장음표시 사용
21쪽
Curui ac recti proportio promota.
Eodem prorsus modo demonstratur, sest prima quantitas ad
secundam in tertia ad quartam Utque prima minor tertia , ac ex prima es tertia eadem quantitas auferatur, aut ex prima minor , minor erit ratio primi residui ad secundam quantitatem , quam secundi ad quartam. Nam s DG. statuatur prima. F.secunda.AI.tertia se C. quarta,ct auferantur ex BI. m. aut aequa-Ies,aut BI.minor; siquetur eodem modo maiorem se rationem AB. ad C.quam DE .ad F. ideoque minorem rationem DE. ad F. quam AB. ad C. ζ
SI sit ut prima quantitas ad secundam, ita tertia, ad quartam, quibus singulae quantitates addan
tur, ita ut additae ad primam & tertiam, lici additae ad secundam & quartam sint aequales, sitqui prima quantitas maior quam secunda,& tertia, atque additum primum maius secundo ; minor erit ratio primae cum addita, ad secundam cum addita, quania tertiae cum addita, ad quartam cum addita.
SIT ut prima quantitas AB. ad secundam CD. ita tertia EF. ad quartam GH. quibus ordine addantur IB. KD. 1 F. MH. sintque IB. LF item KD. M H. inter se aequales , AB. autem maior quam CD. aut EF. & BI. maius quam DK. Dico minorem esse rationem. AI. ad CK. quam EL. ad GM. Fiat ut CD ,ad AB. ita DK. ad BN. Item ut GH. ad EF. id est CD. ad AB. minor ad maiorem ita ΗM. δ' ad FO.erit BN.minor quam BI.&FO. minor quam FL. Igitur erit ut DK.ad BN ita HM id est .ad FO. aequales ergo sunt FO. BN. quae si demantur ex aequali bus I L. BI. remanent
22쪽
aequales OL. NI. Cum igitur sit ut AB. ad CD. ita BN. ad DK. erit ut AB. ad CD. ita AN. ad CK.&quia est ex constructione ut EF. ad GH. ita FO. ad 31H. erit ut EO. ad GM. ita EF. ad GH. id est , AB. ad CD.eri t ergo ut AN. ad CΚ. ita EO. ad GM. Quare cum primae AN. & te tiae EO. additae sint aequales. NI. OL. sitque prima maior quam tertia, erit per octauam pro positionem huius,minor ratio AI. ad CK. quam EL. ad GM. Quod erat demonstrandum.
AC EGEodem modo ostendetur, si it ut prima quantitas adsecum
damita lenia ad quartam 3 quibus guia quanti atra aridansur , ita τι additae ad primam i, rer iam, Dem additae ad F-cundam es quartam sint aequales , se iis prima quantitas maior quam scunda ,sd minor quam tertia , se primum additum maius secundo, maior erit Milo primae cum addita ad scundam cum addiIa , quam tertiae cum addita, ad quartam cum addita. Insuperiori figura statuatur EF.prima, GH secanda, AB. tertia, CD.quarias reliqua omnia fiant , ut in superiori iussumes,inueniemus minorem se rationem AI. ad CV quam EL. ad GM. ideoque maiorem esse rationem EL. primae cum addita , ad GM. sicundam , icum addita quam AI. Ieruae cum addita , MCV. quartam cum addit .
THEOREM A XI. PROPOS. XI. SI st ut prima quantitas ad secundam , ita tertia ad quartam, ex quibus singulae quantitates de
mantur, ita ut subtractae ex prima & tertiata , item ex secunda & quarta sint aequales s & sit prima quantitas maior quam secunda ac tertia, primumqVeB a d
23쪽
i L Curui ac recti proportio promota detractum maius secundo; maior erit ratio primi re sidui ad secundum quam tertij ad quartum .
