Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

11쪽

s SECTIONUM C GNICARUM Iipsis , si fuerit rectangulum ATB aequale rectangulo CTG ς & consequenter , ut AT ad GT , ita CT ad BT . Nam , quum idem quadratum sit aequale , tam duobus rectangulis CTG , TCG , quam rectangulo ATB una cum CA quadrato ; erunt duo rectangulaCTG , TCG aequalia rectangulo ATB una cum CA quadrato . Unde, semper ac ponitur rectangulum ATB aequale rectangillo CTGῶ erit quoquc CA quadratum aequale rectangulo TCG : ct propterea , quum sit , ut CT ad CA, ita CA ad CG ; erit recta ET tangens ellipsi S. 2 . V. Nunc eas quidem proprietates ostindeistium sM mur, quae laventibar eulain sibi mutuo oc- α' currentibus, competunt. Hunc in finem ad duo νερν etas quaelibet ellipsis putam A , & E ducantur Fiti di tini gentes duae AX, EX , quae sibi mutuo oc. currant in X . Extendantur eaedem usque donec conveniant cum diametris AB , EF in

punctis L . & T . Et erit primo , ut A X ad LX, ita EX ad TX.

Ducantur enim ad diametros AB , EF . ordinatae EG , AO . Et . per superius ostensa, erit, ut CG ad C A. ita CO ad CE. Sed, pro is Ptet tangentem ET , CG est ad C A , ut est CA ad CT. Itemque, propter tangentem AL,

Co est ad CE , ut est CE ad C L. Quare erit ex aequali, ut CA ad CT , ita CΕ ad CL S pro Pterea , quum duo triangula A CL , ECThabeant circa anguluin communem C latera

Ieciproce proporticinalia , erit triangulum ACL aequale triangulo ECT. Hinc, impio communi trapetio ACΕX erit,

12쪽

ELEMENTA. sciit quoque triangulum E LX aequale trianingulo A TX . Unde , quum duo ista triangula habeant angulum E XL aequalem angulo AXT; habebunt quoque Iatera circum aequa les ii os angulos reciproce proportionalia 3 proindeque erit, ut A X ad LX , ita ΕX ad TX ue hoc est tangentes duae AL, ET in e clem ratione sese mutuo secabunt in puncto X, in quo sibi invicem occurrunt. vi Vl. Hinc autem sequitur fecundo , tan- s. -υ. gentes duas AX , EX eandem cum ord natis EG , Ao rationem habere ἔ adeoque esse , ut s. ι .uem

A X ad EX, ita EG ad Ao. Est enim , ex superius ostensis , ut CO Fio. a. ad CΕ, ita CG ad CA . Sed, propter triangula

aequiangula COA, CET, CO est ad CE , ut

AO ad ET. Pariterque, ob triangula aequian

gula CGΕ , CAL, CG est ad CA , ut EG ad

A L. Quare erit ex aequali, ut EG ad AL , ita AO ad ET; S permutando erit etiam, ut

EG ad AO, ita AL ad ET .

Quia autem ostensum est, AX esse ad LX, ut est ΕX ad TX; addendo antecedentes Consequentibus , erit quoque, ut A X ad AL, ita EX ad ΕT; S permutando erit pariter , ut

A X ad LX , ita AL ad ET . Unde , quum in eadem ratione rectarum ΑΕ, ΕΤ sit, tam A Xad EX , quam EG ad AO ; erit ex aequalia ut A X ad EX, ita EG ad AO.

VII. Atque hinc modo sequitur ulteriar, Vueasdem tangentes A X , Ex eandem rationem τρον pis. i abere cum coniugatis diametrorum AB, EF, qtiae pertinent ad puncta contactus A , & Ε .. νηη-μ Nam , per superau1.ούς usa , .Ordι natMEG. FIO. g.

