Curui ac recti proportio a Bartholomaeo Souero Friburgensi in Gymnasio Patauino matheseos professore promota libri sex

31쪽

1o Cu rui ac recti proportio promota.

SIT minor ratio AB. ad AC. quam AC. ad AD. minorquet sit AB. quam AC. & AC. quam AD. & differentiae, ut prius BC. CD. Dico maiorem esse rationem BC. ad CD quam AB. ad AC. aut A C. ad AD. Fiat ut AC. ad AD. ita AE. ad AC. R erit AE. maior quam AB. cadetque inter pucta BC. cum igitur sit ut AE.ad AC.ita AC. ad AD. erit per lemmata . B E C IS. huius ut AC ad AD. ita EC. ad CD. sed BC. ad CD. maiorem habet rationcm , quam EC. ad CD. igitur etiam maiorem habet rationem . quam AC. ad AD. sed etiam AC. ad AD. maiorem habet ran . tibiacm quam AB. ad AC. ergo BC. ad CD. maiorem habet rationem quam AB. ad AC. Quod fuit demolestiandum.

THEOREM A XIX. PROPOS. XIX.

SI fuerint tres quantitates in continua rationet maiori, & ordine maiores , duae differcntiae cun

tertia quantitate erunt in continua rationet, maiori. SINT tres quantitates AB. AC. AD.AB. maior qua AC. MAC.quam A D. rnatorqui I

AC. ad AD. Dico malo rem esse rationem BC. ad CD. quam CD. ad DA. Quoniam is enim tres quantitates AB. AC. A D. sunt in continua propo a D tione maiori, maior erit ratio differentiae BC. ad disserentiam h 'g'' CD quam CA. secundae magnitudinis, ad DA. tertiam sed CA.ad A D. maiorem habet rationem quam CD. ad AD. ergo multo maiorem habet BC.ad CD. quam CD ad DA.

32쪽

SI fuerint quotcumque quantitates in continua proportione maiori, 3 ordine maiores; maior erit ratio primae differentiae ad secundam clisse rentiam, quam ultimae differentiae ad ultimam nia-

maior quam CB. & CBcquani DB. R DB. quam AFEB. Dico maiorem ess rationem AC. ad CD. quam DE. ad EB. Quoniam maiorcst ratio AC. ad CD. quam AB. ad CB. id est quam CB. ad DB. & DB ad EB. at vero DB. ad EB.maior est quam DE. ad EB. maior ergo erit ratio AC. ad CD..quam DE. ad EB. Quod suit demonstrandum.

THEOREM A XXI. PROPOS. XXI. SI h bduxit prima quantitas ad secundam maio

rem rationem, quam tertia ad quartam, fueritq; prima maior quam secunda, au itertia: etiam differentia primae & secundae erit maior, quam differentia tertiae & quartae .HABEAT prima quantitas AB.ad secundam EB. mai rem rationem quam tertia CD. ad quartam FD. sitque AB maior quam AE. aut CD. C EDico maiorem esse AE. diL A -------Bferentiam primae & secun- C- , Ddae, quam CF. differentiam tertiae & quartae. Cum enim maior sit ratio AB. ad BE. quam CD. ad DF. erit eadem

huius

33쪽

11 Curui ac recti proportio promota.

ad maiorem aliquam BG. sit igitur ut AB. ad BG. ita CD. ad DF. erit per connersionem ra tionis ut AB. ad AG. ita CD. ad CR & permutando ut AB. ad CD. ita AG. ad CF. Sed maior est AB. quam CD. ex hypothesi, igitur maior est AG. quam CF. & adhuc maior AE. quam CF. Quod erat demo strandum.

ΤΗEo REM A XXII. PROPOS. XXII. I duo arcus circuli inaequales sint suis compis mentas ad idem punctum minores, sin*uli singulis ; maiorem habebunt rationem quam com- plementa , si maiores cum minoribus comparentur.

SIT circulus CEA. in quo arcus duo inaequales CD. mianor,CR maior,quorum complementa ad idcm punctum A.sint arcu A. minoris,EA. maioris, ille maior quam CD.hic quamCE. Dico maiorem esse rationem CE. ad CD.quam AD.ad AE. Cum.n. maior sit arcus A E. arcu EC. ide que arcu CD. si duobus AE. CD. hν addatur communis DE.maior erit ratio AE. ad CD. qua AD. ad CE. Et permutando maior AE. ad AD. Corol.quam CD. ad CE. ideoque maior si CE.ad CD quam A D. ad AE. Quod fuit ostendendum .

