Operetta delle linee rette equidistanti, et non equidistanti. Di Pietro Antonio Cataldo

2쪽

ET CORTEMSS. SIGNO RI

3쪽

- . Ο Δ

Ε acua si numero de gli Ecceti. Mathematici ς grande , ne iramore ha cognitione se non di pochissimi di essi, egit se loro sapo. re, che hi consegnate quattrocento di queste operene at Molio Reu. Padre Don Valentino Pini Priore meritissimo de' Canonici Regolari di S. Salua-dore di Bologna squale, olire ais attre molle dotirine, panco Mathematico Eccellentissimo, comeben sic nosce dalla dottissima opera sua della Fabrica de gli Horologii Solari) accioche la Paterniti sua molto uerenda io fauorisca a farne donare una a clascuna delle loro Signorie Eccellentisisime, che,

come te supplica) li fari gratia di

4쪽

Distantia pancti dati extra propositam lineam rectam indesini iuriitudinis adimam propositam rectam , dicitur esse linea reocta breuid ma qua discedens a functo. datoperueniar ad recIam pro osseam. EMpLI gratia . proposta sit recta a c. indefinita longitudinis , scilicet, ut possit pro- p duci a qualibet parte quantumlibet. et Et dato puncto p , extra recta mis- - ἴsam scilicet quod non sit indirectum μipsius lineae, seu tali in loco sit ut producta recta proposita, transire non possit per datum punctum p. Distantia dicti puncti dati p. a proposita recta ac, dicitur esse recta breuissima, quae considerata discedere ab ipso dato puncto P, perueniat ad proposita rectam a c, seu ad ipsius rectitudinem.

DEFINITIO M.

Lis a rectis data dictior esse aquιristans recta propassa in eodem linowxando a daobm diuersis punctis ad libitum in data recta a amplis, duciis rectis breuissimu ad propositam,t a sini ad innuem aquales, seu mauis. Euando ιn ista recta linea, daobis Laesi punctis signatis istantia ab FH panctis ad rectam propositam sint aquales. Seae non aquidistantes dicentur, data, O proposita, quando distantia i a essent inaPales. Mi adoarem, disia scilicet,ctfroposita.dicut in altera aberi viciniores Feri ab ea parte in qua distiuria reperiatur minor, ct rem itores fieri ab ea paru, in qua distantia reperiatur maior. EXaMpLi gratia. Lineae rectae, scilicet data ab, & proposita ed, dicuntur esse.aequidistiuites ad inuicem, quando ὶn data ab, assumptis, vel signatis duobus diuersis punctis, & sint a, & b, x ab ipsis ad proposita cd, ductis lineis breuissimis semper haea b ratione, ut ipsa ed, ad quam ducendae sunt dicta lineae breuissi mae intelligatur esse indefinitae longi-: tudinis, sciliςet, quod utrinq; possit produci, qua -- do opus sit, ut lineae breuissimae, quae ibunt a susce-ς π ς ptis punctis in data, adrectitudinem ipsus propo-fitae terminari possint in ipsa proposita & sint ar, & bs; ipsae ad inuicem fiat aequales, scilicet, vet aequae longa sit ar, ac, bs, quae . A osten-

5쪽

ostendunt distantiam ab ab, in duobus diuersis punctis a, & b, ad rectam id, seu ad directionem ipsius cd, Sed quando ab a,

ducta linea breuissima ad eandem c. l, quantum opus sit producta &sit ad, Sa b, ducta recta breuissima ad eandiam c d , &sit h r, eueniat, ut rectae ad, & b r, coste den- . AE E tes distantias rectie ab , ad rectam c d , seu ad , rectitudinem eius, in duobus diuersis pili His a, & b. sint ad inuicem inaequales, tunc recta ipsae ab , & cd, dicuntur esse non a quid istantes. Et ex distan iis, seu rectis breuissimis ad , S br, reperta minori, seu breuiori b r, dextra, dicuntur rectae ab, & cd, non a qui Aistantes, appropinquari ab ipsa parte dextra lineae br, breuioris I imoueri a parte sinistra lineae ad , longioris.

THEO REMA I. PROPOSITIO I.

