Euclidis Elementorum libri sex. Ex traditione Federici Commandini

271쪽

lum ad triangulum FGL, ita triangulum EBC ad triangulum LGH, di adhue triangulum ECD ad ipsa LHK : erit, & ut unum antecedentium ad unum consequentium , sic omnia antecedentia ad omnia consequentia, 69 ergo, ut triangulum ABE ad tria-gulum FGL,ita ABCDEpolygonum ad polygonum FGHΚL sed ABE triangulum ad triangulum FGL duplam proportionem habet eius , quam latus homologum AB habet ad homologum latus FG t fimi. Ita enim triangula in dupla sunt proportione laterii

homologorum; ergo, di ABCDE polygonum ad

polygonam FGΗΚL duplam proportionem habet ejus , quam An latus homologum habet ad FG homologum latus. Similia igitur polygona in similia triangula dividuntur, di numero aequalia, de homologa totis , di polygonum ad polygonum duplam ha bet proportionem eius , quam habet latus homologa ad homologum latus . QMd oportehat demonstrare. Eodem modo , di in similibus quadrilateris ostendetur ea esse in dupla proportione laterum homologorum; ostensum autem est, dc in triangulis,

COROLLARIuΜ PRIMu M. i AErgo unigeris similes retrilineae figurae . inter se sui in dupla proportione homol .gorum laterum, dc si ipsarum ΑRFG tertia i proportionalem sumamus, quae sit X;habebit AB ad X duplam proportione ejus, qua

G. X

272쪽

ad polygonum , εο quadrilaterum ad quadri Iatoum duola in proportionem ejus, quam latus h mologum habet ad homologum latus, hoc est AB ad FGi, atque ostensum est hoc in triangulis.

V niverse igitur manifestum est, si tres rectae nroportion les fuerim, ut prima ad tertiam , ita esse ili in , quae fit, prima ad eam, qutata secunda, siti item, Ec similiter descriptam ir quod ostendet ioportebat. . Ostendemus etiam aliter ιθ expediti t homoto Maeo

rurius polygona ABCDE, FGH XL.&iungatur, 'E,EC,GL,LH . dico, .ut AB Etriangulium ad trian gulum FGL , ita esse triangulum FBC ad triangu sum LisH, α - triangulum CDE ipsum HKLs quoniam e iam minite est A BE triangulum triangulo FGLi habebit triangulam ad trianguluit, FGL du . lam pro

273쪽

Liber Sexdius. a Iratione, εctriangulum BEC ad GLΗ triangulum duplam proportionem habet ejus, quam BE ad GL ; est igitur , ut ABE triangulum ad triangulum FGLitata triangulum BKCad GL H triangulum ; a rursus quoniam simile eis triangulum EB C triangulo LGH, habebit L BC triangulum ad triangulum LGH dupi proportionem ejus , quam recta linea CE habet ad rectam EL; eadem ratione , dc ECD triangulum ad triangulum L HS duplam proportionem habet ejus , quam C E ad ΗL; est igitur , ut triangulum BEC ad triangulum LGH, ita CED triangulum ad trianguluLHK; ostensum autem est , ut EBC triangulum ad triangulum LGH, ita tr. agulum ABE ad triangulum FGL; ergo,& ut triangulum ABE ad triangulum FGL , ita triangulum BEC ad GLΗ triangulum , dctriangulum ECD ad ipsum L HK ι & ut istur unum ante cc dentium ad unum consequentium, sic omnia antecedentia ad omnia coii sequentia, 3 dc reliqua, ut in prio ii demonstratione. Quod ipsum demostrate

oportebat.

Theorema I s. Propositis an eidem rectilineo sine sim ιlia, edi inter se si lia sunt.

C It enim utrumque rectilineorum A , A fim IIe r se ctilineo C i, duo , di rectilineum A rectilineo B simile esse . Qitoniam enim simile est A rectilineum iecti Iraeo C , di ipsi aequi angulum erit, di circumia

274쪽

a di Euclidi 1 Euan. sRquales angulos latera habebit propor- ' rionalia. Rursus qllo

les angulos laterαι Proportionalia habebit. Utrumque igitur rectilineorii in A, B ipsi C aequi angulatii est , circum aequale angulos latera habet proportionalia. inare, & rect lineum A ips B est aequi angulum, lateraque cireunaequales angulos proportionalia habet; ac proptere A ipsi B est si inite. Gd demonstrare oportebat. Theorema I6. Propositio a I. Si quatuor recta linea pro Pprtionaleι fuerint, de rectilinea, qua ab inii fiunt, milia, i similitar deseripta proqortionalia erunt . Ex si rectilinea, qua ab ipsis fiunt, similia, ct similiter de seripi. proportionalia uerιnt , di ipsa recta linea pro

portronales erunt.

