장음표시 사용
361쪽
ὶ 33o ARITH ΜETICES , Deinde multiplices residua tua data, A quidem residuum ex A in D multiplum B, &L residuum ex B in C multiplicem A ; denique summam horum productorum ex K in D & L in C , divides per F ex A in B factum, & residuus fiet i , quo per A diviso s pererit K , 3c per B divito residuum erit L.
Dico P esse numerum quaesitum.
Dem. Quod primo P per A diviso restat K, sic ostendo. D multiplex ca) numeri B per.Adiutius residuam facit b unitatem ; Ergo unitate ex D dempta residuus fit multiplex t: Ergo A in D ductus multiplicat multiplum A, & istam praeterea unitatem , quae ex D per Adiviso superest. At multiplo A per A diviso
c) nihil superest; ergo S in D ducto, & pera diviso, iste tantum numerus restat, quem Icin unitatem ductus gigni tr at K in unitatem
d) facit A , ergo S in D ductus, & per Adivisus residuum facit κ . Porro A metitur
e) sui multiplum C; at C metitur f L in C, ergo & g A metitur L in C. Ergo in Mcomposito ex K in D & L in C, A unam istius partem quae est L in C metitur, & alteram K in D dividens residuum facit K : Ergo & h toto composito Μ per A diviso restat M. Denique si dividas M per F ex A in B genitum, eum divides per multiplicem A , ut i) quem
A metitur per B . Numerus itaque residuus
362쪽
CHRO NOLOGICAE. 33x P per A solum divisus h) idem residuum s ciet quod ipse M; at M ergo di P per A diviso restat A. Secundo, quod P per B diviso restat L, e dem modo probatur. Nam ut D per A, sic C per B divito cl) restat unitas: Ergo eadem ratione qua H in D per A restat A, etiam Lin C per B diviso restat L. At m) E metitur II, dc D metitur n K in D, ergo & D metitur co) K in D. Ergo in M ex L in C,& K in D composito, A unam istius partem, via. K in D metitur at altera quae est L in C per ri divisa restat L; ergo& p) toto M pei A diviso restat L. Et si dividas M per F ex A in ri factum , eum dividis per q) multi, plicem B : Ergo residuus P per B divisus r 1dem residuum faciet, quod totus ius, at M, ergo & P per B diviso restat I . Tertio, quod P minimus sit numerus, qui per A, B divisu. , haec data faciat residua, sic probaturr F genitus ex A, B s minimus est
quem A B metiuntur. Ergo t) unicus tantum datur numerus minor quam F, qui per
A & B divisu. residuae faciat K dc L. At Put residuus minor est quam F divisor ; Ergo minimus est, qui per datos divisores residua
Hinc patet quare si Cyclus Solis currens du
363쪽
eatur in 37, & Cyclus Lunae in q76, productorum summa per 33a ex 28 in I9 factum divisa residuum faciet annum Periodi Dion sianae datis Cycli praeditum. Nam Cycli 28 &1ρ sunt inter se primi, & 37 est primus multiplex I9, quo per 28, & 476, minimus multiplex a 8, quo per I9 diviso residua fit unitas . Quae unitas utrobique relicta essicit , ut si Cyclus Solis currens puta I 8 ducatur ins , & Cyclus Lunae puta 3 ducatur in q76, productorum summa a 34 per 33 a divisa residuum faciet minimum quo per 28 diviso restat 18, & per i y diviso restat 3, qui igitur annus est Periodi Dionysianae, in quem solum dati Cycli concurrunt.
Invenire numerum o minimum, quo diviso per datos Μ, B, A, inter se omnimodo priamos, residua sint data Κ, L, Z.
364쪽
CHRONO LOCI CR. 333 in B talis quo per Μ diviso supersit unitas; deinde inveniatur N primus sive minimus mutitiplex Am M talis, ut eo per B diviso restet unitas : denique inveniatur & Q. minimus multiplex B in Μ talis, ut eo per A diviso restet etiam unitas i his 1nventis, A residuum datum' ex Μ ducatur in F, L residuum ex Educatur in N, & Z residuum ex A multiplia Cetur in Q. Summa trium horum Productorum, quae est R , dividatur per X solidum MEA, & residuus fiet O , quem dico quartatum esse, sive minimum quo per ΜBA diviso residua sunt data KLZ.Dem. Quod primo O per Μ diviso restat K, sic ostendo : F a multiplex A in B, qui in exemplo hic allato est simplex tantum productus per N divisus residuam facit b unbtatem , qua itaque ex F subducta , residuus fit multiplex M. Ergo A in F ductus multiplicat multiplum Μ, & istam praeterea unitatem.
