장음표시 사용
41쪽
Ductis siquidem , tum ordinatis MN , PQ ad diametrum AB, cum ordinatis A O , AI, ad diametros MR, PS , erit rectangulum ex MN in P ad CR quadratum in ratione composta ex MN ad CΚ , ct ex PQ ad CR. Sed , per ea , quae superius ostensa sunt, MN est ad CR . ut Ao , seu Ct ad CP. Itemque PQ est ad CΚ , uti CN ad CA ; sive etiam . ut Co ad C M . Itaque rectangulum ex MN lii PQ ad CΚ quadratum rationem habebit comis potitam ex Ct ad CP, ct ex Co ad CM. Jam , propter tangentem AΥ , diametro Ps occurrentem in Y , CI est ad CP, ut CP ad CY; sve etiam, ut PQ ad AY. Pariterque, ob tangentem A X , diametro MR occurrentem in X, Co est ad CM, ut CM ad CX, siv etiam, ut MN ad Ax . Quare rectangulum ex MN in P ad CK quadratum habebit quoque rationem compositam ex PQ ad AY , Seex MN ad A X.
Quoniam autem duae istae rationes componunt pariter rationem, quam habet rectangulum ex MN in PQ ad tectangulum ex AX
in ΑΥ ; erit ex aequali, ut rectangulum ex
MN in PQ ad rectangulum ex Axin ΑΥ, ita idem rectangulum ex MN in PQ ad mquadratum i & propterea rectangtilum ex
42쪽
ELEMENTA. 3ssi AB , XL sint duae hyperbolae diametri conis e rerea ιυjugatae,& rectangulum XAΥ , conteirium subportionibus tangentis A X, aequale si quadra. verum.
to, quod fit ex CK 3 aliae hinae diametti MR F1o. II. PS sint etiam conjugatae. Si enim PS non se conjugata ipsius M R, si ejus coniugata diameter alia TU,quae occurrat tangenti XY in puncto V . Et quoniam MR,TU sunt duae hyperbolae conjugatae
diametri, quae conveniunt cum tangente X Tin punctis X, & π ς erit rectangulum eκ AX in A aequale quadrato, quod fit ex CK. Quia autem eidem CR quadrato positum est aequale rectangulum ex AX in ΑΥ:erit rectangulum ex A X in A. aequale re-εtangulo ex AX in AY et proindeque portiones duae A . AY aequales erunt inter se. Quod quum fieri nequeat, consequens est, ut Ps sit conjugata ipsius M R. XIII. Atque hinc modo GIligi ulteriua potes , quod , si ex extremitatibus diametri AB . ducantur tangentes duae AX , BZ, comvenientes cum tangente tertia ET in punctis ut --X , S Z , iunganturque rectae CX. CZι istae,' ' 'ad hyperbolas usque productae, exhibebunt FIG. a. nobis binas earum diametros conjugataS. Si enim CZ producatur, usque donee conveniat cum tangente AX in puncto Yt, obtriangula aequiangula CBZ, CAY , erit, ueCB ad BZ . ita C A ad ΑΥ . Unde , quemadosiodum aequales sunt duae CB , CA ita in quales erunt Pariter duae BZ , ΑΥ : proindeque rectanguium ex AX in BZ aequale erit rectangulo ex ΑX in ΑΥ .
