장음표시 사용
281쪽
Liber Sextus. et 49ttiangulum ΚGH ad EF parallelogrammum I est au- , tem triangulum ABC aequale parallelogrammo aequale igitur est , & ΚGH triangulum paralleIog-mo EF. Sed EF parallelogrammum aequale est Iecti-t lineo D; ergo,& triangulum ΚGH ipsi D est aePale, est autem ΚGH simile triangulo ABC. Dato igitur rectilineo ABC simile, & alteri dato aeqi Ie Ide inconstitutum est ΚGH. Quod facere oportebat.
Theorema Io. Propositu 26. Si a parallelogramo paralle lueram si auferatursimile toti,nem ipsi angulubalens,eirea eande diametrum
A. Parallelogrammo enim A s ti
ABCD parallelogramuAF auferatur , simile ipsi ABCD , dc similiter positu comunemque ipsi angulum habens DAB; dico parallelogramum ABCD circa eadem esie . diametrum parallelogrammo
AF.N5 enim:sed si seri potest, Psu i psorum diameter AΗC , de proaueatur GFuis ad H ρ ducaturque per Η alterutri ipsarum AP νβia sparallela ΗΚ. Quoniam igitur circa eandem diametrum est ABCD parallelogrammum parallelogramo AG ;&erit parallelogrammum ABCD parallelog azmo ΚG simile; si ergo,ut DA ad AB, ita GA ad AK. α ὶ est autem , & propter similitudinem parallel ρ ramorum ABCD, EG, ut DA ad AB, ita GA ad Ag,
282쪽
& ut igitur GA ad ΑΕ, ita GA ad AK. Quod caGA ad utramque ipsarum ΑΚ . AE eandem propor tionem habeat , erit ΑΕ ipii AK aequalis, majori, quod fieri non potest; non igitur circa eandem diametrum est ABCD parallelogrammum parallelogrammo AH. Quare circa eandem diametrum erit ipsi AF . Si igitur a parallelograinino parallel grammum auferatur simile toti, & smiliter positu, communem ipsi angulum habens,circa eandem di auraetrum est toti . Quod demonstrare oportebat'
Theorema Io. Propositio 27. Omnium paralleloeramma rum ad eandem rectam lineam applicatorum, is desicietium figuris parallet ramis similibus, o similiterpositis eo quis . dimidia describitur,maxim si est, quod ad dimidiam es applieatum smile existens defectui.
turque bifariam in C ι& ad AB rectam linea applicetur parallelogramma AD deficiens figura paral- sit elogramma DB, simili, &similiter posita ei, quae ladimi 3ia ipsis AB descripta est hoc est a CB. Dico omnium parallelogrammorum ad recta lineam AB applicatorum ,&deficientium figuris parallelogrammis similibus,& similiter positis ipsi DB, ma almum esse AD. applicetur enim ad rectam lineam ΑΒ ea
283쪽
rallelogrammum AF , defieiens parallelogra-isa FB simili,& similiter posita ipli DB, di eo AD pa rallelogramnum parallelogrammo AF maius esse, Quoniam enim simile est parallelogrammum DB parallelogrammo FB, circa eandem diametrum sunt. et Ducatur eorum diameter DB ,εc describatur figura; quoniam igitur CF est aequale ipsi FS . et
commune apponatur FB; totum igitur CH toti RE est aequale.Sed CH est aequale CG,quoniam,& recta' linea AC ipsi CB; 3 ergo , de GC ipsi ΕΚ aequale , erit; commune apponatur CF; totum igitur AF est aequale gnomoni LΜN, quare, & DB hoc est AD parallelogrammum , parallelogrammo AF est maius a Iomnium igitur parallelogrammorum ad eandem rectam lineam applieatorum , de deficientium figuris parallelogrammis similibus , de similiter positis et , ruae ii dimidia deseribitur, maxiesum est, quod adimidia est applicatu . Mod demonstrare oportebatis i Ex antecedente .ca 43, primi. 3 36.primi. , Alithr. Sit .n. rvrsiis AB II E G s secta bifariam in pucto C, di applicatum si AL,deficiens figura LE , de rursus ad rectam lineam AB applieetur parallelogrammuAE defieiens figura EB simili, de similiter posita ei, quae dimidia AB deseri- vitra,videlicet ipsi I. . Dico Drallelogrammum ALquod
284쪽
quod ad dimidiam est applicatum malus esse parallelogrammo AE . Quoniam enim simile est EB ipsi LB, circa eandem sunt diametrum ; a sit ipsorum diameter EB, de describatur figura . Et quoniam LFaequale est LΗ , etenim FG ipsi GH est aequalis: et erit LF ipso EX maius; est autem LF aequale DL. 3
majus igitur de DL ipso EΚ : coinu ne appCnatur KD s ergo totum AL toto AE est majus , quod oportebat demonstrare.
