Operetta delle linee rette equidistanti, et non equidistanti. Di Pietro Antonio Cataldo

31쪽

finistra, i qua datae non atquidistantes se se remouent, eomierso nisu do eueniat, quod quilibet duorum angulorum internorum sit maior externo Opposito ab eadem parte, similiter patet, quoniam, quo ad a s r, ipse cum angulo has, facit summam maiorem duobus reuctis sper primam partem huius sed eidem has, addito angula ta h , summa, quae componitur est tantum aequalis duobus rectis. ω ideo illa summa est maior ista , unde etia solus angulus as r, inter nus sinister erit maior solo angulo tah, externo sinistro sibi oppo. sto. Eodem modo etiam probatur alium angulum has. interuix sinistrum esse maiorem alio externo sinistro Opposito rsu, Quo aest, quod demonstrare volebamus.

Sise per duabos rectis daris, ducta sit recta, quae seces ambas. ct

accirit, quod summa dareum angulorum ιnIern/rum ab eadem parte sis aqMalis duobus remis ; Uel quod internus fuserror ab una parte M aequalis interno 1 erior, ab altera parte, sicilicet angulos bi coalterno . Vel quoa externus μ aquatis Interno v. posito ab eadem parte unc nec ario daa recta data ad inuicem

erunt aquidistantes .. GVONIAM si duae rectar data non essent a quid istantes ad inuicem, illae essent non aequid istantes, sed non adi inlidi stantes esse non possunt,quia tunc per Io. huius oporteret, quod summa duorsi angulo spinternoru ab eade parte esset minor, vel maior duos,u rectis i Et quod internus superior ab una parte esset inaequalis interno inferiori ab altera parte , scilicet sub coalterno. Ft quod exter- nus esset inaequalis interno opposito ab eadem parte; Qi d totum est contra suppositum ; cum ergo rectae datae esse non possint non ar-quidistantes, erunt aequidistantes ad inuicem, ut demonstrandum

e Notandum est supradictam xl. Propositionem, ostendere ide, quod ostenditur in a7. & ag. primi Euclidis.

' THEOREM A XII. PROPOSITIO XIL

Si dua recta linea da aseeentur a recta, se accidae, quod summa duorum angulorum inIernorum ab una partes ι maior, vel mι- mor duobus angulis rectis a Vel qaod ιώIernas βυσιν ab vna sarte

32쪽

ν at rem ad ι-3cem ι 2 Uel quod exurnus M 3naequatis interno a B opposiιο ab eadem pinu, tunc dua recta .ata erant non aquιῶ- santes ad invicem; Et sese a propinquabῆι a parte, σπ quaa π-7 gali interni sui iuncti sunι minores duobus rectis; Seu .n qua quod est irim2 intern s est minor altero interno ipsi coalterno a Seu ix qua squod ibur en idem internm est Minor externo

ipse .ppesseo ab eadem parte.

OV I A duae rectae datae supradictas coditiones habentes non possunt esse aequidistantes: nam tunc per quartam huius nece l-sario summa duorumg angulorum internorum ab eadem parte esset aequalis duobus rectis 3 Internus esset aequalis interno ab altera parte sibi eo alterno ; Et externus esset aequalis interno opposito ab eadem parte, quae omnia sunt contra suppositionem. Cum ergo noupossint esse ad inuicem aequid istantes erunt non aequi distantes s ut demonstrare volebamus. Quod vero duae rectae datae magis propinquae sint a parte , in qua summa duorum angulorum internorum est minor duobus rectis , ita demonstrari potest. Cum rectae datae a rade a m , sectae sint a recta ic, & duo anguli interni ric, & nt c, es parte dextra minores findduobus rectis quod tali nacto duo interni sinistri et unt maiores duobus rectis, quoniam omnes quati Dor' interni semper sunt aequales quattuor rectis dicitur , quod ipsae duae rectae datae magis sese appropinquanti parte dextra ; nam viduo anguli interni dextri simul sumpti euaderent aequales duobus rectis existe te su periori ric, oporteret maiorem facere inferiorem t c ns ipsi addendo, quod deficit ab illorum summa ad complementu duorum rectorum. Et manente linea is, oporteret a puncto c, duc re rectam, quae cum recta t c, constitueret angulum maiorem an gulo tcn, quantum opus esset, &ob hoc ipsa recta ducenda tran-firet, subtus rectam en, Ssit cu, quae reperietur ducendo a pun cto C, perpendicularem c s, rectat ar, &a puncto c, ad hanccs, perpendicularem cu & a puncto in ipsa et v, signato, ponamus a puncto u, ducatur perpendicularis ue, ad rectam ar,quae - secabie

