Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

31쪽

as SECTIONUM CONICARUM .,,.-quod si ex .ertice alicujus diametri recta da.

1νo,sis catur . ordinatis ejus parallela , ea tangat hy- perbolam in solo illo vertice. N unc autem subjungemus , quod in locum , tangente , in perbola contentum,nulla alia cadat retia linea.

Sit enim hyperbola AM , cujus AB si e

Fio. ro. diameter aliqua, AD parameter ejus, ct D AH recta, ordinatis ejusdem diametri parallela. Dico , quod sicuti recta DAH contingit hvperis bolam in solo vertice A, ita in locum, contenis tum tangente , & cadem hyperbola , nulla alia recta linea duci possit ex eodem vertice A.

Si fieri potest, ducatur tecta alia AI, lnqua sumpto puncto quovis P , agatur per illud recta PN , ipsi DH parallela , conveniens cum recta BD in puncto O. Et quoniam, propter hyperbolam, MN quadratum est aequarile tectangulo ANO ; erit PN quadratum majus illo rectangulo. Quare,si extendatur Nousque in S , ita ut PN quadratum sit aequaleree tangulo ΛNS . d. jungatur AS ; haec seca--.-hil reetam BD in puncto aliquo Q. Ducatur ergo per punctum istud ure-cta Τ, eidem AH parallela. Et quoniam PN

quadratum est aequale rectangulo ANS ; erit, ut PN quadratum ad ΑN quadratum, ita rectangulum ANS ad idem AN quadratum; sive etiam, ita NS ad AN . Sed PN quadratum est ad AN quadratum , ut IΚ quadratum ad AK quadratum. Et NS est ad AN . ut Κ id AK ; sive .etiam , ut tectangulum AKQ ad

ΑΚ quadratum; sue demum , ut LΚ quadratum ad AK quadratum . Quare erit lΚ quadratum aequale quadrato, quod sit ex LK.

32쪽

E L E M E N T R. Quod fieri non potest. H. Quaelibet ergo recta Iinea,quae ex pun- Incto contactus ducitur infra tangentem, necense est, ut primo secet hvperbolam , tum cadat e. an locum, tangente, S hyperbola contentum. νψωνι. ML Hinc autem duo consequuntur , quae aditum μ' nobis aperient ad ostendendas proprietates omnes , quae hyperbolae tangentibus compe

tunt.

Primum est, quod ad unam, idemquapunerum is perbola nonnisi unica tangens duci possit . Nam , si duci possent tangentes duae δjam una caderet in locum , hyperbola, & tangente altera comprehensum . Quod quidem ostensum est fieri non posse. Alterum est,quod si recta lisea contingat perbolam in puncto aliquo, ea debeat esie parallela ordinatis illius diametri, quae pertinet ad illud punZ um . Nam aliter , ducta ex eo puncto recta alia, ordinatis iis parallela, soree ista quoque tangens hyperbolae ς atque ade ad unum , idemque punctum hyperbolae duae tangentes duci possent. Quod fieri nequit. I l. His jactis principiis , iacile modo III.

erit, eas primum tangentis proprietates ostendero , qua ei competunt, ubi alicui diametro ivent ad occurrit. Tangens igitur ET , ducta ad pun- 'Σ, . 2 P. ctum Ε, verticem diametri EF, conveniat cum diametro altera AB in puncto T. Et ducatur, νιηι - . tam ad diametrum AB ordinata EG . quam ad Fio. - . diametrum EF ordinata Ao.

Primo itaque erit, ut CT ad CA . Ita C A ad CG . Nam,ex superius ostensis, BG est ad AG, ut FO ad EO;& dividendo, AB est

33쪽

3o SECTIONUM CONICARUM

est ad AG, ut EF ad Eo , ct capiendo anteceis dentium dimidia , CA est ad AG , ut CE ad

Eo ; & addendo antecedentes consequenti

hus , in est ad CG , ut CE ad CO.Sed, propter parallelas AO, ET , ut est CL ad Co, ita est CT ad C A . Quare erit ex aequali, ut CT ad in , ita CA au CG.

Secundo erit, rectangulum AGB aequale rectangulo CGTi adeo, ut AG erit ad CG, ut est TG ad BG. Quum enim idem CG quadratum aequale sit, tam rectangulo AGB una cum CA quadrato,quam duobus rectangulis CG T. TCG a erit rediangulum AGB una cum CAquadrato aequale duobus rectangulis CGT .