SIT ut prima quantitas AI. ad secundam CK. ita terti EL. ad quartam GM. ex quibus ordine demantur IB. KD. LF-MH. sintque IB. I F. aequales temΚD. MH. inter se aequales, AL autem maior quam CK. aut EL.& IB. quam KD. Dico maiorem esse rationem AB. ad CD. quam EF.ad GH. Fiat ut CK. ad AI . ita DK ad KIN. Item ut G M.ad EI .id est,CK. ad AI. mi nor nempe ad maiorem ita Η. M. ad OL- erit MIN. minor quam BI. & OL. minor quam FL. Igitur erit ut DK. ad IN. ita, HM. id est DK. ad x ni. OL.aequales ergo sunt OL. IN.quae si demantur exaequalibus FL. BI. remanent etiam aequales OF. BN. Cum igitur sit ut A I. ad CΚ. ita NI. AC FG ad KD. erit&residuum AN ad residuum CD. ut totum AI.ad totum CK. Et quia est etiam ut EL. ad G M. ita OL. ad MH. erit residui EO.ad residuum GH. ut totum EI .ad totum G l. id est,ut AI. ad CK. Igitur erit vi. AN. ad CD. ita EO. ad GH. Rursus ex AN. prima & EL. ter-su tia demptis aequalibus BN. VO. erit, per nonam huius, maiorius. ratio AB.ad CD.quam EF.ad GH. Quod fuerat demonstrandum.
COROLLARIUM. Non aliter ostentaetrer si prima quantitas ad sicunda,
ita tertia ad quanam, ex quibus singuia quantitates δε- mantur , ita visbtractae ex prima se tertia, item ex secunda sequaria sint aequales , o sit prima quantitas maior quam scunda, Ad minor quam rertia , ac primum Atractam maius scundo; mianor erit ratio primi residui auscundum , quam teri, ad quartum. Hoc probabimus ratione smili qua et semus in superioribus corolla 's ,s EL. tuatur prima quantitas, GM. secunda AI. ter, e V. quaria. Nam si reliqua flant, vi in prvositione d -
24쪽
est , iuueniemus maiorem e se rationem AB. ad CD. quam EF. ad GH. ideoque minorem esse proportionem EF. ad GH. quam M. ad CD.
THEOREM A XII. PROPOS. XII. Si fuerint quatuor magnitudines, & aliae ipsis ae
quales numero, quae sese eodem ordine supe rent, sitque primae ad secundam in primis magnitudinibus maior ratio, quam primae ad secundam in secundis, & tertia ad quartam minorem habeat rationem in primis, quam in secundis , sitque tertia in gnitudo differentia, aut aggregatum primae & secundae s minor erit ratio secundae ad quartam in primis, quam in secundis magnitudinibus.
SINT quatuor magnitudines priores BA. AG. BG. GE.& quatuor posteriores DC. CH. DH. ΗF. quae sese eodem o dine superent, sitque maior ratio BA. ad AG. quam DC. ad Asa
CH. minor autem BG. ad GE. quam DFI. ad ΗF. sitque GB. differentia ipsarum BA. AG. ut in prima, secunda & quarta serie aut earundem aggregatum, ut in reliquis. Dico min rem esse rationem AG. ad GE. quam CIq. ad ΗF. Cum enim sit maior ratio BA, ad AG. quam DC. ad CH. erit in prima, secunda & quarta serie, diuidendo,& conuertendo, in reliquiS componcndo, &conuertendo, minor ratio AG. ad GB. quam
25쪽
I Curui ac recti proportio promota .
quam CH.ad I D. sed GB. ad GE. etiam minor ratio positi est , quam H D. ad HF. igitur ex aequalitate , minor erit ratio AG. ad GE. quam CIq. ad I F. Quod erat ostendendum.
SI sint tres magnitudines , & aliae ipsis aequales
numero , quae sese eodem ordine superent , sitque primae priorum ad secundam maior ratio , quam primae posteriorum ad secundam; primae autem priorum ad tertiam minor ratio , quam primae posteriorum ad tertiam , sitque prima maior quam 1ecunda, & tertia s maior erit ratio differentiae primae,& secundae , ad dissetentiam primae, & tertiae in prioribus magnitudinibus , quam in posterioribus.
SINT tres magnitudines AB. BE. BG. priores , & tres CD. DF. DH. posteriores , sitque tam prima priorum AB.maior ipsis BE. BG. quam CD. prima posteriorum maior ipsis DF. DH. sitquGmaior ratio AB. ad AG E B C H-F D
DF. minor autem ratio AB. ad BG. quam CD. ad DH. Dico maiorem esse rationem AE. differentiae primae , & secundae,ad AG. differentiam primae , & tertiar in primis magnitudinibus, quam sit ratio CF. differentiaeprimae , & secundar, ad CH. differentiam primae , & tertiar in secundis magnitudinibus. Quoniam maior est ratio AB. ad BE. quam CD. ad DF.& permutando maior ratio totius AB. ad totum CD. quam partis EB. ad partem FD. maior etiam crit ratio residui AE. ad residuum CF. quam totius AB. ad totum CD. & permutando maior ratio AE. ad AB. quam CF. ad CD. Eodem modo cum minor sit ratio AB. ad BG. quam CD. ad DH. & permutando minor ratio totius AB. ad totum CD. quam partis GD. ad parta HD.
