장음표시 사용
21쪽
quiores a parte m p, sequeretur dictas dias perpendiculares fridita, ad r p, esse inaequales,& s c, esse longiorem t a, Nunc ab hacs c, incipiendo a puncto S, secetur pars S n, aequali frectae ta, & da catur a n, qtiae per quintam huius erit aequalis,& aliquid istans rectae s t, quare cu hae duae aequi distantes ta a, & s t, sectae sint a recta a sta iangulus,ast, erit aequalis suo coalterno nais, sed hic nas, est pars anguli c as, ideo minor ipso, ergo etiam a s ta erit minor eodem cas, unde communiter iuncto angulo mas,
summa duorum isa,& mas qui iant duo interni dextri, rectarii lim,&rp. sectarum ab a s) erit minor summa duorum cas, L mas, sed haec est aequalis duobus rectis per i 3. primi ideo illa erit minor duobus rcctis. Et per consequens summa duorum anguloruinternorum sinistrorum caS, &rsa, erit maior duobus rectis. . .
Haec prima Pλrs huius Propositionis potest etiam demonstrati
modo sequenti. - . Secet recta a r, duas datas no aequid istates m n,&tu, se se appropinquates versus nu, quaear, chm mn; a paT . v teon, faciet angulum rectum, vel Qbtusum vel acutum. Si rectum, tunc alter internus dem ter a r u, erit acutus per sextam huius re pro- . s. I., Pterea summa ipsorum duorum internoru dex. ' Terorum nata,&ura, erit minor duobus re-ictisὼ Si nar. sit obtusus, ab ipso secetur rectiis rea g. ducendo ad mn, in a, perpendicularem. F Q . a g, de ita angulus a g u per sextam huius .. . Tir acutuS, & ab P, ad m n , ducatui perpendicularis r p quae erit longior recta g a & angulus Pru, erit acutus, di quia g a, & r p, sunt perpendiculares ad m n, ipsae erunt aequi . distantes ad inuicem per octauam huius) unde cum dit sectat ab acr, ab gulus pra, erit aequalis suo coalterno rag, & quia summa amgniorum p ra,&a rg, est angulus Pr g, acutus, etiam summa an gulorum ar g,&r ag, erit Mutus, unde ipsis addito recto nagrusumma illoru cum ipso recto, scilicet n a r, & u r a, erit minor duobusrectis. Vel quia super pri&agi aequid istantes cadit recta tir sangulus externus a g u, acutus, erit aequalis interno opposito prus sed hie angulus est aequalis summae duoru arg, S r a g quia propterea aequi distantiam rectarum pr,&λg, sectarum ab ar, angulus r a g, est aequalis suo coalterno P r a,& isto p r a, cum a r g, compo
22쪽
: totalem angulum acutum p dg jdeo etiam angulus a gu, a-s, erit aqua ig*ummae suo u 4rg,& ag, unde ipsi addito reiana g, tu mi ipsis s acuti eum recto, quae summa est minor dum. tectis exit aequali S lummae angulorum n a r, & a r u; scilicet hianguli interni de tri rectarum. m n, & tu, secti rum ab ar, C- minores duobus rectis. Et quando angulus nar, sit acutus, si in sti tunc ipsi tantum addatur, ut euadat rectus, scis licet ducatur Mi mn, a puncto a , perpendicui laris a p, quousque perueniat ad tu, Rangu- lus a pu, erit acutus per sextam huius, item ad puncto r.eidentietecte lori, duratur perpen-laris r g quae erit breuior recta pa. At angulu8 gr u, erit a-s, di quia ipsae duae rectae pa,&rg, perpe si lares ad rectam sunt adcinuicem aequid istantest per octauam huius §ae abngulus g r a, erit aequalis lito coalterno par, Ac ideo summalorum gra,&gar, erit aequalis sim mae pa r,&rag, scilicetecto, unde ipsis addito gt v, acuto,suma triu gar. arg,&grace aequipollet duobus internis nar, Sura non perueniet ad rectos, scilicet erit minor duobus rectis. Vel quando angulus sit acutus. tunc a r ut erit acutus, vel rectus, vel obtusus ; si a- , vel rectus, suina ipsius cu angulo nax,acute erit minor duo-ectis; si obtusus secetur ab ipso angulus rectus gru,&a punt, ducatur perpendicularis a p, ad rectam tua quae pro-a erit aequid istans rectae r g, & angulus p a n, erit acutus,
cto cum p a P sit acutus quae cum angulo g r u, recto facietim minorem uobus rcctifi, sed tres anguli dicti g a r, a r g, ω
gru, sunt aequimii tes duobus nar, &aru quia aru, iee rectum grui&stu g, partes eius totales ideo cognoscia os duos angulos u Rr, di a r u, in summa esse minores duobus ut ostendere volebamus. Et per consequens modo quolibet o m a r, dc t T a, interni a parte, aqua datae non aequidistane remouent, erunt iu summa maiores duobus rectis.
