장음표시 사용
411쪽
BL. Quoniam O. est punctum in Quadratrice, erit ex de scriptioneQMdratricis,ut arcus adrantis BGad arcum XC. ita BA. latus erectum ad AN. rectam ,& per conue sonem rationis ut CB. ad ΒΚ. ita AB. ad BN. & cum in triangulis ABE. NBI. rectan ulis ad N. & A. etiam communis sit angulus ad B. vi icieo aequi apgula sint, erit ut BA. ad BN. ita AE. ad NI. ergo vr BC. ad ΒΚ. ita AE. ad NI. & permutando ut arcus BC. ad rectam AE. ita arcus ΒΚ. ad rectam NI. aequales autem ponuntur BC. & AE. aequales igitur erunt NI. &BΚ. Rursus cum DB. sit sinus versus arcus KB. maior erit ratio AB. ad BD. quam arcus I -3. CB. ad arcum ΒΚ. & ut arcus CB. ad arcum BK. ita AB. z ad NB. ex descriptione Quadratricis, igitur maior est ratio AR ad BD. quam AB. ad BN. minor igitur est BD. quam B quibus ablatis ex AB.maior est AD.quam AN. P Π-Igitur cum in triangulis aequi angulis ANO. AD K. ob rectos ad N. D. & communem ad A. sit ut A D. ad DK. ita AN. ad No. maior autem sit A D. quam AN. maior erit KD. quam No. cum ergo recta IN. ostensa sit aequalis arcui ΚΒ. arcus autem ΚΒ. maior sit sinu recto KD. & si . nus Κ D.ostensus sit maior quam No.erit NI.maior quam Eee NO.
412쪽
ox Curui ac recti proportio promota.
No. Cum ergo punctum O. sit in Quadratrice , erit pumictum I. extra Quadratricem; atque idem ostendetur in quolibet alio puncto Quadratricis intra Quadrantem. Insuper cum, ex descriptione Quadratricis, sit arcus CB. ad arcum CBL. vi recta AB. ad A M. erit ut CB. ad Blatta AB. ad BM. sed ut CB.ad BL. ita CB. ad ΒΚ. nam positi sunt aequales arcus ΒΚ. BL. &Vt CB. ad ΒΚ.ita . ostensum est AB. ad BN. ergo est ut AB. ad BM. ita AB. ad BN. aequales igitur sunt BN. BM. Quare etiam aequales NI. M P. nam in triangulis rectangulis BMP. BNI. cum aequales sint anguli recti ad M. N.& ad verticem B. & Iatera BN. BM. aequalia etiam erunt latera M P. NI. sed recta NLostensa est aequalis arcui ΚΒ.id est BL.ergo etiam MP. est aequalis arcui BL. qui minor est sua tangente M.& tangens BS. minor quam M R. ut enim AB. minor ad AM.maiorem, ita BS. minor ad M R. maiorem,in triangulis aequiangulis ABS. AMR. ob angulos rectos ad B. M. &communem ad A. Quare etiam MP. minor est quam . M R. caditque punctum P. inter M.&R. cumque R. sit in Quadratrice , erit puninum R. extra Quadratricem; atque idem ostendetur in quolibet alio putasto Quadratricis e tra circulum: Igitur recta EBP. tota cadet extra Quadra tricem, praeterque in purusto di illam igitur continget. Quod erat probandum.
THEOREM A XXI. PROPOS. XXII. Si lineam Quadratricem recta contingat in
puncto ubi circulum secat; anguli quos cum latere electo Quadrantis facit linea conti gens, inaequales sunt , & is quidem qui ad praecedentia constituitur est obtutus, qui ad seque
413쪽
obsint omnia quae superiori propositione,& recta EB. pr ducta tangat Quadratricem in B. Dico angulum ABP.esse obtusum, atque ideo ABE. acutum. Nam vi MA. ad AB. ita R A. ad AS. maior autem est MA. quam AB. igitur maior RA. quam AS. Cadit igitur punctum S. infra R. intra Quadratricem,cum punctum R. sit in Quadratrice: sed adhuc punctum P. lineae contingentis transit supra punctum R.cum sit extra Quadratricem,ergo multo magis punctum P. est supra puncturn S. maior igitur est angulus ABP. angulo ABS. at ABS. rectus est, igitur ABP. obtusus est ideoque ABE. acutus. Quod erat demonstrandum.
THEOREM A XXII. PROPOS. XXIII. SI Quadratrieem recta linea contingat in pun
cto ubi circulum secat; ea coibit cum basi Quadrantis cui inscribitur : Sc pars dictae basis inter centrum circuli, & contingentem erit aequalis arcui Quadrantis.
Sit Quadrans ABC. cuius centrum A. basis AE. latus erectum AB. in quo Quadratrix descripta DBG. cuius basis A D. quae quidem extra Quadrantem producatur, eo modo quodecim quarta pro, position
. huius dea monstratum est,ita
Vt pars Druintra pars' BG. cadat extra Quadrantem , eumque secet in B. puncto in quo
414쪽
o Curui ac recti proportio promota.
