장음표시 사용
41쪽
so Curvi ac recti proportio promota.
cus AE. ad arcum ED. minor igitur erit ratio FE. ad EI. quam arcus AE. ad arcum AD. Quare conuertendo,& componendo , maior erit proportio FI. ad FE. id est. CA. ad AB. quam arcus AE. ad arcum AB. Quod erat demonstrandum .
I 2 sequentibus propositionibus sepe nominibus chordarum , simum ,
tangentium, secantium utemur quorum licet puraque vetunioribus matbematicis incognita fuerint, a recentioribus tamen passim usurpantur, in triangulorum praesertim calculis, qua nos etiam ad geometricas demon-yrationes traducemus, ut breuitati, ad quam mirum momentum habent, consulamus: multa enim, qua longis ambagibus describenda essent, unico verbo complectemur. Horum desinitiones qui ignorat, reperier apud Io. Resiomontanum lib. I. de triangulis definit ra. O i 3. 6brictophorum clauium tractatu desinubus; I Iaginum,Pitiscum, Lanctbergium, O alios quotquot de triangulis rectιlineis ac sphaericis scripserunt .
THEOREM A XXVII. PROPOS. XXVII. Differentia tangentium remotior a punio contactus ad vicinorem maiorem habet ratione , quam arcus illi respondens ad arcum.
IN Quadrante ABI. ducatur tangens BM. , & sumantur quotlibet arcus B L. LF. FK. KN. quorum primi propiores sint puncto contactus B. & per puncta L. F. K. N. ducantur secantes A C. AD. AE. A M. erunt DC. ED. ME. differentiae tangentiun quarum primae viciniores sunt puncto contactus B. Dico maiorem esse rationem ED. ad DC. quam arcus KF. ad amcum FL. & maiorem ipsius ME. ad DC. quam arcus
42쪽
3 Idifferentiae illae coniunctς sunt, vel separatae: sint primo coniunctae , ac per punctum F. in quo A D. circulum siccat ducatur H I. ipsi MB. parallela secans AE. AC. in punctis Η. G. QUO- s. i. niam minor est ratio trianguli GA F. ad triangulum I AH. quam sectoris I AF. ad idem triangulum FAH. & adhuc minor est ratio sectoris I AF. ad triangulum FAIq. quam eiusdem se- oris LAF. ad sectorem FAK. minor erit ratjo trianguli GA F. y3 ad triangulum FAIJ. quam sectoris I AF. ad sectorem ΓΑΚ. ideoque maior erit ratio sectoris LAF ad sectorem FAK. id est j j... arcus LF. ad arcum FK. quam trianguli GAF. ad triangulum I AH. id est quam GF. ad FH. ergo maior ratio HF. ad FG. id
est rectae ED. ad rectam DC. quam arcuS KF. ad arcum FL. Cori quod prius demonstrare oportebat. I 6. . Sint secundo differentiae illae, ut ME. DC. separatae intc media ED. cum maior sit ratio ME. ad ED. ex paulo ante de monstratis, quam NK. ad KF. & ratio ED. ad DC. etiam probata sit maior quam KF. ad FI . erit ex aequalitate maior ratio ME. ad DC. quam NK. ad FL. Quod secundo erat demoi strandum. Igitur differentia tangentium &c.
THEOREM A XXVIII. PROPOS. XXVIII. SI expuncto ubi diameter circulum secat duo ar
cus inaequales sumantur , ex quorum extremis
ad diametrum duae inter se parallelae ducantur,
maior erit ratio maioris arcus ad minorem , quam lineae ducta ab extremo maioris arcus , ad eam quae ab extremo minoris ducta est. E X puncto B. ubi diameter AB. circulum BCD. secat, s
mantur duo arcus inaequales BC. minor BD.maior,ex quorum extremis C. D. ducantur parallelae CF. DG. secantes dia metrum in punctis F. G. Dico maiorem esse rationem arcus BD. ad arcum BC. quam recta: DG. ad rectam CF. Coi nectantur
43쪽
31 Curui ac recti proportio promota.
tur puncta CD. recta DCE. quae vel concurret cum diametro producta, ut in prioribus figuris , vel erit parallela vi in post
riori. Concurrat primo ex parte arcuum sumptorum in E. ducantur AC. AD. Quoniam minor est ratio sectoris BCA. adsectorem ACD. quam trianguli ECA. ad eundem sectorenia ACD.&adhuc minor trianguli ECA.ad sectorem ACD.quam trianguli ECA. ad triangulum CDA .multo minor erit ratio se-yi etoris BCA. ad sectorem ACD. id est,arcus BC. ad arcum GD. 33 β quam trianguli ECA. ad triangulum CDA. id est rectar EC. ad rectam CD. & conuertendo , ac componendo, maior ratio a cus DB. ad arcum BC. quam DE. ad EC. id est, quam DG.
