Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

21쪽

is SECTIONUM CONICARUM

sua , quum occurrentes esse ordinatat, qua ad duas diame.

. . tres conjugatos referuntur; seudomusice. re. - . sv Hangulum sub segmentis unius esse ad rectan- . M is,Jω. g tum sub segmestas alteram an ratione duptiis μ' cata reciproca ipsarum diametrorum.

Sint namque AB , KL duae ellipsis dia.

Fic. e. m tri conjuga tae , sitque etiam Mo ordinata

diametri AB. & EF ordinata diametri ΚL ,

quae utrinque ad ellipsim terminatae .sbi mutuo occurrant in puncto H . Dico, re tang

Ium M HO esse ad rectangulum EHF , ut est KL quadratum. ad AB quadratum. Ex puncto E ducatur ad diametrum AB ordinata EG . Et quoniam, propter cilipsim , KL quadratum est ad AB quadratum, tam ut MN quadratum ad rectangulum AN B . quam ut EG quadratum ad rectanguis tum ACB , erit quoque, ut KL quadratum ad AB quadratum , ita differentia quadratorum MN , EG ad differentiam rectangulorum

dam, propter aequales EG, NH,disserent Ia quadratorum MN , EG est aequalis rectangulo M HO . Itimque, quum rectangulum AN B aequale sit disserentiae quadratorum CA, CN , & tectangulum AGB aequale differentiae quadratorum CA, CG; erit differentia rectangulorum AN B , AGB aequalis disserentiae quadratorum C si CN , quae tantundent valet, ac rectangulum ΕΗF . Unde erit, ut KL quadratum ad AB quadratum, ita rectangulum NHO ad tectangulum EHF. IV. Supponemus quarto , ex rectis , sibi invicem occurrentibus, asam ese diametrum,

22쪽

ELEMENTA. IstaIIam vero ordinatam alterius diametri . Et naνα- s.

quum id contingit, erit rectangulum sub segmentis illius ad rectangulum sub segmentis γistius , ut est quadratum prioris diametri ad . . , 'quadratum conjugatae alterius diametri.

Sit enim AB aliqua ellipsis di/meter, cu' pio 6 ius coniugata iiii KL , & MO una ex ejus oria'

dinatis , utrinque ad ellipsim terminata . Sit porro EF diameter alia , quae conveniat cum

ordinata prioris Mo in puncto H . Dico , rectangulum EHF esse ad tectangulum MHO, ut ei EF qnadratum ad KL quadratum. Ducantur namque ex punctis E , H . M tectae EG, HI . MR , ipsi AB parallelae , quae conveniant cum KL in punctis G, I, R. Et obtriangula aequiangula CLG, CHI, erit, ut CG quadratum ad CI quadratum , ita m quadratum ad HI, seu MR quadratum . Sed, propter ellipsim , in quadratum est ad MR quadrais tum , ut rectangulum ΚGL ad rectangulum KR L. Itaque erit ex aequali, ut CG quadratum ad CI quadratum , ita rectangulum ΚGL ad rectangulum KR L.

Hinc , conjungendo terminos priorἰs ra. t cinis cum terminis secundae , crie quoque, ut

CG quadratum ad CI quadratum, ita C quadratum ad rectangulum ΚRL una cum Ct quadrato. Quumque CG quadratum sit ad Cl quadratum , ut est C E quadratum ad CH

quadratum; erit rursus ex aequali, ut C E quadratum ad CH quadratum, ita CK quadratum ad tectangulum KRL una cum CI quadrato. Atque hinc , convertendo , erit ulterius, ut CE quadratum ad differentiam quadratois B a rum

23쪽

ao SECTIONUM CONICA Ru Metum CE , CH, ita CR quadratum ad differentiam quadratorum CR, Cl. Sed differentia quadratorum CΕ, , CH est aequalis rectanguis io ΕHF ς & differentia quadratorum CR , CI, sive MN , NH est aequalis rectangulo M HO. Itaque erit, ut CE quadratum ad rectanguis tum E H F. ita CK quadratum ad rectangulum NHO ; & permutando, ut C E quadratum ad CΚ quadratum, sive etiam, ut EF quadratum ad KL quadratum, ita rectangulum EHFad rectangulum M HO. V. V. Supponemus denique, reens duati sibi

. . ...ia mutuo occurrentes, ordisatas esse duarum diametrorum, qua inter se nequaquam funt conju-πνω-.... gaIa . Et in isto casu rectangula, contenta sub segmentis ipsarum, erunt, ut quadrata , quae Fas . . sunt eX conjugatis earum diametrorum.