33쪽

sectionis , scilicet scribatur x, in puncto sectionis . & ob hoc pars xe, ipsius, erit breuior totali ue, de deo erit etiam breui recta es: ipsi ue, aequalis nam cum duae rectae S r, S c tu sint aequi- distantes addnuice per T. huius,' sinae sunt. s recta S c, quae facit an gntos rectos cum qualibet illar scilicet, quae est pupendicularis unicuiq; ipsaru & rectae c s, & u e, perpediculares rectae a r, & ideo et perpendicularcs rectae c u , y a. huius) 'ste dentes distantiani unius ab altera, & cum ipsae distatiae sint ad inuicem aeqirales pro

ter aequi distantiam dictam rectarum S r. & icu conuerat, uti c s.& ue, quae ostendunt ipsas aequales difffitias sint ad inuicem aeci Gles quapropter propinquior est mn, rectae ar, in X, quam in id, Vnde ipse sese appropinquant a parte X, scilicet a parte dextrairi volebamuq probare: Et consequenter sese remoueta parte sinistrae, nam cs, distantia sinistra eli longior recta xe, distantia dextra inferioris lineae mn, ad superiorem ar, in duobus diuersis punctis c, sinistro,& x, dextro. Item, quod duae rectae datae sese appropinquent a parte, in qua summa duorum angulorum internorum est minor duobus angulis rectis, potest probari tali modo. Si duae rectae datae,5c iam probatae non aequi distantes,ci quod necessario ab una parte se se appropinquant, di ab altera se feremouent, non se se appi opinquassent a parte ubi anguli sunt minores duobus rectis, opus esset, quod ille se se appropinquassent ab altera parte, ubi sum- .ma duorum angulorum i nternorum est maior duobus rectis, & se se remouissent a parte & sit dextra ubi summa duorum anguloruin ternorum est minor duobus rectis; Sed summa duorum angulorum snternorum a parte ubi lineae non aequidistantes sese remouent est semper minor duobus rectis per decima huius.) Vnde ipsi duo an- tuli interni dextri eodem tempore essent minores, & maiores duobusrectis, quod est impossibile, impossibile ergo est , quod duae rectae datae non se se appropinquont a dicta parte dextra, ideo ab ipsa

parte dextra ubi summa duorum angulorum internorum est minor duobus rectis se se appropinquant, se se remouedo ab alia parte ubi summa angulorum internorum est maior duobus rectis. Qino ad angulos internos coalternos. Si in duabus rectis datis a r, &mii, sectis a recta ic, Occurrat angulum ric, internum supcrioiarem dextriinye sic minorem angulo ictu, interno inferiori sinistro

ipsi coalterno vel quod icia, internus inserior dexter, sit minor In illo a ic, interno superiori sinistro ipsi coalterno hoc etiam nobis ostendet, quod ipsae lineae iam cogni tm non aequidi states ob in

