장음표시 사용
261쪽
Liber Sextu 3 . - 229 ABC triangulum triangulo ADE; s aequalium igitur , Sc unum uni aequalem habentium angulum triangulorii in latera , quae circum aequales angulos , en contraria parte sibi ipsis respondent,& quorum triangulorum unum uni aequalem habentium angu- Ium larera , quae circum aequales angulos ex contraria parte sibi ipsis respondent, ea inter se sunt aequa inlia. QMd demonstrare oportebat. Is quinti. Theorema II. Pronsitis 16.
si quatuor res. linea proportionales fuerint , rectanguis
tum extremis contentum agriale est ei rectan ulo , quod medus eontinetur ι θ si rectausulum extremis eontentum aquale fuerit et , quod madi scontinetur , quatuor racta linea proportionaleι erunst.
Sint quatuor rectae lineae proportionales AB, CD, E, F, sitque, ut AB ad CD r ita E ad Dico rectangulum contentum rectis lineis AB , F aequalet esse ei, quod ipsis CD, E eontinetur. Ducantur enim a punctis A, C ipsis AB, CD ad rectos angulos AG, CH t ponaturque ipsi quidem F aequalis AGr ipsi vero E aequalis CH , ει compleatur BG . DΗ parallelogramma. Quoniam, igitur est , ad CD , ita E ad F ; est autem E aequalis CH, di Fipsi AG: erit, ut AB ad CD , ita CH ad AG ι parallelawunmoriun igitur BG , DH latera , quae cire di
262쪽
Euel; is Elem. aequa Ies angulos . ex Acontraria parte sibi ipsis respondet; quo
niam autem a qui angulorum parallelogrammorum latera , quae circum aequale o Cangulos ex contraria
parte sibi ipsis respondent, ea inter se sunt aequalia; ergo parallelogranamum L,G aequale est parallelogran mo DH; atque est parallelogrammum quidem BG , quod rectis lineis AB , F continetur; est enim AG aequalis F. parallelogrammum vero DIAE , quod continetur ipsis CD, E, cum CH ipsi E sit aequalis ; rectangulum igitur contentum AB, F est aequale ei, quod ipsis CD, E continetur . sed rechangulum contentum AB, Est aequale ei, quod CD , E continetur. Dico quatuor rectas lineas proportionales esse , videlicet , ut AB ad CD , ita E ad F; iisdem enim constructis: quoniam rectangulum contentum ΑΒ , F est aequale et , quod CD, E continetur, atque est contentum quidem AB, F rectangulum BG , etenim AG est aequalis F : conis tentum va ro CD , E est rectangulum Dis , quod CH ipsi E sit aequalis. erit par: llelogrammum BG aequa. te parallelogrammo D H, & sunt aequi angula I aequalium autem , aequi angulor lim paralles' ram morum latera , quae circum aequales angulos ex contra.
263쪽
m a parte sibi ipsis respondent; ca quare, ut AB ad CD, O CH ad AG . aequalis autem est CH ipsi E, dc AG ipsi F. Ut igitur AB ad CD, ita Ead F. Ergo si
quatuor Elineae proportionales fuerint, recta gulum extremis contentum aequale est ei, quod mediis continetiir:& si rectangulum extremis conten eum aequale fuerit ei, quod mediis continetui qua tuor reliae lineae proportionales etunt'. dopoc'eebat demonstrare.
Theorema II. Propositio 17. - δἐ tνer νesa linea pronrtionales fuerine, rectangulum exν re is eantentum aquale es ei, quod . media fir, quadrato Ict si rectangulum extremis contentum - aquale fuerit ei, quod a media sit, quadrata, tres re' sa linea proportionalet erunt.
SInt tres rectae lineae proportionales A,S,C; εc sit, ut A ad η , ita B ad C . Di eo rectangulum comtentum A, C, aequale esse ei, quod a media B sit, . quadrato , ponatur ipsi B aequalis D . Et quoniam. . ut A ad B, lia B ad C , aequalis autem B ipsi D : erit, ut A ad B, ita D ad C. s r) Si autςm quatuor rectae - lineae proportionales fuerint rectangulum extremis contentum est qquale et,quod mediis contineturi de 4 G-
ιγ 7. quinta. a P Ex antecedenti.