Sint quatuor rectis lineae proportionales AB , CD, EF, GΗ , & ut AB ad CD. ita sit EF ad GH ; describanturque ab ipsis quidem AB, CD similia, di similiternosita rectilinea ΚΑΒ, L CDr ab ipsis vero EF, GH deseribantur ri 'ilinea similia . similiterposita ΜF, NH. si 3 Dido, . t KkBrectilineum ad rectilineum L ita esse rectilineum με ad ipsa in

275쪽

Liber Sextus NH rectilineum. sumatur enim ipsarum quide ΑΒ, Co tertia proportionalis X; ca ipsarum vero EF, GH tertia proportionalis Oi & quoniam st, ut AB ad CD, ita EF ad GH : ut autem CD ad

X ita GH ad os erit exaequali, ut AB ad X, ita EF ad o. Sed, ut AB quidem ad X, ita est rectilineum K AB ad LCD rectilineum, 3 ut autem

EF ad Ο, ita rectilineum ΜF ad rectiIineum NH. ut igitur KAB rectilineum ad rectilineum LCD, ita est rectilineum ΜF ad NH rectiline viri. Sed sit, ut XAB rectilinelim ad rectilineum LCD, ita rectilinea ΜF ad rectilineum NH. Dico, ut AB ad CD, ita esse

EF ad GH; fiat enim,ut AB ad CD, ita EF ad PR, o

di deteribatur ab ipsa PR alterutri rectilineoru ΜF, NH simile,& similiter positum rectilineum SR.Qu9niam igi ur est, ut AB ad CD, ita EF ad PR,& deseri pia sunt ab ipsis quidem AB, CD similia, de similiter ponta ΚAB, LCD rectilinea, ab ipsis vero EF,PR similia,& similiter posita rectilinea ΜF, sR, erit, ut

276쪽

Euelidis Elem. N Fad SR rectilineum , ponitur autem , dc ut rectili. Deum ΚΑΒ ad re isti lineum L CD , ita MF re isti lineuad rectilineum N H . ergo , ut rectilineum MF ad rectilineum NH, ita ΜF rectilineum adrectili neu S R. Quod eum rectilineum MF ad utrumque ipsorum N H , S R eandem habeat proportionem , erit rectili. neum N H ipsi Sp. aequale ; 6 est autem ipsi simile, similiter po sinu. Ergo GH est aequalis P R. Et quoniam, ut AB ad CD, ita est EF ad PR, aequalis aurem P R ipsi GH; erit, ut AB ad CD, ita EF ad GH. Si igitur quatuor rectae lineae proportionales fuerint , rectilinea, quae ab ipsis fiunt, similia,& similiter descripta proportionalia erunt, & si rechilinea, quae ab ipsis fiunt , similia , similiter descripta proportio. nalia fuerint, dc ipsae rectς line e proportionales erat. Q d oportebat demonstrare.

tam .

SInt aequi angula parallelogramma AC, CF aequalem habentia BCD angulum angulo ECG. Dico parallelogram naum AC ad parallelograminum CF proportione in habere compositam ex lateribus, vis delicet eo inpositam ex proportione,quam habet FC ad CG,& ex proportione quam DC habet ad CE.

Ponatui enim, ut BC sit in directum ipsi CGi ergo,&

277쪽

Liber Sextus.

DC Ipsi CE In directum erit: & compleatur DG paralle

cta linea quaedam Κ, di fiat, ut BC quidem ad CG, ita Κ ad L, ut autem DC ad CE , ita Lad Μ; proportiones igitur ipsis X ad L,& L ad Μ eaedem sunt,

quae proportiones lateriim , vi-

- delicet BC ad CG , & DC ad CE. Sed proportio Κ ad Μ composita est ex proportione Κ ad L, & proportione L ad Μ qua ' re , Et Κ ad Μ ; proportione 3 habet ex lateribus compositam . Et quoniam est , ut EC ad CG , ita AC parallelogrammum ad parallelo grammum C Η; 39 sed, ut BC ad CG , ita Κ ad L eerit, & ut Κ ad L, ita parallelogrammum AC ad CH parallelogrammum ε Rursus quoniam est , ut DC ad C Ε , ita CH parallelogrammum ad parallelogr1mum CF : ut autem DC ad CE , ita L ad Μ , & ut Lad Μ, ita erit parallelograminum CH ad CF parallelogramum. Itaque cum ostensum sit, ut K qui dem ad L , ita AC parallelogrammum ad parallelogrammum C Η: ut autem L ad Μ, ita parallelogramnium CH ad CF parallelogrammum ; erit ex aequali, in X ad H, ita AC parallelogrammum ad ipsum CF;

