장음표시 사용
431쪽
42Imen unam tantum, aut alteram proseremus, ad quarum imitationem, atque exemplum aliae imnumerae poterunt conformari . S IT Quadrans ABC. cuius centrum A. basis AC. I, tus erectum AB. tangens eiusdem in puncto B. quaelibet recta BO. moueatur latus erectum AB. ex A. versus C. ita ut sit continuo basi AC. perpendicularis , moueatur item tangens BO. deorsum versus A. ita ut ut in
toto motu lateri erecto AB. perpendicularis : & qua ratione AB. 1ccat AC. eadem BO. secet arcum Quadrantis BC. nempe cum AB. peruenerit in DE. tangens BO. peru
perit in FG. sitque ut CA . ad AD. ita CB. ad BG. atque ita deinceps , cum AC.Derri in HI, sit BO. in KL. sitque ut C A. ad AH. ita CB. ad BL. secent autem sese dictae rectar in puncto, quod in toto motu sui vestigium relinquat verbi gratia in B. M. N. Co d scribetur linea curua BMNC.
PROBLEMA VI. PROPOS. XXXVII. Vadrantem ita secare ut ducta perpendicularis ad basim arcum Quadrantis, &
basim alternatim in eandem ratione diuidat. SIT Quadrans ABC.cuius centrum A.latus erectum AB. basis AC. spiralis Quadrantis ADB.quam secet in D. semicirculus CDA. centro E. quod basim AC. bifariam diuidit descriptus, & ducantur recta CD. & ADH. in . peripheria Quadrantis Η. tandemque ex Id. recta HO.
432쪽
41L Curvi ae recti proportio promota.
perpendicularis ad basim C A. Dicol esse ut CH. ad HB. ita AO. ad O C. Est enim, ex dilinatione spiralis, 't. BA. ad A D. ita BC. ad C H. ipsi autem A D. est aequalis Ao. N. triangula HOA. CDA. h tabentra angulum communem ad A. & aequa cles rectos HOA.ex descriptione, CDA. in semicirculin& bases A C. Area quales,etiam re liqua Ietera AO.AD. item HO. c. D. aequalia habent. Igitur ut BA .ad AD. ita BA. id est CA . ad AO. ideoque ut CA .ad AO.ita BC. ad CH. &diuidcndo & conuertendo AO. ad O C. ut CFq. ad HB. Igitur Quadrantem itas cuimus. Quod facere oportebat. Quadrantis atltem n mine ibin in hoc tum in sequentibus problematis i sum arcuiti quadrantis nuncupabimus, ne cum cum armpartiali confundamus.
H Inc escisWr posse secari Euadrantem ducta perpen
diculari ad basim , ita vi quae ratio Euadrantisci ad arcum ea si nus totius ad num rectam complementi; sesnus totius ad sinum versum complementi quae ratio Anus recti ad sinum versum ea μι arcus resondentis snui vers ad arcum respondentem sinus recto p Est enim in et Arima figura ut arcus marianus CB. ad arcum HC It pnus totus AC. ad suum complementi OA. se ut arcus uadrantis CB. ad arctim HB. ira nus totus AC. ad num versam comFlementi CO. denique CH . arcus ad arcρm HB. en ut Anus ri cras AO. ad flnam versum OC. Ex quibus etiam seqnitur posse drcIa perpendiculari sicari .Eu
in fara funt variae lineae,quae habent eandem proportionem , qaam aat sinas totus adflnum rictum, aut idem ad umversum ,
433쪽
versum , aus sinus rectas ad sonum versum CHUmodi quamplurima occurrunt apud eos qui de Inibus , tangentiabas secantibus , ac chordis scri erunt , ad quos lectorem
PROBLEMA VII. PROPOS. XXXVIII.
Uadrantem ita diuidere, Ut quae propO tio Quadrantis ad arcum, eadem sit simis arcus ad sinum complementi.