THEOREM A XXIII. PROPOS. XXIII.

SI sint duo triangula unum angulum uni angulo aequalem habentia , reliquos duos in quales ,

quorum neuter sit obtusus ; minor erit ratio lateris adiacentis angulo maiori, ad latus oppositum,

34쪽

angulo ςquali in uno triangulo, quam lateris adiacentis angulo minori, ad latus oppositum angulo ςquali , in altero triangulo.

SINT duo triangula ABC.DEF. quorum anguli ad A.D. sinr aequales, angulus vero ABC. maior quam DEF. ideoquω n.

ACB. minor quam DFE. nullus autem angulorum ad B. C. E. F. sit obtusus. Dico minorem esse rationem AB. lateris adiacentis angulo maiori ABC. ad latus BC. oppositum angulo aequali A. quam lateris DE. adiacentis angulo minori DEF. adlatus EF.oppositum angulo aequali D. Fiat angulus ABG. aequalis angulo DFE. erit trian ulum ABG. aequiangulum ii. r. triangulo AEF. Igitur angulus AGB. aequalis angulo DFE. cum vero angulus DFE. id est AGB.non sit obtusus,erit vel rectus vel acutus, si rectus erit eius complementum BGC. etiam 33.3. rectus; si acutus erit angulus BGC. Obtusus, ergo angulus 31. i. BCG. acutus;maius igitur latus BC. quam BE. Cum igitur in in mi triangulis a quiangulis DEF. ABG. sit ut DE.ad EF ita AB.ad 4 6. BG. habeat autem AB. ad BG. maiorem rationem quam AB. 8. s. ad BC. etiam DE. ad EF. maiorem habebit rationem quam , . AB.ad BC.atque adeo minor est ratio lateris AB. ad latus BC. quam lateris DE. ad latus DF. Eodem modo demonstrabimus minorem esse rationem DF.

ad FE. quam AC. ad CB. si fiat angulus EFH. aequalis angulo BCA. idem enim prorsus efficitur.

35쪽

Curui ac recti proportio promota . COROLLARIVM I.

HInc sequitur ni duo triangula unum angulum uni angulo aequalem habentia , reliquos duos inaequales, quorum neuter se obtusus, minor erit ratio lateris oppositi angulo minori , ad latus oppositum angulo aequali in uno triangulo , quam lateris opposit angulo maiori , ad latus oppositum angulo aequali in alio triangulo. Sint enim βperius duo triangula ABC. DEF. qtiorum anguli ad A. D. aequales , se angulus DFE. maior quam ACB. se angulus DEF. minor quam ASC. quorum nullus sit obtusus. Conseat ex superius demon ratis minorem esse proportionem DF. ad FE. quam AC. ad CB. sd DF. opponitur angulo DEF. qui minor sensus es quam ABC. Igitur minor est ratio latens DF. oppositi minor angulo E. ad latus EF. oppositum uni aequalium D. quam lateris AC. oppositi maiori angulo B. ad lo

RVrsi positis quae superius , maior eris ratio lateris p positi

angulo aequali , ad Iazus oppositum angulo minori in uno triangulo , quam lateris oppositi alteri aequalium angulorum,ad la- rus oppositum maiori angulo. OBensum enim e it minorem esse rationem AB. ad BC. quam DE. ad DF. Igitur conuertendo maior erit ratio CB. oppositi vis angulorum aequatium A. ad latus AB. Vpositum metnoriangulo C. quam lateris opposta ulteri aeq, liam angulorum ad latus ED. oppositum maiora angulo DFE. I i,.

THEOREM A XXIV. PROPOS. XXIV.

SI sint duo triangula quae unum angulum vniai gulo aequalem habeant, habeat autem alterum ipsorum angulum quolibet angulo reliqui

36쪽

LIBER I.

. a. s

trianguli maiorem: maior erit ratio lateris oppositiangulo aequali, ad alterum latus adiacens angulo maximo, 'uam lateris oppositi angulo aequali, ad latus quodlibet reliquum in altero triangulo. SINT duo triangula ABC. DEF quorum illud habeat

angulum ACB. maiorem quolibet angulorum DEF. DFE. sintque anguli ad D.A.aequales. Dico maiorem esse rationem lateris BC.oppositi uni angulorum aequalium A. in triangulo ACB. ad latus CA. adiacens angulo ACB. quamo Flatcris FE.oppositi alteri angulorum aequalium D. ad quodlibet laterum DE. DF.

