Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

4쪽

SECTIONUM

CONICARUM

Conscripta ad usum

PIGNATELLI

Principis Colubranensis , st l-vensis Ducatus Haeredis Uita vero in gratiam

AUCTORE

NICOLA O DE MARTINO

Regio Mathematum Prosessore

6쪽

LIBER V.

De Tangentibus, re Secantibus

Sectionum Conicarum.

Octrina diametrorum , quibui pollent conicae sereone. . ad ea itum perdueta; sequitur modo , ut eam aggrediamur , quae rei picietansentes , & lecante1 carundem cur arum . Et tangentem quidem conicae sectionis eam voeamus rectam lineam , quae conicae sectioni sub inde Occurrit . ut producta tota cadat extra eam. Per contrarium vero secantem appellamus illam , quae , quum producitur, cadit inistra conicam sectionem . Quae igitur proprietates competant rectis istis . hoc libro brevia ter ostendemu .

C A P. I. Proprietates , quae ellibis tangentibus competunt, osem

duntur.

Ic rea tangentes ellipsis, iam illud , tam is superius ostensum est, quod si ex νν τινιira olicujus diametri recta linea dacaturam .

7쪽

4 SECΤIONuM C QNI ARVM ordinatis ejus parasiola, ea lauat ellipsim is solo illo vertice. Nunc autem subjungemuS squςd is locum, tauente . ct ellipsi contestam, nulla alia cadat reΠa linea. Sit enim ellipsis A ME , erius AB sit diameter aliqua, AD parameter ejus, ct D AH

recta, ordinatis ejusdem diametri parallela. Diis co , quod sicuti recta DAH contingit ellipsim in solo vertice A , ita in locum, contentum tangente , ct cudem ellipsi, nulla alia recta linea duci possit ex eodem vertice A.

Si fieri potest, ducatur tecta alia Al, in qua sumpto puncto quovis P , a satur per illud tecta PN , ipsi DH parallela , conveniens cum tecta BD in puncto O. Et quoniam, propter ellipsim , MN quadratum est aequale redi. ngulo ANO; erit PN quadratum majus illo rectangulo. Quare, si extendatur Nousque in S , ita ut PN quadratum sit aequale rectangulo ANS , & jungatur AS ; haec secabit tectam BD in puncto aliquo Q. Ducatur ergo per punctum istud Decta df, eidem ΑΗ parallela . Et quoniam ΡN quadratum est aequalς rectangulo ANS ; erit, ut PN quadratum ad AN quadratum, ita rectangulum ANS ad idem AN quadratum; sive etiam , ita NS ad AN . Sed PN quadratum est ad AN quadratum , ut IK quadratum ad AK quadratum. Et NS est ad AN, ut KQ ad AK ; sive etiam , ut rectangulum AKQ ad AK quadratum; sive demum , ut LΚ quadratum ad AK quadratum . Quare erit lΚ quadratum aequale quadrato, quod fit ex LX. Quod fieri non potest.

8쪽

puncto contactus ducitur infra tangentem, necesse est, ut primo secet ellipsim, tum ca. υ ' clat in locum, tangente , ct ellipta contentum. ν-ωω Hinc autem duo consequuntur , quae aditum nobis aperient ad ostendendas proprietates omnes, quae ellipsis tangentibus competunt.

Primum est, quod ad unum, idemque punctum ellipsis nonnisi unica tangens duci possit. Nam , si duci possent tangentes duae jam una caderet in locum, ellipsi, ct tangente altera comprehensum .Quod quidem ostensum est fieri non posse. Alterum est , quod si rem linea eontingat ellipsim in puntro aliquo , ea debeat esse parallela ordinatis illius diametri, quae pertinet ad illud punctum. Nam aliter , ducta ex eo puncto recta alia, ordinatis iis parallela, foret ista quoque tangens ellipsis ; atque adeo ad unum, idemque punctum ellipsis duae tangentes duci possent. Quod fieri nequit. III. His jactis principiis , facile modo

erit, eas primum tangentis proprietates ostendere, quae ei competunt, ubi alicui diametro occurrit. Tangens igitur ΕT , ducta ad punis tinti ut mctum Ε, verticem diametri EF, conveniat cum diametro altera AB in puncto T, Et ducatur, v tam ad diametrum AB ordinata EG , quam ad diametrum EF ordinata AO.

