장음표시 사용
31쪽
ao Elementa Corollaria. x. Non absimili ratione demonstrabitur rectam, quae chordam perpendiculariter & bifariam se eat, esse diametrum circuli, seu transire per centrum: rectam vero , quae per centrum transit , & bifariam dividit chordam , esse ad eam perpendicularem .
a. Rectae extra centrum non se mutuo bifariam secant. Theorema fecundum . Si per extremum diametri terminum B ducatur D B , fg. 4. tab. 4. perpendicularis ipsi diametro, ea circulum in hoc solo puncto tanget. Nam quodcumque aliud huiusce perpendicularis punctum , v. g. punctum D , extra circulum erit. Enimvero si eo ne i piatur linea AD, a centro A ad punctum D ducta, erit in triangulo re Et angulo angulus ABD reliquorum maximus , cui proinde maximum latus opponitur , quod ideirco radio AB maius est : atque ita punctum D , extra circulum cadit et quod erat demonstrandum. CoroIlarium.
Nu a potest diei recta linea inter tangentem& circumferentiam per punctum contactus B , eadem M. quin secet circulum. Esto enim, si fieri possit , BC. Quia angulus ABD rectus est , erit ABC acutus. Ergo ducta perpendicularis Ad minor erit quam radius AB, qui Opponitur angulo recto . Ergo punctum d cadit intra circulum.
Angulus ad tentrum duplus est anguli ad eircumferentiam , si eidem arcui insistant. Tres in hae propositione spectari possunt casus.
Primus, quando unum Iatus anguli ad circumferentiam in unum latus anguli ad centrum incidit, ut M. f. tab. 4. Secundus, cum latera anguli ad circumferentiam angulum ad centrum . includunt, ut M. 6. Tertius, cum latera anguli
ad circumferentiam , & anguli ad centrum sese
32쪽
Geometria. Lib. III. Intersecant , ut A. 7. eiusdem tabulae. Sint igitur anguli ABC , ADC in primo ea-su G. s. rab. 4. eidem a re ut AC insistentes : di eo angulum ABC in centro duplum esse anguli Din peripheria . Nam angulus ABC externus est respectu trianguli CD B. Quare aequalis est duobus internis D & C per theorema primum Iibri secundi. Anguli autem isti D & C lunt aequales, cum radiis, seu Iateribus aequalibus BC, & BD opponantur . Ergo angulus A B C est duplus anguli D. Similiter in secundo casu M. 6. angulus ABC duplus est anguli AD C. Nam si ducatur linea D B E transiens per, centrum B , angulus A BEduplus est anguli A D E , & angulus E B C du- ,
plus est anguli EDC, per demonstrationem prae cedentem . Ergo totus angulus ABC duplus est totius AD C. Denique in tertio ea su M. r. angulus ABC duplus est anguli AD C. Nam si dueatur linea DBE, totus angulus C B E ex modo demonstratis duplus est anguli CDE. Similiter angulus
1 B E duplus est anguli A D E : his igitur sublatis , residuus angulus ABC duplus erit residui ADC: quod erat demonstrandum .
Diximus ad definitionem R. hujus libri genuinam
angu Ii in circuIi eentro constituti mensuram essa arcum inter duos radios comprehensum . Cum igitur dicimus anguli eujuscumque , v. gr. a D C M. s. 6. 7. tab. 4. mensuram esse hune vel illum areum, intelligimtis hune angulum aequalem esse angulo iraeentro cons ituto, cujus hic aut HIa arcus At vera mensura. Unde sequentia deducuntuν Corollaria.
