장음표시 사용
11쪽
12쪽
THEO REMA I. PROΡos. c I duabus quantitatibus inaequalibus
aequales quantitates addantur, aut minor maiori; maior erit ratio maioris ad minorem , quam maioris cum addito, ad minorem cum ad-
quana Ag. ad CF. Cum enim maior si AB. quam . ma- s. s. ior erit ratio AB: ad BE. quam CD. ad DF. &componendo ac permutando,maior erit ratio totius A E. ad totam si Rquam parti sBE.ad partem DF. Quare & reliqui AB. ad re- n. . liquum CD. maior erit ratio quam totius AE. ad totam CF. Quod demostrare oportuit. Eandem demonstrationem fieri certum est, si BE. statu tur minor quam DF.
13쪽
i Curui ac rem proportio promota.
SI ex duabus quantitatibus inaequalibus aequa-
les quantitates demantur, aut minor ex maio-ri ; minor erit ratio maioris ad minoremis ,
quam residui primae quantitatis ad residuum se
cundae . Statuatur AE.prima quantitas maior,& CPlecunda minor ,& ex AE. auferatur
BE.a qualis ablats DF.ex ---, ECF. Dico minorem ess D i Frationem AE. ad CR quam AB. ad CD. Cum enim maior sit AE. quam CF. ma- ior erit ratio AE. ad BE. quam CF. ad DF. & permutando maior ratio totius AE. ad totum CF. quam partis BE. ad 33 F- partim D. F. Quare reliqui AB. ad reliquum CD. maior erit ratio quam totius AE. ad totum CF. ideoque minor ratio maioris AE. ad minorem CF. quam residui AB. ad 'residuum CD. Quod erat demonstrandum. Idem sequetur si BE. sit minor quam DF. COROLLARIVM- .HIN sequitM , s sist quatuor magnitMines , quar ni prima maior sit quam secunda se tertia, o secundo
maior 'sem quarta , superetque prima secundam eodem aur-nera excessu, quo tertia quartam 3 prima ad secundam minor eris rario , quam tertiae a. quartam. Si enim prima quantitas paruarar AE. secunda AB. tertia CF. quarta CD. Atque dimerentia primae, se secundae BE. aeqaalis diserentiae ιertiae , se quanae DF. aut eriam minor , erit ex demonEM-ris minor ratio M. ad CF. quam M. ad CD. o permarando minor ratis AE. prima , ad AB. sec dam, quam CF. urtiae, ad CD. quartam. THEO-
14쪽
LIBER I. THEO REMA III. PROPOS. III.
Sy prima qu ntitas ad secundam maiorem ra
tionem nabuerit, quam tertia ad quartam , ac inter primam & secundam, itemq ue inter tertiam & quartam mediae proportionales sint quinta, & sexta; erit primae ad quintam maior ra- io, quam tertiae ad sextam .
AEB CFD SIT primae quantitatis A. ad secundam B. maior ratio quam tertiae C. ad quartam D. & inter A. B. statuatur media proportionalis E. & inter C.
maiorem esse rationem A. ad E. 7uam C. ad F. Si enim non cst maior, t vel aequalis, vel minor; Ac siit primum aequalis, ita ut sit A. ad E. Dcut C. ad F. est autem ut A. ad E. ita E. ad B. ergo ut E. ad B. ita C. ad F. sed ut C. ad F. ita ponitur F. ad D. vi igitur H ad B. ita F. ad D. cum igitur ponatur A. ad E. sicut C. ad Ratque hinc sequatur esse E. ad B. ut F. ad D. erit ex aequalitate ut A. ad B. ita C. ad in D. Quod est absurdum, ponitur enim ratio A.ad B. maior quam C. ad D. Sed dicatur ratio A. ad E. minor Zam ratio C. ad R Quoniam minor est ratio A. ad E.quam . ad F. & ut '. ad E. mediam proportionalem, ita E. ad B. erit mirior ratio E. ad B. quam C. ad F. Sed ut C. ad F.mediam proportionalem,ita F.ad D. igitur minor erit ratio E. B. quam F. ad D. Cum igitur minor ponatur ratio A.ad E. quam Gad R& sequatur minor proportio E. ad B. quam
u Quod est absurdum,posita enim est maior . . Igitur cum
15쪽
Curui ac recti proportio promota.
ratio dicta neque sit aequalis,neque minorierit maior. Quod demostrare oportebat
aevn minorem rationem habuerit quam tertia ad qua sam ac inter primam ac secundam sumatur media proponi natis quinta inter tertiam , se quartam siexta , erit primae ad quintam minor ratio, quam tertiae ad sextam. Si enim sa- ruantur C.prima D. secunda A. tertia B. quarta F. quinta E. sexta eodem profusmodo sequetur maiorem esse rationem A. ad E. quam C. ad F. ideoque minorem C. MF. quam A. ad E.
