장음표시 사용
41쪽
go EIemen aqua in borOIogiis osculatoriis, tra voestne , maxλῆ es usus , ut pendulorum motus ad aequalitatem redueantur. M altera linea curυa intra ipsam eoninsenta , ct punctis disincta , qua trochoidis comes appellat ναa2. Corpora regularia voeantur , quae planis aequalibus , aequi lateris , & aequi angulis continen tur e suntque numero quinque , scilicet tetrahe drum, cubus, Rc. Tetrahedrum sub quatuor trianingulis aequalibus & sequi lateris concluditur , ac etiam pyramis aequi latera vocatur, ut T t M. I. xab. s. etibus subi sex qua aratis aequalibus, ut Cori. a. Octabadrum sub oeto triangulis aequalibus . A aequilateris , ut Oo M. 3. Dodeea hedνum subiduodecim pentagonis aequalibus , sequi lateris , α aequi angulis, ut Ddd fg. 4. Ieosahedriam denique sub viginti triangulis aequalibus , & aequi lateris, comprehenditur , ut I i R. a. tab. sia '
x. Um duae eiusdem generis magnitudines in-
ter se comparantur , Primus comparati innis terminus vocatur antecedens , secundus eo estiens . Dico. ejusdem generis magnitudines e nam
quae sunt diversi generis , non possunt inter se
2 Comparatio autem , seu habitudo , aut re in Iatio illa duobus esse potest modis et nempe , VeIcum spectatur quantum una ex his quantitatibus alteram excelat aut ab ea excedatur ; & haec habitudo exeossus aut disserentia dicitur; vel eum uaeritur quoties aut quomodo una in altera in- .ludatur , aut etiam. includat , di talis habitudinappellari solet ratio ias. Si prima quantitas seeundam hist eontineat, dicitur prima esse ad secundam in rationa dupla asi ter , in ratione tripla ; si quater x in ration
42쪽
Geomeρνω. Lib. V. 3rquatuρIa, Re. &quae continetur, dieitur esse iaratione subdupla, fabrmpla , subquadrup a, dic. Ut Iinea octo pedum est ad lineam quatuor pedum in ratione dupla, & linea quatuor pedum ad lineam octo pedum in ratione subdupla.
prima eamdem habeat rationem ad secundam, a laeunda ad tertiam , & tertia ad quartam tum prima dicitur ad tertiam habere rationem dupli-eatam illius, quam habet ad secundam: item dicitur ad quartam habere rationem eri ieatam ii Ilus , quam habet ad secundam . Ut si sint quatuor lineae , quarum prima sit sexdecim pedum se eunda octo , tertia quatuor, & quarta duorum: si quaeras rationem primae lineae sexdecim pedum ad secundam octo pedum, dico eam esse duplam, sive, ut a. ad 3. Si vero rationem primae I 6. ad tertiam 4. pedum , dico eam bis duplam esse rquia composita est ex ratione primae lineae I 6. aliscundam 8. pedum, quae dupla est, & ex rati ne secundae , nempe R. at tertiam Φ. , quae ite in Tum dupla est. Unde ratio primae ad tertiam est duplicata raetionis primae ad secundam : sive est his dupla , aut uno verbo quadrupl. . Iam ratio Primae ad quartam , seu I6. ad a. est triplicata rationis primae ad secundam . Adeoque componi
debet ex ratione dupla , quae est primae ad secundam, R ex ratione quadrupla, quae est ei undem primae ad tertiam, sicque est bis quadrupla, seu uno verbo octu plas. Quod si prima linea plus haberet magnitudinis comparate ad secundam , quam tertia ad quartam , diceretur prima majorem habere rati nem ad secundam , quam tertia ad quartam : δe viei ssim tertia mimorem diraretuν βabere rationem ad quartam, quam prima ad secundam. Qui modus loquendi Geometris familiaris est. 6. Quae igitur eamdem habent rationem ad aisIiquod tertium , ea aequalia sunt ἰ & vicissim aequalia sunt ea , ad quae unum & idem eamdem
. Si quaedam quantitas , v. g. Iinea bipedalis
43쪽
ga Elementatur, aut dividatur prima, eamdem semper habeis bit rationem ad secundam , si secunda eodem eistiam modo multiplieetur, aut dividatur . Nam ut linea bipedalis , ad lineam pedalem , ita linea quatuor pedum , ad lineam duorum pedum I vel ita linea unius pedis ad lineam semipedalem , &c. 8. Huiusmodi magnitudines, quae ex aequo multiplicantur , suarum simplicium aeque multiplices
s. Proportio , sive , ut Graeci aiunt , anaIogia est , vel rationum , vel differentiarum , seu excessuum aequalitas . Prima dicitur proporpio Geome trica ; secunda vero Arithmetiea. Attamen ubi proin portionis nomen simpliciter profertur , geometrica semper proportio debet intelligi, quippe quae