264쪽
a 2 Euendis Eum. ergo rectangulum A, C colent uita, est aequale et , q iod cotinetur B. D. Sed rectangulam con te tu B, D est aequale quadrato, quod fit ex ipsa B ἔ etenim B est aequalis ' in D: rectangulum igitur eontentum R,C est aequalm . ei quod ex B fit, quadrato. Sed rectangulum contera tum A, C aequale sit quadrato, quod fit ex B. Dico, ut A ad B, ita esse B ad C; iisdem enim constructis: quoniam rectangulum contentum A, C aequale est quadrato, quod fit ex B : at quadratum, quod fit ex B esti rcchangulum, quod ipsis B, D continetur, est enim L aequalis ipsi D ; erit rectangillum contentum A, C aequale ei, quod B, D continetur. Si autem Iectangu luni extremiS contentum aequale fuerit ei, quod mediis continetur , quatuor reAae lineae proportionale S
erunt; 3 9 est igitur, ut A ad B , ita D ad Ct aequalis autem B ipsi D; ergo , ut A ad B, ita B ad C. Si igitur
i tres rectae lineae proportionales fuerint, rectangula extremis contentum est aequale et,quod a media fit, quadrato si rectangulum extremis contentum aequale fuerit et , quod a media fit , quadrato , tres rectae lineae proportionales erunt . Quod oportebatdςmonstrare.
265쪽
Liber saxis a Problema 6. Propositio I 8. data recta linea dato rectι- tineo simile , ct similitὸν positi. rem lineum deser ibere.
nea ΑΒ datum autem rectilineum
CE oportet a recta linea AB rectilinea CE simile.& simi- Iiter positum recti inlineum describere. iungatur DF, de ad rectam lineam AB, dc ad puncta in ipsa A, B , angulo quidem C aequalis angulus constituatur GAB , 1 angulo autem CDF angulus ABG ; reliquus igitur CFD angulus reliquo AGB est aequalis ; ergo aequia-gulum est FCD triangulum triangulo GAB ; ac propterea, ut FD ad G B , ita FC ad GR , & CD ad AB. a Rursus constituatur ad rectam lineam BG,& ad puncta in ipsa B, G, angulo quidem DFE aequalis angulus BGH, angulo autem FDE aequalis G Hl ir ergo reliquus qui ad E, reliquo,qui ad H est 3 qualis squia-gulum igitur est triangulum FDE triangulo GBH.
quoniam angulus quidem CFD est aequalis angulo AGB; angulus aut DFE angulo BGH, erit totus CFE
266쪽
:a I Euclidis Elem. angulus toti AGH aequalis. Eadem ratione , 8c CDEeit aequalis ipsi ABH praeterea angulius quidem ad C angulo ad A aequalis, angulus vero ad E angulo ad Η; aequi angulum igitur est AH ipsi CE , de latera circum aequales ipsi angulos habet proportionaliata. Ergo rectilineum AH rectilineo CE smile erit. s A data igitur recta linea AB dato rectilineo CE simile, de similiter positum rectilineum AH descripta est. Nod facere oportebat.
Theorema I ς. Propositori sim Iia striangula inter se sunt in dupla proportione laterum hamologorum .
la ABC, DEF habetia angulum ad B aequa Iem angulo ad E , & sit, ut AB ad BC , ita DE ad EF, ita ut latus BC homologum sit lateri EF. Dico ABC triangulum Dad triangulum D EF du-Plam proportionem habere eius quam habet BC ad EP.Sumatur enim ipsarum BC, EF tertia proportio valis LG, I ut sit, sicut BC ad EF, ita EF ad BG, jungatur GA , quoniam igitur , ut AB ad BC, ita
267쪽
ειδεν Sextu . est D E ad BF; erῖt permRtando, ut AE ad PE, ita BC ad EF. Sed , ut DC ad EF, ita EF ad BG; de ut igitur AB ad DE , ita EF ad BG; et quare triangulorumis ABG , DEF latera, quae circum aequales angulo, eκ
contraria parte sibi ipsis respondent; quorum autem triangulorum unum uni aequalem habentium angu- Ium latera , quae circum aequales angulos ex contraria parte sibi ipsis respondent , ea inter se aequalia sunt; ca aequale igitur est ABG triangulum trianis gulo DEF ; dc quoniam est , ut BC ad EF , ita EF a IBG : si autem tres rectae lineae proportionales sint , prima ad tertiam duplam proportionem habet eius , quam habet ad secundam: habebit EC ad BG duplam proportionem eius , quam habet BC ad EF. ut autem ΓC ad BG , ita ABC triangulum ad triano ulum ABG; s ergo,& ABC triangulum ad trianis guloni ABG duplam proportionem haber eius,qua in BC ad EF;est autem ABG triangulum triangulo DEFaequale; & triangulum igitur ABC ad triangulum aDEF duplam proportionem habebit eius , quam ha het BC ad EF. Gate similia triangula inter se in dupla sunt proportione laterum homologoru .