23쪽
ductum,ans μου exfernus,qu formatur est aequalissumma irum 'posιorum internorum ιn ιriangulo. V i A superius in figura hic rescripta cum probatum sit angulum uga, esse aequalem angulo ur p, obae quid istantiam tectarum rp & ga, sectarum ab ur; quod arga, est angulus externus,& pru, est internus oppositus adieade parte & hic urp, sit aequalis duobus g r a, & a r p, suis partibus,quod est ac si di- .camus duobus g r a, & rag,l cum rag, siti aequalis suo coalterno arp, ex aequidistan itibus r p, & ga,sectis ab ra cognoscimus, quod etia ii g a, erit aequalis eisdem duobus gra, & rag, qui sunt duo interni oppo- . siti in tria gulo arg, habente latus rg, productum in v. σPoterit etiam ostendi ipsa prima pars superioris propositionis,li alio modo, si prius demonstretur sequens. '. b
tuendo angulum externum scilicet extra triangulum a gu. Dicitur ipsum esse aequallam summae duorum internorum a , di r
oppositoruit Uin triangula cnam reliquus internorum a g ω dicitur comunctus, seu associatui ipsi externo Rgu J Ad hoc demon strandum; Ad latus ag, iacies angulum cum productione gu, a parte superiori a , versus partem r, ducatur perpedicularis am, Et a puncto r, ici licci ab altera extremitate lateris producti per Min u, ducatur perpedicularis ad am, &sit τp; Vnde cum quat-flibet duaru rectarum rp, & ga; sit perpendicularis ad am, ip-isa duae rectar erunt aequi distantes ad inuicem sper octauam huius dei quia sectae sunt ab ru, angulus agu, externus erit aequalis angu-alo prg, intemo opposito ab eadem parte; Et etia quia duae aequia: distantes r p, & ga, sectae sunt ab ar, angulus ra g, erit aequalis suo coalterno pra, unde ipsis addito communiter angulo λrgo
summae duorum pra, di ars, di ideo totali angulo prg, eric
24쪽
aequalis summa duorum rag,& arg, Interni in triangulo,sede,
Et si per pedicularis, quae a puncto a , duceretur ad a g, esset ara scilicet alterum latus trianguli gar, scilicet. quod angulus a, i ternus esset rectus, tunc i puncto r, ducta a superiori parte rectar p, perpendiculari rectae ra, similiter eodem modo diceretur, ν existentibus r p. & ag, perpendicularibus eidem ar, ipsae ad inuice essent aequi distates, & propterea cu sint sectae a recta ur. a gulus agu, erit aequalis angulo prg;& etiam cum sint sectae a recta ar, angulus Pra, erit aequalis angulo a , ideo totus angu lus pret, &ideo agu, erit aequalis, & angulo a , & angulo arrasti licet summae duorum internorum a, & r; Et s perpendicula ris, quae a puncto a , duceretur ad latus a g, transiret per triangu Ium, scilicet, ut angulus r a g. esset obtusus, tunc ipsi perpendicu lari transeunti per triangulum, S prodit quantum connenit, ducatur il puncto et, perpendicularis rh, & haec i parte stiperio i. stilicet ab r, aliquantulum producatur ad libitum, & sit in p, usq; ει tune similiter consideratis rectis h p, & g a, perpendicularibus eidem a li, ipse erunt ad inuicem aequi distantes, ct cum sint lectae ab ur, angulus externus agu, erit aequalis interno illi opposito ab eadem parte pru. Item duae dictae aequid istantes r p, S ag,
cum sint sectae ab A r, angulus Sar, erit et qualis silo coalterno
25쪽
angulus agit, externus ipsi aequalis , erit aequalis suntina duorumgar, N arg, internoria ipsi oppbRom, ut Ostende se volebamus.