I. Angulus centri ABF fg. s. Ο . tab. 4. insistens arcui AF, dimidio a reus AC, eui insistit angulus ADC ad circumferentiam , est huic aequalis . Utrius libet enim duplus est angulus incentro ABC, culus mensura eum sit totus arcus
AC, erit arcus AF, nempe dimidius ipsius AC,
33쪽
a et Elementa mensura anguli ABF , & consequenter angulἐADC ad circumferentiam. a. Anguli in eodem segmento ADC , Ad C sunt inter se aequales . Singuli enim sunt aequales dimidio anguli ABC ad centrum constituti, seu eamdem habent mensuram ex Corollario prae cedenti, scilicet dimidiam partem arcus AC, cui insistunt. 3. Angulus A D B , fg. 8. tab. 4. in semie ire u loreolus est. Eius enim mensura est quadrans, sive dimidia pars semicircumferentiae ΑΕΒ, cui insistit. Simili ratione erit angulus A b D in segmento minore obtusus, & angulus A B D in segmento majore acutus . Ille enim arcui majori , hie arcui minori , quam sit semicircumferentia , it sistit . Ergo illius mensura erit arcus major ,
quam dimidia pars semicircumferentiae , hujus
. 4. Quadrilateri A I D E , fg. s. eab. 4. eirculo inscripti anguli oppositi D & A, vel Ι & E sunt
duobus rectis aequales . Ambo enim arcus , quihus inustunt bini anguli oppositi , continent totam circumferentiam 4 Igitur eorum mensura est semicircumferentia , quae est duorum rectorum
angulorum mensura. Theorema quartum.
Angulus segmenti, qui fit a linea tangente ei risculum , & chorda per punctum contactus ducta aequalis est angulo , qui fit in segmento alterno. Etenim dueatur linea tangens F A G , fg. 9. rab.
qualem angulo A E D in segmento alterno , di angulum G AD aequalem eme angu Io AID in 'segmento itidem alterno . Ducta diametro A C Berit per Theorema a. huius libri angulus F A Brectus. Sed rectus est angulus A D B in semicirculo . Ergo in triangulo rectangulo A D B duo anguli. DAB , DBA uni recto sunt aequales . Sed itidem angulus DB A cum angulo D A FTedium emeit angulum . Ergo anguli DAF , &AB D, seu AED in eodem segmento, & quidem
Dico jam angulum G Α D, R AI D este aequa
34쪽
Geometria. Lib. III. III es. Nam in quadrilatero A ID E anguli oppositi I & E per quartum corollarium praecedentis Theorematis sunt aequales duobus rectis . Sunt
autem anguli deinceps positi F A D , D A G per Theorema primum libri primi duobus rectis ae quales. sed angulus E est aequalis angulo F AD
per demonstrationem Praecedentim , erit erSo angulus I angulo D A G aequalia.
I. Anguli segmenti minoris F A D mensura est dimidia pars arcus A ID, quem chorda ΑD su tendit, sicut anguli DAG segmenti maioris mensura est dimidia pars arcus AED. a. Duae tangentes F B , F D , M. Io. ab. 4. sunt aequales . Ducta enim chorda BD coniungente puncta contactus, fiunt anguli F B D , F D Baequales ; cum sit eadem utriusque mensura, se Iicet dimidia pars a reus a chorda subtensi . Fit ergo triangulum i sceles FBD per corollarium
a. Theorematis a. lib. 2. Theorema quintum .
Omne polygonum circulo circumscriptum aequa Ie est triangulo rectangulo , cujus alterumetus est aequale radio circuli , alterum vero toti
peripheriae polygoni. Nam in recta indefinita A A , M. I a. tab. 4. sumantur bases AB, BD &e. aequales basibus ab , b d , &e. triangulorum ae b, bed , &c. in quae polygonum dividitur , fg. II. tab. q. Tum in pun-eto A M. I a. excitetur perpendicularis A C ae qualis radio eg, M. II. hoc est, aequalis altitudini triangulorum in polygono contentorum; sitque C P parallela basi A A , ut omnes lineae perpendiculares eg, e is , & e. M. I a. sint tum sibi m
Luo aequales, tum radio eg, M. II.
Manifestum est triangula alba Ae B, B e D , &e.M. I a. aequalia esse triangulis a e , , b e d, &c. M. II. in . quae dividitur polygonum . Sed his trian gulis albis aequalia sunt triangula nigris lineis incisa M. I a. si quidem triangulum album Age, aequale est triangulo nigro AC e, & triangulum
35쪽
a EIsmenta totum parallelogrammum A P duplum est trianis
Sed idem parallelogrammum A P duplum est trianguli A A C , per theorema s. lib. 2. Ergo triangulum rectangulum A AC, cuius crus unum A A aequale est peripheriae polygoni , alterum Vero A C aequale radio eg ; triangulum , inquam, istud rectangulum A AC est aequale triangulis alis bis R. ia. ac proinde toti polygono M. II. Theorema sextum. Omne polygonum ordinatum , seu regulares quod nempe fit ex aequalibus circuli chordis circulo inscriptum aequale est triangulo rectangulo , cujus crus alterum aequale est peripheriae polygoni , alterum vero perpendiculari eg, M. I 3. tab. q. - a centro e , ad quodvis polygoni latus a b demissae. Demonstratio eadem est quae praecedentis theoremati I .
