장음표시 사용
931쪽
Quaeratur'qua iratum sumnaae α 64, ex eo subtrahamr dimerentia 64 - 16 - 48, hoc resi tuum dividatur per duplum summae 48: 16 in 3 qui erit numerus minor & major erit m s. Nam 3 Φ s - 8. His & sequetiatibus problematibus quilibet Pro lubitu, quo illa tyronibus magis placeant, singulares circumstantias assingere potest.
3 66. Numcrum invcnire, cujus pars dimidia cum tertia & qua
Datis summa duarum quantitatum 3 o & earundem facto
13 A Quadrato semisummae subtrahatur factum earundem ars μα s. n Ex residuo extrahatur radix quadrata 3, quae erit semidi Listentia earundem. Si igitur semidifferentia eX semisumma is subtrahatur, prodibit numerus minor ra, si ea semisummae addatur, numerus maior 18 proveniet. Et ita 12 Φ 18 3o & I8. ia m
mero dato. Quaeratur numeri Ia quadrato - quadratum. ro736 & dividatur per quadratum 18 324. Ex. Quoto 64 extrahatur cultri cubica , numerus unus, & alter erit I44: ο 9. Nam 9 V 4 - λ. 9 18 & .
69. In Progressione Arithmetica minimo termino ro excussit 3, & terminorum numero ii datiS invenire maXimum.
Excelsum 3 duc in numerum terminorum unitate mulctatum m Io, sent so, huic producto addatur minus terminus 2, summa erit maximus te
932쪽
Mns CELLA NEA QUAEDAM SISTEN& mi
Minimo termino a excessis 3 d numero terminorum It datis invenire Summam Progressionis.
Meillante praecedenti problemate terminus maximus 3a iam inventus est, hic addatur millimo λ - 3 , summae in numerum terminorum II ducatur, Producti hui*s 3 4 siri s-isa summae totius Progressionis are ualis erit. Aliter: Si summa extremorum terminorum 34 Par est, eius sciri sis - 17 ducta iis numerum terminorum H dabit immam totam I 87. I N.
MaXimo termino. 3a, excessu numero terminorum ii datis invcnire minimum.
Ducatur excelsus 3 in numerum terminorum unitate mulctatum -IO, α productum so auter a maximo M. Relinquetur minimus a.
Datis maximo 3 2 ac minimo a terminis, &numero termis norum ii invenire excelsum.
Minimus 2 auseratur a maximo Ia; Residuum 3o dividatnr per namerum terminorum unitate mulctatum Quotiens erit excessu5 - I. .
Minimo et, maximo 3 a & excessii 3 datis invenire nume
rum terminorum. Subtraliatur ex maximo D minimus a & residuum dividatur per excessum M Quotus io si unitate augetur, erit numerus terminorum Iι.
i in Summa progressionis 187 dividatur per numesiim terminorum ii, Quotus ir erit semissis summae extremorum. Σὶ Multiplicetur ir per a , productum erit summa extremorum e- 3 ἔ3ὶ Ducatur numerus terminc rum unitate naulctatus in excellum, Pr ductum erit terminus extremus demto murimo diis m.
933쪽
yin .r LIBER V. - CAPUT V αι - , - Subtrahantur 3o ex summa extremoriam 34, residuum 4 erit is plum minimi teminia - Semulis igitur Mauri tenui seis: a, hoc 3oadcito
sumtis pertractatam praxin de Progressione Arithmetica ilh1stremus i) Sint conscripti milites perrus 3o ; Primo die adferipti sunt 3 oo, diebus sequentibus asiluxere semper totidem. radie praecedenti, & adhuc.ao amplius. Quot ergo univerint conscripti 3 . - .' Solvendo problema sim peries conscraptos esse iam.
I 6.1) Artifex ex pacto, die primo hacratus est asses postremo po; quolibet autem die tantum, quantum praecedenti, cum auctuario semper 3 assium. Quot ergo dies operi impenditi a
Progressionis Ceometriciae ab unitate incipientis, terminum quemcunque, licet Cogniti non sint omnes medii, exhibere.
Si inveniendus terminus vigesimus. 13 Continuetur progresso per aliquot terminos, quomqne nimirum potes absque molestia, v. c. hic usque ιδ quintum, Ee supra sinistus scribantur exponoeites ordine annotato. Σὶ Ducatur quintus in se, proveniet decimus, hic in seductus, habebitur vigesimus, di sic reliqui etiam termini inveniuntur.
Sit Progressio 1. 3. 9. 17. 81. 263 Ducatur
934쪽
MIseELLANEA QUAEDAM SISTENS. - ,et
s n. Cujuscunque Progressionis Geometricae finitae summam exhibere.
Progressionis finitae, dato denominatore C, summa D, &maximo termino A. invenire minimum B.
935쪽
Progressionis finitae, data Summa D, denominatore C &minimo termino B, invenire maximum A.