Iclem etiam seque inmodc clam in mari potem y
Producto uno latere trianguli .arg, &sit rAE , in ii, sacknte angulindexternum agu, vicitur ipse anguids externus ex seesse aequalis ducibus angulis internis sibi optasiti gar, &--g ra, simia iunctis trianguli; Ad hoc demonstrandum . hipe' rg, latus productum quantu occurrit ducatur a punctis r,.& gs. Perpendiculares r c, & gia, & etiam asuncto M seu ab angulo ipsi rg , op- e ct . id posito dumtur perpenda cultari at, si rae.cadet, intus tmetygulusn, vel supinatus dex Flim a g. Sac - Nelsia perfniitrum ar, vel extraetriangulum ii a parte dextra, vel a simistra. Cadat primo intuso triangulum super basim . seu lintam rg, in t . Et considerarii do bus rectis a t, & te, pcrpen cliculatribus adri, illa: erussi inter se a quid ista hies, undeteum secent trab a f, angulus Os erit aequalis an gulo O, suo coalterno; Item consi seratis duabus gn, & ta, perpendicularibus ad rectam egι illae erunt aequid istantes ad inuicem, & quia secantur ab a g. angulus - erit Qqualis suo coauerno -ounde totalis angulus a, seu rag, erit a qualis duobus cra, & nga, ct communiter addito angulo X, summa totius anguli a , cum x, scilicet duorum internorum a adiri in triangulo r a g, erit aequalis tribus angulis cra, ari, αhga, sed duobus cra, & ari, constitia entibus rectum cri, est aequalis angulus ngu,i vel quia est rεctus, vel quia contuleratia duabus rectis r c. & gn, perpendicularibus eidem rg, &pr pterea aequidis alibus ad inuicem, sectae arceta rui anguius ngm ternus est aqtialis angulo cru, interno ipsi opposito ab eadem parte adeo huic ngu, addito a gn, o sic constituitur totalis externus agu, summa, scilicet hic agit, est quantum tres dicti anguli, di ideo quantum duo interni g ra, & g a r; Cadat nunc perpendiciuaris, quae a puncto, seu a summitate a, trianguli copposita lateri rg, ipsinis prodiim leniat addicta basim, seu Iine aemProductam super latus dextrum a g. scilicet sidunt,& eadem linea eum latere a g, quod latus ob hoc faciet angulos Tectos cum rectar in deerit etiam una,&eadem linea cum illa, quaei puncto g, duceretur perpendicularis rectae r g ; Squia,&haec ga, & rc, sunt perpendiculares re x u, ipsis erunt aequi distantes ad ima laena,st cum secraura rectλ ur, augurio externua ullas squi nunc eshr -
26쪽
. . 33 Aus) erit aequalis interno ipsi opposito erit, Et qilia etiam eaedem
aequi distantes ga, & rc, sunt sectae ab r a, angulus o,erit squalis angulo O, sibi alterno, quapropter addito communiter angulo x, totus angulus crg,
& ideo externus aguι erit aequalis duobus O, A de x, seu gar, & gra, internis in triangulo oppositis angulo liga. Et si ab a , ducendo perpendicularem ad rectam rg, ipsa cadat in r, scilicet sit v na cum latere a r,&ideo sit illa ipsa linea etiam, quae a puncto ri se eX tolleret perpendiculari ter ad n g, tunc, quia haec,& gn, perpendicularis ad eandem rg. in g, erunt ad inuicem aequi distantes, S sectae abia g, angulus a, erit aequalis angulo agn, sibi coalterno, unde communiter addito angulo r, anguli a , Sr, interni trianguli erunt aequales angulis r,& a g n, sed n g est aequalis angulo r, ideo ipsen gu, cum angulo: agit,& c9nsequenter totus externus agit, ab illis