26쪽
HD. erit&residui AG. ad residuum CIq. minor ratio quam totius AB. ad totum CD. & permutando ac conuertendo maior ratio AB. ad AG. quam CD. ad DH. Cum igitur maior sit ratio AE. ad AB. quam CF. ad CD.& maior ratio AB.ad AG. quam CD. ad DH. erit ex aequalitate maior ratio AE. ad AG. quam CF. ad CH. Quod erat probandum.
HInc etiam aperte Uenditur, minorem esse rationem di e-rentiaeprimae oscunda magnitudinis, ad disterentiam secundae , o tertiae in primis magnitudinibus , quam in secundis: .
videlicet minorem esse rationem AE. ad EG. quam CF. ad FH.cum enim sensum si maiorem esse ratistnem AE. ad M. quam CF. ad CH. erit per conuersionem rationis minor ratio M. adEG. quam . MFH.
PRAEIerea sequitis minorem eme ratione ecundae magurtud nis , ad disterentiam secundae tertiae in primis magnitudinibus , quam in fecundis . videlicet minorem esse rationem EB. ad . quam FD. ad FH. Nam cam postas ratio M. ad ZE. maior quam CD.ad DF.erit per conuersonem rationi se diuidendo minor ratio BE. ad EA. quam FD. adCF. sed AE. ad EG. ex praecedenti Corallano minorem habet rationem quam CF. ad FH. utitur ex aequali , M. ad EG. minorem habet rationem, quam DF. ad FH.
Constat etiam maiorem esse ratronem , M. primae quantitatis, ad GE. di erantiam secundae , or lenia , quam GD. ad . cum enim in superiori Corollario onensum sit minorem esse rati nem BE. ad GE. quam DF. ad FH. erit componendo , minor rario m.
27쪽
Curui ac recti proportio promota
Es. ad GF. quam DΗ. ad ΗF. Et rursus cum sis minor ratio M. ad BG. qu CD. ad DH. erit ex aequali minor ratio M. ad GE. Uod si proposito primae ad secuudam fuerit minor in primo ordia
ne quam in secundo, o prima ad tertiam maior, in primo quam in secundo, hinc etiam in conclusionibus seu demonstrationibus, versa maiori proportione in minorem, omnia eo modo siquentur, quo in pro positione rut si minor fuerit ratio AP. ad BE. quam CD. ad DF. m ior autem AB. ad TV. quam CD. ad DH. sequetur, ut in propositione, minorem esse rationem AE. ad AG. quam CF. ad CH. in primo corollario , minorem ratiovem AE. ad Eci. quam CF. ad FH. In fecundo, maiorem esse rationem BE. ad EG. quam DF. ad FH. in tertio denique malo rem rationem AB. ad GE. quam CD.ad HF.
SI cx prima quantitate, quae aequalis sit secundae
aut minor , auferantur tertia & quarta, & ex se cunda , quinta & sexta, sitque tertia maior quam quarta & quinta, & quinta quam sexta, & differentia tertiae & quartae aut maior aut aequalis differentiarquintae &sextae; maior erit ratio complementi quar tar ad complemcntum tertiae, quam complemcnil sc tae, ad complementum quintae
SINT duae quantiates aequales, prima AB. secunda CD. cxprima auferantur A E. tertia, &AF. quarta; Ilcm ex CD secunda demantur CG. Quinta & CH. Icxta, sitque AE. ipsa CG. maior , & disserensata A F BFE. maior, aut aequalis di L G serentiae. HG. Dico mai ' i Drem esse rationem FB. complementi ipsius AF. ad EB.
28쪽
LIBER I . . I7 complementum ipsius AE. quam IID. complementi ipsius
CH. ad GD. complementum ipsius CG. Quoniam enim ex aequalibus quantitatibus, AB. CD. inaequales demptae sunt AE. maior CG. minor, superest EB. minor, GD. m saxi ior. Igitur minor est ratio BE. ad EF. quam BE. ad GH. MBE. ad GH. minor quam DG. ad GH. Igitur minor cst ratio s. . BE. ad EF. quam DG. ad GH. & componendo, ac per conuersionem rationis,maior est ratio FB. ad BE. quam HD. ad . Idem etiam sequetur , si FE.& FIG. ponantur aequales, aut AB minor quam CD.Quod euidentius est quam ut probati ne indigeat.. I. LEMMA.
