장음표시 사용
11쪽
ad b a r, opse est aequalis angulo a e m, eum quilibet eorum aeviatur angulo gae, qui opponitur angulo bar, per intersectionem rectarun, gr, & bc, & ideo est aequalis ipsi gac, per i s. primi) & est coalternus angulo mca Idem euenit de altero externo superiore g a b, scilicet ob similem causam est aequalis altero interno inferiori n c a, oppofito ab eadem parte sinistra, Et similiter a gulus mco, externus erit aequalis interno r a c, & anguliis O c n, an guloga c. Et quando recta ac, secans, esset perpendicularis ad n m, scilicet quod a puncto a , lectionis in a r, ducendo perpendiculare ad n m,ipsa peruenisset inc, scilicet esset ea de a c, tunc ipsa eadem a c, etiaesset perpendicularis ad a r per secunda huius &ideo tam anguli ad a,quam adc, essent o. unes recti, unde,& suma duoru internoru dextroru, &etiam summa duorum internoru sinistrorum esset aequalis duobus rectis ; Et similiter etiam quilibet internus superior ab una parte esset aequalis ipsi coalterno, seu interno inferiori ab altera parte; Livriam unusquisq; quattuor externoru esset aequalis suo relativo, aut corre*ondente interno opposito ab eadem parte 'μ Notandum est, quod superior propositio est eadem, cum as.. primi Euclidis, & est demstorata osteosiue propriis med sis, scilicet sine reductione aduersarii ad impossibilia,r nec opus habet quinto postulato posito tamqua' petitione, seu primo principio,quod est; Pos
. Ietur, quod si in duas rectas lineas recta linea a incidens interiores, R ex eadem parte angulos duobus rectis minores feceriν, rectas lincas ili las in infinitum productas inter se conuenire ex ea parte, in qua sunt anguli duobus rectis minores. Et ideo ipse in quintum postulatum non est necessarium ad eam demonstrandam. Notetur etiam, quod cognoscitur dictum quintum postulatu, non esse accipiendum, ut petitionem, seu priimim principium, cum non habeat duas partes necessarias ad principia prima, quae sunt 3 Esse notum ad sensum, & esse in demonstrabile. Imo dictum Postulatum est deinonstrabile, di propterea potest, seu debet accipi ut Propositio,quod videtur factum esse in hoc opusculo, ubi demostratur in Propositio I a. in qua dicitur. Si duae rectae datae secentura recta,& accidat, quod summa duorum angu Iorum internorum ab una parte sit maior, vel minor duobus angulis rectis. Vel quod in ternus superior ab una parte sit inaequalis tuterno inferiori ab ali
12쪽
rapam i qui sunt eoalterni ad mese γ' vamoc extermis sit inae
qualis interno opposto ab eadem partes, innc duae rectae datae erunt non aequidistantes ad inuicem; Et B se appropinquabunt a parte, in qua duo an uti interni simul iuncti sunt minores duob. rectis; Seu in sua qJ est Hest internus est minor altero interno ipsi coalterno; seum qua quod fiesiliter est idem internus est minor extorro ipsi op
Cuius propositionis, pars illa, in qua dieitnr. Quando duae rectae datae secantur a recta , si accidat, quod sumina duorum angulorum internorum ab eadem parte sit minor duobus rectis c scilicet, quod duo anguli interni ab eadem parte stinui sumpti sint minores duobus rectis tunc ipsae duae rectae datae necessario fini non aequid istantes: est superiori quarta propositione mediante in demonstrata tali
pacto . Duae rectae datae, ut proponitur, esse non possunt aequid istantes, quia tune per quartam huius 1 necessario summa duorum angulorum internorum ab una, & eadem parte esset aequalis duobus rectis, anguli coalterni essent ad inuicem aequalas. Et externus esset aequalis interno sibi opposito ab eadem parte. Quod totum est contra hypothesim; Cum ergo non possint esse ad inuicem aequid istantes erunt mi aequidistantes, ut ostendendum proponebatur.