' Progressionis finitae datis extremis A Φ B & omnium summa D, invenire Denominatorem C.
. Haec de Progressionibus dixissis sufficiat, quibus plura problemata subjungamus, quae S utilia & jucunda iunt.
g g3. Si numerorum series in ratione dupla ab unitate continue proportionalium A. B. C. D continuetur, donec eorum summa sit primus nutrierus Ε, summa in maximum D ducta facit numerum Rersectum.
Hi ne facillime omnes mmaeri persecti inveniri queunt. Sit enim Α-I, B za, C - 4, erit summa Eser: I Iaec in maximum multipli-
936쪽
MIs CELLA NEA QUAEDAM SISTENS. ' mx'
ora, siciet secunduin perfectiun numerum ema 28 , cuius partes aliquore sunt r. h. q. T. 4 - 28: Porro qui a summa E Ex a. a. 4. 8.I6 - n, quae in D - 16 multiplicata facit perfectam tertim a - 496. cujus i artes aliquotae sunt r. 2. q. 8. 16 . 3L 6a. ι . M8. Eodem modo Perfectus quartus - 8118, & quintus --invenitur. I labetur autem sumina, si numerus sequenta unitate privstur, & partes aliquotae cuiusvis persecti sie in 'dagantur, quot numeri accepti ab unitate dupli, se chisa unitate. totident a primo seu summa accipiantur dupli, adnumerato primo; hi dupli eum d plis ab unitate, & unitate constituunt partes persecti dati aliquotas. Et hae quidem sunt pro sexto persecto triginta tres i uentes; I. a. q. 8. 6. D. . Ira. ai6. yra. Iz24. 2Oq8. 4c96. 8I92. 16;8ψ. 32768. 6i 36. I3t. l. 262 a. sa 8 ro 8s68. 2o9 iῖ62 4194Ma. 8s 88 44. 16ΠTC88. 33Sμι m. 67I 8na r3 am o 268 334o8. yy6866816. io7ι7336ῖ2. 21 467264. -9493ψya8. quarum omnium iuxta superius dicta, sumina numero sexto perfecto 8s89869ora aequalis est. Cons. CeI. IOAN. GEORG. L EBRNECHTIi Dissertatio de Harmonia coriaporum mundi totalium nova ratione in numeris perstatis, Giestae iris liabita.
Archimedea methodo pro designandis murus
Quamvis non habuerint Graeci nec olim Latini notarum Indicarum, quas jam habemus, usum: Non deerat tamen illi emodus saltem verbis exprimendi numeros sat vastos. Quod docet Ancul MEDES in libro, Cui Ψαμμιτης Arenarius est titulus. Quo autem istam numerandi rationem exponamus, instituti ratio requirit, ut & veterum scripta dilucidiora nobis reddantur. Exarena vero funiculus necteretur, si de novo hujus rationis numerandi dispositionem exhiberemus. cum eam jam Cel. WA
Lisi us solidissime reddiderit ; Rus igitur vestigiis presse insi
Anciai MEDEs supponit primo seriem Numerorum ab r
937쪽
si6 LIB. V. CAP. VIII. ARCHI.' EDEA METHODus continue proportionalium, qualem nunc vocamus Progressi nem Geometricam, cujus primus te inus si I, ut αβ. γs iique id iplam, quod nos numeris Cossicis, ut loquuntur, denominare talemus; atque hujusmodi notis describere, i. N. C. Qu&c. aut i . A. Aq. AC. Aqq. &c. vel I. r. π.r'. r' sive ut
Noe posito demonstrat Progressionis hujus, quaecunque fuerit ratio, seu communis Multiplicator, duos quosvis numeros invicem multiplicatos, alium in eadem serie pri ucere, cuius ordo in ea serie, inclusive numerandus, denominetur a numero, oui aequalis sit multiplicatorum illorum denominatoribus simul iunitis, minus uno, v. c. γ, qui tertius est, in ε, qui est quintus, producit η septimum, cuius exponens 7 aequat 3 Φ 3 - I.
Seu, quod tantundem valet, si, excluis primo termino α seu i denominetur quilibet per ejus a primo distantiam; taponens seu Denominator Facii. aequatur denominatoribus utriusque Factoris simul sumtis. Puta es in P est a , propter a Φ 6, hoc est aa Φ aaaa - aaaaa a ')
'ὶ in autem hic Denominator, id quod iam dicitur Lot: arithnius, seu numerus rati mum inibi compositarum; ut pura, si rationis cujuspiam e xpinnens seu denominator st a, erit aaa exponens composire ex tribus hujusmodi rationibus. ' Nam Logari limi, sunt exponentes locorum Geometricae Progressionis: seu numeri sit niti in Progressione Arithmetica, aliis in Pr eroiane Geometrica positis respondentes. Unde fit, quod illorum summa, respondeat Facto ex his. Quod praecipuum est Logarithmoriati mysterium
938쪽
PRO DESIGNANDIS ΜΑGNIS NUMERIS.