Corollarium. Cum polygonum infinitorum pene Iaterum circulo circumscribi possit, vel inscribi: hine sequitur eorum perimetros accedere posse in infinitum ad circuli circumferentiam , tametsi perimeter cireum seripti sit semper circumferentia circuli maior; inscripti vero minor. Sed polygonum circulo circumscriptum aequale est triangulo rectangulo , cuius alterum crus esteire uti radius, alterum polygoni perimetere polygonum vero circulo inscriptum est aequale trian gulo pariter rectangulo , cuius alterum crus est perimeter polygoni , alterum vero perpendicularis a centro circuli ad quodvis polygoni latus demi Dia . Ergo pariter circulus erit aequalis triangulo rectangulo , cuius crus unum aequale sit radio , alterum vero circuli circumferentiae , ut demonstrat Archimedes in libello de dimensione circuli. s C Η Ο L I U M. Licet perimeter poθgoni , sive cireuis eireumfer
aut, sive circulo inscripti accedere posset in infui
36쪽
Geometria. Lib. IV. asgum ad magnitudinem eireumferentia eiusdem eis. euli , nunquam tamen ipsi fis aequalis . Unde pesthane methodum nunquam haberi potvi linea aequa.. Iis eirculi eircumferentiae: ia quo consis it difficultas quadraturae circuli. Nam si haberetur ea Iinea, feri poliget trianguIum rectangulum eirculo aequalees ipsi triangulo aequale feret parallelogrammum , eui paralleIogrammo equale feret quadrarum , usosendemus problematis 6. 7. oe lib. 6.
LI latitudinem, & profunditatem habet. a. Solidi extremum est superficies , superficiet vero linea, lineae autem punctum. 3. Ut angulus planus fit ex rectis lineis in plana superficie exaratis , ita angulus solidus fit ex pluribus- angulis planis , qui non sunt in eodem Plano constituti.
. Angulus itaque solidus rectilineus est , qui pluribus quam duobus planis angulis ΒΟΑ , COA , &e. vel D O E , EO F M. I . tab. 4. nota in eodem existentibus plano, sed ad unum pun
s. Prima est figura solida planis comprehensa, quorum adversa duo ABC, & Ο EF , vel GHR KL M. I s. rab. 4. sunt parallela, aequalia, gesimilia; reliqua vero parallelogramma . 6. Parallelepipedum est solidum sex parallelo grammis ex adverso parallelis comprehensum, ut HOL PGIH ri: ra. rab. 4. Quare omne paralle-Iepipedum revera prisma est, non vicissim. . Si sex plana ex adverso parallela sint qua arata , solidum iis comprehensum cubus erit. M. I 6. tab. 4. Unde omnis cubus est parallelepipedum , non vicissim .i Nondum autem unus . cubus geometrice actua
37쪽
mestaea methodo , nimirum sola ope regula, oe eam cini , non est bactentis ab MIIo perfecta . In eoquaron ebar dis uuas , qua torquebantur olim Delii, cum ipsis, ει aIiis Graeeis ealamitatum finem fors promisi ser Oraeuιum, F aram ,-sn DeI. erax stubisa, dupIiearent . Illi enim ignoratione propomsionis singula ara Iatera duplando , pro dupIa o- et upIam excitabant aram . Us fi quis ad tesseram aIiquam Iusoriam, eubiea es , alteram aequa- Iem tesseram adjungat , esseti paraueIepipedum , etisus longitudo dupla erit tiam altitudinis , tum ratitudinis. Si duae aIiae te iserae prioribus Fe a Getantur , ut quamor simul in formam quadratam ordinentur, set parallelepipedum, eusus longitudo aequalis erit ιatitudini : sed υι raque altittidinis
dupIa futura es . Denique si quatuor tuis tesseris