At multiplo M per M diviso c nihil r stat . Ergo A in F per Μ diviso, residuus fit tantum productus ex K in unitatem. At d K in unitatem facit K: Ergo S in F per udiviso restat A. Praeterea e) Μ metitur N, ut productum ex A in N; at N metitur f L in N; Ergo & g M metitur L in No At M metitur etiam ori ut h multiplum Bin N; at Q. metitur si Z in Z: Ergo & k
365쪽
m metitur Z in Q. Ergo in R summa pro ductorum horum ex K in F, L in N, & Z in O; M ouas istius partes, sive L in N, & Z l in si , metitur; at reliqua, quae est M in F per M divit a restat κ. Ergo & tota summa R ex tribus istis Productis composita per Μ diuisa residuum facit K . Et si dividatur R. per X solidum MBA , dividetur tantum per m multiplum Μῖ Ergo numerus residuus s n) idem quod R per Μ divisus residuum faciet. At R, ergo & O, per Μ diviso restat
Secundo, quod idem numerus O per B di visus residuum facit L, & per A relinquit geodem moclo probetur. Nam ut F ex A in Blaeto per Μ, sic N ex A in M per B, & ex B in Μ per A diviso o) restat unitas; quo fit ut L in N per B diviso restet L , & Z in Q pedA diuiso supersit Z. Adeo ut in R summa productorum ex K in F , L in N, & Z in Zisic ut Μ duas istius partes , viz. I in N, &Z in metitur; led reliquam K in F diuidens residuum facit Me sic B duas partes sui multiplices, vi g. K in F & Z in Z, metitur; at L in N per B diviso restat L, & A duas etiam metitur, vig. R in F & L in N; at tertiam, quae est Z in Q , dividens residuam facit Z. Et cum tota summa R dividitur per MBA , per cujusque multiplum dividitur . Ergo Oresiduus per B & A divisus eadem faciet re
sidua quae R. At R, ergo &:O per B divi
366쪽
CHRO NOLOGICAE. 333sus relinquit L, & per A residuum facit Σ,
quod etiam erat demonstrandum . .
Quod autem hic minimus sit numerus qui per datos divisores residua data faciat, sic probo. X solidus MBA, p minimus est quem MBA metiuntur. Ergo q) unicus est tantum numerus minor quam X qui per ΜSA divisus residua faciat KLZ . At O ut residuus ex divisore X minor est quam X, ergo
Hinc constat quare , si Cyclus Solis cumrens ducatur in 4843, Lunae in Aetoo, & Indictio in 6ρ16, produciorum summa per 798o divisa residuum faciet annum Periodi Julianae, in quem dati Cyeli concurrunt. Nam Cyclus Solis 28ς Lunae iς , & Indictio r3,
sunt numeri inter se omnimodo primi, tales nimirum ut nec quosvis eorum duos communis aliqua mensura praeter unitatem metiatur.
At 48 3 est multiplex numeri ex I 8 in r3ducti, nam i 9 in is facit et 83, quo in I ducto fit 484ue & quidem minimus quo perdi 8 diviso reliqua fit unitas, & 4etoo est minimus multiplex et 8 in is quo per ty, S,6 16 minimus multiplex et 8 in sy, quo peris diviso restat unitas. Ex qua unitate sic ubique reli ha, sequitur ut si Cycli currentes ducantur in hosce numeros, quisque, Viz. in suum suprascriptum, summa productorumper 798o solidum 28, 19 & i s divisa rei,
367쪽
duum faciet numerum quo per et 8 , rq & 33 diviso residui sunt Cycli currentes dati, qui proinde est ipse annus Periodi Iulianae qua stus, ut in quem dati Cycli conveniunt .