34쪽

qualitatem dictorum angulorum coaloernorum) magis se se approminquam ab ipsa parte , ubi angulas est minor . quoniam si tam angulo rec, minori, quam angulo i cm, ipsi maiori fingatur addi-- is . tu Sangulus t c lax summa duorum ric,

di madictorum duorum internorum dextrorum erit minor duobus rectis, unde per primam partem huius Propositionis iam demoostratam, sequitur quod ab eadem parte dextra duae datae ar, & mn, se se appropinquent, S ab alia sese remoueant. Et similiter, quo ad externum, & internum oppositum ab eadem parte, si notum suerit, quod angulus internus ric, sit minor externo i c n,. ipsi opposito ab eadem parte dextra, vel quod icn, sit minor externo gir; similiter concluderemus , quod dirae datae ar, di mn, iam cognitae non aequid istantes ob inaequalitatem dictorum angulorum internorum, S externorum oppositorum ad inuicem ab eadem parteo se se appropinquarent i dicta parte dextra, quia cum icta, sit minor angulo gir, si tam viai, quam alteri mente iungatur angulus cir , summa ipsius cir angulo tcn, erit minor summa ipsius cum angulo gir, sed summa cum gir, est aequalis duobus rectis, ideo summa cum lcn, erit minor duobus rectis, & quia haec summa angulorum lcn, & ctr, comprehendit duos angulos internos dextros sequitur per primam par- rem iam probatam huius Propositionis ) quod ab ipsa parte dextra datae a r, & m n, debeant se se appropinquare, & se se remouere ab altera parte sinistra.

THEOREM A XIII. PROPOSITIO XIII.

Misper dain rectas datas ducaniar lineae caruies inum ma duorum' angasernm δnternorum ab una eadem arte, suos faciet unas cantium cum duabus disis , erit aequalis summae duorum internorum angulorum, quos ab earim ρον te facuI qualabet alia δε- cans cum sysdem duiam datis . C I duae rectae datae sint aeqitidi stantes,quia quaelibet recta,quae se H cet ipsas facit s immam duorum angulorum internorum cum

ipsis datis aequalem duobusrectis semper per quartam huius cla

rum Diuitigod by Corale

35쪽

quantum proponitur ;Dudiis perpendicularibus go, & rs, alteri datarum a duobus punctis sectionis in alia, quae duae perpendiculares erunt ad inuicem aequid istantes per octauam huius & pro

terea summa duorum angulorum dextrorum internorum a Og, &ogr, factorsi ab una, cum duabus datis, erit aequalis summae duorum angulorum internorum similiter dextrorum iasr, & srp,factorum ab altera cum ijsdem duabus datis cum angulus a o g per se fit aequalis angulo nsr, & angulus Ogr, angulo Sr P, per quartam huius.) Quia postea illis aequatur duo Smg, & mgr ;interni facti ab una secantium cum duabus datis a parte dextra, de duobus aliis aequantur duo sar, Zc arp, interni facti ab altera secante, cum ijsdem duabus datis ab eadem parte dextra & hoc totu ob demonstratis in prima parte decimae huius) sequitur, quod

summa duorum angulorum factorum ab una secantium sit zqualis summae duorum factorum ab altera secante ab eadem parte dextra cum duabus datis; Et consequenter, quod summa duorum angulorum internorum factoriam a parte sinistra cum duabus datis ah una secante, erit aequalis summae duorum internorum factorum ab ea dem parte sinistra cum duabus datis ab alia secante, quoniam tam isti quam illi sunt, quod remanet a dextris, usq; ad quattuor rccios.

THEOREM A XIV. PROPOSITIO XIV.

36쪽

S I et quaecumque datarii abcd, aequidistans propositae p. Dicitur ipsas esse ad inuicem aequid istantes; Nam posta ad libitum una recta perpendiculari ad propositam, & haec producatur quousq; seeet quamluissὶ; data-

-- p

sit & sit r s, illa sper secundam huius erit etiam perpendicularis cuicunq; datarum, unde pertarum erit aequidistans cuicumque alteri ipsarum datarum, scilicet recta a, cuicunque aliarum, similiter b, cuicunque aliarum.&sie e , ad d, di ad quascunque alias rectas atquidistantes rectae P, propositae.

PROBLEMA. PROPOSITIO XV.