formatus, erit aequalis angulis a, & r, internis,ppositis in triangulasmul sumptis. Et quando a puncto a, ducta recta perpendiculari rectae r g, ipsa cadat extra triangulum ponamus a parte dextra in d, super productione g u, tunc consideratis duobus rectis c r, & ad, Ppendicularibus recti r u, & ideo aequi distantibus ad imiicem
sectis a recta r a, dicetur angulus c r a, esse aequalis suo coalternod a r, & communiter ac dito a rg, totus crd, rectus erit aequalis duobus d ar, Na rg, Nideo etiam angulus ngd, rectus, aequalis crd, eritae qualis eisdern duobus dar,&arg, Nunc consideratis duabus rectis g, n, S d a, perpendicularib. rectae ru, Nideo equia distantibus ad inuicem sectis a recta ga, angulus nga, erit aequa lis suo coalterno da g, unde ab angulo ngd, recto, dempto nua,
eius parte s&remanebit agit Sa semina duorum arg, &dar, dempto angulo d a g, parte anguli d a & remanebunt gar, &a n g residuum ab una parte erit aequaleresduci ab alta, scilicet solus angulus agd, qui est externus trianguli orit aequalis duobus ga r, & arg, qui sunt interni ipsi oppositi in ipso triangulo. Et si perpendicularis ad basim, seu latus productum trianguli ducta a puncto a , cadat extra triangulum a parte sinistra ponamus in d obpponendo, quod recta g r, sit producta ab ipsa parte sinistra r, quatum lassicit, ut possit recipere dictam perpendicularem a d Consideratis
27쪽
deratis duabus rectis d a, di re, perpendicialaribus rectedu,& deo aequid istantibus ad inuicem, sectis a recta a r, videbitur angu- Ius d a r, esse aequalis suo alterno c r a, & vni parti addito angulo a dr,& alteri parti addito angulo crg, qui anguli sunt rectrIS ad inuicem aequales, summa duorum rad,&a d r, erit aequalis summae duorum c r a,& cr g, scilicet totali a r g interno in triangulo ab ipsis composito, & amplius cuilibet parti addito communiter angulo gar, summa ab una parte, scilicet tres anguli adr, Da d, &gar, quod est, ac si dicamus duos angulos ad r, & g a d quia gad, continet in se praecise angulos r a d,& g a r erit aequa is summae alterius partis, scilicet duobus internis a r g, & g 1 r; Et quia angulus ng a, est aequalis angulo g a d suo coalterno in lineis gm,& d a, perpendicularibus rectar d v, & ideo aequi distantibus ad inuicem sectis i recta g a & angulo a dr, recto est aequalis angulusn gu, rectus, sequitur θ etiam summa hord duorum n g a,& n g v, dc ideo totalis angulus a g u, externus triangulio ab ipsis sor-tus sit aequalis summs eorundem duorum a r g, & g a r, internorum in triangulo oppositorum, quod opportebat demonstrare . .
υ demenstratis sterspicuum est. Tres angulos cuiuscunqlle trianguo simulsampus esse aequales duobus rectu.