Si se per datam rectam ducantur duae perpendiculares aquales, ct coniunganIur eum una recta Vfa erat aequidistans, se aequalis rectae Grasuper quam duae flerpendiculares insistunt, qua etiam erunι fersendiculares aae linea victam,qua coiangu i assimul. SUPER datam cs, rectae ac, & rs, sint Perpendiculares
aequales, ducaturq; ar; Dicitur ipsa ar, esse aequid istans, de aequalis rectae cs; Sieni in ar, non esset aequid istans rectae cs, e
v set ipsi non aequid istans, ideo in una ipsaru, a. rasellicet, sumptis duobus diuersis punctis a, &e i, ipsti puncta essent non aequaliter distantia a. recta e s ; ideo duae perpendiculares ac, dirs,. quae ostedunt distatias ipsas essent inaeq-υς, sed illa inaeqΔIὲς esse iison possunt cum ex hypothesi ponantur aequales ideo nec etiam ar, poterit esse non aequid istans rectae es, ipsi ergo erit aequid istans, & propterea per secundam huius quaelibet duarum ae, & rs, perpendicularis ad rectam cs, erit etiaperpendicularis ad ar, &propterea angulus a. di etiam angulus
13쪽
r, erit rectus; Nue ducta recta eri vel as, eosideratisq; duobus triangulis rectangulis ac S, & ar S, cu duo latera ca, a S, unius fiat aequalia duobus lateribus i r S, S a, ipsis correspondentibus alterius, sequitur sper id quod hic in serius demonstrabitur quod reliqui anguli unius sint aequales reliquis angulis alterius, & reliquum latus cs, unius reliquo lateri r a, alterius scilicet, ut xe cia ar,sivaequalis rectae es, sibi oppositae, ut ostendere proponebatur. . Duorum uiangulorum rectangulorum, quando duo latera unιώnι aqualia Δobm nteribus Vsis correspondenIIbus alum- , reliquum latus unius eru oram aquale retiquo iateri alterι- . ct quilibeι aliorum anguloνώ -ι- eru aequalis angulo Usico i resoniani; aiserias, ct ιriangulum erit aquale ιν angulo. T N triangulis rectangulis ars, & ARS, si duo latera conti- nentia angμliam r. rectum unius essent aequalia duobus lateri-obus continentibus angulum R, rectum alterius, etiam reliquum latim unius per quartam primi esset aequale re Ii quo lateri alterius; anguli, angulis &c. Sed sint ra, & as, aequalia lateribus 1 , di AS; dicitur, quod etiam RS, erit aequale lateri r s; Nam si non essent aequalia , unum ipsorum esset longius altero, sit ergo per aduersarium R s. longius, a quo secetur Rr, ad aequalitatem rS, scilicet, ita ut id in quo R s, excedit rs, remaneat a parte S, di Re per aduersarium) euadat aequalem lateri ar, di ideo cum in duobus tria gulis rectangulis ars, & A R i, duo latera ar,rsa a & angulus r, rect ab eis contetus, eo sent aequalia duobus lateribus A R, R i,& angulo R, recto ab ipsis contento,s
queretur per . primi quod etiam bassΑt, esset aequalis basi as, ideo esset etia aequalis rectae AS, p sitae aequalis rectae as. Unde in triangulo At S, duo latera At, A s , essent ad inuicem aequalia, & propterea duo ansuli Α S t, &Α t S, essent ad inuicem aequales, sed At S, externus trianguli rectanguli ARt, habentis latus Ri, productum in est maior angulo Α R r, interno recto ipsi opposito,& proptersa est obtusuS, ideo etiam angulus A st, esset obtusus. Et in triangulo A St, a habet latus St, productum in R, angulus At R, qui est externus oppositus angulo Α S t, interno, esset maior ipso angulo A S t, obtuso, scilicet esset obtusus, sed angulus etiam At S, est Obtusus,
ideo anguli At R. & Αt S, facti a linea Λt, cadente super i i-
14쪽
neam R s, essent ambo obtus, seu quilibet eorum esset maior rectost& propterea summa eorum esset maior duobus tectis, quod impossibile est per i 3. primi non possunt ergo duo latera is, & R S, es' se ad inuicem inΣqualia, ideo erunt aequalia, & consequenter angulus a, erit aequalis angulo A, angulus s, angulo S, & triangulum alteri triangulo.
SῬώμην -- rectas da in non aquidistinus ducatur recta, quae ι Eevenricularis prima , Usa esse non poterit perpendiculari δε- cunda,limo ram secunda facieι --gulum acutum ἡρarusen quaonea data sese approginquam, se obtusum ab aisera flarte.