TCG . Sed , ob redhas continue proportiona

les CT, CA , CG , quadratum ex CA est aequale rectangulo TCG . Quare etiam rectanis gulum ACB aequale erit rectangulo CGT. Tettio. si AD sit parameter ipsius diameistri AB,erit, ut EG quadratum ad rectangulum GT, ita parameter AD ad diametrum AB. Jam enim, propter hyperbolam, in hac ratione est EG quadratum ad rectangulum AGB. Sed rectangulum AGB ostensum est aequale rectangulo CGT . Quare in eadem Pariter ratione erit quadratum ordinatae EG ad tectangulum aliud CG T. Quarto erit rectangulum ATB aequale rectangulo CTG: adeo, ut erit AT ad GT, ut est CT ad B T. Nam , ob re has continue prΟ- portionales CT, CA, CG, quadratum ex CAest aequale rectangulo TCG . Sed quadratum ex CA est aequale rectangulo ATB una cum

CT quadrato, S rectangulum TCG est aequa

34쪽

ELEMEN TR. 3τIe rectangulo CTG una cum eodem CT quadrato . Quare, dempto communi quadrato ex CT , remanebit rectangulum Ad B aequato reis Etangulo CTG.

Denique, si ΚL st coniugata ipsius AB,

cum qua tangens ET conveniat in puncto U. S ducatur ad eam ordinata EH ; erit, ut C Uad CΚ , ita CK ad CH . Nam, propter hyper-holam , CK quadratum est ad EG , seu CH quadratum , ut CA quadratum ad rectanguisium AGB ι sive etiam , ut rectangulum Τ CG ad rectangulum CGT , sive demum , ut CT ad G T. Sed CT est ad GT, ut CV ad EG, seu CH. Itaque erit ex aequali, ut CK quadratum ad CH quadratum, ita CU ad CH : R propterea tres rectae CV, CK, CH continue propor

tionales erunt.

IV. Sed facile quoque erit, comversas horam proprieratum ostendere. Nimirum primo, quod recta ET sit tangens hyperbolae, si utique CT sit ad CA , ut est CA ad CG . Nam, 'UAE M.

ex superius ostensis, BG est ad AG , ut FO ad Eo ι ct dividendo, AB est ad AG, ut EF ad Fi G. M. EO; S capiendo antecedentium dimidia , CAest ad AG , ut CE ad EO; S addendo antecedentes consequentibus, CA est ad CG, ut C Ead CD. Sed, ex hypothes, C A est ad CG , ut CT ad C A . Quare, et it ex aequali, ut CT ad CA . ita CE ad CO : S propterea recta ET . velut ipsi Ao parallela , tangens erit hyper.

bolae .

secundo,quod recta ΕΤ tangat hyperbolam in puncto E , s suerit rectangulum AGBαquale rectangulo CGT; atque adeo , ut Λ Gad

35쪽

SECTIO NUM CONICARUM .d CG . ita TG ad BG . Nam , semper ac rectangulum AGB est aequale rectangulo CGT;

si utrumque seorsim auferatur ex eodem CG quadrato , erit quoque CA quadratum aequale rectangulo TCG: proindeque erit, ut CT

ad CA , ita C A ad CG ; S consequenter ET

tangens erit hyperbolae.

Tertio, quod ructa ΕΤ contingat hyper-holam in puncto Ε, si fuerit, ut parameter AD ad diametrum AB , ita quadratum ordinatae EG ad rectangulum CGT . Jam enim quadratum ordinatae EG est ad tediangulum AGBIn illa ratione. Quare, semper ac idem quadratum supponitur habere eandem rationem ad

rectangulum CGT ; erit rectangulum AGRaequale rectangulo CGT : proindeque redhaET tangens erit hyperbolae. Quarto , quod recta ΕΤ sit tangens hyperbolae , si fuerit rectangulum ATB aequale rectangulo CTG; & consequenter, ut AT ad GT, ita CT ad BT . Nam, semper ac ponitur rectangulum ATB aequale tectangulo CTG, addito communi quadrato ex CT , erit quoque CA quadratum aequale rectangulo TCG: S propterea , quum sit, ut CT ad C A , ita CA ad CG; erit recta ET tangens hyperbolae. Denique , quod recta ET hyperbolam contingat in puncto Ε,s fuerit,ut CV ad CK.

ita CK ad CH. Nam semper ac CV est ad c Κ, ut CK ad CH ; erit quoque ut CV ad CH, ita

CK quadratum ad CH , sive EG quadratum . Sed , propter hyperbolam, CK quadratum est ad EG quadratum , ut CA quadratum ad rectangulum AGB . Quare erit ex aequali , ut

36쪽

CA quadratum ad rectangulum AGB, ita CP ad CH.