Primo itaque erit, ut CT ad CA , ita C A ad CG . Nam,ex superius ostensis, BG est ad AG , ut FO ad ΕΟ ; S componendo , AB est ad AG, ut EF ad ΕΟ ; ct capiendo alitere. dentium dimidia , C A est ad AG, ut CS ad

9쪽

ε SECTIO NuM CONi CARuM ΕΟ ; R eonvertendo , CA est ad CG , ut CEad CO.Sed, propter parallelas AO, ET, ut est CE ad Co, ita est CT ad C A . Q aare erit exaequali, ut CT ad CA . ita CA au CG. Secundo erit, rectangulum AGB aequale rectangulo CGTt adeo, ut AG erit ad CG, ut est TG ad BG. Quum enim CT sit ad CA, ut est C A ad CG ; erit CA quadratum aequale rectangulo TCG . Sed CA quadratum est aequale rectangillo AGR una cum CG quadrato. Et rectangulum TCG est aequale rectangulo CGT una cum eodem CG quadrato. Quare, dempto communi quadrato ex CG, remanebit rectangulum AGB aequale rectangulo CG T.

Tertio, si A D sit parameter Ipsus diametri AB,erit, ut EG quadratum ad rectangulum CGT, ita parameter AD ad diametrum AB. Jam enim , propter ellipsim, in hac ratione est EG quadratum ad rectangulum AGB. sed rectangulum AGB ostelisum est aequa Ie rectangulo CGT . Quare in eadem pariter ratione' erit quadratum ordinatae EG ad rectangulunt aliud CG T. Denique erit rectangulum ATB aequale rectangulo CTG: adeo, ut erit AT ad GT,ut est CT ad B T. Nam idem CT quadratum est aequale, tam duobus rectangulis CTG, T , quam rectangulo ATB una cum CA quadrato . Quare duo rectangula CTG, TCG aequalia erunt tectangulo ATH una cum CA quadrato . Sed, ob rectas continue proportionales

CT, CA , CG, quadratum ex CA est aequale tectangulo TCG . Quare etiam rectangulum

10쪽

ATB aequale erit rectangulo CTG.

IV. Sed facile quoque erit, conversat harum proprietatum ostendere. Nimirum primo,

quod recta ET sit tangens est ipsis , s utique CT sit ad in , ut est CA ad CG. Nam, ex su. perius ostentis, BG est ad AG . ut FO ad Eo. ε' , ' η' S componendo,AB est ad AG, ut EF ad ΕΟ:& capiendo antecedentium dimidia . C A est ad AG, ut CE ad ΕΟ ; S convertendo, CA est ad CG, ut CE ad Cis. Sed ,ex hvpothesi, C Rest ad CG , ut CT ad C A . Quare et it ex aequali, ut CT ad CA , ita CE ad Co i ct propterea recta ET . velut ipsi AO paralleia, tangens erit ellipsis. Secundo, quod recta ET tangat ellipsin in puncto Ε . si fuerit rectangulum AGB aequale rectangulo CGT ; atque adeo , ut AG ad CG . ita TG ad BG . Nam , semper ac rectangulum AGB est aequale tectangulo CGT; addito communi quadrato ex CG , erit quoque CA quadratum aequale rectangulo TCG: proindeque erit, ut CT ad CA . ita CA ad CGι & consequenter ET tangens erit ellipsis. Tertio , quod recta ET contingat ellipsim in puncto Ε, si fuerit, ut parameter AD ad diametrum AB , ita quadratum ordinatas EG ad rectantulum CGT . Jam enim quadratum ordinatae EG est ad tectangultim AGBIn illa ratione. Quare, semper ac idem quadra tum supponitur habere eandem rationem ad

rectangulum CGT ; erit rectangulum AGBaequale rectangulo CGT : proindeque tecta ET tangens erit ellipsis. . Denique, quod recta ET sit tangens el-

Α 4 lipsis,