CINY duae rectae datae non aequidistantes m n, & gp, &pars, O in qua ipse sese appropinquant sit dextra, scilicet versus n, &g: Et ducta a r, quae secet utramq; ipsa cum mn, faciat angulos ad a, rectos, Dicitur quod ipsa axi 'cum aItera secunda gp, Δώ is o n ciet angulos ad ri non rectos,&. . ---- quod acutus erit ars, a parte
o: iqi v cuius rectε datae non aequidistan- tes sese appropinquant. Nam si Π per aduersarium) anguli ad r, ' essent recti, acceptis r g, & rs, m Orit . v.' . iii a cpialibus, de ductis rectis as,&ag consideratisq: duobus triangulis arg, & ars, quae essent tεctangula per aduersarium) & ideo angulus r, unius aequalis angulo r, alterius, di duo latera kr,ra, continentia angu Ium ravnius, duobus lateribus S r, r a; continetia angulum r, alterius, sequeretur phr 4. primi quod basis a g, deberet esse aequalis basia s, & reliqui anguli ilnius, reliquis angulis alterius uterq; utrique. Vnde etiam angulus m a g, qui remanet a recto in a r, esset aequalis angulo nas, remanete 2 recto nar. Nunc a punctis sν S g, ductis ad n m, perpedicularibus so, & gi, & consideratis duobus tri,ngulis rectangulis s o a 4 α Ct a,' in quibus etiam angulus f a o, unius esseraequalis angulo gat, alterius,& latus as Iunius lateri a g, alterius, sequeretur per 26. primi EuclidisJ quod reliquus angulus as b, unius esset aequalis reliquo angulo rga, at terius , latus o a, lateri l a , di etiam latus s o , lateri g t, sed go, di gi, quae sunt permndiculares ad m n ,δstendinrt distantiam re- ictae gp, ast urn in duobus diuersis pureis g, & s, & qui es t
15쪽
aequales, seque Fetur quod g p, & m n, essent aequid istanoes; quom est contra suppositum, ideo impossibile , ergo impossibile etiam est,
angulos arg, di ar P a C sse rectos, .crunt ergo non recti , Rilice viati, obtusus, & alter acutus, ut probare proponc batur; Et acutus i
tae sini propinquiores a paxte ny, Qua ab istera parte, sequitur quod ab ea parte productae ipsae tandem concurrerent simit, constituendo angulum ,&ponamus hoc euenire in ii, puncto, considerato a dicta parte dextra distante ab a T . qtiae C*Perpendicularis ad in D,.γs quantumlibet,s ita duae .ah; δε rh , .cuna Rr,. sp)ul formas en atriangulum a tir, cuius latus. ha, esscipi oductum in m , quare angulus mar, extornus eiusde P sit aquilarit maior angulo a rh, inxerno illi opposito. scilicet angulus a rh, erit minor angulo mari sed mar, est rectus ex hypothes; posita est enim a r, pcrpendicularis ad mn, ideo. angulus a rh, minor illo erit acutus,& angulus arg, ipsit coniunctus erit obtusus, ut ostendere volebamus. Vel ii triangulo a li1 9nside to latere tir, produeto in Diangulus externuSi 3r A, erit matre galo na h, interno ipsi opposito, sed ipse internus 'est re figeo externus . air g. erit os uiuii hconsequenter ax P . erit acutus, qui est illa a parte, in qui duae 'πctae datae in ', α g p . . non aequidistames appropinquanta Hoc etiam ex se. sine prima superiori demostratione ,. ubi ducitur aduersarius ad impossibile, sum cene potest ad dem irandu ostensius, quod recta a r. perpendi taris ad my, non est perpendicularis ad g p; nam probatiar δ' Sulum arp,. dex rum ess hac u- . tum, vi arg, nistrianiecto usuis, si j .. Poterit etiam /b initiio demonstrari propositio totalis,tsi modo. sint duae rectae datae non a qui diβantes mu, & g p quae magis sese appropi 'quant a parte dextra np, S super ipsas ducta se a r. 'qua sit perpendicularis in a, ad primam in n ; Dicitur ipsam non Roste esse perpendicidaren ad secun m g p;. imo, quod cum ipsa secuω fg p iaciet angulum acutum a parte dextrA n P, in qua rectat datae se se appropius unci & obtusum ab at tela, parte, se ii icet.