Praecipua est . Io. Cum igitur quaevis ratio , vel disserentia duos necessario postulet terminos , antecedentem nempe, S consequentem : omnis proportio quatuor huiusmodi terminos requirit . Primus voca tur primum anteeedens: secundus , primum consequens : tertius, secundum antecedens : quartus δε-ἀundum eo equens . Primus quoque , & ultimus dicuntur extremici secundus , & tertius , medii . Notantur autem hoc modo . q. a: z6. 3. Id est, Φ. est ad a. ut 6. est ad 3. sive linea quatuor pedum est ad lineam duorum pedum , ut linea sex Pedum ad lineam trium pedum . Hi quatuor termini sunt analogi , sive proportionales : & hae e Proportio vocatur geometrica , quia est rationum aequalitas . Sequens vero proportio est arithmetica. q. 3. . : 2. I. quia idem est exeusus primi an-2ecedentis respectu primi consequentis, qui secundi antecedentis respectu secundi consequentis. II. Secundus terminus obit aliquando antecedentis ,& consequentis munus, hoc modo, se θεου. q. a. id est, ut 8. ad 4. ita 4. ad a. sive ut linea octo pedum est ad lineam quatuor pedum , ita eadem linea quatuor pedum est ad lineam duo-llum. In qua proportione, quae continua vocatur, linea quatuor pedum est consequens respectu primi antecedentis , & antaeedens respectu secundi consequentis . Hocque tam in proportione arithme
iis a contingere potest , quam in geometrica .
44쪽
Geometriae. Lib. V. 33r ra. IIaec linea 4. pedum, seu quaevis alia quantitas , quae media est inter duas , dicitur media Proportionalis , idque vel geometrice , vol arith
. 'I3. Tertia est proportionis species , quae hammantea dicitur , cujus frequens fit mentio apud veteres Physico- mathematicos . Haec consistit in tribus terminis ita dispositis , ut qualis est habitudo maximi ad minimum , talis sit habitudo di inferentiae maximi a medio ad differentiam medii
a minimo. U. gr. fini numeri i2.8.6. Ut se hambet maximus terminus I a. ad minimum ε : ita
se habet 4 differentia maximi termini Ia a me dio 8 , ad E disserentiam medii 8 a minimo ε .Quia, ut maximus terminus I a continet bis minimum 6 d ita differentia 4 quae intercedit. intela a & R , continet bis differentiam a quae intercedit inter 8. & 6. - .l Eadem ratione 6. 4. 3. vel so. 4o. 3 o. sunt in proportione harmonica, ut alibi dicemus. 34. Inter figurarum latera multae rationes, aut excelsus occurrere possunt, quibus unius figurae ad alteram habitudo innotescat t1s. Linea aliqua in aliam ducitur, seu per a I iam multiplicatur , cum ex utraque fit parallelo- Irammuna rectangulum , cuius hae duae lineae sunt uo latera contigua. Ut linea LM in lineam L Iducitur , cum ex utraque fit parallelogrammum rectangulum IKLM M. ao. tab. 3. . I 6. Si linea A B M. ar. tab. 3. in seipsam duis
eatur, aut in lineam sibi aequalem, puta si C Dst aequalis ipsi A B, & multiplicetur per lineam C E sibi aequa tem , ex ista multiplicatione exurget quadratum EF CD : nam singula illius late.
I7. Rectangulum , aut quaevis alia super fietes per lineam multiplicatur , cum ex ista superficie, H linea fit parallelepipedum rectangulum , cujus basis sit ea superficies ; altitudo vero perpendicularis sit ista linea. Sic v. gr. superficies A B D HM. I 6. tab. 4. per lineam IK, aut per lineam B Lipsi aequalem multiplicata facit solidum F A , e ius basis est superficies ABDH , altitudo vero
45쪽
13. si superfietes illα sit quadrata, I per IIneam
aequalem singulis suis lateribus multiplicetur exsurget eu bus, cuius singulae faelex erunt inter soaequales, ut eagem figura exhibet. 19. Ex figuris rectilines s eae sunt lex meuntur, quae angulox singulos singulis aequales habent mae latera circa aequales angulos proportionalia . . Talia sunt triangularia ABC,& ab e M. 6. oesab. s.. Nam, angulus A aequalis est angulo a p&e. Atque ut latus A B ad AC: ita latus a se ad a e &e. Huiusmodi latera, quae sibi in proportione respondent, dicuntur homolosa , ut A B , Ra b , A C Ae a e & c. ao. Altitudo euiusque figurae est linea perpendie utaris a vertice illius ad. basim ducta , ut A P R. 6. rab. s. est altitudo trianguli ABC. Er.. Spatiae seu intervalla inter parallelas eo m. Prehensa sunt aequalia , in quibus. perpendiculaxes ductae sun L aequales ..Heorema primum. Ii proportione arithmeti ea , fomma termino-Tum extremorum est semper aequalis summae mediorum Ut in ista proportione arithmeticae 4. yr: Σ. T additio terminorum extremorum , nempe 4. R I.