Probiam . Propositia 28. Ad datam rectam linea dato rectilineo aquaue parallelogrammum applicare , desiciansfigura paratis logramma, qua σmiliasit alteri da. ra oportet autem datum re itineum , eui aquale ap. plicandum est, non majus esse eo, quod ad damidiam,
- applicaturisimilibus existentibus defectibur, ct ea quia '' a dimidia, ct eo, cui oportet simile descere. SIrdata quidem recta linea AB: datum autem rectilineum, eui oportet aequale ad datam recta, lineam AB applieare, sit C, non maius eRistens eo, quod ad dimidiam applicatum est, similibus existetibus defectibus t eui autem oportet smile deficerest Di oportet ad datam rectam lineam AB , dator ctilineo C aequale parallelogrammum applicare,de-aiciens figura parallelograma, quae similis sit ipli D.
secetur AB bifariam in E , & ab ipsa EB deteribaturci mile,& simili Fer positu ipsi D; ci quod sit EBFG,
285쪽
nationem , & si quidem AG sit quale C, factum
iam erit, quod proponebatur: etenina ad te istam lineam AB dato rectilineo C aequale parallelo. grammu AG applicata est , deficiens figura parallelogramma GB, ipsi D simili . Si autem none1t aequale, erit HE majus quam C; atque est HE aequale GBi ergo, &GB qua C est malus; quo aute GR uiperat C, ei eXee L
sui aequale, ipsi vero D simile, & similiter postu id econstituatur KLMN; sa) sed D est simile GBi quare,& ΚΜ ipsi GB simile erit; sit igit ut recta linea quideEL homologa ipsi GE, LM vero ipsi GF; & quoniam aequale est GB ipsi C , ΚΜ , erit GB ipsi ΚΜ majus ;masor igitur est recta linea GE ipsa EL ; & GF ipsa a LM; ponatur GX aequalis KL, & GD aequat .s LM,&compleatur X GOP parallelograni una ; aequale igitur est, & simile GP ipsi KM; sed ΚΜ sim te est GB; ergo. di GP ipsi GB est simile, a in circa eardem igitur est diametru GP ipsi Gsi sit ipsorum diameter GPs,
286쪽
Euendis Elams .& figura describatur; itaque quoniam CB est aequale ipsis CA M, quorum GP elt aequale erit reliquus gnomon aequalis reliquo C, di quoniam OR est aequale Xs, commune apponatur PB; tum igitur, OB toti X B est aequale, sed X B est aequale TL,quoniam,& latus ΑΕ lateri EB; 6 quare,dc ΤΕ ipsi OB aequale ; commune apponatur X Sir ergo tot nTs est aequale tol ignomoni Υd, P. At ΥΦ V gnomon ipsi Costentus est aequalis; ec T, te tur isti C aequa- . Ie erit. inare ad datam rectam lineam AB dato rectilineo C aequale parallelogrammum TS applicatuest , deficiens figura parallelogramma PB ipsi D simili, quoniam, PB simile est ipsis Quod saee-xe oportebat. --ο
Problema cy. Propositio 29. c. a datam re Fam lineam dato rectilιneo aquale paralletigrammum applicare , excedent figura parallelogramma, quasimilia sit alta. dii data.