OVoniam cum notum sit angulum externum vno latere quouis producto esse aquale duobus internis, & oppositis, S quia ipse internus simul cum reliquo interno ipsi coniuncto semper componit summa aequalem duobus rectis per i 3. primi sequitur, quod etiam duo interni dicti cum ipso reliquo interno, scilicet quod Omnes tres anguli interni trianguli sint aequales similiter duobus rectis. Vel & sit in triangulo a r g ponamus esse basim unum ex lateribus , vel unam S lineis ipsius trianguli, super quam possit cadete in triangulum perpendicularis ab angulo opposito ipsi lateri, di sit latus r g &a puncto a, ducta perpe diculari at, lateri rg, & ctiam a punctis r ,&g, terminantibus basim, ductis perpendicularibus r c, Sc gn, ipsi basi; quia ex duobus partibus anguli ab pars tar, est aequalis angulo cra,&ipse cra, cum a ri, sin viro interno super basim Ppositi trianguli a rg, componunt, vel constituunt rectum c r t, scinatis etiam dictum arg, sinistrum eum parte sinistia ra t, anguli r a g, necessario esse aequa-
28쪽
Vno angulo recto. similiter alia pars dextra g a t, anguli r a g. qualis angulo n g a, & ipse n g a, cum angulo a g t, dextro ino, super basim propositi triaguli arg, copon ut rectum n g t.
ropter videmus etiam dictum a g r, dextrum, cum parte degat, anguli rag, necessario esse aequale uni recto, unde totus alus r a g, simul cum duobus arg,&agr, scilicet tres anguli tosti trianguli erunt necessario aequales duobus angulis rectis. une ad demonstrandum supradictam primamp artem decimae ostionis, superiori medio; poterit dici. 1Cx T ar, duas rectas non aequi distantes P g, & qn, qua sese appropinquat a parte dextra g n; Dicitur, summa duorumalorum internorum dextrorum, scilicet a parte, in qua ipse se se opinquant simul iunctorum effeminor duobus rectis. Ad hoc demonstrandum; A puncto a , ad rectamqn, vel a puncto r, ad rectam pg, ducatur perpedicularis ri, di sit quod pet- ueniat ad pg, in t , a parte sinistra aba, & tunc eonsiderato triangulo rectangulo atr, cuius latus ta, est productu, scimus angulum gar, externum ipsius trianguli esse a qua- summae duorum air, & a ri, internorum Oppositorum, id comuniter addito angulo nra, summa anguloru gar, & nra, equalis summae trium anguloru air, ari, di arn, seu sum- tuorum air, & trn, pone d O angulum trn, loco duorum& arn, partes ipsius, quae componunt ipsum totaliter a sed na duorum atr, ex trn, est minor duobus rectis, nam cum sit reeius trn, est acutus per sextam huius quapropter e- summa duorum gar, & nra, internorum dextrorum linea-
datarum non aequid istantium est minor duobus rectis. Et si ato r, ducta perpediculari ad rectam pg, ipsa caderet ar parta te dextra ab a , &esset ri, alterius figit-
rae, tunc considerato triangulo atr, re
dictangulo, habente latus at, productum in g, angulus gir, externus erit aequalis duobus internis tar, & tra, ideon uniter addito angulo trn, sentina trium tar, tra,&trn, o duorum tar, & arn, posito a , loco duorum tra,
n, partes ipsius) erit aequalis summae duorum gir, & tria, mama horum est minor duobus rectis sciam gir, sit rectus perructionem, & ideo trn, acutus per sexta huius quapropter D etiam
29쪽
25 etiam summa duorum tar, & a r m interuorum dextrorum duarum datarum linearum non aequid istatium se se appropinquantium a dicta parte dextra erit minor duobus rectis. Et si a puncto r, ducta perpendiculari ad rectam pg, peruenis letin a, sciliceo, quod
eadem secanx ar, esset perpedicularis ad pg si tunc, quia: per sex talia huius existente angulogar, recto, angulus arn, esset acutus scum