Concurrat secundo DC. non eX parte arcuum sumpto rum , ut in tertia figura sed in parte opposita, sitque FC.maior quam GD. Constat mai rem esse rationem arcus DB. ad arcum BC. cum sit maioris inaequalitatis, quam GD. ad FC.quae proportio minoriε inaequalitatis est.
44쪽
3 ISi vero DC.sit parallela ipsi AB. cum parallelae etiam sint FC. GD.
aequales erunt FC. GD. cum ergo maior sit arcus DB. quam BC. maior erit ratio arcus DB. ad arcum CD. maioris inaequalitatis, quam ratio GD. ad FC. quae aequalitatis est. Quod erat demonstrandum.
HInc patet , quod arcus maior ad minorem maiorem haberrationem, quam nus rectus arcus maioris, ads num rectum minoris. Si enim Iam CF.quam GD. snt ad diametrum perpendiculares , manifestum est ex desinitione us , rectam CF. esse num rectum arcus BC. se rectam DG. sntim rectum arcus BD. onensum autem es maiorem esse rationem arcus BD.adarcum BC. quam rectae DG. ad rectam CF.
HIne etiam deducitur maiorem esse rationem arcus ad arcum , quam subtensae siu chordae maioris arcus ad chordam mGnoris. Sins enim duo, arcus DBI. CBH. ilia maior , hic minor , quorum chordae DI. CH. qui dividantur bfariam , 3.3. r ad rectos a diame ro EA. in punctis G.F. Eodem modo Vendemus maiorem esse rationem DB. ad BC. qaeiam DG. ad CF. cr ter minorum proportionis duplicatione, maiorem esse rationem arcus DBI. ad arcum CELI. quam chordae DI. ad chordam CH.
P Raeterea sequitur ex demo Irati maiorem esse rationem --cus maioris ad minorem , quam secanIis complementi minoris arcus, ad secantem complementi mMoris. Eu enam, τι--
45쪽
3 Curui ac recti proportio promota.
do de mon stratum est , maior ratio arcus maioris ad minorem quam us rem maioris ad sinum rectam minoris , ut autem Mus rectus Cu' arcas maioris ad sinum rectum minoris , ita sicans complemensi, , .dd arcus mInoris ad secantem complementi maioris . QItar mior secau- ect ratio arcus maioris ad minorem, quam secantis complementi JhV, minoris a scantem complementi Ioris .
COR OLLARIVM IV. . DFnique constat s ex puncto quolibet diametri prodam du
catur recta circulum scans , maiorem esse rationem partis illius rectae exira circulum ad eam quae circuli arcum subtendit , quam arcas diametro se sicante compraehensus ad arcum que pars secantis subtendit: ostensum enim eis maiorem esse rationem EGMCD. quam arcus BC. Marcum CD.
THEOREM A XXIX. PROPOS. XXIX DI serentia tam sinuum rectorum quam ver-
iorum vicinior centro circuli ad remotio rem maiorem habet rationem , quam ar cus cui differentia subtenditur, ad arcum.
IN Quadrante ABI. cuius centrum B. latera BA. BI. sumantur quotlibctarcus IN. IX. I F. I L. IA. dc ducantur sinus . recti NM. ΚΕ.FD. LC. AB. parati teli diametro AB.crunt MI. EI. DICI. sinus versi dictoriiiii arcuum. Rursus arcuum AL. AP. AK. AN.AI. sinus recti erunt rectae BC.BD. BE. BM.BI. & ME. ED. DG differentiae tam sinuum rectorum quaversorum. Dico maiorens esse rationem CD. quae vicinior est centro B. ad DE. quae remotior est, B Q D EMIquam
46쪽
quam arcus LF. ad arcum FK. Item maiorem esse rationcm DC. ad ME. quam arcus FL. ad NK Ducantur chordae ΚF. FL. ΚL. Item ex F. & Κ. perpendiculares ad AB. rectae FG. ΚΗ. secantes CL. in punctis P. Q. Quoniam in triangulis r ctangulis ΚPL. FQL. maiorcst angulus QLF. angulo PLΚ. minor erit reliquus QEL. reliquo PKL. Igitur minor est ratio sPK. ad KL. quam QF. ad FL. & permutando minor ratio ΚP. ad F dest EC. ad DC. quam KL. ad LF. sed KL. chorda . 3 -
arcus KL. ad FL. chordam arcus FI .minor in habet rationcm ch i ta quam arcus KL. ad arcum FL. Igitur recta EC. ad re- huiu ctam CD. minorem habet rationem, quam arcus KL. ad am 3 cum FL. & diuidendo, & conuertendo, maiorem habet rati nem DC. ad DE. quam arcus FL. ad arcum FV. Atque eodem prorsus modo demonstrabisur maiorem esse rationem DE. ad EM. quam arcus FI .'ad arcum UN. &EM. ad MI. quam R N. ad NI. Sed non sint differentiae coniunctae, ut DC. ac ME. Rursus cum maiorem habeat rationem DC. ad DE. quam arcus FL. ad arcum Fae. Item etiam maiorem habeat DE ad EM. qua arcus In ad arcu A N. habebit ex aequalitate DC. ad ME. maiorem rationem quam arcus FL. ad arcum A N. 'Denique sint dictae differentiae in diuersis Quadrantibus, ut differentia DC. in Quadrante BAI. & differentia EF. in Quadrante BA lla vicinior, haec remotior a centro : sumantur rectae BG. BH. aequales ipsis BC. BD. erunt DC. GH. aequales &EF. remotior a centro quam GH. quare maior erit ratio G H. ad EF. quam arcus MN. respondentis ipsi G H. ad arcum OP. re spondentem differentiae EF; ut probatum est prima parte huius, sed diiserentiae GH. aequalis est differentia DC. & arcui MN. a cus A L. Igitur maior est ratio DC. ad EF.quam arcus KL. ad arcum OP. Qiod erat demonstrandum.