Sint enim AR . RS duae quaevis ellipsis diametri; sitque Mo una ex ordinatis diameistri AB S PQ una ex ordinatis diametri RS. Conveniant autem inter se duae istae ordἰnatae in puncto H . Dico , rectangulum M HO esse ad rectangulum PH Q , ut est quadratum, quod sit ex conjugata diametri AB , ad quadratum, quod fit ex conjugata diametri RS. Ducatur namque per punctum H diameter tertia ΕF. Et quoniam diameter ista EF secat Mo,ordinatam diametri AB, in puncto H gerit, ex ostensis , ut rectangulum ΕΗF ad re- Etanguluin MHO , ita EF quadratum ad quadratum conjugatae diametri AB Quumque ca-dem ΕΚ shcat pariter PQ , ordinatam diametri RS , in puncto H ς erit quoque, ut rectangu

24쪽

g L E M E N T A. a Idratum ad quadratum conjugatae diametri RS . Quare ordinando erit, ut rectangulum M Ho ad tecta ligulum PH Q, ita quadratum cx conjugata diametri AB ad quadratum ex conjugata diametri RS.

VI. Et quidem universale theorema. ν-. a quod hac in re Iocum habet . huiusmodi est . ,

quod si iutra ellipsim bina ducantur rectae L. τοῦ .iacmae , quaesus mutuo scent 3 rectangata , quae G sunt ex segmentis ipsarum , sint, ut quadrata εων.

ex conjugatis earum diametrorum , ad quas refrae illae velut ordinatae referuntur. Et omnia alia theoremata, superius ostensa, sunt tantum

casus speciales istius. Nam primo , si ductae rectae lineae transi eant per centrum. ct sint ellipsis diametri;

erunt ipsaemet conjugatae earum diametrorum , ad quas eaedem velut ordinatae reseruntur. Unde,vi ejus theorematis generalis,omniis

no necesse est , ut rectangula sub segmentis ipsarum simi, ut quadrata earundem. Secundo, si una ex iis rectis sit diameter,& altera ejus ordinata et quemadmodum prior est conjugata illius diametri, ad quam ipsa velut ordinata resertur 3 si e coniugata ejus dia. metri, quae secundam agnoscit tamquam suam ordinatam , est conjugata diametri peioris. Quare,per theorema generale,rectangu Ium sub segmentis diametri ad rectangulum sub segmentis ordinatae erit, ut quadratum diametri ad quadratum suae conjugatae. Tertio, si rectae , sese invicem secantes,snt ordinatae duarum ellipsis diametrorum sonjugatarum, non aliae erunt coniugatae di

25쪽

ax SECTIONUM CONICARUM

metrorum , ad quas rectae illae velut ordiis natae reseruntur, quam eaedem diametri, inverso ordine sumptae. Unde, per theorema generale,rectangula, contenta sub segmentis cais rum ordinatarum , erunt in ratione reciproca duplicata suarum diametrorum.'Denique, si una ex iis rectis sit diameter, ct altera sit ordinata alterius diametri ; erit ipsa prior recta coniugata illius diametri, ad quam eadem velut ordinata refertur. Unde,ob theorema generale,rectangulum sub segmentis prioris diametri erit ad rectangulum sub seg. mentis ordinatae alterius diametri, ut est quadratum diametri prioris ad quadratum conjugatae alterius diametri. v II. VII. Fieri autem potest, ut una ex secania tibus tangens emadat i nimirum, quum puncta duo sectionis coeunt in unum. In isto casa terungulum sub eius segmentis vertetur in 'quadratum ipsius tangentis . Unde inter qua dratum istud, & rectangulum, sub alterius seis cantis portionibus contentum, eadem adhuc ratio obtinebit. Quin etiam verti potest in tangentem utraque ferans . Et quum id contingit, ambo quidem rectangula, sub secantium portionibus contenta,abibunt in quadrata ipsarum tangenistium. Ex quo fit, ut inter quadrata , quae ex tangentibus fiunt , eadem pariter ratio de heat locum habere.