SI sint tres magnitudines continue proportiona
les ; habebunt differentiae eandem rationem quam magnitudines. SINT tres magnitudines AB. AC. AD. in con- , D c
rum differentiae sint BC. CD. Dico esse ut AC. ad AD. ita BC. ad CD. Nam quoniam est ut AB. ad AC. ita A C. ad AD ci it diuidendo, & permutando ut BC. ad CD.ita AC.ad AD. idest AB. ad AC. quod erat demonstrandum .
SI sint tres magnitudines in continua proportione maiori, sintque priores posterioribus maiores: maior erit ratio differentiae magnitud' iis primae & secundae, ad differentiam secundae & tertia , C quam
29쪽
18 Curui ac recti proportio promota. quam magnitudinis primae ad secundam, aut secun
dae ad tertiam. SINT tres magnitudines AB. AC. AD. in continua pr portione maiori, sitque BC. differentia primae & secundae magnitudanis , & CD. differentia secundae & tertiae, . T D c risitque AB. maior quam. -3AC. & AC. quam AD. Dico maiorem esse rationem BC. ad CD. quam AB. ad AC. aut AC. ad AD. Fiat ut BA. ad φ CA. ita CA. ad AE. erit AE. minor quam AD' cadetque pum stum E. inter D.& A. Quare cum sit ut AB. ad AC. ita AC. ad JςNJ AE. erit ut BC. differentia primae & secundae magnitudinis, I ad CE. differentiam secundae &tertiae, ita AB. ad AC. scd 3- - maior est ratio BC. ad CD. quam BC. ad CE. igitur maior est ratio BC. ad CD. quam AB. ad AC:sed etiam AB.ad AC.maior est quam AC. ad AD. Igitur maior est ratio BC. ad CD. quam AC. ad AD. Quod erat demonstrandum.
SI sint tres magnitudines in continua proportio
ne minori , sintque priores posterioribus maiores : minor erit ratio differentiae primae BC secundae magnitudinis , ad differentiam secundae &rertiae, quam magnitudinis primae ad secundam,&secundae ad tertiam. SIT minor ratio AB. ad AC quam AC. ad AD. sintque priores posterioribus maiores, & differentiae sint BC. CD.Dico minorem csse rationem BC. ad CD. quam AB. ad AC. aut AC. ad AD. Fiat ut AB. ad AC. ita CA. ad AE. erit AE. ma Iema tor quam A D. & cadet inter D. &C. Erit igitur, per lemmatri.'' praecedens , eadein ratio BC. ad CE. quae AB. ad AC. sed tio
30쪽
tio BC. ad CD. minor est quam ratio BC. ad CE. igitur minor ε. . est quam ratio AB. ad AC. ideoque etiam quam AC. . D E cad AD.quaeratione AB.a1 - - i-i- AC. minor posita est. Quod erat ostendendum.
THEOREM A XVII. PREPOS. XVII. SI fuerint tres magnitudines in continua proportione maiori, sintque priores posteriorinus minores ; minor erit uatio differentiae primae magnitudinis & secundae, ad differentiam secundae tertiae, quam magnitudinis primae ad secundam, aut
secundae ad tertiam. SIT maior ratio AB. ad AC. quam AC. ad AD. sin que priores posterioribus minores, & ditarentiae sint BC. CD. Dico minorem esse rationem BC. ad CD. quam AB. ad AC. & AC. ad AD. Fiat ut AC. ad AD. ita AE. ad AC. minor erit AE. quam AB. cadetque punctum E. int to.s. A. IB. Igitur cum sit ut AE. ad AC. ita AC. ad AD. crit,per . lemma praecedens, ut AC. ad AD. ita EC. ad CD. sed BC.ad ::I:
tionem quam AC. ad CD. sed AC. ad AD. minorem habet quam AB. ad AC. igitur BC. ad CD. etiam minorem habet quam AE. ad EC. Quod erat, &c.
THEOREM A XVIII. PROPOS. XVIII. SI fuerint tres magnitudines in continua proportione minori, & ordine minores; maior erit ratio disterentiarum quam magnitudinum. Cr C a SIT