47쪽
36 Curui ac recti proportio promota THEOREM A XXX. PROPOS. XXX.
SI sint duo arcus inaequales, minor Urerque,Qua
drante, aut alter maior alter minori, malo ad
minorem minorem habet rationem, quam si
laus versus maioris ad sinum vers una minoris. IN circulo FEL.sumantur primularituo arcus in Quadrante FL. cuius cetrum A.duar diametri perpendiculares A F. A L. scilicet DF. maior & EF. minor. Expunctis E. D. in diametrum A F. ducantur sinus recti DB. EC. erit BF. sinus versus
maioris ircus DF. & CF. sinus Ue sus minoris EF. Dico maiorem esse rationem BF. ad FC. quam arcus. DF. ad arcum FE. Pst enim FC. di L ferentia FA. sinus recti Quadrantis FEL. & sinus recti CA. arcus EL. Item CB. est differentia sinus recti
CA. arcus EL. & sinus recti AB. a his uicus DL. Igitur maior est ratio differentiae BC. vicinioris cen-' tro, ad differentiam CF. remotiorem,quam arcus DE. ad amcum EF. & componendo, maior est ratio BF. ad FC. quam DF. ad FE. Sit secundo arcuum alter maior Quadrante, alter minor: ut, arcus FE. sit minor Qaadrante FL. & arcus FD. maior e dem Quadrante. Duelis sinibus r elis ΕΚ. LA. DB. erit KF.sinus Versus arcus bE. & BF. sinus versus a cus FD. Item A F. sinus rectus Qua drantis FL. & AB. sinus rectus arcus 1 D. Dico maiorem esse rationem BF. ad KF.quam arcus DF.ad arcum EF Quoniam maior est arcus FL. arcu ς' LD.maior erit ratio arcus FL. ad ar-
48쪽
cum I D. quam FA. sinus recti arcus FL. ad AB. sinum rc ctum arcus I D. Igitur maior ratio AB. ad AF. quam arcus 2', I D. ad arcum FL. & componendo maior ratio BF. ad FA. quam DF. ad FE. sed FA. ad ΓΚ. maiorem habet rationcnia quam I F. ad FE; ut prima parte huius propositionis demonstratum est , ergo ex aequali maior est ratio BF. ad FK. quam sinus DF. ad FE. ideoque minor ratio arcus DF. ad arcum FE. sinus quam vers BF. ad linum versum KF. Quod secundo loco erat ostendcndum.
PROBLEMA I. PROPOS. XXXI. Irculum ita secare, ut sinus versi arcuum Qua
drante maiorum maiorem habeant rationem, quam arcus; si maiores cum minoribus comparentur. , CENTRO L. describatur circulus ABC. cuius diam
49쪽
38 rui ac recti proportio promota. .
