ILareae R C RE B D aequaliter ad eas inclinatae lane aequales . Idem dicendum de lineis I L & K in M. 2o. υλ 3. Inter parallelas IK & L M positis, & ad eas perpendicularibus. Fit enim utro- hique parallelogrammum , cuius ex hoc theor male oppofita latera sunt aequalia.. Theorema sextum. Parallelogramma super eadem basi , k inter easdem parallelas constituta sunt aequalia. Sint parallelogramma A E, & AD M. 3o. tab 3. super eadem basia AB, & inter parallelas A DR CD constituta: dico ea esse aequalia. Nam initriangulis A CF, & BED, latus a C aequale est Iateri BE per theorema praecedens . Item cumili neae CE, & FD fini eidem AR aequales , per idem theorema; si utrique addatur pars communis E F, erit totum latus C F aequata lateri E D. in praedictis triangulis, per axioma tertium. Sed propter parallelas AC, ct BE , anguli A C F, &BED internus I externus sunt aequales . Ergo per theorema tertium hujus libri triangula A CP&BED sunt aequalia. Ergo si ab utroque detrahatur pars communis GEF , & addatur utrique pars communis ABG , erunt parallelogrammai CB, & AD aequalia: quod erat demonstrandum. Corollaria. x. Eadem da monstratio facile applieari potest parallelogrammis super aequalibus basibus, & intra easdem parallelas constitutis.1, Triangula pariter , sive super eadem basi tisve super aequalibus basibus, & inter easdem parallelas. constituta , sunt aequalia . Nam triangu- Ium ACB M. 3I. tab, 3. est dimidium parallelo grammi A B C E , sicut triangulum A F B est dimidium parallelogrammi A B FD per theorema praecedens ; haec autem parallelogramma A.E , A msunt aequalia per praesens theorema : adeoque triam gula sunt quoque aequalia per axioma septimum. Theorema septimum .
Omae dividi potest in tot trianw
27쪽
, g EIementa .gula , quot habet latera : Si intra heptagonum
BCDEFGH M. 29. tab. 3. sum ιtur punctum Α , ex quo concipiantur lineae ad unum quem que angulum ductae A B M A C , AD, &c. manifestum est tot fore triangula , quot sunt in po-Ιygono latera
Omnes simul anguli cuiuscumque figurae rectilineae regularis bis adaequant tot angulos techos, demptis quatuor, quot sunt latera figurae . Ex puncto A intra eandem figuram ducantur ad omnes illius angulos rectae lineae , A B , A C, Se . quae ipsam secent in tot triangula , quot hahet latera . Quoniam singulorum triangulorum anguli aequales sunt duobus rediis, per theorema primum hujus libri, omnium simul anguli sequivalent bis tot rectis , quot sunt latera . Sed anguli circa punctum A constituti aequales sunt quatuor rectis , per corollarium tertium primi theorematis libri primi. Ergo si ab omnium trian. gulorum angulis demas angulos circa A , anguli reliqui , ad circumferentiam figurae collocati bis tot rectos , demptis quatuor , ad aequant , quot sunt latera figurae. ' . Itaque si nome libuerit quot angulis reetis seis qui valeant anguli cuiuscumque figurae rectilineae regularis: duplica numerum laterum , & a producto aufer 4. restabunt anguli recti , quos adae. quant anguli interni figurae . Sic chiliogonum , seu figura mille laterum angulos habet mille nongentis nonaginta sex angulis rectis aequales.
DEFINITIONES. s. Ireulus est figura plana , quae sub una linea curva sic continetur, ut ab uno pun
no, quod est intra figuram , lineae omnes ductae
28쪽
Geometriae. Lib. III. Irad lineam eircumcurrentem sint aequales. CircuIus enim non est sola circumcurrens linea , quae es reumferentia dicitur , sed spatium in ea conclusum. a. Circumferentia vero, seu peripheria, est linea circulum terminans , quae in 36 o. partes a
Mathematicis dividitur : quae partes appellari solent gradus. Quare semicircumferentia in I 8o.& quadrans circuli in s o. gradus distribuitur . Singuli gradus in εο . minuta prima ; & quod uis. minutum primum in so. minuta j dcunda , & ita deinceps , in tertia , in quarta , &c. secantur . Has divisiones, tamquam commodissimas prae caeteris elegerunt Mathematici . 3. Centrum circuli est punctum , a quo lineae omnes ad circumferentiam ductae sunt aequales , ut punctum A. M. 32. tab. 3. 4. Diameter circuli est linea recta per centrum
duAa, & ei reulum bifariam dividens . Talis est linea B C , ead. M.
s. Radius , aut semidiameter est linea a centro ad circumferentiam pertinens , ut A F & A Eead. M. 6. Semie reuius est figura comprehensa sub diametro , & semicircumferentia . Talis est BG FCead. M. . Chorda est quaevis recta intra circulum ducta , & ad circumferentiam utramque terminata , ut linea recta D E ead. M. 8. Areus est pars circumferentiae a chorda subtensae , ut DLE, vel D F E , ead. M.