. ex hypothesi datae non aequid istantes se se ap- propinquent ab ipsa parte clare perspicitur summam ipsorum duoru angulorum gar, & aria, scilicet unius p di recti , & unius acuti essem in orcin duobus rectis. A Vel quando ar, sit perpendicularis ad recta P ga. in scilicet ad unam duarum datarum nona quid iis stantium scilicet existente angulo gar, rectos tunca puncto a , ducta perpendiculari ad rectam qn, quae perndnam huius) secabit angulum gar, scilicet cadet a parte dcxtra ad puncto r, in qua rectae non aequi distantes se se appropinquant, i
erit breuior recta a r & sit a m , quod angulus anan, erit rectus, S cuin sit externus trianguli arm , habentis latus r ira, productuin r, erit aequalis summae duorum internorum opposit mira ram,& arm , ideo communiter addito angulo gam, qui eli acutus, scilicet pars recti gar, summa ab una parte, quae est trium angulorum arnis ram, & gam, S ideo duorum arna,& gar, p 'sto gar, loco duarum eius partium ram, S gam, quae integre ipsum componunt erit aequalis summae duoru anan, & gam, sed haec summa est minor duobus rectis, quia unus eorum a m n, est rectus, alter vero gam, acutus, quare similiter summa illor u gar, de arn, internorum dextrorum, linearum datat ii non aequid istat lium erit minor duobus rectis, iSed facile etiam veritas eiu silcm primae partis decimae Propositionis ostendi poterit, hoc modo. Quia duae datae non aequi distantes pq, & q n, sectae ab ar, sese appropinquant a parte gn, ipsae considerentur productae, quantum sufficit, ut se
de considerato triangulo' appropinquantes tande concurrat,
30쪽
producto h p,3 vel in q, vel lateret a r, proaucto in f, vel ponamus h a, in p; sequitur, quod angulus externus paranator angulo arb, interno opposito, Vel ob hoc , quod angus ab , aequaIis angulo par, per i s. primi sit maior dicto , quapropteUaddito communiterangulo bar, summa duo-i par, & bar, Ve I duorum sab, & bar, quae summa estialis duobus rectis per i 3. primi erit maior summa duorumr, & arb, scilicet sequitur, quod summa horu gar, & a rn imorum dextrorum sit minor duobus rectis, sed quattuor interia mulsumpti, sunt aequales quattuor rectis se ideo summa duorum quorum par, & qra, qui sunt a parte sinistra, a qua fineae da emotiores evadunt erit maior duobus rectis..unς suod angulus internus a parte exua,in qua duae datae noni distantes supponuntur ad inuicem appropinquari, sit minor in o ipsi coalterno ab altera parte, scilicet, quod a sp, sit minorato has. Vel quod mas, simiuor angulo aisr, ficile pro-ir,quia cum ex demonsitatis notum sit, summam duorum interim dextr rum mas, sp, esten inyremGuobus rectis, & i 3. primi luminam duorum ma S, C has, ςsse aequ Iem
liquus angulus as P, ab is v g Vna parte, erit mi porre'
niliter quia summa duorum rSa, & as p. est arq is duobus s, ideo maior summa duorum mas, & asp, quae est miluobus rectis, de to ab utraq; parte communi angulo a sp, .nebit angulus usa, maior angulo ma S, seu mas, minorio rsa, ipsi coalterno ab alia parte sinistra. Eode modo pe jum ficequenalibet angulorum int norum dextrorum, scilicet ite, in qua duae datae non aequid istantes se se appropinquantrem interno sibi orepsin ah qadqm Earte, quia quo ad in a s, num superiorem dextrum , summa ei tali cum angula a S P, essi'. r duobus rectis, & ideo minor sumna a.du serui I. a SP, .p iii, si maifalis duobus rectis , unde deetripfoci muni angit so a s p ;m a s , internus erit minor sola P S u, e X teruO I Vel quia in a f., inor angulo asr, sbico alterno, erit etiani inor angulo iis p. li per i s. primi dicto coalterito a s r. Idem dicitur de an