alia quatuor aequales imponantur , exurget is uractibiea prima tessere lusoriae octupla, quoniam fingula seius figura Iatera dupla erunι singulorum
primae tessera laterum. In his rerum anginiis , ut anter taeteros refers Plutarebas libro da Genio Socratis , mr sunt ex Delo nonnuui ad Platonem , qui tum sorte ei a Cariam navigabae, ut ab eo , utpote rerum geom τricarum periri mo, oraculi explieationem Avit oris . IIIa vero Graecos a Deo Iudi respondit , qui σruditionem negligerent : eorumque insuιtari infelis sis, mandarique ut serio Geometria operam darentramleam esse etibi duplicandi rationem, se nempe da. sis duabus Iineis inυenirent alias duas , eon- sinente proportione inter eas intercederent . Verum auartim hujusmodi linearum proportionalitim inter duas datas inventio geometrica , sitieet ope regu Ia , ω eiνeini tantum , adhue ηesideratur , quamvis mechantea non desit , tit dicemus ad problema
quintum libri sexti. s. Pyramis A B C O , ve I DEFO M. I 4. tab. . est solidum pluribus triangulis ADB, AOC,Se. vel FΟΕ , E O D , Se . comprehensum , quorum bases sunt in eodem plano , vertex vero
Planum igitur ABC , vel D E F dieitur basis pyramidis et ἁ esta potest v cI triangulum , vel
38쪽
neometria. Lib. IV. dir quadrangulum, vel quaelibet alia figura , ex eu- us lateribus singulis triangula surgunt in unum punctum o, quod υertex dicitiar, a quo demissa perpendie utaris OI pyramidis altitudinem meiatitur .
v. si extra planum alicuius eire uti C F M. I
1ab. q. sumatur punctum o, a quo ducatur recta indefinita DF tangens circulum in F, quae puncto o manente fixo circa Peripheriam circulῆConvertatur , donec redeat in locum DF , undo moveri coeperat , cuperfietes per rectam lineam U F descripta erit eonica ; corpus vero hac superficie , Se circulo contentum dicitur conus . vertex coni est o. Basis coni est circulus C. F. Axis eo ni est recta o I ex vertice ad basis centrum ducta . Latus doni est recta DF a vertico ad basis cireumferentiam ducta. Adverte quinque modis secari posse conum. Priamo , plano per verticem AGE fig. r9. tab. 4. 6 fit triangulum A GR. Teeundo , pIano basi paral- elo : s si eiretilus . Tervio , pιano F SP laterῶeoni A G paraιι elo et oe fectio dicitur Parabola mia Mario , pIano K L R duobus eoni Iateribus ita occurrente , tis basi non sit parauetum, oe ' elli- Psis . uuinto , plano E a D , quod productam imV oeeurrit alteri eo no UG X ad vertieem opposito; G fit hyperbola . Sed eum de sectionibus eo nieis apud Geometras ' sermo , Tres dumtaxat posse viae , D. parabola , ιιι sis , oe hyperbola sunt inisseIligendae. Hartim autem DBionum nomina ex praeeipua singularum proprietate sunt desumpta. Parabola enim ideo Graece dicitur, quod quadra xa ordinatarum sint aequatia vectangulis sub parta diametri inter vertieem parabolae , or ordinatam rarereepra , oe sub diicta diametri parametro eon
sentis. Sie in parabola D a Rr, fig. xo. tab. 4. β Iti res Iinea OR , or sint parallelae , s a linea
.ecta acto singuIae bifariam serentur 3 vocabuntuν ordinatae Ni linea AEoo , qua es una ex diame-νris parabolae. Diameter autem , quae eum Dis omainatis angulos rectos conflituit , qualis in linea
O s , axis parabola nominatur .
