Euclidis Elementorum libri sex. Ex traditione Federici Commandini

291쪽

Liber sextus. autem , & quadratum ex BC, ad quadratum ex FAduplam proportionem eius, quam BC ad ΒΑ ; ergo,& ut figura quae ex BC ad eam , quae ex ΒΑ , ita quadrarum ex BC ad quadratum ex BA; eadem rati ne, & ut si gura, quae ex BC ad eam, quae ex CA, it

quadratum , quod ex BC ad illud , quod ex in quadratum, & ut igitur sigura quae ex BC ad eas, quae ex BA, AC , ita quod ex BC quadratum ad quadrat , , quae ex BA, Ac; ) quadratum autem , quod ex BC aequale est eis, quae ex BA , AC quadratis; iss) ergo, di figura , quae fit ex BC est aequalis eis, quae ex EA, AC fiunt, similibus,& similiter descriptis; quod

ostendere oportebat.

Theorema a I. Propositio Si duo eriangula componarur ad anum angulum , qua duo latera duobus lateribus proportionalia habeant , ita ut homoleta Iat rati ipsorum etiam sine parallela, reliqua triangulorum latera in directumsibi iHA constituta erunt.

SInt duo triangula ABC , DC Ε, quae duo later BA, AC, duobus lateribus CD. DE proportionalia habeam , ut sit sicut BA ad AC; ita CD ad DE; arallela autem fit AB ipsi DC ,& AC ipsi DE, Dic Cipsi CE in directum esse. QEoniam enim ΑΒ p rallela est DC, di in ipsas incidit recta linea AC; erut anguli alterni BAC, ACD squales inter se se. si

292쪽

zadem ratione, fle anugulus CDE aequalis est angulo ACD ; quare , & BAC ipsi CDE

est aequalis . de quo ni Aduo tria gula sui ABC, DCE , uitum angulu , qui ad A , uni angulo, qui ad D aequalem ha bentia , circum aequales autem angulos latera proportionalia , quo sibit, ut BA ad AC, ita CD ad DE; erit triangulum ABC triangulo DCΕ aequiangulum; a ergo ABC angulus est aequalis angulo DCE; ostensus autem est , & angulus ACD aequalis angulo BAC; totus igitur ACB duobus ABC, BAC est aequalis; communis apponatur ACB ; ergo anguli ACE , ACB angulis FAC, ACB, CBA aequales sunt. Sed BAC, ACB, CBA anguli duobus rectis 1 unt aequales; . di auguli igitur ACE , ACB duobus rectis aequales erunt; itaque ad quandam rectam lineam AC ,& ad punctum in ipsa C duae rectae lineae BC, CE non ad easdem partes positae angulos, qur deinceps sunt ACE, AC B duobus rectis aequales effficiunt; ergo BC

ipsi CE in directum erit. 3 si igitur duo triangula

componantur ad unum angulum , quae duo later duobus lateribus proportionalia habeant, ita ut i, mologa latera ipsorum etiam sint parallela ; reliqua triangulorum latera in directum sibi ipsis constituta erunt. Mod demonstIare oportebat. The

293쪽

Thιο remal 3. Propositio 33. eircutiis aqualibus angua Iti eandem habent proportionem , quam circumjectu, tia, quibus insistunt, siue ad centra , siue ad circumserentias insistant. Ihue autem, sectorei, quippe qu ad centra sunt consiι tuti.

SInt aequales circuli ABC, DEF; & ad centra quidem ipsortim G, H sint anguli BGC,EHF, ad circumferentias vero anguli BAC, EDF. dico, ut circ ferentia BC ad EF circumferentiam, ita esse.& BG angulum ad angulum EΗF, ei angulum BAC ad ano ultim EDF : Sc adhuc sectorem BGC ad EHF secto. rem. ponantur enim circumferentiae quide BC aequa-Ios quotcumque deinceps CK , KL ; circumferentiae . vero EF , rursusnquales quotcumque FM, MN: Miungamur GK, GL, ΗΜ, ΗN; quouiam igitur circumis feratiae BC, CK, KL inter se sunt aequales , & anguli BGC, CGK , Κ GL inter se aequales erunt. I quo- iuplex igitur est circumferentia BL circumferentiae BCsci a I.temri