Describatur intra Quadrantem ABC. quadratrix diuia Π hRiμ sua seu quarta BDE.& diuisa basi quadrantis bifariam in F. centro F. sei diametro FG describatur semicirculus UR. secans quartam Quadratricem in D. per quod transeat seniudiameter A DI.occqrrens Quadrati sin I. & reet i CDH. occurens lat vi erceto in H. Cum angulus CDA. η in semicirculo sit rectus erit CD. sinus rectus arcus clI. dc DA sinus rectus complemcnti, seu arcus IB. Dico esse Quadrantem BC. ad arucum IC. vlest sinu eius Cta a Uas IC. ad DA. sinunt complementi eu arcus IB. Quo-Q tr X duit siua erit ut BC. ad CI. ita V h BA. id eii CA. ad AH. id est CD.ad DA .Ergo Quadra tem ita diuisiinus &c. Quod erat faciendum
E boc Problem re colligitur posse diuidi suadrantem
ea ratione quam habent vana quamitates eaurima cum Προς sinu, rore Osisus complemenia, ac inter caei ras
434쪽
4 α Curui ac recti proportio promota.
Os ea,ut se eadem proportis Euadrantis ad arcum quae ritotius ad tangentem complementi . Ea enim ut CD. M DA. ides τια. MCI. Da Inus totus ad AH. tangentem anguli ACH. qui est complementum anguli DAC. scilicet arcas m.
Uadrantem ita secare ut duorum arcuum, , quae ratio prioris ad posteriorem eadem fit sinus complementi prioris ad tangentem complementi posterioris.1 .defin .hu- SIT Quadrans saepe dictiis intra quem descripta sint ius - . duae lineae BDA. spiralis& BKE quarta Quadratrix; , 33 μμ β -lbasi Ac . bifariam in F. dcscribatur centro F. sernia circulus A DC. distantia VC.sicans spiralem in D. Quadratricem qua . . tam in K. & ducantur semidiametri ADH. A XL. Secantes Quadrantem in H. L.&arcus BH. sinus rectus sit BI. & arcus B L. tangens BM. Dico esse ut circum HC. ad arcum LC. ita.BI. sinum complementi ΗC. ad BM. tangentem complementi arcus BL. Cum enim sit ut BC.ad HC.ita AB.ad BI. ut patet ex progres-37- huiu su 37.huius erit conuertendo vi HC. ad BC. ita BI. ad coibit a s. AB, est autem Vt BC. ad CL. ita AB. ad BM. igitur ex huius. aequalitate erit vi H C. ad CL.ita BI.ad B M. Quare quadrantem ita secuimus &c. Quod facere oportebat.
435쪽
Uadrantem ita secare ut quae ratio Quadrantis ad complementum dupli arcus, eadem sit sinus totius ad stangente
Sint ut in superiori, in Quadrante ABC.descriptae Helix, dia Quadratrix quarta secantes se in D. puncto per quod expunctis C. D. transeant duae rectar ADH. CDF. quarum illa quadrantem secet in H. hac latus erectum in F. &diuidatur arcus BH. bifariam in Q Iitque arcus B in tangens BR.& connectatur AR. secans FD. in o. Dico Quadrantem BC. ita sectum es e in Q ut qxi ratio Quadrantis BC.ad complementum P C. dupli B eadem sit sinus totius AB. ad tangentem BR. Quoniam ADH. recta transit per punctum D. existens in linea spirali erit ut BC. ad CH. ita BA. ad AD. Rursus quia recta CDF. transit per punctum D. quartae Quadratrici Serit ut BC. ad CH. ita BA. ad AF. aequales igitur sunt A D. AF. Quare cum in triangulis FAU. DA O. latera FA. AO. lateribus DA. AO. & anguli FAO. DAO. sint aequales sumpsimus enim arcus BQ. QH. aequales erunt anguli FOA. DOA. aequales, ideoque recti . Quare cum in triangulo rectangulo CA F. ex A. angulo recto in basim FC. perpendicularis A O. ducta sit erit angulus FCA. aequalis angulo FAO. Igitur cum in triangulis rectangulis CA F. ABR. aequales sint anguli recti ad A.& B. Saequales anguli FC A. BAR. aequales item A C. AB.