278쪽

246 Euelidis Elam. habet autem K ad M proportionem ex lateribus co- positam; ergo, dc AC parallelogrammum ad parallelogrammum CF proportiovem habebit compositam ex lateribus; aequiangula igitur parallelogrammata Inter se proportionem habent ex lateribus composi, tam . Mod oportebat demonstrare. Theorema I 8. Propositio MMOmnis paraltilagrammi, q&aeirea diametrum fune parallelogramma , er toti , O inter se similia sunt.

Six parallelogram.

mum ABC D,cuius diametea AC r circa diametrum vero AC parallelogramma sint EG,ΗΚ. Dico parallelogramma EG, ΗΚ , Hefoti ABCD-inter se similia esse. Quoniam enim uni laterum trianguli ABC, v idelicet ipsi BC parallela ducta est EF, erit, ut BE ad EA , ita CF ad FA. r Rursus quonia uni laterum trianguIi ACD. nemph ipsi CD ducta est parallela FG, ut CF ad FA, ita erit DG ad GA; sed, ut CF ad FA; ita ostensa est, de BE ad EA ; ergo , & ut BE ad EA . ita DG ad GA , comporiendoque, ut BA ad AE, ita DA ad AG, di permutando, vi BA ad AD,ita EA ad Ain parallelogrammorum igitur ABCD,EG latera , quae circa

279쪽

' communem anguIum BAD proportionalia sunt. Et . quoniam parallela est GFipli DC , angulus quidesnΑGF est aequalis angulo ADC, 3 angulus vero GFAaequalis angulo DCA angulus DAC est communis duobus triangulis ADC, AGF; erit triangulum ADC triangulo AGF aequiangulum. Eadem ratione, octriangulum ACB aequi angulum est triangulo AFE; totum igitur parallelogrammum ABCD parallelogrammo EGeu aequiangulum; ergo , ut AD ad DC, ita AG ad GF, ut autem DC ad CΑ , ita GF ad EA, & ut AC ad CB, ita AF ad FE, dc pratterea,ut CB ad BA . ita FE ad EA. Itaque quoniam ostensum est, ut DC ad CA,ita esse GF ad FA, ut autem AC ad CB, ita AF ad FΕ; erit ex aequali, ut DC ad CB, ita GF ad FE ; ergo parallelogrammoι una ABCD , EG porportionalia sum latera, quae circum aequales angulos,ac propterere1 parallelogrammum ABCD parallelo grammo EG est simile. Eadem ratione, & parallel .erammuin ABCD simile est parallelogrammo ΚH. Utrumque igitur ipsorum EG, ΗΚ parallelograminniarum parallelogrammo ABCD est similei quae au--Iem eidem rectilineo sunt similia . & inter se similia sunt stuparallelogrammum igitur EG simile est parallelogrammo ΗΚ. Quare omnis parallelogrammi, quae circa diametru sunt parallelograma, di toti,& inter se sunt similia . QEod ostendere oportebat.

Problema I. Proposi=io et s. Dato rectilineo simileri Hais aquale idem σνnstituere.

280쪽

Sit datum qui .

de re illi neu, cui oportet simile constituere ABC, cu autem aequalest D . oporter ips

D aequale idem constituere; applicetur enim ad re istam quidem lineam BC triangulo ABC aequale parallelogrammum BE; r ad recta in vero CE applicetur parallelogrammum CΜ aequale ipsi D, in angulo FCE , qui CBL angulo est aequalis; in directum igitur est BC 'ipsi CF, & LE ipsi EM. a Sumatur ipsarum BC , CF media proportionalis GH, in & ab ipsa GH describatur triangulum ΚGH si mile , & smiliter positum triangisso ABC. P Et quoniam est, ut BC ad GH , ita GH ad CF , si autem tres rectae lineae proportionales sint, ut prima ad reretiam, ita est figura , quae fit a prima , ad eam , quae , secunda, fimilem , 3t smiliter descriptam, erit, ut BC ad CF, ita ABC triangulum ad triangulmnia X GH; sed ,&ut BC ad CF, ita parallelograminu Egad EF parallelogramisum, & ut igitur triangulum ABC ad triangulum ΚGΗ , ita BE parallelogramma ad parallelogrammum EF. ι 6' Quare permutandos, ut ABC triangulum ad parallelogrammum BE , it

trian.