Si . Gio puncto ad tineam propositam indefinita tingitudinis , du. carur 'erpendusiaris , Usa perZendicularis eris tinea omnaum breuisma earum quae β puncto daro discendentesserueniresoc ad rectam propositam, nec aliqua aba recta, quae ab eo Ora puncto duro discedens, seruemar ad eandem riatim Fro ossiam, o eril esse aquatis dicta serpendiculari. T, AT via sit pumitu a. & proposita recta bc, ad quam a pumeto a, ducta sit perpendicularis a r; dicitur ea esse linea breuissima, quae darim a, discedens peruenire possit ad rccta bc; Namsi ipsa breuissima non esset per aduersarium aliqua alia lineacoet breuior ipsa a r, & sit c si fieri possit an, ideo in triangulo

rectangulo arn, cum per aduersarium hi sus a n, sit breuius a r, etiam sper i 8. primi angulus rectus r, oppositus rectat an, esset minor anguloanr, ideo angulus an r, esset obtusus maior . scilicet recto, sed etiam angulus externus an per i s. primi est maior interno sibi opposito arn, recto, ideo iipse etiam erit obtususs cum ergo quilibet duorum anguloru an radi anc, sit obtusus, scilicet maior recto, simiama ipsorum esset maior duobus rectis, quod est impossibile per i 3. primi. Vel si per

aduersarium, recta an, csset breuior recta ar, etiam angulus rectus, esset minor angulo an r, quamobrem an r, esset obtusus sed angulus ipse an r, simul cum anc, constituunt siminc aequa-em duobus rectis per I 3. primi ideo existetae angulo a n r, maiori re Diuili od by GOrala

6쪽

iori recto , tune atre, quod est residuum duorum rectorum esset

minor recto, ideo acutus, sed ipse an c, est externus triaguli arn,&ideo maior interno r, recto, sibi opposito, quamobrem acutus angulus esset maior recto, quod impossibile est, ergo etiam ou im possibile, ut recta aliqua, quae a puncto a , perueniat adrecta b c esse possit breuior perpendiculari a r. Quod etiam nulla alia recta, quae ab eodem puncto dato discedens perueniat ad eandem rectam propositam possit esse aequalis dictae perpendiculari ar, ita probatur . Si per aduersarium aliqua alia 1 & sit an, aequalis esse posset recte ar, tunc in triangulo, a lin, duorum laterum ars di an, aequalium per aduersarium anguli r, & n, ad basim per primi partem quintae primi essςnt ad inuicem aequales, ted r, est lectus, ideo n, ecia esset rectus. Et quia duo anguli enta & auc, sunt aectuales duob. rectis sp 13. primi uno a n r, existe te recto, alter e eanc, esset rectus, sed ipse anc, est externustrianguli arn ideo maior interno sibi opposito r, recto, unde rectus esset maior recto vel externus esset aequalis interno sibi opposito ambobus existentiabus rectis quod est impossibile; impossibile ergo est quod aliqua alia recta ducta ab a, puncto, usq; ad rectam bc, sit aequalis,neq; minor perpendiculari ars ideo ipsa a r, erit recta brevissima. . i

Nine manifestam es, qaad. Auando ὰ dato pan Io ad rectam pra. positam ducitur serpenicularis, i a est distanιιa,qua reperatur ruter punctum datum . o lineam 'stri iam .

ΤHEOREM A II. PROPOSITIO II.

auando duae recta oma ad μεicemsunι quid sates, oneis oriama perpendiculariur exaemeter ad secundam erum etiam sempendi lares i xprima. INT duae rectae m n, & cd, a quidistantes, & a puncto a, in prima notato, ducta sit a r, perpendicularis ad secundam,sciia licet, ut faci t angulus ad r, rectos, dicitur eadem ar, perpen, si diuularis etiam esse ad prima Iineam m n, stilicet, quod anguli etiam ad a. i sunt recti ; Nam si ipsa ra, non esset .

. . d-I perpendicularis ad mna sequeretur. . . st quod si ab r, duceretur recta perpen- .. dicularis ad m n, ipsa alibi termina- Λ a retur

7쪽

cetur, qua In a; terminetur ergo fi possibile est in i, &ideo atri

S iatr, client anguli recti, & in triangulo rectangulo ria, quod liabet latus ta, productum in m , angulus ram, externus spor o. prini esset minor recto ria, interno, sbi opposito, ideo esset

ob usus, scd sunt Maduorum angulorum ram, & rat, est aequalis duobus rcctis, ideo cum unus ipsoru r a m , si maior recto, scilicet obtutus, alter qui remanet rat, esset minor altero re cto deo acutus, quare ipse esset minor angulo r ta, qui est rectus per aduersariun a. Li consi rato triangulo iectangulo rta; quia angulus rat, acutus, esset minor angulo ria, recto, latus etiam ri, quod opponitur acuto esset minus latere r a, recto opposito; Nunc a

puncto i, ducatur perpendicularis ad recta in cil, Ssit i o, qua Mecessario perueniet ad c d,' a parte dextra puncti r, sciliret ucs sus d , in ri enim ire non potesta