Sint enim primum anguli F. E.non obtusi, & fiat angulus ACH. aequalis angulo DEF. cadet CH. intra triangu lum , quod maior sit angulus ACB. angulo DEF. cumque aequales sint anguli D. A.

aequi angula crunt triangula 32.r

A H. DEF: & anguli AHC. DFE. aequales, angulus autem

DI E. ex hypothesi vel rcctus est,uel acutus. Igitur etiam a gulus AH C. vel rectus est vel acutus ac proinde eius comple- yi mcntum CHB. vel rcctus vel obtusus, acutus igitur est CBA. 3 - ideoq; maior est recta CB.quam recta CH. Igitur etiam maior i9. i.

est ratio BC.ad CA.quam HC. ad CA. id est quam FE. ad ED. ' Τ cum similia sint triangula FED. HCA. in altero triangulo. -

R ursus fiat angulus ACG. aequalis angulo EFD. eodcmia prolsus modo ostendemus aequiangula esse triangula DEF. AG C. & angulum AG C. angulo FED. esse aequalem, qui cum sit rectus aut acutus, erit CGB. rectus aut obtusus, sed B. ostensus est Mutus maius igitur latus CB. quam CG. Quar D maior

37쪽

26 Curui ac recti proportio promota.

maior ratio BC. ad C.A. quam CG. ad CA. id est quam EF. ad FD. Quod crat ostendendum. Iam vero lai DEF. Obtusus, ex hypothesi minor quam BCA. ac proinde DFE. acutus,fiatque angulus ACH. aequalis angulo DEF. erit angulus ad Id. aequalis angulo ad F.cx paulo ante demonstratis,ideoque acutus , quare e modo quo prius probabitur maiorem esse rariC-nem BC. ad CA. quam FE. ad E D. Sed angulo FED. obtuso fiat aequalis CGA .cum aequales sint anguli CGA. GA C. angulis FED. EDF. a quiangula sunt triangula FED. CG A. quare& similia. Rursus maior est recta BC. quam irecta CG. ut mOX ostendemus. Quare cum sit ut EF.ad FD. ita GC.ad CA. maior autem sit ratio BC. ad CA. quam GC. ad CA. maior elici in .crit ratio BC. ad CA. quam EF. ad FD. Quod vcro CG. sit minor quam CB. ita demonstramus. Sumatur CI. aequalis ipsi CB. vel igitur punctum. G.cadit in punctum. I.vel ultra. I. Vc

sus A. vel inter I.& B. Cadat primum in punctum. I. si fieri potest, erunt anguli CIB. CBI. aequales cum igitur tam anguli trianguli ABC. BCA. CAB.quam duo Ct A. CIB. aequales sint duobus rectis, ablatis aequalibus CBI. CIB. remancbunt duo BCA. CAB. aequales angulo CIA. ergo angulus CIA. maior est angulo ACB. sed angulo CIA. ponitur aequalis FED. ergo angulo ACB. maior est angulus FED. quod cst contra hypothesin , qua ponebatur minor. Quod si dicatur cadcre in punctum K. inter L do A. adhuc maior crit angulus ille, cuni maior sit angulus externus AKC. interno & opposito AI C. Si

vero cadat inter I. & B. ut in L. tunc CL. subtendens angulum acutum CI L. mi nor est tecta C I. subtendente angulum obtusurn CLI .atque etiam ei aequali CB. atque hoc modo in quodcumque punctum cadat ipsum G. Ostendcturrceta G . minor quam CB. Quare sequetur quod demonstrandum crat.

SCHOLIUM.