Et istud quidem jam praecedenti capite

speciatim a nobis ostensum fuit . Vidimus enim,quod si fuerint tangentes duae AX, EX. sibi mutuo occurrentes in X quadrata ipsa

araemem.

26쪽

p LEMENTA. ἀφtum eandem habeant rationem inter se , quam quadrata, quae fiuat ex conjugatis diametr eum AB, EF. Ad illud veto quod ait Inet , nec etiam diffieile erit, veritatem ejus speciatim ostendeis re . Sed distinguendi sunt tame a duo casu 1 . Primus est, quum secans est parallela diameistro , quae pertinet ad punctam contactus . Alter est,quum eadem secans ei diametro nequaquam eii parallela. VIII. Ponamus itaque primo , secantem parallelam esse diametro , quae p.rtiarer ad pππ- L. sum comatus et adeo nempe, ut exi siente mih mtangente , secans sit recta Ho , parallela dia- ώι -ι,. . metro EF . Jamque in hoc eata diameter . ad quam recta Mo velut ordinata refertur , erit

illa eadem, quae est conjugata ipsius EF. t w d. Sit igitur AB conjugata diametri Ep. Quumque vicissim EF sit conjugata ipsius AB , jam illud ostendendum nobis erit, ut ΕΗ quadratum sit ad rectangulum MHo,veluti est AB quadratum ad EF quadratum. Istud autem nullo negotio ostendemus sequenti ratione. Ex puncto M ducatur ad diametrum Epordinata MR. Et quoniam duae CE, H N inter se sunt aequales I erit etiam CΕ quadratum εο- quale quadrato, quod fit ex H N. Sed GE quadratum est aequale rectangulo ERF una cum CR quadrato. Et HN quadratum est aequale rectangulo M Ho una cum MN , sive eodem CR quadrato. Quare, dempto communi quadrato ex CR , remanebit tectangulum ERFaequale rectangulo M Ho. Quia autem aequalia sunt quoque quais

27쪽

14 SECTIONUM CONICARUM drata , quae fiunt ex ipsis MR , ΕΗ ; erit , ut MR quadratum ad rectangulum ERP, ita ΕΗ quadratum ad rectangulum Mido . Sed MR quadratum est ad restangulum ERF , ut AB

quadratum ad EF quadratum . Et igitur ex aequali in eadem ratione , quum habet AB quadratum ad EF quadratum , erit quoque ΕΗ quadratum ad rectangulum M HO. x. IX. Ponamus secundo , ferantem ιaud quidem parallelam esse diametro , quae pertinet

-.ιν. . ,o. tente ΕΗ tangente, secans sit recta HS , quae

..h - occurrat diametro EF . Jamque, si ΚL sit diameter, ad quam recta TS velut ordinata reia FIG. 8. fertur , ostendendum erit, Eri quadratum eia se ad rectatagulum THS , ut eli quadratum conjugatae diametri EF ad quadratum conjugatae diametri KL . Ducatur ex puncto Id se eans alia Ho ἰquae ipsi Ep si parallela ; sitque AB diameter, quae ipsam Mo velut suam ordinatam agno scit. Itaque,quum secans HO parallela sit diametro EF, quae pertinet ad punctum contactus E ; erit ΕΗ quadratum ad rectangulum M HO , ut est quadratum conjugatae diametri EF ad quadratum conjugatae diametri AB. Quoniam autem Ho , HS sunt secantes duae , quae velut ordinatae referuntur ad diametros AB, KLς erit, ex superius ostensia, reis ctangulum Mido ad rectantulum THS , ut est quadratum conjugatae diametri AB ad quadratu in conjugatae diametri KL . Quare ordinando erit , ut ΕΗ quadratum ad rectangulum THS , ita quadratum ex coniuga

28쪽

ta diametri EF ad quadratum ex conjugata diametri KL. X. Fatendum est tamen , demonstrationem X

. iam haud quidem generalem ine . Nam fieri tu i potest, ut recta Ho, ipsi EF parallela, ellipsimo 2

minime secet. Quum id contingit, duci potest in M. redia HO per centrum ellipsis. Jamque esui, FiG 9. nebit eadem demonstratio , si , reliquis ut supra manentibus , ostendi polsit. EH quadratum esse ad rectangulum M HO . ut est quadratum ex conjugata diametri EF ad quadra tum diametti MO. Id vero ostendemus in

hunc modum.