- scilicet non potest esse t r, nam tunc angulus tr d, esset rectus, sed ipse

est pars anguli ard , qui etiam est ' rectus ex nypothesi & anguli rectio 3 sunt ad iirilicem aequales, ideo pars esset aequalis toto, quod e stamposSibile. Nec etiam inter,r, S: c, ire potest, ponamus in . u. secando recta a r,. Ponamus in S, nam tunc in paruo triangulo sum cum angulus D, internus sit rectus, ipse esset aequalis angulo frd, qui etiam est rect is, & internus ipsi

oppositus quod est impossibile per io. primi & quia ex hypothisi

duae rectae m n, Scaed, sunt aequidistantes, duae ar, S to, perpendiculares ad c d , erunt ad inuicem aequales, di quia angulus ard ,est rectus, angulus tro, eius pars,&Mpterea minor eo, erit acutus, scilicet minor recto; ideo minor etiam angulo recto t o . cum autem in triangulo rectangulo Tor, angulus tro, acutus, si minor tor, recto, etiam latus t O, acuto oppositum erit nainus latere ri, recto opposito quare ra, etiam to, aequale erit minus eadem linea rt, scilicet ri, erit maior ra, sed supcrius probatu est ipsam ri, ese minorem ipsa ra, ideo ri, esset maior, di minor recta a r, quod in impossibile, ergo etiam impossibile est illud a quo hu impossibilitas deduceretur, scilicet, quod a r. perpendicularis ad Ed, non sit etiam perpendicularis ad m n. e rit igitur ipsi mn, pcrpodicia laris, cp probandum Proponebatur.

THEO REMA III. PROPOSIΤΙΟ III.

8쪽

iam, tunc pars prima lineae intercepta inur daos termιMs flenpendicularaam , eris aqualis parti secunda oneae infercepsa ter alios duos Ierminos earumdem perpendiculatrum inter r, R a, in ri enim cadere non potest, quoniam angaeustra, rectus, esset pars anguli recti fra, S ipsi aequalis ccum an- 'ali vecti sint ad inuicem aequales stilicet pars esset aequalis toto. uod est impossibile. Nec ultra r, ponamus in G, c cre no P testsecando fr, ponamus in x, nam considerato triangulo x ro, quod haberet latus Wo, productum in g, anguIus xog, extemrus cum esset remis, esset aequalis angulo x ro, qui est rectus,& ii fernus ipsi oppositus, quod est impossibile; Eadem de causanci po- aerit cadere in a, nec ultra. Cum autem au, pars ar, sit minor pia aci erit etiam minor rccta ci, ab aduersario posita aequalis ir. Et quia tu, est aequalis c a, ob aequid istantiam linearnm, de tum tu, si perpendicularis ad ag, est etiam perpendicularis ad et q. per sicundam huius Consideratis duobus triangulis auiarca, quiaguo latera at, tua unius, sunt aequalia duobus lateri III ta am alterius , sed basis ua, esset minorbas ct: etiam ingulus at u , contentus a dictis duobus lateribus unius essetmb. ror augulo taeo conicio ab antedictis lateribus alterius ipsisaeor se spondentibus per a s . Primi N propterea angulus alc. resi-uuum recti ut ca esses maior angula xau, quod in rcsdinim x . γ, cti cam

9쪽

cti a u. Nune ducta e r, &eonsiderato triangula i a r, &εt a d c, tu quibus et aduersarium primu latuS r a. unius esti*quale primo lateri c t, alterius , & lecundum A t, ad secundum t assed angulus t a r, contentus duobus lateribus vivus est minor angulo a t c, contento duobus lateribus alterius, sequitur per a . primi) quod basis i r, si minor basi c a, scilicet quod linea e a, sit maior linea i r, & ideo qualibet duarum t v,&s r. caequalium c a esset maior eadem l r; Vnde in triangulo rectangulo i ii r quia i u, esset longius t riangulus t r u , pars reciu r S, ideo acutus oppositus lateri u t, longiori, csset maior i u r, tecto opposito lateri breuiori t r, scilicet angulus acutus esset malar recto, seu dicamus par t r u , esset maior toto u r s, aequalist u r cum quisq; ipsoru sit rectus quod est impossibile; Vel triangulo rectangulo i s r. considerato, qui a s r, esset longius t r,angulus r i s, acutus qui est pars recti u i s esset maior rccto i sr, quod est impossibile, ergo erit etiam impossibile , quod duae re- Oa a r,& s, positae inter duas perpendiculares c a, &r s, sint ad inuicem inaequales, ideo erunt aequales. l

THEO REMA IV. . PROPOSITIO IV. .