43쪽
ηo SECTIO NuM CONICA Rura Quum autem ostensum sit reetangulum ex AX in BZ aequale quadrato ex CK ue erit eidem CK quadrato aequale pariter rectangu- . . . . . tum ex AX in ΑΥ. Unde,quum duae diametti NR , PS abscindant ex tangente AX portio nes duas AX , AY , quae rectangulum contiment , aequale quadrato, quod fit ex CΚ εἴ pereR , qu modo. ostensa sunt, omnino necesse est . ut MR , PS sint duae hyperbolarum conis iugatae diametri. x IV. N XIV. Caeterum nolim hic silentis praeterire, quod si AB sit axis hyperbolae, AD para-
σem ope meter ejus,& ET aliqua tangens; ducanturque
ex puncto contactus Ε rectae duae EG , ΕΗ, una perpendicularis ad axem , & altera per Fi* Α' pendi eulatis ad tangentem; quod, inquam,Asssit ad AD, ut est CG ad GH. Si enim tangens ET conveniat cum ax An in puncto T; erit,ex is perius ostensis, ut AB ad AD , ita rectangulum CGT ad EGquadlatum. Sed, ob triangulum TFH, rectat,gulum in E . quadratum ex EG est aequale rectangulo HGP. Quare erit quoque . ut AB ad AD . lta rectangulum CGT ad rectangulum H GTi Sc propterea, quia duo ista rectangula sunt inter se , ut CG ad GH ; erit, ex mquali, ut AB ad AD, ita CG ad GH. Quin etiam , s KL iit axis conjugatus , ε . RI parameter eius , cumque eo conveniat perpendicularis Eld in puncto R , eidemque ordinata demittatur EF , erit ut KL ad M,
ita CF ad F R. dam enim AB est ad AD , ut CG ad GH. Md ΑΒ est ad AD , ut XI ad KL ; S est
44쪽
ad GH , ut ΕR ad FH a sive etiam , ut FR ad CF . Quare erit ex aequali, ut ΚΙ ἐιd KL . ita FR ad CF i S inveetendo , KL erit ad KL ut CF ad FR,
Demonsrantur proprietates, quae competunt secantibus bdiperbolae .
i. Stensis proprietatibus , quae pero LM tinent ad tangentes hyperbolaeἰ
equitur modo, ut eas ostendamus, quae ejus. φνη N dem secantibus competunt. Res autem eo re
dit, ut inquiramis, uam rationem habeant iu , ter se rectangula, contenta sub segmenti daa- isti, rum rectarum, q- sibi matus occarrenter . utrimque, vel ad easdem hyperψolam, vel etiam mαν ad Θperbolas oppositas terminantur. Atque hic quoque , non iseus ae in ellipsi , varii. sunt. casus distinguendi , pro diversa qualitate rectarum , quae sibi mu. tuo occurrunt , Sc utrinque ad curvam termi nantur . Primo igitur supponemas, rectas trulas esse linat diametres , cdi ostendemus a re
Eanrulum ob fgmeutis saetus esse ad refra gulum sub segmentis alteriss in ripiacata ramtione ipsarum diametrorum. Sint enim AB,ΚL duae quaev Is hyperbo. FIG. I Dice diametri, quae sibi mutuo occurrunt in ipso centro C Dico , rectangulum liab segmentis uni
45쪽
A SE ET IONuM EGNI CARUM unius AC, BC. esse ad rectangulum sub see mentis alterius KC. LC, ut est quadratum diametri AB ad quadratum diametri KL. Nam . quum utraque diametet secta se bifariam in centro C ς erit in ratione Ipsarum
Sed rectangulum ACB est ad rectangulum KCL in ratione composita ex AC ad ΚC , Sen BC ad LC . Quare ratio eorundem rectangulorum ACB,ΚCL duplicata erit diameti rum AB, ΚL. Ir. II. Supponemus secundo , ex renis, ι
mutuo occurrentibus, onam quidem esse diameis
2 'trum , asteram ordiuatam usias . Et tu i m ea- rectangulam ob segmentis prioris recta erit ad rectava iam sub fgmentis alterias reriorvisata. is duplicata ratioue ejus , quam habet diameter ad suam coniugatam. Fio. t e. Sit ζnim AB diameter aliqua hyperbolae, 'euius KL sit eoniugata; sitque etiam Mo una ex ordinatis eius diametri, quae ipsi diametro occurrens in puncto N, utrinque ad hyperbolam terminetur. Dico, rectangulum AN B esse ad tectangulum MNO , ut est AB quadratum ad KL quadratum. Nam recta Mo, velut ordinata ipsius AB , bifariam secta est in puncto N . Quare erit MN quadratum aequale rectangulo MNo i ct propterea etit, ut rectangulum AN B ad rectangulum MNo, ita idem reinctangulum AN B ad MN quadratum . Sed reinctangulum AN B est ad MN quadratum , ut AB quadratum ad KL quadratum . Igitur in
hac eadem ratione erit pariter rectangulum
46쪽
ELEMENTA. 43 AN B ad rectangulum MNO. 1 Il. Supponemus tertio, revar sibi mutus III. occurrentes esse ordinatar, t aae ad fluat diame- α 'τror conjuarar referunturἶ ostendemusque. re-Haetatum ob fermentis unius esie ad νehan--lum sub Dementis alterias in rarione dupli.