ter A C. & ex L. ducta perpendicularis I B. secet circulum ita
duos Quadrantes AB. BC. & sumatur arcus BD. qui sit tertia pars Quadrantis. Item ex D. recta DM. perpendicularis diametro AC. Expunctis autem D. &B. ducantur duae rectar DH. BI. tangentes circulum in punctis D.B.& occurrentes rectis LB. M D. productis in P . I. ac secantes se in puncto F. Perpunctum F. ex puncto C. ducatur CFK. recta secans MD.pr ductam in K. & circulum in o. & LB. in G.&ex Ο. ducatur ad diametrum perpendicularis ON. erunt MC. NC. sinus versi arcuum DC. OC. quadrante maiorum. Dico maiorem ess rationem MC. ad NC. quam arcus DBC. ad arcum OBC. Connectatur LF. secans circulum in E. Quoniam triangula LDF. LBF. rectum angulum L DF. recto LBF. aequalem habent , estque ut DL. ad LF. ita BL. ad LF.&quilibet reliquo-ai., rum angulorum DFL. BFL. minor recto,aequales erunt anguli 7 6. DLE. BLE. ideoque arctuales arcus DE. BE. accum DB. sit qi pars tertia Quadrantis erit DE. sexta pars eiusdem , ac proinde in triangulo rectangulo LDΗ. erit angulus DLΗ. tertia pars recti, & DHL. dtur tertiae ; ideoque in triangulo etiam, rectangulo FBH. erit tam angulus ΗFB. quam ad verticcmIFD. tertia pars, id est quinque decimae quintae unius recti. Rursus in triangulo rectangulo GCL. angulum GCL. id est OCA. metitur medictas arcus AO. quare cum arcus A D. sit duae tertiae quadrantis, & DE. sexta pars quadrantis, crit e rum medictas una tertia, & una duodecima Quadrantis, id est quinque duodecimae ipsius Quadrantis ἱ maior autem est αs. i. arcus A O. quam A E. Igitur angulus OCA. id est GCL. id est δ) GFB. id est IFK. maior est quinque duodecimas unius recti. Est autem demonstratum angulum IFD. continere tantPum quinque decimas quintas unius recti. Igitur maior est angu- Ius IFK. angulo I FD. Quare posito codem sinu toto FI. maior est secans ΚF. maioris anguli, secante FD. minoris; quibus si communis addatur FO. maior erit ΚΟ. quam duae DF. FO. at, diu Vero duae rectae maiores sunt arcu DO. ut mox pro- .niede,.babimuS maior igitur est recta ΚO. arcu DO. minor autem
50쪽
est chorda OC. arcu OBC. Igitur maior est ratio rectar ΚΟ.ad y recta OC.quam eiusdem ΚΟ.ad arcum OBC.& ΚΟ.ad arcum OBC. maior quam arcus DO. qui minor est recta KO. ad ym arcum OBC. Igitur maior est ratio ΚΟ. ad O C. quam arcus DO. ad arcum OBC.sed ut ΚΟ.ad OC. ita MN. ad N C. Igitur maior est ratio M N. ad NC. quam arcus DO. ad arcum OBC. & componendo maior ratio MC. ad NC. quam arcus DC. ad arcum OC. Quod crat demonstrandum. Quod vero maiores sint DF. FO. quam arcus DO. ita probatur . Connectatur LO. & ducatur recta OP. tangens circulum in o. & secans LE. in P. supra punctum E. Cum in triangulo rectangulo LOP. angulus LOP. sit rectus,erit LPO.acu- ai.r. tus,ergo in triangulo OP F.angulus OPF. obtusus ; maius igitur est latus FO. latere PO. At vero maior est tangens DF. arcu DE. & tangens OP. arcu EO. Igitur duae tangentes DF. i. de
PO. sunt maiores arcu DO. Sed duabus tangentibus DF. PO. maiores sunt probatae DF. FO. &ipsis DF. FO. cst salitidio est maior ΚΟ. Igitur maior est ΚΟ. quam arcus DO.
Psten etiam demonnrari, si punctum aliquod sumatur inter edi
L. vlpunctum ducatur sinus rectus β' maiorem esse ratis-nem senus versi MC. ad sinum versum uC. quam arcus ME C. ad arcum Ri C. si enim non sit maior ratio MC. ad Cad quam DBC. ad REC.
sit minor aut aequalis , ac ponatur primum minor. Cum maior sit ratio 3 i. M C. ad c quam arcus DC. ad arcum CO. minor autem ratio MC. ad iη iusca. quam DC. ad CRO Igitur, ex I3. huius, maior erit ratio NTq. ad LPua quam arcus DO. ad arcum GR. conuertendo, minor rario uJI.
ad M'. quam Mu ad DO. O diuidendo, minor ratio ad M. , quam βο. ad OD. quod en absurdum, oriensim enim en propositione 29. huius huius, maiorem esse rationem V u. quam M. ad OD. Sed dιcatur ratio rata ad Cuta eadem esse rationi DC. ad CR. niam en vi MC. ad Ca. ita DC. ad CR. erit per eonuersionem rationis , o conuertendo, ut Nu. admc. ita DR ad DC. iterum NC. ad CV. maiorem habet rationem quam DC. ad O. ut in propositione oriensumen, erit per conuersionem rationis, minor rario MC. ad NN. quam D C.