Si super duas rectas tineas aquid antes cadas una recta vicisque secans ambas, duo angula interni ab eadem parte firmati simul sumpti erum aquales duobus rectis. Est etiam murnas supeγιεν ab una Rarae eris aquatis interno inferiore ab alura parte. Is quilιbet externorum erist aequalis rutra no onosso ab ea de parte. REcta a e, secet duas aequid istantes a r,& n mi in x, & c, Dicitur

summa duorum angulorum internorum ab eadem parte esse aequalis duobus rectis,&c. Ad haec demonstranda, a, puncto a , ad rectam n m, ducatur perpendicularis a n, quae propterea faciet etiaangulos rectcs cum recta a r, in a per secundam huius &ab alte ro puncto c, sectionis, ducatur ad a r, perpendicularis c r. quae similiter per secundam huius) erit etiam perpendicularis rectae n m, ω Propterea faciet etiam angulos rectos cum recta n na, ct ipsae dnae perpendiculares a n,&cr , erunt ad imucem aequales , ex supposita: aequid istantia rectarum a r,& n m. Item rectae a r , di nc, ulterce- Plata dictis perpendicularibus a n. &c rierunt ad inuicem aequales per antecedentem tertiam propositionem Vnde in duobus trian-Ωulis rectangulis a r c, & e n a, tria Iatera unius sunt aequalia tribus.

lateribus ipsis eoae ondentibus alterius, ideo sper octauam prim

10쪽

mi anguli unius sunt aequales angulis ipsis eorrespondentibus ait

rius, scilicet rac-, angulo n c a- , & r c a, x, angulo n a c, x, sed r ae, & n ac, continent unum rectum n a r, scilicet sunt aequales uni recto, idem e a c, & r c a, etiam erunt aequales uni recto, unde ipsis adridito angulo recto rem, silmma trium anguloru r a C, r c a, & r c mserit aequalis duobus rectis, sed tres anguli praedicti aequantur duobus internis dextris r a c, & a e m ga a c ira, per se, est aequalis duobus acr,&rcm, suis partibus, in quibus diuisus est , quaeipium integre continent ideo duo interni dextri dicti sunt aequales duobus rectis. Et quia omnes quattuor intestni, scilicet duo dextri,& duo si nil tri simul sunt aequales quattuor rectis per I 3. primi Euclidis cum iam duo dextri sint aequam les duobus rectis, sequitur quod duo sinistri, etiam sint aequales aliis duobus rectis est enim illud, qd remanet ex quattuor rectis dictis. Vel quia

nac - ,&iste . , simul cum angulo

u a c, X, continet unum rectum ran; angulus elisi nca - simul cum angulo nac, x, erunt aequales uni

recto, ideo ipsis addito angulo rectonag, summa eorum & est, ut tota Iis gac, una cum n ca, scilicet duo interni sinistri, aequabitur duobus rectis. Vel quia nca est aequalis angulo rac- , addito communiter g ac, summa dii rum nea, & gac, internorum sinistrorum erit aequalis summae duorum rac, & gae, sed ista est aequalis duobus rectis sper i 3. primi) ideo summa etiam duorum dictorum internorus nistrorum, erit aequalis duobus rectis. Quantum vero ad coalternos angulos attinet, iam ostensum est, quod angulus rac- internus dexter suis perior est aequalis angulo nca - interno sinistro inferiori; Et quantum ad gac, ipse componitur ex uno recto, &ex x, sed ab alio recto, & ab alio x, componitur etiam inca; ideo iste mca,erie aequalis angulo gac; Vel quia summa duorum rac, & ga castaequalis duobus rectis, & etiam summa duorum n c a, de m c a,est aequalis duobus rectis, cum iam oste sum sit rac, per se aquari at gulo nea, per se, sequitur, quod etiam reliquus gac, crit aeqv iis reliquo mea. Quod etiam quil ibet externoriam sit aequalis angulo interno opposito ab eadem partes est facile cognitu I nam quoad b ar,