I. defin. huius. 33. huius. 9. F. 4. I. 8. 6.
436쪽
i 6 Curui ac recti proportio pronaota.
3 dc sii aequiangula , SQ aequalia erunt dicta triangula, ut ergo
A. id est BA. ad A F. ita AB. ad hR. sed ut B A. ad A F. ita ostensus est Quadrans BC. ad arcum ΗC. Vt igitur AB. ad BR. ita BC.ad ΗC. Quare Quadrantem ita secutiamus&c. Quod faciendum fuerat.
PROBLEMA IX. PROPOS. XLI. ΕX Quadrante duos arcus inaequales auferre
ita ut quae proportio maioris arcus adminorem, ea sit sinus recti minoris ad sinum complementi maioris.
Super eadem basi AC. centris A. C. duo Quadrantes describantur ACB. CAE. aequales secantes se in K. quorum latera erecta AB. CE ac sit latus erectum AB. diameter spiralis ADB. cuius principium A. extremum B. basis vero CA . st diameter alterius spiralis cuius principium C. extremum A. quae spirales sese in puncto D. siccent,& circa CA. descriptus sit semicirculus CGΗ A. Ducantur autem pcr punctum D. semidiametri AF. A M. illa s cans semicirculum in G. Quadrantem BC. in F. ista secans semicirculum in H. Quadrantem EA. in M. & ducta AH. secet Quadrantem BC. in H. manifestum est cum angulus in s micirculo c GA. sirceius L G csse sinum rectum arcus I C. Sobeandem causam CIq. esse sin tarta. rectum arcus KC. & HA. sinum complementi. Dico esse arcum maiorem KC. ad minorem FC. desin.r. hu- ut est sinus rectus CG. minoris arcus ad HA. sinum complementi maioris arcus KC. Nam ex natura spiratis,cum
437쪽
AD. ad AC. ita arcus FC. ad Quadrantem CB. id est a cus GC..ad semicirculum CGA. Rursus cum idem punctum D. sit in voluta ADC. erit ut AC. ad CDo ita Quadrans EA. ad arcum EM. semicirculus CHA. ad arcum CGH. ergo ex aequali ut A D. ad D. ita arcus CG. ad aracum CFq. id est arcus FC. ad arcum KC. coduertendo At vero aequi angula sunt triangula CGD.AH D.ob angulos rectos ad G. H. & aequales ad verticem D. igitur ut CD. ad DA . ita CG. ad ΗΑ. sed ut CD. ad DA . ita KC. ad FC. ergo est ΚG. ad FC. Vt CG. ad HA. ergo ex Quadrante &c. Quod erat faciendum.
PROBLEMA XI. PROPOS. XLII. Vadrantem ita secare, ut quae proportio
Quadrantis ad arcum , ea sit sinus totius ad tangentem dupli arcus complementi. Sit Quadrans ABC. cuius centrum A. basis AC. latus AB. & quarta Quadratrix in eo descripta BDE. centro autem C. distantia C A.describatur alius Quadrans CAI.
secans quartam Quadratricem in D.&ducantur retiae ADH. secans Quadrantem CB. ita Η.CDF. secans latus B .in F. & diuidatur DA. bifariam in L.ducaturque CLG. secans arcum DA. bifariam in G. erit AF. tangens arcus A D. Dico esse ut Quadra ψem A I. ad arcum IG. ita sinum
B A. qui duplus est arcus GA. complementi ipsius IG. Rursus enim ut insuperiori probabimus arcum DA. esse
438쪽
418 Curui ac recti propor. prom. Ub. VI.
duplum ipsius ΗΒ. ideoque GA. dimidium csse aequalem Jpsi HB. & reliquos arcus H C. GI. esse aequales ut ergo 33 hvix BC ad CH. ita ΙΑ. ad IG. vi autem BC. ad CH. ita BA. ad AF. ex descriptione quartae Quadratricis,Quale ut IA. Quadrans ad arcum IG. ita BA. sinus totus, ad tangen gentem BA. Ergo Quadrantem ita secuimus &c. Quod erat faciendum.