SI prima quantitas ad secundam habuerit mi
norem rationem, quam tertia ad quartanu, fueritque prima maior quam tertia, & primae ac tertiae eadem quantitas addatur, vel primae minor quam tertiae; minor erit ratio primae cum addita ad secundam, quam tertiae cum addita ad quartam. ' l HABEAT prima quantitas AB. ad secundania in
tur aequales BG. EH. Dico minorem esse rationem AG. ad C. quam DH. ad F. Cum enim maior sit AB. quam s. s. DE. maior erit ratio . ad BG. quam DE. ad ΕΗ. &ia componendo, maior erit ratio AG. ad BG. quam m. ad - γ 2 EΗ-
16쪽
EΗ. &per conuersionem rationis , minor ratio AG. ad M. quam m. ad DE. sed minor etiam ponitur ratio AB. ad C. quam DE. ad F. ergo ex aequalitate minor est
AG im Q hqa 'Dri. ad F. Quod erat probandum
SI h buerit prima quantitas ad secundam ma
iorem rationeinquam tertia ad quartam, sinque prima minor tertia, ac primae, & tertiae eadem quantitas addatur, vel primae maior quam aertiae erit ratio primae cum addita ad secundam
maior, quam tertiae cum addita ad quartam. SIT primae quantitatis AB.ad secundam. C. maior ratio quam tertiae DE. ad quartam F. sitque AB. minor quam DE. & primae ac tertiae addantur aequales BG. Λ . B a
minor quam DE. minor erit ratio AB. ad BG. quam DE. ad FH. & componendo,& pei conuersionem rationis, massi erit ratio AG. ad AB.
quam DIJ. ad D sed etiam ponitur maior ratio AB. ad C. quam DE.ad K igitur est aequalitate maior est natio AG. ad C. MaiiiiDHa ad p. Quod erat demostrandum. Idem amitosequitursi primuin additum m. sit maius
Eodem modo probatur, si ptur minus quam secundum ΕΗnem AG. ad. c. quam DFq. a
17쪽
6 Curvi ae recti proportio promota Pl
Si h buerit prima quantitas ad secundam mi
norem rationem quam tertia ad quartam,si que prima minor tertia , ac ex prima,& textia eadem quantitas dematur , aut ex prima maior quam ex tertia ; minor erit ratio residui primae quantitatis ad secundam, quam residui tertiae ad
quartam. HABEAT prima quantitas AG. ad secundam. C. mianorem rationem quam tertia DH.ad quartam F. sitque AG. minor quam DIJ. &expri- A., B 4ma ac tertia demantur
norem esse rationem resi- F,--ε
dui AB. ad secundam. C. quam residui DE. ad quartam F. Quoniam minor est AG. quam DΗ. & aequales BG. ΕΗ. erit AG. ad BG. minor ratio quam DIJ. ad EH. & permutando minor ratio totius AG. ad totam DF . quam partis BG. ad partem EIAE. quare & reliqui AB. ad reliquum DE. minor erit ratio quam totius AG. ad totum DH. & permutando minor erit ratio AB. ad AG. quam DE. ad DH. sed etiam minor est posita ratio AG. ad. C. quam DF . ad Risitur ex aequalitate , minor erit ratio primi residui AB. ad secundam quantitatem. Q quam secundi residui. m. ad quartam. F. Quod demonstrare ψportebat. . Eadem demonstrati0nis ratione sequitur,minorem ess rationem AB. ad C. quam DE. ad F. si detracta pars Baponatur maior, quam detracta EH. t
18쪽
THEOREM A VII. PROPOS.i VII. I
SI h buerit prima quantitas ad secundamnis
iorem rationem quam tertia ad quartam,sitque prima maior tertia, atque ex prima , &tertia aequalis quantitas dematur , aut ex prima minor, quam ex tertia; maior erit ratio residui pri
mae quantitatis ad secundam , quam residui tertiae ad quartam.