13쪽

ro SECTIONUM CONICA Ru MEG,Ao sunt, ut conjugatae diametrorum AB,

EF. Sed tangentes Ax , ΕΚ sunt inter se , ut ordinatae EG , AO . Quare erit ex aequali , ut A X ad EX, ita conjugata diametti AB ad

conjugatam diametri EF. Quemadmodum autem tangentes A X. ΕΚ sunt, ut conjugatae diametrorum AB, EF; ita quadrata tangentium A X. Ex erunt,

ut quadrata earundem coniugatarum ἔ atque

adeo , ut figurae ipsarum diametrorum AB. EF , quibus suarum conjugatarum quadrata sunt aequalia. Unde modo , sicuti figurae diametrorum AB, EF rationem habent compositam ex ipsis diametris , & parametris earundem ἔ ita quoque quadratum tangentis A X ad quadratum tangentis Ex rationem habebit compositam ex diametro AB ad diametrum EF , S ex parametro diametri AB ad parametrum diametri EF . Vm. VIII. Pertinet hue quoque ho alia proprietas, quod si Ax , Ex sint duae tangentes Valetempsis , ct ducta ex puncto contactus Α dia

r --.- metro AB, agatur per aliud contactus pun-j ctum E tecta BE , conveniens cum tangentex ς' ' AX in puncto I , quod, inquam , ΑΙ sit dupla ipsius A X.

Protrahatur enim tangens EX, usque donec conveniat cum diametro AB in puncto T. Tu in ducatur ad eandem diametrum ordinata EG. Et quoniam, propter tangentem

ET, ut est B T ad CP, ita est GT ad AT; erit permutando, ut BT ad GT , ita CP ad AT . Sed, dividendo, BG est ad GT, ut CA ad

14쪽

E L E M E N T A. AT . Quare erit rursus permutando , ut BGad CA, ita GT ad A T. Jam Al ad Ax rationem habet eompo stam ex Alad EG,& ex EG ad AX . Sed, ob triangula aequi angula BAl , BGE , Al est ad EG, ut AB ad BG . Itemque, ob triangula

aequi angula TGE , TAX , EG est ad Ax . ut GT ad AT , sive etiam . ut BG ad CA. Quare

AI ad Ax rationem habebit compositam ex

AB ad BG , ct ex BG ad C A.

Patet autem, duas istas rationes componem pariter rationem , quam habet AH ad

CA . Quare erit eκ aequali, ut Al ad A X , ita AB ad C A , proindeque , sicuti AB dupla est psius C A ; ita etiam Al dupla erit ipsius A X. IX. sed iacile est etiam conversam b arestendere i nimirum , quod si AI sit dupla ip' , -,ti tisus A X,& AX sit tangens ellipsis; etiam EX eontingere debeat ellipsim in punc o L. . Fio. a. Quemadmodum enim Al dupla ponitur ipsius A X , ita AB dupla est ipsius C A. Quare erit,ut AB ad CA, ita AI ad Ax . Sed AI ad Ax rationem habet compositam ex

CA habebit pariter rationem compositam ex

Jam AB ad C A habet quoque rationem compositam ex AB ad BG , ct ex BG ad C A. Quare erit, ut BG ad CA , ita GT ad AT : &Permutando , ut BG ad GT . ita C A ad AriSed eomponendo ΒΤ est ad GT, ut CT ad AT . Itaque rursus permutando erit, ut BP. ad m, ita GT ad AT: & propterea,ex supe riua

15쪽

1x fge TIONUM CONI e Astu Metius Ostensis, recta ET tangens erit ellipsis. N. X. Praeterea , ut alias tangentiam elii is

propristoter prosequamur, sint adhuc AX, EX

a..i iam I M duae tangentes ellipsis. Et,ducta diametro AB.ι.- sit BZ tangens tertia, quae conveniat cum ΕΚ

Fis. 3. in puncto Z . Sitque demum KL conjugata ipsius AB. Dico, rectangulum ex AX in BZ aequale esse quadrato , quod fit ex Κ. Conveniat namque tangens ΕΚ cum diametro AB in puncto T , S cum ejus conjugata Κ L in puncto V. Ducaturque ex punis cto contactus Ε , tum recta EG ordinata ad diametrum AB , cum recta EH ordinata ad diametrum ΚL .

Quia igitur ΕΤ est tangens ellipsis; erit.'ut B T ad CT, ita GT ad AT . Sed , propter triangula aequiangula TBZ , TCV, BT est ad

CT, ut BZ ad C U. Itemque, propter triangula te quiangula TGE , TAX , GT est ad AT. ut ΕG , si ve CH ad AX . Quare erit ex aequa li, ut BZ ad CV, ita CH ad AX : ct propterea

rectangulum ex AX in BZ aequale erit reinctangulo HCU. Et quoniam eadem tangens ΕΤ occurrit quoque alteri diametro KL in puncto V; erit, ex superius ostensis, ut CH ad CK , ita CK ad CV . Quare rectangulum H CU aequale erit quadrato ex CK. Sed rectangulo FICU ostensum est aequale rectangulum ex AX ita BZ . Igitur erit rectangulum ex AX in BZ aequale quadrato, quod fit eκ CK . xi. X l. Ulterius, quemadmodum AB, KL . sunt duae eli ipsis conjugatae diametri , ita sineu μι ν. - MR, PS binae aliae diametri similiter eonju-