A da optincto ducere rectam aqui istantem ad propositam rectam, qua non sit in directum cum ipse puncto dato , scilicet ιalis sit, iis a puncto dato duceretur tinea ad unum terminorum pro posiae, illa non unia/ur cil Woposita, sed faciat anguia cum i a. A DATO puncto a , ducenda sit recta aequidistans rectae propositae cr. Ab ipso puncto.a, ducatur recta perpendicularis ad rectam cr, producendo ipsam cr, quando opus fit, tali modo, ut ipsa perpendicularis super eam cadere possit, ita ut illaia secari possit a dicta perpendiculario & sit as, &- - ab eodem puncto dato a, ducatur perpendicu i laris ad hanc as, seu a parte sinistra, seu ardex-d --εν tra ad libitum, & sit au, vel at, quae au, vela t, seu ut, erit a quid istans rectar cr, ut volebamus per septimam huius) ctim a costructione , una,& eadem re cta as, sit perpendicularis propositae cr, & au, vel at, seu totali ut, vel possismus dicere rectam ut, esse a quid istantem rectae cr, per II. huius cum quicunque angulorum ab a, Sab s, sit rectus,& ideo cum summa duorum angulorum las, & r Sa, in ternorum dextrorum, vel cum summa duorum uas, S c Sa, internorum si niliroru sit aequalis duobus tectis. Vel alio modo; A pu- E cto da Diuitiaco by Corale

37쪽

cto dato a. Dueatur rectam ad libitum, quae perueniat ad propositam cr, di sit as, postea ab eodem puncto a , a parte dextra

gulum aequalem angulo a se, sinistro formato' . ab as, & sc, Vel postea ab eodem puncto a, -- '- F v d parte sinistra ducatur recta a uT quaecum a Safaciat anguluaequalem angulo asr, dextro, Hrmato ab a S,&srsnam ita cusint duo anguli tas, & a Sc, coalterni, vel duo ua Sa& asr, similiter coalterni duari rectarum ut, & cr, sectarum ab as) aequales ad inuicem, recta v t, ducta, aut transiens Per punctum a , datum, erit per II. huius atquid istans rectae cr. proposita . Vel alio modo I A dato puncto a, ducta recta,quo quomodo, quae perueniat ad cr, propositam, ipsa producatur a parte superiori puncti a , quantumlibet, ponamus in x, postea a punctoa, ducatur recta at, quae a parte dextra cum recta a X, faciat angulum aequalem angulo asr, quem ab ipsa partere af ι dextra facit recta as, ducta cum recta Sr. Vel quod idem est postea a puncto a , ducatur recta

au, quae a parte sinistra cum ax, faciat angulum t P aequalem angulo a Sc, quem ab eadem parte sinistra facit recta as, ducta cu recta sc, &ita consideratis duabus rectis ubi, & cr, sectis a recta aes, quia angu- Ius eXternus Xat, dexter, est aequalis interno afr, ipfi opposito ab eadem parte, Vel quis angulus externus xati, sinister est aequalis interno asc, ipsi opposito ab eadem parte, sciemuS per II .huius) quod duae rectae ut, & cr, sunt a quid istantes ad inuicem. Et si nolemus producere rectam as, a parte superiori a , producatur ab inferiori s , ponamus in n, postea a punctoa, ducatur at, dextra, quae cum a S, faciat an Su-δ tum ias, dextrum aequa Iem interno dextro r S n,' Z μ, Vel ducatur a u, sinistra, quae cum a s , faciat an-m' gulum uas, sinistruaequalem interno sinistro csn; quod ob eadem causam supra dictam recta a t, seu dicamus ut, erit aequi distans propositae cr. Nee dubitandum est quod duae rectae ua, & at, non sint simul coniunctae indirectum

constituendo unam rectam ut, scilicet, quod ua, productave sus a, non uniatur cum recta at, vel quod ta, producta versus a, Non uniatur cuin recta au; quoniam cum angulus xat, sit aequalis angulo a Sr, di angulus xau, aequalis angulo asc, etiam sum-m a duorum angulorum xat, & x aui etit aequalis lana mae duorum