16쪽
sus n, se ita sinistra ab a. versus na, ponam Rus a dextra, A sit O , au eandem primam i mn, ducatur perpendicularis os, tam l5
xavi h, intis in sinerim Πν quae duae yerpendiculares r a, & s o. erunt inaequales , quom a Lupponatur duas rectas datas m n,&gp, esse non quid istantes. Amplius, quoniam dictitur Ipse appropitia quari a par in lemm rq '. mri a ubi distanti illarum est minor, erithreuior sinistra a r, nunc ab hac a r, longior, sumpto pri ei pio ab a , ubi facit angulum rectiam cum m n, secetur pars a c, aevi qua is trectae δ Iluditus eiu es re nuderati sauahως rectis c a, &s o, perpendicularib. ambabus ad eandem a o, & aequa Iibiis ad in-
dic uiatis Gaham c S. per secundam huius scilicet angulus ac si erit,eLς,& quo'iam est externu trianguli parui s r c, habentis flatus r e. prpi ungat uina , ipse erit maior ansulo cr s, interno sibi' ὀχperi primi Euclidis scilicet angulus crs,
o pia uto sPer Io. pr inai Eliclid is ins se a suere ko; uteb'ipse e r s, cxit acutus, sed his est angulus factus ab a r, cum reet g K si cithda duaruin datarum noli squid ista- si suppx inquanti uictri parte n p', dextra a qua est angulus ille . ideo cognosciBius 'a ρ, non cise perpendiculare ad sexunda datag p; imo cum ipsa g g, tacere angulo acutum a parte dexara, in qu duae rectae datae supponuntur appropinquari obtusus ergo erit altersi si in pruna sine h, assumptium pulsinum at pati esἡl-stra, a g duae rect/ditae nyn,& stp: non aeqiii distantidis se se remo- i. A uent, Sab Usbpum2ο e, ad viri ducta pia pendicularuli g, perueniens ad g p, in g, tue quia ista rgo esset longior a ri cum duae te ctae date ex hypothesi sint remotiores il parte si h stra, quam a dextra ab ipsa e g, incipiendo a puncto t. vlli ipsa facit angulum recturn
17쪽
quintam huius) erit aequid istans, di aequalli rectae et, quapropter ar, quae est perpendicularis ad a t, erit etiam perpe; dicularis ad r d, per secundam huius scilicet angulus a rid, eriurectns, unde .gulus a r g, qui est maior dicto recto sua parte erit obtusus,& ideo a rp, ipsi coniuncto per i 3. primi erit acutus. Et ita cognoscimus' tiam, quod recta a r, existens perpendicularis ad m n, non potest etsi perpendicularis ad g p, imo facit angulum acutum cum ipsa g P, a parte dextra p, in qua duae rectae datae non aequid istantes se se appropinquant , & obtusum a parte sinistra g, in qua sese remouenta
Vper datas m n. & r p, cadat a c, & eypniat, ut quilibet anfu rum ad a, & adc, sit rectus , dicitui m n, & r p, esse a quid istantes ad inuicem, quod sic demonstratur; Acceptis c p, & e r, aequali bus a punctis p, & r, ad m n, ducantur perpendiculares p n, &ir m, in a vi ut anguli 3d m,&ad n, sint recti, ducantur
i c, ca, cum ipsorum angulo recto, erunt ae
4 qti qualia du'bus: lateribus P c, c a, an- gulo recto, ideo per quarta primi r a, erit aequalis rectae p a, angulus a r c, angulo a p c, di anguluS r a c, angulo P a c, ideo dempto angulo rac a recto m a c, & p a c, i recto n a c, duo an uti, qui remanent r a na, & P a θ, erunt aequales 3.d inuice. Et in duobus triangulis rectangulis rin a, & pn a, quia duo'ansbsi 'guli Mi s Α, rnius. similatere dia, sunt aequales dqobus aligaris.himi l tecu9 cum latere.p a, sequitur per a s. primi quod reli ius Angulus in ra, unius erit aequalis reliquo angulo nν a, Vlterius , Ardatiis r m, lateri p u,& latus ma lateri n a, vade angulus inriti mr c, etiam erit squalis totali angulo npc, quia ergRrm.& P L per- endicularis ad inn, a duobus cliuersis punctisa, paelinei r psunt ad inuicem aequales sequitur, quod recta r p, ab utraqPparte: rudialiter distet, scilicet sit 'quid istas rectae M ni ut probare volebaemus. Lognoscitui etiam, quod ob eandem rationem, vel causam, quia super