aeit s. Similiter medii termini 3 & a simul additi referunt f .. Cuius rei ratio facilis est: quia quantum 3 supera Lur a 4 t tantum i , quod jungitur cum superatur R a, quod cum 3 ponitur. Ideoque perfecta est utrobique aequalitas ..
Triorema secandum . Ita proportione vero glometrica , e tremorum linultiplicatio aequalis est producto mediorum. Ut in hac proportione 4. a z 6. 3. si per 3 vel a per 6. multiplices ,. habebis. Ia. Ratio est,
qui α 4 & bis duo sunt quid idem : quemadmodum a & bis tria, sunt quid idem . Cum igitur 3 per
in multiplicas , idem est ac si sumeres bis reta ah bis fria , seu; uno verbo quater tria e cum et iamim. Per 6. multiplicas , idem quoque est ae si diceres bis ενia , & bis tria . Unde utrobique pro
ductum est aequale. vide Q. 8vitab. D
46쪽
si proportio fuerit continua , productum me dii termini per seipsum , hoc est, quadra um ejus
inquale erit rectanguis e tremorum .
Quotiescumque igitur productum extremorum re perietur aequale producto mediorum, xoties quatuor semini erunt in proportione geometrica. Id autem femper eontinget in sequentibus terminorum Permu
TrianguIorum aequiangulorum latera ei rea aequa-Ies angulos sunt proportionalia , & vieissim . Sint triangula ABC, ab c M. 6. oe 7. rab. y. aequi angula . Dico A B esse ad ab , ut AC ada e , & BC ad b e: atque ita alternando AB esse ad A C & BC, ut ab ad ae, & Pe. Demittatur a vertice A perpendicularis A P is maiore triangulo , dividaturque in partes quot- Cumque aequales, v. gr. septem I ae per singulas divisiones dueantur rectis lineae basi BC paralle-Iae , quae occurrent lateri AB in punctis F, G Sc. a quorum singulis demittantur pariter perpendie utares in basim, aut potius in basis partem B P , manifestum est latus A B, Κ partem basis B Pin totidem partes dividi, quot continentur in perispendiculari A P , quae quidem singula erunt in ister se aequales tam in A B, quam In B P per corollarium a. Theorem. s. lib. Σ. Demissa. pariter ire minore triangu Io perpendiculari sp, in qua sumantur partes, ad , d e Acci aequales partibus A D , D E &c. e tinea turque
in a p quinque , qualium in AP reperiuntur se Ptem , ac per singulas itidem divisiones de Acu. B 6 au-
47쪽
36 Elementa dueantur rectae lineae bali be parallelae, quae ορο surrent ipsi ab in punctis fg &ο. a quorum si gulis demittantur perpendiculares in basim, aut basis partem bp. Clarum est latus a b , & partem hasis bp in totidem partes inter se aequales dividi, quot continentur in perpendiculari a p. Est igitur multitudo partium aequalium in perpendie utari A P in majori triangulo ad multitudinem partium perpendicularis a p in minori triangulo , ut multitudo partium lateris AB , vel
halis B P ad multitudia em partium lateris , a b, uel basis , p. Idem demonstrabitur de triangulis AP C , ape. Et proinde, ut latus A P ad latus a p, ita latus A C ad latus ae , & P C ad pe e & eo sequenter , ut tota basis B C ad totam basim b e. Quod
erat demonstrandum . Theorema quartum.