His autem generatim postis, de geometrice proportionalibus, in quacunque ratione, eadem speciatim accommodat progressoni in proportione Decupla; qua nempe dis ni '1blent Numeri. Ut jam α. β. γ. δ. e &C. unt unum, decem, centum, mille, myrias M. Et sic porro, prout opus fuerit. secundum numerum terminorum in progressione, qui re-wmndet Locorum, quos vocant, numero ire notatione per Gguras Indicas.
mi vero nos numerare solemus per MilIia. & Millem Miltia&c. numerabant illi per Myriadas, & Myriadum Myriadas &α adeoque per Periodos quatuor locorum g 88 Tum vero majoribus passibus procedendo , Myriadem
Myriadum. hoc est, prout nunc scrinimus. Unitatem in loco . nono . seu Unitatem cum S ciphriS sequentibus, numeros primos appellat, nos numerorum primam classem vocemus. &-Ltatem illam, hoc est Myriadum Myriadem, appellat unitatem numerorum secundorum, hoe est. lecundae clatiis, atque sic po ro , per octonos locos, ad tertiorum numerorum, seu tertiae Hasus, unitatem. Et sic dςinceps ad classem quartam, quin- .
939쪽
s18 LIB. V. CAP. VIII. ARCHIMEDEA METHODUs Myriadum, quartim classis qxnclibet octonis locis constat; Hoc est, ut nunc loquimur, ad i Cum ciphrarum sequentium 8 Myriadibus i 1yriadum: seu i cum ci phris 8oooocooo ' .
) Et quidem si hic numerus nondum videatur sat magnus, vocentur, inquit. hi omnes primaperiodus; toti iemque loci sequelites, secunda Periodus de sic porro ad Periodum tertiam, quartam S e. usque ad Myriadem Myri dum huiusmodi perio lorum, quarum quaelibet habeat lacos Booo oodo Quarum ultima unitas, hoc est, una Myrias Myrtalum, classis Myrim myrta
mae, myri myresimae' Periodi, tantundem est, atque in notatione nostra; et cum cyphris sequentibus 8-Coo cooooomo. Hoc est, i cum octo Myri
dum, Myriadum, Myri,dum, My adibus cyphrarum. Seu, ut nos distinguere solemus, per periodos trium locorum pro Millibus, aut sex l eorum pro Miltionibus seu Millenis Millibus , i cum cyphris sequenti luis
MoooAo ooo oo. Hoc est, I cum cyphrarum octogies millenis milli nibus millionum. Ut note desuerit ARCui MEDI mod is exprimendi tam vastae magnitudinis numeros.
Quod autem numerus hic sit vastae magnitudinis, aut δε- mense magnus, ollandit ARCHi MEDES demonitiando. uod Mille Myriades numerorum septimoriam, hoc est, uincii jam scribimus, i Cum 63 ciphris, abunde fassiciat numerandis λει-
nulis, tam minutis, ut earum decem millia non aequent unum semen Papaveris, quae molem consacerent maiorem. quam est .
totus Mundus, etiam secundum Aristarchi Hypothesin, seu, ut iam loquimur, hypothesin Copernicanam. Quae supponit m gnum orbem, quo Terra circa Solem fertur, seu secundum albos Sol circa terram, esse Puncti instar, seu insensibilis magnitudinis, si ad orbem Fixarum compareturi nimirum se habet orbis Telluris ad illum Magnum Omem, sic ille magnus octis ad orbem Fixarum. Quod s minimus numerus locorum 6 Imajor sit quam tot cjusmodi Arcnularum, quae tantam molem conficerent; ecquid erit ille numerus qui sit, ut jam loquimur, locorum 8ooooooooo, qui quidem major est quam Arenularum numerus. quae ejusmodi Mundorum conficerent 79 mille
940쪽
rito DESIGNANDIS MAGNIS NUQERIS. . sis
Hm modi numero dum mediocres sunt, posito M seu ML seu M' pro Atyriade, quod ante receptas notas Indicas fieri solebat, sic exhiberent Graeci.
ioci oo o Ooo cies Millies decena altilia, aut centies. Millena Miltia. Atque hactenus satis ante sua tempora provisum fuisse, censuit
'sed ad exprimendos numeros his Ionge ampliores necessarium foret, ut M' pro Monadibus, & M' pro M, adibus, sic characteres comminiscendos esse pro classibus & Periodis designandis f)
f Λ ac ni MEDis doctri , pro numerorum hac Nomenclatura, ad nostram notationis formam redacta, sic foret. Unitas, primorirm rvimerorum, seu Primae classis . . I. Myrias Myriadum, primorum numerorum, quae est Unitas, seandorum Rumerorum seu secunde classis Iooc Ooa . Unitas, numerorum tertiorim . . IOOozOdocoo oooo. '