Hinc, addendo antecedentes consequentibuS , erit etiam . ut CA quadratum ad C Gquadratum, ita CU ad VH. Unde,quia CV est ad VH. ut C Γ ad ΕΗ, seu CG ; erit rursus exaequali, ut CA quadratum ad CG quadratum, ita CT ad CG ; adeoque, quum sit, ut CT alin , ita C A ad CG . erit tecta ET tangens hyperbolae. V. Nunc eas quidem pνοprierates Uesdd. v. mur,quae taeteutibus Θperbolae sibi mutuo oo- DV m m

currentibus, competunt. Hunc in finein ad duo M. γν...

quaelibet hyperbolae puncta A, S E ducantur z.

tangentes duae AX, EX, quae sibi mutuo oc, ma. currant in X . Extendantur eaedem usque do- ἔ- nec conveniant cum diametris AB, EF in

punctis L , & T . Et erit pruno , ut A X ad LX, ita Εκ ad TX. Ducantur enim ad diametros AB, EPordinatae EG , ΑΟ . Et , per superius ostensi, erit, ut CG ad C A. ita CO ad CΕ. Sed, pro ..pter tangentem ET, CG est ad CA , ut est CA ad CT. Itemque,propter tangentem AL, Co est ad CE , ut est CE ad C L. Quare erit ex aequali, ut CA ad CT , ita CE ad CL RPropterea , quum duo triangula A CL , ECThabeant circa angulum communem C latera reciproce proportionalia , erit triangulum

ACL aequale trianguIO ECT. Hinc ,dempto communi trapetio CTXL. erit quoque triangulum Ε LX aequale trianis gulo A TX . Unde , quum duo ista triangula habeant angulum E XL aequalem angulo

37쪽

4 SECTIO NuM CONICA Ru MAXT; habebuna quoque latera circum sequam les istos angulos reciproce proportionalia rproindeque erit, ut A X ad LX , iis ΕΚ ad TX ; hoc est tangentes duae AL , ET in eadem ratione sese mutuo secabunt in puncto X, in quo sibi invicem occurrunt. Vt. Hinc autem sequitur fecundo , tangentes duas AX , EX eandem eum ordinatis EG , Ao rationem habere ἶ adeoque esse , ut

A X ad EX, ita EG ad Ao. Est enim , ex superiua ostensis , ut Coad CE, ita CG ad CA . Sed,propter triangula aequiangula COA, CET, CO est ad CE , ut AO ad ET. Pariterque, ob triangula aequianis gula CGE , CAL, CG est ad CA , ut EG ad A L. Quare erit ex aequali, ut EG ad AL , ita AO ad ET ; S permutando erit etiam , ut EG ad AO, ita AL ad ET . Quia autem ostensum est, AX esse ad LX, ut est EX ad TX, addendo antecedentes consequentibus , erit quoque, ut A X ad A L. ita EX ad ET; S permutando erit pariter , ut A X ad EX , ita AL ad ET . Unde , quum in eadem ratione rectarum AL, ET sit, tam AK ad EX , quam EG ad AO ; erit ex aequali, ut ΑX ad EX, ita EG ad ΑΟ.

VII. A tque hinc modo sequitur ulterius, easdem tangentes A X, EX eandem rationem habere eum conjugatis diametrorum AB, EF, quod pertinent ad puncta contactus A , S E. Nam , per superius ostensa, ordinatae EG, Ao sunt, ut conjugatae diametrorum AB, EF. Sed tangentes A X , EX sunt inter se , ut ordinatae EU, ΑΟ . Quare erit ex aequali, ut

38쪽

ELEMENTA. 3s

ΑX ad EX, ita conjugata diametri AB ad

conjugatam diametri EF. Quemadmodum autem tangentes A X. EX su ut . ut conjugatae diametrorum AB.EF; ita quadrata tangentium AX, EX erunt, ut quadrata earundem coniugatarum; atque adeo, ut figurae ipsi rum diametrorum AB, EF . quibus suarum conjugatarum quadrata sunt aequalia. Unde modo, sicuti spurae diametrorum AB, EF rationem habent compositam ex ipsis diametris , M parametris earundem ἔ ita quoque quadratum tangentis A X ad quadratum tangentis Ex rationem habebit compolitam ex diametro AB ad diametrum EF , S ex parametro diametri AB ad parametrum diametri EF . VIII. Pertinet huc quoque haec alia proprietas , quod si AX , Ex sint duae tangentes hyperbolae , R ducta ex puncto contactus Adiametro AB,agatur per aliud contactus punctum E tecta BE , conveniens cum tangente

AX in puncto ι ι quod, inquam, Al sit dupla ipsius A X.