Sit GI eonjugata ipsus EF , ducaturque ex puncto M ad eandem EF ordinata MR. Et quoniam CH quadratum est ad C M quadratum , ut C E quadratum ad CR quadra. tum I erit convertendo, ut CH quadratum ad rectangulum M HO , Ita CE quadratum ad rectangulum ΕRF . Sed,ob ellipsim, CE quadratum est ad rectangulum ΕRF , ut est CG quadratum ad MR quadratum. Itaque erit exaequali, ut CG quadratum ad MR quadratum , ita CH quadratum ad rectangulum MHO. Quoniam vero MR quadratum est ad EH quadratum , ut C M quadratum ad CH

quac patum ἶ erit ex aequo perturbando , ut

CG quadratum ad ΕΗ quadratum , ita C Mquadratum ad rectangulum M HO; & permutando , ut CG quadratum ad C M quadratum, ita ΕΗ quadratum ad rectangulum MHo. Sed CG quadratum est ad C M quadratum, ut GI quaeratum ad Mo quadratum. Jtaque er t

29쪽

16 SECTI GNuM CONICA Ru Mex aequali, ut ΕΗ quadratum ad remngulum MHO , ita GI quadratum ad Mo quadratum. . Atque hinc modo nullo negotio . . . . . . ostendi potest a quod si duae ellipsis tangentes r. si . m tuo occ*rrant, ea sint inter se , veluti LUs e . . conjugatae diametrorum , qua pertimur adi puncta contactas .a... Sint enim AH , ΕΗ duae ellipsis tangeniates , quae sibi invicem occurrant in puncto M. Fio. o. Duc-ntur ex punctis contactus A , S E dia. metti AB . EF . Dico esse, ut AH ad ΕΗ , ita conjugata diametri AB ad conjugatam diametri EF. Ducatur namque diameter alia Mo, quae transeat per punctum H . Et quoniam AH est tangens, & Ho est secans , transiens per centrum; erit, ut AH quadratum ad rectangulum M HO , ita quadratum ex conjugata diametri

AB ad quadratum ipsius MO. Similiter, quia ΕH est tangens, ct Ho est

secans , transiens per centrumῖ erit, ut rectan

dratum ad quadratum, quod fit ex conjugata diametri EF. Hinc ex aequo ordinando er e, ut AHquadratum ad FH quadratum , ita quadratum ex conjugata diametri AB ad quadratum ex coniugata diametri EF i R propterea tange uintes duae AH , EM erunt, ut conjugatae diametrorum AB, ΕΚ.Caeterum ex iis , quae hactenus

ιλ....isaais ostensa sunt, prono alveo fluunt sequentia duo theoremata.

Primum theorema est , quod si duabus ellia

30쪽

cantes , ct conveniant inter se , tum tangenter, cum secanter ι ree angati , sub secantium feementis conteuta ,sint proportionalia quadratis. ρ- ex tangentibus fiunt. Nam diametri, ad quas duae secantes velut ordinatae reseruntur, sunt illae eaedem, quae pertinent ad puncta eontactus . Quare in eadem illa ratione , quam habent inter se quadrata tangentium , erunt quoque rectangulε, quae sub secantium segmentis continentur.

Alterum theorema est, quod si duabus δε- eantibus ellipsis parallelae fuerint flua aliae fcantes , ct conveniant iκter se, tam illae . ρπam istae ; recta uia sub fementis illarum Fur proportioualia rectangulis, quae fab segmentit sarum continestrer. Nam diametri , ad quas duae posteriores secantes velut ordinatae reseruntur, sunt illae eaedem , quae Agnoscunt velut suas ordinatas secantes priores. Quare in eadem illa ratione , quam habent inter se rectangula sub segmentis primarum secantium, erunt quoque rectangula sub segmentis aliarum.

C A P. III.

Demon antur proprietate

quae competunt tangentibus Operbolae.

I. Irea tangentes hyperbola 43m illud p . I. Aia 4 quoque superius ostensum est, νH-ι- quod