Hie observa aretim quemlibet esse mensiaram anguli in eirculi eentro comprehensi duobus radiis ad arctis extremitates ductis . Sic arcus D L E es mensura anguli DAE E, eadem figura . Cumque in cujuslibet cireuli eentro fieri possnt quatuor anguli recti , per theorema primum libri primi , est eius corollaria ; qui eircumferentiam 36 o. graduum in quatuor arcus 9 o. graduum diυidant : necesse es quemlibet angulum rectum esse nonaginta graduum , ut B AF, vel FAEC , eadem figura e Et proinde , usiam obfervaυimus defuitione II. lib. I. Omnes anguli recti sunt inter se aequales : quia singuIi suns 9o. graduum . Itaque anguli obtusi plures , quam nouosiura gradus continent , ut G ac eadem figura
29쪽
18 Elamenta aura. ἰique alii aIiis majores use possunt . angu -ιi vero acuti pauciores , quam nonaginta gradus comprehendunt , nee inter se sunt femper aequales ,
dem figura . Caeterum quotiescumque plures angu-Ii totidem Da eireumferentiae gradus capiunt , ισ- σω inter se sunt aequaIes. 9 Recta circulum tangens illa est, quae habenseommune punctum in circumferentia, licet proinducatur, circulum non secat. Talis est linea re iacta H C , M. a. 4. quae circulum tangit in puncto C , & quae dicitur tangens arcus BC, aut anguli BAC, quem iste arcus metitur. Ta- Iis est quoque linea LF , quae dicitur tangens arcus BF, vel anguli BA F. Talis est etiara linea E B F , fg. 33. ab. 3.
Io. Linea secans alicuius arcus est recta a centro per alterum ipsius arcus extremum producta, S a tangente terminata : ut linea ABH, eadem M. 2. tab. 4. est secans arcus CB, vel anguli
CAB: ut etiam linea AB L est secans arcus BF, vel anguli BA F. II. Sinus rectus alicuius areus est semissis subtensae duplo ipsius arcus e ut linea B I, est sinus rectus arcus B C , eadem Muνa r quia haec linea B I, est semissis lineae BK, quae subtenditur aris cui BCK, duplo arcus BC . Hi ne sinus anguli recti est ipse radius , cum sit dimidia chorda semiei reuit , diciturque Sinus totus , videlicet omnium maximus.
ra. Linea BG, dicitur Sinus eomplementi ariseus BC, quia arcus B F, est complementum arcus B C, ad quadrantem : nam C B F , est quadrans circuli, eadem figura . 13. Sinus versus alicuius a reus est pars semidiametri inter subtensam duplo ipsius a reus , Rhunc eundem arcum comprehensa : ut I C est simus versus arcus BC, quia est pars semidiametri AC, intereepta inter areum BCK, duplum arcus BC, & eius subtensam HI K, eadem Mura. 24. Segmentum eirculi est fietura sub arcu , &ehorda comprehensa, ut D L E , M. 32. tab. 3. est minus segmentum, & DFE, majus segmentum.
35. anaulus segmenti ille est , qui a tangente
30쪽
Geometria . Lib. III. xpZe chorda per punctum contactus ducta eontinetur . Tales sunt anguli EB C segmenti minoris, S FBC segmenti maioris, M. 33. tab. 3. Ubi notandum segmentum C AB dici alternum respecta anguli segmenti CBE, ut segmentum CL B di citur alternum respectu anguli segmenti FB C. 16. Angulus in segmento ille est , qui contine- tu ν duabus rectis , quae a finibus chordae ad aliquod arcus punctum ducuntur , ut angulus B AC in segmento BAC, M. 33. tab. 3. Hic angulus
etiam dicitur angulus ad circumferentiam .
II. Angulus in ens peripheriae , aut areui ille est, qui continetur duabus rectis, quae ab extremis finibus arcus ad centrum circuli , vel ad aliquod oppositae circumferentiae punctum ducuntur. Talis est in centro angulus B D C, fg. 33 Rab. 3. insistens arcui BL C. Talis etiam ΒΑ eidem arcui insistens.
I 8. Sector eiretiti est figura sub duobus radiis contenta, & iis radiis intercepta. Talis est B D Csub radiis BD, & D C, & sub arcu BL C com- Prehensa , eadem figura .is. Similia segmenta sunt ea , quae aequales. capiunt angulos . Ita segmenta maximi & minimi cireuli erunt similia, si pares angulos capiant. ut arcus e f g, in minore circulo , & B C D in maiore, sunt similes, quia pares angulos e A g, & BAD capiunt, fg. I. rab. 4, 2 o. AEquales circuli sunt ii, quorum diametri, vel radii sunt aequales.
Di ameter ad chordam seu subtensam perpendi- eularis, eam secat bifariam. Nimirum BD , M. 3. tab. 4. bifariam dividitur per diametrum A FC Nam eum latera EF, & FD, sint aequalia, per definitionem ei reuli ; triangulum BFD, est iso sceles e adeoque anguli in B , & D super basi BD , sunt aequales . Sed in triangulis BCF ,
D ς F anguli ad C sunt recti, propter perpendi.
Eularem F C , quae est etiam latus utrique commune . Ergo ista triangula sunt omnino aequalia,
per theorema tertium libri secundi , & ejus eo-rollaria . Proindeque latus B C , est lateri CD,