Ex dictis colligitur si daeo quaelibet triangula comparentis iqaae unum avulum uni angulo aequalem habe maiori

esse

38쪽

LIBER I.

e rationem lateris oppositi angulo aequali , ad larus adiacens angulo maiori in uno triangulo , quam lateris oppositi angulo aequali ad latus adiacens angulo minori in altero triangulo ; o conaerundo, minorem esse rationem Literis adiacentis angulo maiori,ad latus oppositum angulo aequali , quam adtacentis anguic mInori, ad oppo situm angulo aequali ἱ hoc enim duabus praecedentibus demon-hraium est. Exclasimus.a.in Coroll. at tu ex angulis inaequalibus , obtusum, non sine rations. Potes enim com ingeres alierum triangulorum M amblygoniam , ut non sir minor ratio lateris opposit angulo minori , ad lams oppositum angulo aequali in uno triangulo , Pam ratio lateris opposti angulo maiori in altera ,sia aliquando aequalis , aut maior . Sit triangulum ABC. obtusi angu- iam adB.ct oxygonium DEF.cuique angulus EDF. aequalis angulo BAC. fatque a gulus ABH. aequa- Εlis angulo DEF.

erunt triangula DEF. ABH.

quiangula , ac si

miti et . Ducatur

gulus HGE. maior quam HBG. maior erit ratio AH. ad M. id ses AC. lateris oppositi AEngulo maiori ABC. ad CB. latus o postsitam angulo aequali A quam AH .ad HB. id est DF.latus oppositum angulo minori E. ad FE . latus o positum angulo aequali D. Si ero HG. fuerit ipse HB. aequalis se angvius HGB. angulo HBG. aequalis,erit ut AH. ad HG. id est ut AC.adCB.ita .ad HB. licet DF. ad FE. Sin autem GH. fuerit maior angatas HGB. minor avsu HBG.miuor erit ratio AH. ad HG.id eis AC. ad CB. quam AU. ad HB u DF. ad M.

39쪽

α 8 Carui ac recti proportio promota. THEOREM A XXV. PROPOS. XXV. SI duo triangula unum angulum uni angulo aequalem habuerint, reliquos inaequales : latus oppositum minori angulo unius trianguli, ad latus oppositum maiori minorem habet rationem, , quam latus oppositum maiora angulo in alio triangulo , ad latus oppositum minori. SINT duo triangula ABC. DEF. in quibus anguli ABC.DEF.aequales,reliquorum BAG. sit maior quam EDF. atquGideo DFE. maior quam ACB. Dico rationem lateris AB. oppositi angulo BCA. minori quam DFE. ad BC. latus oppositum angulo BAC. maiori quam EDF. esse min Crem ratione lateris DE. oppositi angulo maiori F. ad latusFE. oppositum angulo minori D. Fiat angulus BAG. ar- qualis minori EDF. Cum aequalis positus sit angulus B. angulo E.& Dctus angulus BAG.aequalis angulo D. quiangula erunt 4.ε. triangula ABG. DEF.est ergo ut DE.ad EF.ita AB. ad BG. sed AB.ad BG. maior est ratio quam AB.ad BC. Igitur etiam DE. ad EF. maior est ratio quam AB. ad BC. atque adeo minor est

ratio Adad BC.quam DE. ad EF.

40쪽

LIBER I.

COROLLARIUM

Eodem modo senditur , latin oppositam maiori angulo unius trianguli , ad latus oppositum minori maiorem habere rarionem , quam latus oppositum minori angulo in alio triangulo , ad latus oppo tum maiori a sensum enim es , maiorem esse rationem DE. ad EF. quam AB. ad BC.

THEOREM A XXVI. PROPOS. XXVI. ARc um in qualium inQuadrante, tangenS m

loris ad tangentem minoris maiorem habet rationem, quam arcus maior ad minorem. IN circulo AED. cuius centrum G. diameter GA. secans circulum in A. sit arcus maior AD, minor AE. & ex puncto A. ducatur ipsi GA. perpendicularis AC. tangens circulum in A. quam productam quantumlibet secent rectar ex G. centro per puncta E. D.ductae, in punctis B. C. erit AC. tangens maioris arcus,& AB. minoris, ex definitione tangentium. Dico maiorem esse rationem CA. ad AB. quam arcus DA. ad arcum AE. Ducatur ex E. termino minoris arcus ad AG. perpendiculariS EF. quae producta secet rectam GC. in puncto I. Quoniam minor est proportio trianguli FGE. ad triangulum EGI. quam sectoris 'AGE. ad idem triangulum EGI. & rursus minor est proportio . sectoris AGE. ad triangulum EGI. quam cius dein sectoris 3 AGE.ad sectorem EGD.minor erit proportio trianguli FGE. s , ad itiangulum EGI. quam sectoris AGE. ad sectorem EGD. 1M Sed ut triangulum FGE. ad triangulum EGI. ita rectata i ε