Sint namque AB, KL duae hyperbolae u diametri conjugatae; sitque etiam Mo ordinaia x v 3s ta diametri AB , Sc EP ordinata diametri R L,
quae utrinque ad curvam terminatae . sibi mutuo occurrant in puncto M . Dico, rectangulum M Hoesse ad rectantulum EHF , ut est KL quadratum. ad AB quadratum. Ex puncto E ducatur ad diametrum AB ordinata EG. Et quoniam,propter hyper holam, Κ L quadratum est ad AB quadratum, tam ut MN quadratum ad rectangulum AN B , quam ut EG quadratum ad rectangulum AGB ; erit quoque, ut o quadratum ad AB quadratum , ita differentia quadratorum MN . EG ad differentiam rectangu lorum
Jam, propter aequales EG, NH,differemtia quadratorum MN , EG est aequalis rectanisnulo M Ho . Itemque, quum rectangulum AN B aequale si disserenita quadratorum , CN , ct rectanstulum AGB aequale differentiae quadratorum G, CG; erit differentia rectangulortim AN B . A S aequalis disserentiae qua dratorum CG, CN , quae tantundem valet, ac Tectangulum mF . Unde erit, ut KL quadratum ad AB quadratum, ita rectangulum
47쪽
' . SECTIONUM CONICARUM IV. IU. Supponemus quarto , ex re&is, Fbι
invicem uccurrentibus, unam esse diametrum, με aliam eiso ordinatam alterius diametri . Et
V. Grati. quum id contingit, erit rectangulum sub sedi T. uter mentio inius ad rectangulum sub segmentis
is istis ista istitis, ut est quadratum prioris diametri ad ι qita iratum conjugatae alterius diametri. Sit enim AB aliqua hyperbolae diameter, δῖ' cuius conjugula sit KL,S Mo una ex ejus oris dinatis,utrinque ad hyperbolam terminata.Sit porro EF diameter alia , quae conveniat cum ordinata prioris Mo in puncto H. Dico , rectangulum ΕΗF esse ad rectangulum Mido, ut est EF qnadratum ad XL quadratum ..Patet autem , duo hic contingere posse. Primo, ut ordinata Mo, quae resertur ad diametrum AB , suos terminos habeat in eadem hyperbola . Et secundo, ut terminetur ad hyia perbolas oppositas. In utroque casu ducantur
ex punctis E, H , M rectae EG, HI , M R, ipsi
AB parallelae , quae conveniant cum KL in punctis G, I, R. Et, ob triangula aequiangula Cm, CAI, erit, ut CG quadratum ad CL quadratum , ita m quadratum ad HI, seu MR
n.-. 0 ,. V P00-mus itaque Prἰmo , ordinatam au M.;ω, . Dot terminos habere in eadem ιγperbola . Et quoniam , propter hyperbolam , EG quadra. tum est ad MR quadratum , ut summa quadratorum CΚ , CG ad summam quadratorum Fici. x6. CK , CR.eris ex aequali, ut CG quadra tum ad Cl quadratum, ita summa quadratorum CΚ , CG ad summam quadratorum
48쪽
ELEMENTA. I 'MHIne , subducendo terminos prioris m. t Ionis ex terminis secundae , erit quoque ι ueCG quadratum ad CI quadratum , ita CK quadratum ad differentiam inter summam quadratorum CK , CR , Sc CI quadratum . Quumque CG quadratum sit ad CI quad tum, ut est CE quadratum ad CH quad tum ue erit rursus ex aequali, ut CE quadratum ad CH quadratum , ita CΚ quadratum ad di serentiam inter summam quadratorum CR , CR, & CI quadratum .
Atque hinc , subducendo antecedentes ex consequentibus , erit ulterius , ut C Equadratum ad differentiam quadratorum CE,
CH , ita CΚ quadratum ad disserenueiam quadratorum CR, Cl. Sed differentia qua diatorum CE , CH est aequalis rectanguis Io EHF ; ct differentia quadratorum CR , Ct, sive MN , NH est aequalis rectangulo M H Itaque erit , ut C E quadratum ad rectanguis tum ΕΗ F. ita CΚ quadratum ad rectangulum M HO; S permutando, ut CΕ quadratum ad C Κ quadratum , sive etiam, ut EF quadratum ad KL quadratum, ita rectangulum Ela Fad rectangulum M Ho.