Ex hoe manifestum est , si tres rectae lineae proportiouaIes tuerint, ut Prima ad tertiam, ita esse tria gu- Iura p
268쪽
Euelidis Elam. luna, quod prima, ad iri angulum, quod E secunda, simile, & similiter descriptum, quod ostensum est , ut CB ad BG , ita ABC triangulum ad trianguluABG, hoc est ad triangulum D EF, quod ostendere oportebat . Theorema I . Propositio a o. similia ροIUOna in similia
triangula dividuntur, ct numero aqualia , is homonisga totii ; ct patrionum ad pol 'gonum duplam propudii rionem habet ejus , quam latus homologum habet ad Aomologum latus.
ABCDE, FGHKL,Scst AB homologum ipsi FG, dico polygona ABCDE, FGHΚL in similia triangula dividi, dc nu. mero aequalia, Zc homo- Ioga totis; & polygona ABCDE ad polygonum FGΗΚL duplam proportionem habere eius,quam habet AB ad FG; iungantur BE, EC, GL, LH; α quo nia simile est ABCDE polygonii polygono FGHKL, angulus BAE angulo GFL est aequalis: atque est, ut L A ad ΑΕ, ita GF ad FL. QEoniam igitur duo trian
g ita sunt ABE, FGL unum angulum uni angulo. qualem habentia ; circum aequales autem angu-IS latera proportionalia;erit triangulum ABE triangulo FGL aequiangulum; I ergo, simile; angu
269쪽
L εν sexesis.lus igitur ABE aequalis est angulo est gutem,&totus ABC angulus aequalis toti FGH,propter si in i Ibtudinem polygonorum tergo reliquii EBQ.reli oLGH est aequalis;& quoniam ob similitudinem uti4gulorum ABE, FGL,est ut EB ad BA , Sed, Sc propter similitudinem polygonorum , ii, Avad BC, ita est FG ad GHis erit ex aequali , ut BC, ita LG ad G Ηι & circum aequales angulo EB LGH latera sunt propothionalia ; aquiangulum igi' iurest EBia triangulum triangulo LGH qu re , dc simile ; eadem ratione , dc ECD triangulumia simile est triangula LuΚ. Similia igitur polygon . ABCDE,FGΗKL in similia triangula dividuntur, numero aequalia . dico, dc homologa tutis, bocre iv propori toti alia snt rriangula, dc antecedentia. quio esse ABE, EBC, ECD , consequentia auten ipsolum FGL, LGH, LΗΚ,& ABCDE polygonum ad polygo' num .FGHΚL duplam proportionem Hiberectu quam latus homologum habet ad bomologul imatice est AB ad FG ; jungantur enim.AC, Fii. Ei qu niam propter similitudinem polygon*- ω ngvis ABC est aequalis angulo FGrip atquς, BC , ita FG ad GH ,. erit Irisugulum ABGniangulo FGH aequi anguluin , aequalis igitur est angylus quidem BAC angulo GFH , anguluν. vero . ho anguis GH F ; praeterea quo lai a sequalis sili.BAM angulu*angulo GEN ,ostqpsus autem est , dc ιΑ- ngvius aequat .s angulo LG erit, δι rxiiqvus -BJe qq.
270쪽
s3s Euclidis Elam. PNG aqualis'; ergo
aequi angulu est ABM triangulum tIiangu Io FGN; similiter uste- triangulum ΑΜ C triangulo GNHae quiangulum esse. ut
Mitur ΑΜ ad ΜΒ, ita est FN ad N G,&ut ad Μ C, ita SN ad NH , quare , dc ex aequali, ut AH ad Μ C, ita FN ad NH, Sed, ut A M ad Μ C, ita . AB M triangulum ad triangulum M BC , dc triangulua ΜΕ ad ipsum LMC , inter se enim sunt, ut bases ,3 dc ut unum antecedentium ad unum conseque lium , ita omnia antecedentia ad omnia con qnentia; 4 ut igitur AMB triangulum ad triaugulum ΒΜC , ita triangulum ABE ad ipsum CBE . Sed , ut ΑΜΒ ad ΒΜC , ita ΑΜ ad MC; s & ut igitur AH
ad MC,ua ABE triangulum ad triangulum EBC. ea, dem ratione, dc ut FN ad NH , ita FGL triangulun ad triangulum GLΗ ; atque eis, ut AH ad MC , ita FN ad NH; ergo, dc ut triangulum ABE ad triangulus BEC , ita triangulum FGL ad GHL triangulum : ec spermutando, ut ABE triangulum ad rriangulu FGLitta triangulum EBC ad triangulum GHL Similitet ostendemus iunctis BD , GK , dc ut BEC triangulum ad triangulum LGΗ . ita esse triangulum ECD ad triangulum LHΚ; dc quoniam est , ut ABE triangu