PRIMA quantitas AG. ad secundam. C. maiorem, habeat rationem quam tertia DIJ. ad quartam F. sitquGAG. maior quam DΗ.&
dam. C. quam residui DE. ad quartam F. Quoniam maior est AG. quam DIAE. & aequales sint BG. ΕΗ. ha- ἡ hebit AG. ad BG. maiorem rationem quam DΗ. ad ΕΗ.permutando , maior erit ratio totius AG. ad totum DΗ. ω quam partis BG. ad partem ΕΗ. quare, & reliqui AB. ad reliquum DE. maior est ratio quam toti's AG. ad totum DF . & permutando maior est ratio AB. ad AG. quam DE. ΡΗ. etiam maior est posita ratio AG. ad. Q quam DI . ad F. igitur exaequalitate maior erit ratio primi residui HB. ad secundam quantitatem. C. quam secundi residui DE. ad quartam F. Quod ostendere oportebat. Eodem modo maior fiet ratio residui AB. ad residuum.
. quam residui DE. ad residuum F. si BG. statuatur minor quam ΕΗ.
19쪽
a Curui ac recti proportio promota. THEOREMA VIII. PROPOS. VIII. Si fueris ut prima quantitas ad secundam
tertia ad quartam , sitque prima maior tertia, ac primae ac tertiae eadem quantitas addatur, aut primae minor quam tertiae s minor erit ratio primae cum addita ad secundam, quam tertiae cum addita ad quartam.
tertiae addantur aequales BI. EG. Dico minorem esse rationem A I. ad C. quam DG. ad F. fiat enim ut AB. ad DE. ita BI. ad EH. cum AB. sit maior quam DE. erit BI. id est EG. maior quam ΕΗ. Quare cum sit ut AB. ad DE. ita BI. ad EH. erit permutando , componendo , dc per conuersi nem rationis vi IA. ad AB. ita H D. ad DE. sed ut AB. ad. C. ita est DE. ad F. ex hypothesi est ergo , ex aequalitate ut AI.ad C. ita DH. ad F. minor autem est ratio DH. ad F. quam DG. ad F. minor igitur etiam est ratio AI. ad. C. quam DG. ad F. Quod erat ostendendum. Idem etiam aperte sequitur si BI. ponatur minor quam
Eodem modo oHenditur, sit vi prima quantitas ad secumdam, ita tertia ad quartam ostque prima minor tertia, ac primae , tertia eadem quantitas addatur , aut primae ma-rors
20쪽
Dr;maior erit ratio primae cum addita ad secundam, quam tertiae eum addita ad quartam. Nam si DRHatuatur prima, F ecumda, AB. tertia. C. quana , se addantur EI. . aut aequales , anem. maior inquetur eodem modo minorem esse rationem M. ad C. quam DG. ad F. ideoque maiorem esse rationem DG. ad F. quam M. ad C.
SI seerit t. prima quantitas ad secundam , ita ter
tia ad quartam, sitque prima maior tertia, atque ex prima & tertia eadem quantitas dematur, aut ex prima minor, quam ex tertia; maior erit ratio primi residui ad secundam quantitatem, quam secundi
ad quartam. HABEAT prima quantitas AI. ad secundam C.eandem rationem, quam tertia DG. ad quartam F. sitque A I. maior quam DG. & ex prima ac
tertia demantur aequales BI. A ----- -- IEH. Dico maiorem esseratim Cnem primi residui AB. ad se- Dcundam quantitatem C. quam Vsecundi residui DE. ad quartana quantitatem. F. Fiat enim ut AI. ad DG. ita BI. ad HG. crit HG. minorquam BI. id 'Τ' est quam EG. Quoniam igitur cis, ut totum AI. ad totum D I. ita pars BI. ad partem HG. erit reliquum AB. ad re liquum DH. ut totum AI. ad totum DG. & pci mutando, ut AB ad AI .ita DH.ad DG. sed ut A I. ad C. ita DG. ad F. crgo cx aequalitate, ut AB. ad C. ita DH. ad F. sed DH. ad F. maiorem habet rationem quam DE. ad F. Igitur primum resi- dilum AB. ad C. maiorem habet rationem,quam secundum DE. ad F. Quod &c. Idem prorsus concluditur si BI. pon