VI. Ponamus seeundo , ordinatam terminari ad Θperbolas oppositas. Et similiter , quia υ Propter hyperbolam EG quadratum est ad MR quadratum , ut rectangulum ΚGL ad re. ctangulum KRL ; erit ex aequali, ut CG qua dratum ad CI quadratum , ita rectangulum FIO. i 7.ΚGL ad rectangulum KRL. Hinc, ex terminis prioris ration s subducendo terminos secundae, erit quoque, ut CG
49쪽
M SECTIO NuM cONICA RuM quadratum ad Cl quadratum, ita CK quadra istum ad differentiam inter Cl quadratum . Sarectangulum KR L. Qumque CG quadratum sit ad Cl quadratum, ut est C E quadratum ad CH quadratum , erit rursus ex aequali , ut CEquadratum ad CH quod ratum , ita CK quadratum ad differentiam inter Cl quadratum,
Atque hinc , capiendo differentias antecedentium , ct consequentium, erit ulterius, ut CE quadratum ad differentiam quadratorum
CE , CH , ita CR quadratum ad differentiam quadratorum CR, CI. Sed differentia quadratorum CE , CH est aequalis rectangulo EHF;& differentia quadratorum CR , CI est aequa- Iis rectangulo M Ho . Itaque erit, ut CE quadratum ad rectangulum EHF. ita in quadratum ad rectangulum M HO ; ct permutando, ut C E quadratum ad CK quadratum , sive etiam , ut EF quadratum ad KL quadratum, ita rectangulum EHF ad rectangulum M HO. VII. Supponemus denique,rectas duas sibi
mutuo occurrentes, ordinatas esse duarum diametrorum, quae inter se nequaquam sunt conjugatae . Et in isto casu rectangula, contenta sub segmentis ipsarum, erunt , ut quadrata , quae fiunt ex conjugatis earum diametrorum.
Sint enim AB , RS duae quaevis diametri , inter se nequaquam conjugatae sique Mo una ex ordinatis diametri AB, ct PQ una ex ordinatis diametri RS. Conveniant autem inter se duae istae ordinatae in puncto H. Dico, rectangulum M HO esie ad rectangulum PHQ , ut est quadratum, quod fit ex co
50쪽
iugata diametri AB , ad quadratum , quod fieex conjugata diametri RS . Ducatur namque per punctum H diameis ter tertia EF. Et quoniam diameter ilia EF secat MO,ordinatam diametti AB, in puncto H οῦ erit , eκ ostensis , ut rectangulum in F ad imetingulum M HO . ita EF quadratum ad quadratum conjugatae diametri AB. Quumque eadem EF seeat pariter PQ . ordinatam diametri RS , in puncto id a erit quoque, ut rectangu
dratum ad quadratum conjugatae diametri RS . Quare ordinando erit , ut rectangulum MHo ad rectangulum PHQ , ita quadratum ex conjugata diametri AB ad quadratum ex conjugata diametri RS. VIII. Et quidem unIversale theorema, Vi Π.quod hae in re loeum habet, huiusmodi est, quod si imra hyperbolas oppositas bina ducantur rectae lineae , qua sese mutuo seceπι; re- o. Hoetuis, qua πι ex segmentis ipsarum, sint, se
ut quadrata ex conjugatis earis diametrorum , ad quas recta illae velut ordixata referuntur . Et omnia alia theoremata . superius ostensa, sunt tantum easus speciales istius . Nam primo , si duciae rectae lineae trans. eant per centrum . ct sint hyperbolarum diametri; erunt ipsemet conjugatae earum diametrorum, ad quas eaedem velut ordinatae reseruntur . Unde , vi ejus theorematis generalis, omnino necesse e st, ut rectangula sub segmentis ipsarum sint, ut quadrata earundena. Seeundo, si una ex iis rectis sit diameter.& altera ejus ordinata : quemadmodum prior