Protrahatur enim tangen1 EX, usque donec con eniat cum diametro AB in puncto T. Tum ducat ut ad eandem diametrum ordinata EG. Et quoniam, propter tangentem

ET . ut est B T ad CT, ita est GT ad AT;erit permutando , ut B T ad GT , ita CT ad AT Sed , componendo , BG est ad GT, ut CA ad AT . Quare erit rursus permutando , ut BGad CA, ita GT ad AT Jam Al ad A X rationem habet compo-C a sitam

39쪽

3ε SECTIO NuM CONICA Ru Mς tam ex AI ad EG,& ex EG ad AX . Sed, Ob triangula aequi angula BAI , BGE , AI est ad EG, ut AB ad BG . Itemque, ob trioaguli

aequi angula TGE , TAX , EG est ad Ak . ut

GT ad ΑΤ, sive etiam, ut BG ad in . Quare Al ad A X rationem habebit compositam eκ AB ad BG, & ex BG ad CA.

Patet autem, duas istas rationes componere Pariter rationem , quam habet AH ast

CA . Quare erit ex aequali, ut Al ad A X , ita AB ad CA : proindeque , sicuti AB dupla est ipsius C A ; ita etiam Al dupla erit ipsius A X. ix. IX. Sed facilc est etiam conversum hujus 2, ista, Uendere t nimirum , quod si Al sit dupla ip. δε- sius A X,& AX sit tangens hyperbolae ἔ etiam

Quemadmodum enim AI dupla ponitur ipsius AX , ita AB dupla est ipsius C A. Quare erit, ut AB ad CA, ita AI ad A X . Sed AI ad A X rationem habet compositam ex AI ad EG , S: ex EG ad AX ; sive etiam eκ AB ad BG , S ex GT ad AT . Itaque AB ad CA habebit pariter rationem compositam eae AB ad BG, S ex GT ad AT. Jam AB ad C A habet quoque rationem compositam ex AB ad BG , & ex BG ad CA. Quare erit, ut BG ad CA , ita GT ad AT ; Sepermutando , ut BG ad GT , ita C A ad AriSed dividendo BT est ad GT, ut CT ad

AT . Itaque rursus permutando erit, ut BTad CT, ita GT ad AT : S propterea,ex supe rius ostensis, recta ET tangens erit ellipsis. - X. Praeterea , ut ali ει ιongentium E per-

40쪽

δου proprietates prosequamar, sint adhuc AX, EX duae tangentes hyperbolae . Et, ducta dia metro AB , sit BZ tangens tertia, quae conveniat eum EX in puncto Z . Sitque demum KL conjugata ipsius AB . Dico . rectangulum ex ΑX in BZ aequata esse quadrato , quod fieex CΚ. Conveniat namque tangens Ex cum diametro AB in puncto T , ct cum ejus coniugata K L in puncto V. Dueaturque ex puncto contactus Ε . tum recta EG ordinata ad diametrum AB , cum recta Eri ordinata ad diametrum KL .

Quia igitur ET est tangens hyperbolae erit,ut BT ad CT, ita GTad AT. Sed, propter trIangula aequiangula TBZ , TCU, BT est ad CT, ut BE ad CU. Itemque,propter triangula aequiangula TGE , TAX , GT est ad AT, ut EG . sive CH ad AX. Quare erit ex aequa. i,ut BZ ad CV, ita CH ad A Xe ct propterea

rectangulum ex AX in BZ aequale erit reis ctangulo HCU. Et quoniam eadem tangena ET. occurrit quoque conjugatae diametro KL in puncto V; erit, ex superius ostensis, ut m ad CΚ , itam ad CV . Quare rectangulum H CV aequale erit quadrato ex CΚ.Sed rectangulo H CUostensum est aequale rectangulum ex AX in BZ . Igitur erit rectangulum ex AX in BZ aequale quadrato, quod fit ex CK . t XI. Ulterius,quemadmodum. AB, Κ L sunt duae hyperbolae conjugatae diametri, ita sine Λ R , PS. binae aliae diametri s militer coniugatR , quae conveniant cum tangente AX iti. . in C 3 pun-