16쪽

ELEMENTA. Meatae , quae conveniant cum tangente AX in aenιis ι να

punctis X, Sc Y. Et nullo item vegotio ostendemus, quod eidem CK quadrato aequale sit vitam rectangulum ex AX in AY. FIO.4, Ductis si quidem , tum ordinatis MN , PQ ad diametrum AB, cum ordinatis Ao , AI, ad diamettos MR, PS i, erit rectangulum

ex MN in PQ ad CR quadratum in ratione composita ex MN ad CΚ , S ex PQ ad CK. Sed , per ea , quae superius ostensa sunt, MN est ad CΚ , ut Ao , seu CI ad CP . Itemque PQ est ,d CK. ut Al, seu Co ad C M. Itaque rectangulum ex MN in PQ ad CΚ quadra. tum rat onem habebit compositam ex Ci ad CP, & ex Co ad C M. Jam , propter tangentem AY , diametro PS occurrentem in Y , CI cst ad CP, ut CP ad CY; sve etiam, ut PQ ad A Υ. Pariterque, ob tangentem A X , diametro MR Occurrentem in X, Co est ad C M, ut CM ad CX, sive etiam, ut MN ad Ax . Quare rectangulum ex MN in PQ ad CK quadratum habebit quoque rationem compotitam ex PQ ad ΑΥ , Rex MN ad A X.

Quoniam autem duae istae rationes com Aponunt pariter rationem, quam habet restangulum ex MN in PQ ad rectangulum ex A in AΥ; erit ex aequali, ut rectangulum ex MN in PO ad rectangulum ex AX in AYω ita idem re et ansulum ex MN in PQ ad C Κquadratum i S propterea rectangulum ex AX in ΑΥ aequale erit quadrato, quod si ex CΚ. XII. Sed eospersum hujus rBeorematipsaci

17쪽

34 SECTIONUM CONICARUM facile quoque erit Uundere . Nimirum , quod si AB. KL snt duae ellipsis diametri conjuga- . - mi tae. ct rectangulum XAY , contentum sub Eici . PortionibuS tangentis XΥ, aequale sit quadra

to , quod fit ex CK i aliae binae diametri MR, PS sint etiam conjugatae. Si enim PS non sit conjugata ipsius M R, sit ejus coniugata diameter alia TV ,quae occurrat tangenti XΥ in puncto π. Et quoniam MR . TU sunt duae ellipsis conjugatae

diametri , quae conveniunt cum tangente X Υin punctis X. &-; erit reditangulum ex AX in Am aequale quadrato, quod sit ex CK. Quia autem eidem CR quadrato posi. tum est aequale rectangulum ex AX in ΑΥ et erit rectangulum ex AX in AW aequale rectangulo ex AX in ΑΥ: proindeque portiones duae Αν , ΑΥ aequales erunt inter se. Quod quum fieri nequeat, consequens est, ut

PS sit conjugata ipsus M R . 22 . XIII. Atque hinc modo colligi ulterius

M. Mi. αμ potes , quod , si ex extremitatibus diametrita V - ' ΑΒ , ducantur tangentes duae AX , BZ, convenientes cum tangente tertia ET in punctis

ri. I X, Z, junganturque rectae CX, CZ; istae,

ad ellipsim usque productae, exhibebunt nobis binas ejus diametros conjugata S. Si enim CZ producatur, usque donec conveniat cum tangente AX in puncto Y, obtriangula aequiangula CBZ , CAΥ . erit , ut CB ad BZ , ita CA ad A Υ . Unde , quemadmodum aequales sunt duae CB , CA ν ita aequales erunt pariter duae BZ , ΑΥ : proindeque rectangulum ex AX in BZ aequale erit

reae

18쪽

perungulo ex AX in AY.Quum autem ostensum sit rectangulum ex AX in BZ aequale quadrato ex CR , erit eidem CK quadrato aequale pariter re tangiIlum ex AX in AY. Unde,quum duae diametri NR , PS abscindant ex tangente XY portiones duas AX , A Υ , quae rectangulum continent , aequale quadrato, quod fit ex CK et per ρ.