Adnotatio addenda ad pag. II 8. lin. ar. pose haesverba, augendus est. Ad hunc locum Thoma Pius Μaphaeus δε Horum Sosilanarium inconssantia ρο emendatione cap. I. LI. num. 29. haec adnotat: Osciatanter, non perpenso numerorum subtractitiorum progressu , regulam inveniendi ex Juliana D eIam Gregorianam tradidit Beveregius y ρο pem peram universalem facit, subtrahendo ab anno I 38 a. ad I 699. decem y a II Oo. ad I 899. undecim ς a I9oo. ad 2I99. duodecim dies ab Epacta Iuliana; m sic, inquit, deinceps numerus subinsrahendus unitate augendus es: in centenariis mnsm 22OO. 23 O. 2 Oo. 23oo. numeri subtractitis
sunt I 3. I . II. Iq. Aliorum dierum, qui in reliquis centenariis subtrahendi sunt, ordinem& progressium notat ille exhibetque Tabula I. in calce ejusdem operis.
368쪽
337 Ex Lectione XXIX. Ioannis Kei LL
DAxia Cyclorum Solis, & Lunae annis,
invenire annum Periodi Dionysianae, v. gr. sit Cycli Lunaris annus II , Solaris ar, quaeritur numerus qui sit per r9 dividatur, relinquentur II, at si pera 8 dividatur relinquentur et I , qui ut inVeniatur, quaerantur duo numeri, quorum unum metitiar numerus 28 , at si per i ρ idem dividatur , relinquentur II , alterum numerum metitur is , at si per a 8 dividatur idem numerus , relinquentur a I , nam patet horum numerorum summam proposito satisfacere. Ad investigationem horum numerorum a nalyticam ponamus numerum primum esse
28x, est enim multiplex numeri a S , & quoniam hic numerus divisus per i 9 , relinquit 17 , auferatur a 28x numerus II, & reliquus erit multiplex numeri I9 , ideoque i 9 dividet et 8x-i7 , sed dividit quoque 19 numerum I9x , quare dividet disserentiam numerorum scit. 9X-i7, qui itaque erit multiplex numeri 19, sit 9x-17 α 19n , & erit n numerus
369쪽
dividere n-l-8, adeoque est numerus i
que y dividat r8p, dividet etiam p-a; ideoque - est numerus integer, vel nihil, sit seo, eritque pria , & n ' 'α , & I9y 28n-l-2I I 33, est itaque numerorum unus IIa, &alter I 33, quorum summa aque proposito satisfacit, & quandocunque Cyclus Solis est ar ,&Lunae 17, annus Periodi Dionysianae est 243. Hoc idem Problema aliter solvi potest per duos determinatos, & constantes multiplicat res, tales, ut unus dividi possit per et 8 sine residuo, at si per I9 dividatur, residuum sit et, alterum dividit sine residuo numerus I9, at si numerus 28 eundem dividat , residuum sit r. Tales numeri itidem inveniuntur ac praecedentes , hac scilicet ratione; sit primus numerus 2 8x, alter I9y; quare numerus 19 dividet sine residuo a8x-I, adeoque dividet quoque 9X-I ῆ
370쪽
merus integer, & minimus numerus, qui pro nponi potest erit 8 , sit itaque net28, fit x
vel nihil. Sit p-I α o, erit p I, & n a , & I9y α 28n-μ 1 α 57. Numeri itaque quaesiti sunt 476 & 37. Et quoniam numero 4 6 diviso per r9 , restat I, si q76 per numerum quemlibet minorem quam I9 multiplicetur , & productus per i 9 dividatur , restabit praeter quotientem numerus , qui 476 multiplicat . Similiter quoniam 37 divisus per 28, residuum fit i ; si hic numerus 37 per numerum quemlibet minorem quam 28 multiplice-.tur, & productus per a 8 dividatur, relinquetur numerus multiplicans.
Hinc elicitur Canon pro inveniendo Anno Periodi Dionysianae qui sequitur. Μultiplicetur numerus Cycli Solaris per 37,& numerus Cycli Lunaris per 476. Productorum summa dividatur per 33a, qui restat praeter quotientem numerus erit Periodi quaestus. Y a