294쪽

Euclidis Elom. BC, totvpIex est, & BGL angulus anguli FG C; eade atione , & quotuvlex est circumferentia NE circit- serentiae EF, totuplex, Ac ΣΗN angulus anguli ΕΗF. Si igitur aequalis est BL circumferentia circumferentiae EN , & angulus BGL angulo EHN erit aequa- , iis , dc si eireumferentia BL maior est circumferen-' tia EN, maior erit,& BGL angulus angulo EHN , res minor, minor. quatuor igitur existentibus magnitudinibus, duabus nimirum circumferentijs B LE; in duobus angulis BGC , EΗF , sumpta sunt circumferentiae quidem BC , & BGC anguli aeque multipli- . cia, videlicet circumferentia BL, dc BGL angulus a circumferentiae vero EF , & EHF anguli aeque multiplicia, nempὲ ei reum ferentia EN,εt angulus EΗN; atque ostensum est si circumserentia BL superat circumferentiam EN ,& EGL angulum superare anguinlum EΗN. dc si aequalis, aequalem , & si minor, minorem esse. ut igitur circumferentia BC ad DF cise cunilarentiam,ita angulus BGC ad angulu EHF. a j

uinti . . imae

295쪽

Liber sextus.

sed , ut BGC angulus ad angulum EΗF , ita: 1 ulu BAC ad EDF angulum; 3 uterque enim utriusque inest dupliis; & ut igitur BC circumferentia ad

circumfer etiam EF, ita & angulus BGC ad angulum ΕΗF, & angulus B AC ad EDF angulum a quare trias circulis aequalibus anguli eandem habent proportio,. nem,quam circumferentiae, quibus insistunt, siuE ad centra, siue ad circumferentiam insistant. Dico insuper, &ut BC circumferentia ad circumferentia EF, ita esse sectorem GBC ad HEF sectorem. iungantur enim BC,CX, & sumptis in circumferentiis BC,CK: punctis X,O, iungantur,& BX, XC, CO,ΟΚ; itaquα quoniam duae BG,GC duabus CG,GΚ aequales sunt,

A. D

& angulos aequales continent; erit, dc basis BC basi CK aequalis; aequale igi rur est, dc GBC triangulun triangulo GCK. s quoniam circumferentia BC

296쪽

circumferentiae aequalis,&reliqua cJrcumn.rentia, quae complet totum circulum ABC aequalis est reliquae: quae eundem circulum complet;quare.&angulus B C angulo COR est aequalis; similis igitur est BXC portio pGri igni COR , & sunt in aequalibus rectis lineis BC, CK, quae auteni in aequalibus rectis lineis similes circulorum portiones, de inter se aeqRa-Ies sunt; ergo portio BXC est aequalis portioni COR: est autem in BG C triangulum triangulo CG aequale,& totus igitur sector BGC toti sectori CGΚ aequalis erit: eadem racione, dc GKL iactor utrique ipsoru GKC, GCB est aequalis, tres igitur sectores BG CGL, KGL aequales sunt inter se. Similiter, de sectores HEP, Η Μ N inter se sunt aequales; quo' tu plex igi ure it 'LB circumferentia circumferentiae BC, toturie X GBL sector sectoris G i eadem - ratione,& Quoluplex est circumferen 1 a NE circum

erit clae EF to: uplex est,& ΗΕN sector ssctoris HED iquare si circumserentia BL circumferentiae E Nest

297쪽

circumferentia BL superat circum dirent m M sa. perat , se hor fect cre in nor. quatuor igitur ἐκ istentibus magnitudinmuss,e duabus quidem BG, EF circusa ferratico duob is yerliseistoribus siti atqi multiplieia: circumferent lae quidem BC,& si sectoris, ircum-tia stiperat circvinferentiam E tem*GL ate sectorem Axisquaris a qualem inar minorema est io ur , ut Esi hircumlaien