In triangulis rectangulis perpendie utaris ab a gulo recto in basim demissa facit duo triangula tibi in v ieem, & toti similia . V. gr. perpendicu Iaris AD M. q. tab. s. facit triangula D AB, &DAC tum 1ibi mutuo, tum toti triangulo C A Bsimilia . Etenim in triangulis C AB & DAB duo an guli CAB, qui rectus est, & ABC sunt aequa Ies duobus A D B, qui etiam rectus est , & A B D. Ergo & tertius A C B est aequalis tertio DAB, per
corollarium tertium primi theorematis libri secundi. Ergo ista triangula sunt aequi angula. Ergo latera habent proportionalia Per theorema prae-εedens . Ergo per definitionem 1ν. hujus libri sunt similia. Eodem modo demonstrabitur CAD simile esse ipsi CAB: atque adeo ista triangula sunt sibi mutuo , δε toti C AB similia
Perpendicularis AD, eadem figura , est media roportionalis inter segmenta basis CD & DB. Hoc est , ut C D est ad. D A , ita D A ad D B Cum enim triangula C AD & DAB sint sirini-
utique GD auaua latus trianguli CAD est
48쪽
Geometr ae . Lib. V. 3 ad D A maius latus eiusdem trianguli ; ut idem D A minus latus trianguli DAB ad DE majus Iatus, per theorema tertium libri huius. Simili modo C A est media proportionalis inister hypotenusam C B & segmentum CD. Nam eum triangula C AB & C AD sint similia , erit hypote nuta C B in majori triangulo C A B ad minimum latus C A, ut hypote nuta C A in minori triangulo CAD est ad minimum ejus la
Denique B A est media proportionalis inter hypotenulam B C , & segmentum BD . Nam cum triangula BAC & BAD sint silmilia, erit hypo- tenula B C in majori triangulo B A C ad BAmajus latus , ut hypo tenuia B A in minori triangulo B A D ad majus ipsius latus B D .
Corollarium II. Quadratum perpendicularis AD eadem figura, est aequale re et angulo sub segmentis hasis B D& D C contento , per theorema a. libri huiuς , di ipsius corollarium et quia est media proportionalis inter ea segmenta . Per eamdem rationem quadratum lateris C A est aequale rectangulo enhasi BC, & ejus segmento C D facto .' sicut quadratum lateris BA est aequale rectantulo sub basi BC , & ejus segmento B D comprehenso.
In omni triangulo rectangulo quadratum basis seu hypotenuis B C est aequale quadratis laterum A A & A C simul sumptis , M. 9. tab. s. Nam producta perpendiculari AD in E, dividatur quadratum B M in duo rectangula B E &CE; continetur autem rectangu bum B E sub basi BC, aut potius sub BN ipsi aequali, & sub segmento ejus BDe adeoque aequale est quadrato lateris B A , per corollarium theorematis secundi h ius libri, & coroll. a. praecedentis theorematis. Eadem ratione re et angulum C E sub basi BC,
aut potius sub C M ipsi aequali, & sub CD contentum , est aequale quadrλto lateris AC: atque ita totum quadratum B M est aequale quadratis,
49쪽
me eximium Tθeorema , quod es quadragesimas septima propositio Iibri primi Eumentorum Eue μουis , acceptum refertur Oshagora , qui, ut testam-sur Proeius , Vitruvius , re aIii , Musis victimas immolavit, quos se in sam pro aro invenis ab iis adjutum puraret. Inster varios ilitas usur per universammthesi Mos dumtaxat notamus , qui Philoset is ignoti e=ie non debens. Primst enim ex eo demonsΙrare Iiser quasdam emrare lineas incommensurabiles : id ess , lineas , ἐ- ver quas nuua me tira eommunis invenir- pssis rsive , quae nore finx inter se reo numerus aliquis ad
aiserum numerum r nam omnes numeri fabent Ia rem unitatem pro mensura communi , ex qua ali- quoties repetita prodeunx.
cluadratos eomprehendito Ua quidem quadrata nomsantum numeris exprimuntur ἰ sed eorum quσque -- dices , seu ιatera numeris exprimi possunt . Vocau-sur autem radices , seu latera qua ratorum , Omnes .
illi numeri , qui per se multiplicati quadratum , essiciunt . Ut a. es, νadix quadrati 4- nam binavius bis sumptus reddir 4. Sic 3. es, radix nume
50쪽
xera tres. unitates canis nebunt . Similiter tinia
xates sis formam quasaxam ordinari possunt , eu-σωs sngula lasera ex quatuor unitatibus consabtinae. Idem dicendum de sequentibus numeris a I. 36. 49.
Ree. sed si numera m quadrum d poni neqtieans simum me quadrars sunt dicendi Quamobrem unus numerun , qui quadrati cuiusdam numerae disIus in non potes esse quadratur, eusa εα formam quadratam ordireari noc pote'. o graue numerus. quarernarius. bis Iumatur , fee oKnaraias , quν quadratus non vi , quia in formam qua
Garam ordinarι non potes. Sed F numerus quateν-naratis quater fumatur , prodibitis numerus. I6. aut quadratus merito dieitur. si mυis autem numerus quadratus non' pomit ema a tertias numeri quadrati duplus , potes, tamen qua