39쪽
as Elementa vel o ν, in parabola , Ut semper aequale rectanguis Io OP , vel o P , quod si sub parte diametri O Λ,
veI o A inter ordinatam O R , vel o r , s vertiaeem A intercepta , oe sub recta a P , parameter Uius diametri appellatur . Parameter autem diametri A O o , qua scilieetes axis parabolae , quadrupla es lineae AF , seudis antiae foci F a vertice parabola A . In υenitur porro parameter , se fat ut pars axis Ao inter ver licem a , oe ordinatam intercepta , ad ordinatam O R , ita O R ad parametrum . Verum bis , quae ad abserinorem Geometriam pertinent , omUM , meminerint tantum adolescen res , tibi de motu projectorum agemus in Physica , Parabolam ex dictis doniri posse , Lineam curvam , in qua ordinatarum quadrata sunt inter se , ut partes diametri ab illis ordinatis interce Plae . Nam eum rectangula OP, o P , qua his quadratis o T, ot , fiant aequaIia , habeant eamdem altitudinem , nempe parametrum a P , inter se omnino sunt ut bases AO, Ao.. Ellipsis autem sie voeatur, quod quadratum O Tordinata o R, fig. 2I. tab. 4. aequale sit rectanguIoA S , quod appIieatum parametro A P descit a rectanguIo OP , sub parta axis O A , oe sub parametro AP eomprehenso: defcit , inquam , rectanguis
S P. Hae autem omnia sic determinantur . . Ut m
ior axis I a, ad minorem ellipsis axem Μ Ν : itam N ad parametrtim AP majoris axis. Igitur ducta a P perpendiculari ad extremitatem diametri I a,fr rectanguium I P, quod dicitur figura axis I A , euius murae diameter I P , oecurret I neae OR, ordinatae diametro I a, oe producta in I , se meeusa sit et unde set rectangulum AS , aequala quadrato OT , ordinatae O R . Hoc autem rectangu Ium Λ S descit a rectangulo sub parte axis AEO , oe sub tota parametro a P eontenta , deficit , inquam , parvo rectangulo SP , quod Rura I P μmile es. Si ab extremitate N axis mino νδε Ν Μ describatur arcus Ff intervallo N f aequali semiaxi majo-νi C I , puncta Ff erunt ellipseos foci : quia eII psis es Figura, cuius singula circumferentiae Puncta sic diliant a focis , ut ambae distantiae FN,
40쪽
Geometriae. Lib. IV. 2yfΝ , vel Fn , fn simul sumptae sint semper aequales toti axi majori I A. perbata denique ideo appellatur, quod quadra rum 9 T ordinatae ct R , fig. 22. tab. 4. sit aequale re ct angulo AS , quod applicatum parametro a P , excedit rectangulum sub parte axis A O , oe subparametro a P factum , re uti Io PS, quod Mu
voeantiar oppositi . Punctum C in earum eentrum.
Linea a V, in axis determinatus , eui aDer axis inde terminatus duei potvi ad angulos rectos per punctum C . Ptincta Ef funt eontrapositarum υ- perbolarum Dei , qui ita sunt eoIIoeati , tit Iinea,
F N ab uno Deo ad quodυis υperbola punctum Nducta alteram lineam fN ab altero Deo ad idem punctum N ductam femper exeedat magnitudine a xis determinati a V . Linea recta C X , C Υ que per eentrum C ducte nunquam fectionibus oppositis possunt occurrere, dicuntur lineae asymptoti .iro. si eireum duos circulos aequales, & para I-Ielos B B, C C fg. i8. rab. 4. recta linea indefinita BC, convertatur, donec redeat in loeum , unde moveri coepit, ita ut dum movetur , sibi ipsi semper parallata maneat , superficies per rectam BC deseripta dicitur cylindrica , corpus vero , quod hac superficie, & binis circulis continetur, lindrus vocatur . Bases cylindri sunt praedicti circuli . Axis cylindri est recta o I basium e etiatra connectens . Latus cylindri est recta B C in cylindri superfic re utramque basim tangens. Ir. Sphaera est solidum comprehensum una suis perficie , ad quam omnes rectae lineae a quodam puncto intra ipsam posito ductae sunt aequales Punctum illud C centrum dicitur M. 24. rab. 4. Di ameter sphaerae est recta o I per centrum ducta , & ad superficiem utrimque perdudia; euius media pars C O semidiameter, aut radius appel
si globus , aut globi eiretiIur maximus A E R D ,
23. tab. q. sic moveatur supra rectam DF, ut 'eentrum illius C motu uniformi deseribat Iineam ΓΗ, tune punctum D ita moυebitur motu compos ex recto , s eireulari , ut deferibae eurυam D