ea , quae modo ostensa sunt, omnino necesse . ,

est, ut MR , PS sint duae ellipsis conjugatae diametri. ὶ

XIV. Caeterum uolim his fiunt7o praete- XIV. rire , quod si AB sit axis ellipsis, AD parameter ejus , S W aliqua tangens; ducanturque es ...is tu .

ex puncto contactus Ε rectae duae EG, FH, una perpendicularis ad axem , ct altera Per. Fici. a. pendicularis ad tangentem; quod, inquam,AB fit ad AD, ut est CG ad GH. Si enim tangens ET conveniat cum axe AB in puncto T; erit,ex superius ostenss, ut AB ad AD, ita rectangulum CGT ad EG quadratum. Sed, ob triangulum TEH, recta gulum in E , quadratum ex EG est aequale rectantulo HGP. Quale erit quoque , ut AB ad AD. ita rectangulum CGΤ ad rectanguolum HGT: & propterea, quia duo ista rectangula sunt inter se , ut CG ad GH ; erit, ex ἔ quali, ut AB ad AD, ita CG ad GH. Hine,si AB sit axis major ellipsis, quem admodum AB major est , quam AD ; ita erit CG major , quam GH t proindeque punctum H cadet semper inter punctum G , Scentrum ellipsis . Vicissim autem, si AB st ' iaxis minor ellipsis , quemadmodum AB

19쪽

16 SECTIONUM CONICA Ru Mminor est, quam AD ; ita erit etiam CG mi ἀnor, quam GH : & propterea punctum H cadet semper ad alteram centri partem relate ad punctum G.

C A P. II.

Proprietates , quin iecantibus elli is competunt , o mduntur.

1. I. D Raecedenti capite ostensae sunt L proprietateS, quae competunt tan-reat; gentibus ollipsit S nunc eaS prosequemur, quae s...hi,.ia Pertinent ad secanter ejusdem,ostendemusque, quam rat onem habeant inter se rectangula , p. ia.. .. utenta sub segmentis duarum rectarum , quae

Hic autem varii sunt casus distinguendi, pro diversa qualitate rectarum , quae sibi mutuo occurrunt , Sc utrinque terminantur ad

ellipsim . Primo igitur supponemus, rectas illas esse hinas diametros ςu sis , ct Ostendomas , rectangulum sub figmentis unius esse ad reHangulum sub segmentis alterius is duplicata νatione istorum diametrorum. Fio. s. Sint enim AB , KL duae quaevis ellipsis diametri, quae sibi mutuo occurrunt in ipso centro C. Dico , rectangulum sub segmentis unius AC, BC, esse ad rectangu Ium sub segmentia alterius KC. LC, ut est quadratum

20쪽

ΕLEMENTA. , diametri AB ad quadratum diametri ΚL. Nam , quum utraque diameter secta sit hilariam in centro C ; erit in ratione ipsarum AS , KL . tam AC ad KC, quam BC ad LC. Sed rectangulum ACB est ad rectangulum KCL in rationa compolita ex AC ad KC , &ux BC ad LC . Quare ratio eorundem rectangulorum ACB, KCL duplicata erit diametrorum AB, KL. H. Supponemus secundo , ex rectis , i V.. .,

mutuo occurrentibus, unam quidem esse diametrum, alteram ordinatam ipsius. Et in isto casu rectangulum Iub figmentis prioris reipae merit ad refrangulum sub segmentis alterius reis elae in duplicata ratione ejus, quam labet dia- meter ad suam conjugatam .

. dit nim AB diameter aliqua ellipsis, cu- Fio esus KL sit conjugata ; sitque etiam Mo una

ex ordinatis ejus diametri, quae ipsi diametro occurrens in puncto N , utrinque ad eli psim terminetur. Dico , rectangulum AN B esto adre angulum MN Ο , ut est AB quadratum ad

KL quadratum. Nam recta Mo, velut ord nata ipsius AB , hi fariam secta est in puncto N . Quare erit MN quadratum aequale rectangulo MN Ο : S propterea erit, ut rectangulum AN B ad rectangulum MNO, ita idem rein Et angulum AN B ad MN quadratum . Sed rem Etangulum AN B est ad MN quadratum , ut AB quadratum ad KL quadratum . Igitur in hac eadem ratione crit pariter rectangulum AN B ad rectangulum MNO. III. Supponemus tertio, rectas sibi mutuo ταμ Tom. H. B o