18쪽
pe pinae, eaditn a, Ppendicularis ad ambas,ob id sequitua in p. st a quid istans reciae a c. λmplius videtur etiam, quod, cum super duas aequidistantes m n, & rp, cadanx r m, S p n, perpendiculares adi in n. ipsae erunt etiam perpendiculares ad r p, & ideo angu lius m r p, erit rectuq, S etiam rectus erit n p r. Seu ad demonstrandam superiorem propositionem dici poterit si lax rectaemn,&rp, non essent mulidi ilantes, illae essent non quidistantes, & ideo recta a c, quae est perpendic*laris ad m n, una ipsarum non poterit esse perpendicularis ad alteram r p, per sexta huius sed suppositum est, quod ipsa ac, sit etiam perpendicularis ad rp, ideo ac, non poterit non esse perpendicularis ad rp, unde nec etiam poterit ipsa r p, non esse aequid istans ad m n, ergo erit lysiae quidulans . . .... '
THEOREM A VIII. PROPOSITIO VIII.
' Sisuper rectam datam cadamst dua perpendiculares, uia ad inan
C Vper datam ac, sint perpend sculares duae recta a s,&cr, Diciamus illas esse ad inuicem atquid istantes,quod sic demonstratur.' Faciamus ipsas duas perpendiculares aequales a longio' ' tr ii secando partem aequalem minori S sit a s, aequalis c r,l eoniunganturq; duo puncta r, & s, cu recta r S, q per s. huius erit aequalis, & εqui distans rectae a c, anguliquer, δέ s, erunt recti, ut anguli c, & a sper quartam huius unde etiam qua libet duarum rectarum e a, &r s, erit perpendicula ' ris cuilibet rectarum cr,& a s,&: ideo quaelibet duarum ea, Sr Sa per corollarium primae huius ottendet distantiam rectae e r, ad rectam a s, in duobus d iuersis punctis c, & r, sumptis in recta c r, vel . ostendet distantiam recta a s, ad rectam cr, in duobus diuersis pun ciis a,&s, sumptis in recta a S, sed ipsae ca, & r s, sunt aequales ad inuicem, ideo etiam duae.c r, & a s per secundam definitione erue aequaliter distantes, seu aeqiii distantes ad inuicem.
Si daa recta dasa sint no aequidistantes,st . puncto inprima signaro ducaris perpendicularis adsecundam, re a puncto . quot 1 fis perpendicula risse Venit ad secundam ducatur recta perpem
dicularis ad primam , haec υθιma perpendicularis eriι breuior antecedente perpendicularι, ct cadet inter antecedentem,ct uis
iam par em, in qua aeria recta βρ Upropinquant.
19쪽
H da, quae sese appropinquant a parte gn,&a puncto arin primi signato ducatur ar, perpendicularis ad secus dam , At ita cum angulus a r n, sit rectus, g a r, erit acutus per se, tam huius Nuei a s a puncto r, da Ha recta perpendiculari ad pri- mam p g, ipsa necessimo cadet inter a , & g,
quoniam super ipsam r a , eadere non potest quia tunc angulus rag, esset rectus, & ianis seimus ipsum debere esse acutum ; nec inter a , &p, cadere potest, nam si hoc fieri posset per aduersarium,& ponatur seruenire in i, scilicet angulum r t a, esse rectum, sequeretur,quod λnsiderato triangulo rectangulo r t a, habente latus t a, productu in S, angulus externus gar, esset minor interno os possio at . scilicet acutus tecto, qdod est impoliabile, cadet ergo inste a & g. . scilicet a parte perpendicularis r in qua rectae datae non aequi distantes sese appropinquant & sit rs,&i ita angulus rSa, erit rectus, ideo mxior angulo sar, aenio, unde in triangulo rectangulox Sa, quia, angulus a, acutus est minor angulo s, recto, etiam latus r s, acuto Oppositum, erit breuius latere a r , recto opposito
per I s. primi Euclidis scilicet recta r s, quae est perpendicularis. Primae lineae, erit breuior recta a x, q*η ς it perpendicularis secudae.