SIt data recta linea AB, datum vero rectilineuma cui oportet aequale ad ipsam AB applicare, fit C, cui autem oportet simile excedere, Di itaque oportet ad AB rectam lineam dato rectilineo C aequale parallelograminum applicare , excedens figura parat. lelogramma simili D. 5ecetur AB bifariam in E , atoque ex EB ipsi D simile, & similiter positum paralle-
287쪽
L ν Sextust BR C, aequale, ipsi vero similiter sc filum idem constititatur
GH. a 9 Simile igitur est GH ipsi FB . Sitque
qui de latus homo Iogum lateri FL, G vero ipsi FE. Et quoniam parallelogrammum GH maius est ipso FB, erit recta linea 8 H maior quam FL,S I Gmaior quam FE; producantur FL, FE, & ipsi quidem sin aequalis sit FLΜ, ipsi vero IS qualis FEN,& compleatur ΜN pa
ΜN aequale est .& simile ipsi GH. sed GH est simile EL, dc ΜN igitur ipsi EL simile erit; 3 2 ae propre-
Ie .l circa eandem diam trum est EL ipsi ΜN. Ducatur ipsorum diameter FX,& figura describatur-Itaque quo ni am GH ipsis EL, C, est aequale, sed GH est aequale ΜN erit, , ΜΝ aequalis ipsis EL, C; comune auferat M EL. reliqaus igitur gnomoria ipsi C est aequalis. Et quoniani AE est aequalis EB aequale eri , & AN p irat L logrammum parallelogra-mo NB . ho . est ipsi Lo; commune apponatur EXr
288쪽
EueIIdis Elam. totu igitur AX aequale est gnomoni ΦΥΦ . sed gnonion est aequalis C; ergo, & AX ipsi C erit aequa te. Ad datam igitur rectam lineam AB dato rectili. neo C aequale parallelogrammum applicatu est A X, excedens figula parallelogramma PO ipsi D smili,
Problenna Io. Propositio δ Datam rectam lineam ter. minatam extrema, ac media ratione secare.
terminata AB;oportet ipsa AR extrema, ac med a ratione se care. Describatur enim
r & ad AC ipsi BC aequale parallelogia' C F A s
excedens figula AD ipsi BC simili. r Quadratum
autem est BC; ergo , & AD quadratum erit. Et quoniam BC est aequale CD ; commune auferatur CE ;reliquum ititur BF reliquo AD est aequale: est aut e ,& ipsi aequi angulum; ergo ipsorum B F, AD laterata, quae circum aequales angulos, ex contraria parte sibi
ipsis respondent, 3 ut igitur FE ad ED, ita est AE
289쪽
ad EI: est aut e PE aequalis AC, hoe est ipsi AB,
& ED ipsi AE; quare,ut BA ad AE, ita AE ad EB. Sed AB major est, quam AE ; ergo AE quam EB est major. s ) Recta igitur linea AB extrema, ac media ratione secta est in E ι dc major iasius portio est AE , quod facere oportebat. . ALIT E R. sit data recha linea AB; oportet ipsa 'AB extrema, ac media ratione secare. Secetur enim AB in C , ita ut rectangulum , quod continetur AB , AC aequale sit quadrato, ex AC. 6 Quoniam igiatur rectangulum ABC aequale est quadrato.x AC, erit, ut BA ad AC, ita AC, ad CB, ergo AB recta linea extrema, ac media ratione selia est; Mod f
Theorema a I. Propositio 31. In rectangulis triangulis gura, qua sita latere rectum angulum subtendente , aqualis est eis , qua . lateribus rectum angulum continentibu fiunt, similibus, ctsmiliter deseriptis. SIt triangulum rectangulum ABC, rectum habens angulum BAC. Dico figura, quae fit ex BC aequalem esse eis, quae ex BA, AC fiunt, similibus,&Amiliter descriptis. Ducatur perpendicularis A D. Quoniam igitur in triangulo rectangulo ABC ab angulo recto, qui est ad A ad BC basim perpendicularis ducta est AD, erunt triangula ABD, ADC, quae sunt ad R per
290쪽
' . Euelivia Elam. perpendicularem milia toti ABC , dc inter s) Et quoniam simile est ABC triangulutri,
gulo ABD , erit . ut CB ad BA, ita AB ad BD; quod cum tres rectae lineae propor tionales sint , ut prima ad tertiam, ita erit sigures , quae fit ex prima ad eam , quae ex secunda , similem,
di similiter descriptam. a P ut igitur CB ad BD ,
ita figura , quae fit ex CB ad eam , quae ex BA , simi- Iem , & similiter descriptam . Eadem ratione , dc ut BC ad CD. ita figura, quae fit ex BC ad eam , quae ex CA; quare, dc ut BC ad ipsas BD , DC , ita figuraia , quae ex BC ad eas, quae ex BA,AC, similes,4 similiter descriptas; aequalis autem BC ipsis BD, DC; ergo 'figura. quae fit ex BC aequalis est eis, quae ex BA,AC fiunt, similibus, & similiter descriptis. In rectanguis lis igitur triangulis, figura, quae fit a latere rectum i angulum subtendente , aequalis est eis, quae a lateri- ibus rectum angulum continentibus fiunt similibus, di similiter descriptis ε, quod ostendere oportebat. ALITER. oniam similes figurae sunt in du- pla proportione laterum homologorum; c 3 figura, quae sit ex BC ad eam , quae ex BA duplam proportionem habebit ejus , quam habet BC ad BA ; habet