ει dua recta data non aquid a res secentur a recta , duo anguli Z l snte nι ὰ starie , ιn qua rectae data sese appropinquant simul iun-γι as, sicilicet summa illorum eru mmor duobμs angvos rectis, summa vero duorum angulorum internorum ab aisera parιe, in qua data recte remst in es sane, erit mruor duobus angulis rectis. Item angulus externus ὰρ ne, in qua duae rectae data non aquidistantes sese avrasinquant,eris minor angulo 1nferno ipsi coal erno ab altera parte; βι ficer ex coalternis minores erunt uti, qui Must se parre, in qua dara nor aqmae Ranses sese V ro . , pinquH, et maiores uti, qui sane ab altera arte, in qua recta datae remotιores eua unt. Item qum it angulorum inιernorum astarte, νυ qua rectae data non aequιdutanIes Ase auro in ant, erat minor angui exurno i Nposito ab eadem starte, sed ab al. era arte, is qua imae recta remotiores evadunt, eris contraria
20쪽
C Vper duas rectas datas hm,&r P, non aequid istantes, imo pro- pinquiores a parte m p, quam a Parte h r, ducatur recta a s,
utcunque lecans ambas in a,& s; dicitur angulos internos mas,&psa, esse minores duobus rectis; quia a puncto a, ducta recta perpendiculari ad ri', ipsa vel cadet in punctu ς, scilicet erit ea de eum recta a s, vel trasibit versum parte r, sinistram, vel versius partem p. dextram. Si ceciderit in pu iactum S, scilicet ut a s. sit perpendicularis rectae a p, illa tunc per sextam huius cum altera linea lim, inaequi distante rectae r P, faciet angulum acutum a partem, dextra, in qua ipsae non aequid istantes se se appropinquant, & obtusum a parte h, sinistra, i qua
se se remouent scilicet angulus mas, erit acutus, & ideo iuncto recto p s a, summa ab hac parte dextra, in qua rectae non aequid istantes se se a L . propinquant erit minor duobus rectis,& angulus 6 9. has, erit obtusus, ideo iuncto recto ars, summa a parte sinistra, a qua rectae non aeqvidistantes se - , se remouent erit minor duobus rectis. Sed si p-- pendicularis ad rp, discedens a puncto a , perueniat, ad rp, in i, sinistro ad S, tunc a puncto s, ducatur Sc,ppendicularis ad ipsam r p; & cum datae h m, Si r p , non sint aequi- distantes, imo propinquiores a parte m P, sequitur dictas duas dipendiculares ta ,&sc, ad r p, esse inaequales, es breuiorem existere s c, Nuc hqc S c,Pducatur ultra ad c,quo usq; fiet squalis recte t a,&hoe eueniat in n, scilicet, quod S n, sit aequalis reciae ix, S: ducatur n a, quae sper quintam huius erit aequalis, & aequidistans rectae t s, & ideo cum a n, & t s, aequi distantes sint sectae 2 recta a s, 'angulus nas, erit aequalis sibi coalterno lsa, scilicet se ternus superior dexter interno inferiori sinistro per quartam huius sed a
gulus cas, pars anguli nas , est minor ipso n a s, ideo erit etiam minor angulo i s a, unde communiter iuncto angulo a sp, summa
duoru e a s, & a s p qui sunt duo interni iparte dextra, in qua dux rectae datae se se appropinquant erit minor summa duorum t s a,de a s p, sed haec summa est aequalis duobus rectis per i 3. primi ideo
illa erit minoriduobus rectis. Et consequenter alij duo anguli interini sinistri h a s, di r s a, qui remanent e dextris ad quattuor rectos usque erunt maiores duobus rectis. Et quando recta perpendicularis ad rp, distendens a puncto a , perueniat ad ipsam in tydex itro ab si tunc a puncto Soducatur seu Perpendicularis ad
x p, quod cum datae b ala re, simi n o aqvidistantes, imo propina. C qui