Quadratricem tangat recta FBE.. Dico quod recta FBE. coibit cum basi AC. producta verbi gratia in E. & quod
recta A E. erit aequalis arcui Quadrantris BC. Primum euidens est , angulus enim BAE. rectus est ex suppositione,& ABE. acutus ex demonstratis, coeunt igitur Ata&BE. Quoad secundum, si AE.cnon est aequalis arcui BC. erit vel maior vel minor sit. Primum maior,& si matur EN. minor quidem quam AE. maior Vero quam .peripheria BC.& arcus BP. diuidatur bifariam in L. di ctaque AL.secet tangentem in K. ideoque eius partem BP. bifariam , quapropter & ad angulos rectos. Erit igitur ut BA. ad AE. ita ΒΚ. ad KA. sed BA. ad NE . minorem, maiorem habet rationem,quam BA. ad AE.maiorem. Igitur BA. ad NE. maiorem habet rationem quam ΒΚ. ad K A. Cum igitur circulus sit BC.& in eo recta BP. minor di metro, poterit duci rect/ AF. ad productam contingentem BF. ita ut pars eius FI. inter circum ferentiam,& productam contingentem, ad lineam IB. iungentem terminos B. I. habeat proportionem, quam BA. ad NE . Cum igitur sit FI. ad IB. ut BA. ad NE. erit permutando ut FI. ad AB. id est A I. ita IB. ad NE. sed recta IB. ad NE.minorem habet rationem quam arcus I B. ad arcum BC. est enim VB. arcus maior quam subtensa IB. & arcus BC.ex suppositione minor quam EN. ergo FI. ad AI . minorem habet rationem,quam arcus I B. ad arcum BC. & componendo minorem habet rationem FA. ad AI. quam arcus IBC. ad arcum BC. sed ut arcus IBC. ad arcum BC. ita ex de
scriptione Quadratricis ΗΑ.rad AB. id est GA. ad ΑΜ.
ergo minorem habet rationem FA. ad AI . quam GA. ad ducta BM. tangente ex B. in M. A M. Quod est absu dum , cum FA. sit maior quam GA. cadit enim F. cxtra Quadratricem, ex suppositione, cum FE. tangat Quadra
tricem tantum in B. & G. est in Quadratrico & Al. minor quam A M.
415쪽
Sed fit si fieri potest AE. minor quam circumferentia BC. & sumatur recta Eo. maior quidem quam EA. minor chimedis. vero quam arcus BC. & a puncto B. ducatur BQ. arqili distans ipsi AE. Rursus quia in circulo BC. sumpta est BP. . diametro minor,tangatque B circulum in B.& minor sit ratio BA. ad EO. quam ΒΚ. ad KA. est enim ut BA. ad AE. ita BK. ad KA.&BA. ad AE. minorem quantitatem maior est ratio,quam B A. ad EO. quae maior posita est potest igitur a centro A. duci quaepiam recta AV. ad B j-ς, tangentem circuli, ita ut S R. inter circulum BC.& ductam ii Peiu FBE. intercepta ad lineam BV. partem contingentis,inter mςdi ductam &contactum,habeat eandem sarioqem quam BA. ad Eo.Secet autem eadem ducta Quadratricem in T. tangentem Quadratricis in S. & circulum in R. tangentem , circuli in V. Quoniam igitur est ut S R. ad BV. ita BA. ad EO. erit permutando ut S R. ad AB. id est ad A R. ita BV. ad EO. sed BV. ad EO. maior est proportio quam arcuSBR. ad arcum BC. nam tangens B V. est maior arcu BR.&Eo. minor arcu BC. ex hypothesi igitur maior erit ratio S R. ad A R. quam BR. ad BC. sed est, ex descripti ne inadratricis, ut BR. ad BC. ita BY. ducta TY. perupendiculari ad AB. ex T. puncto Quadratricis ad BA. Igitur maior est ratio S R. ad A R. quam BY. ad AB. sed BY. ad AB. maior est ratio quam XY. ad XA.' ducto sinu RX. arcus BR. id est quam RT. ad RA. igitur maior est ratio SR. ad R A. quam RT. ad RA. maior ergo est S R. quam RT. Quod est absurdum cum sit minor. Nam S.est in linea tangente,quae vicinior peripheriae existir, quam Quadrarricis punctum T. Cum igitur AE. ncque maior, neque minor sit quam arcus BC. aequalia crit. Quod erat demonstrandum.
416쪽
o G Curvi ae stoli proportio promota. THEOREM A XXIII. PROPOS. XXIV.
P Ropositum sit idem aliter demonstrare.
Sit Quadrans ABC. cuius ceutrum A. basis AC. latus
erectum AB. tria quo Quadratrixeu secet in B. pun- in quo eandem Quadratricem tangat recta FBE.DLco quod rectaFBE secans AE. basim Quadratricis tria E. abscindit rectam AE. aequalem arcui Quadrantis BC. Inscribatur eidem Quadranti spiralis ABIAE. quae, ut patet ex descri-18. huius. ptione,transibit per B. in quo puncto Quadratrix spiralem contingit. Cum igitur, ex hypothesi recta DE. Quadratricem contingat in B. tota, puncto B. excepto, cadet extra Quadratricem ἱ & quia Quadratrix spiralem tangit in B.tota extra eam cadit,ac solo puncto B. concurrit: Igitur etiam recta FE. tota extra spiralena cadit, nec nisi puncto B.cum ea congyuit:tangit igitur FE. spiralem in B. --lo. Spiral nifestum igitur est ex 2 o. propositione spirarium Archim δε hi ς/β dis, quod reeta AE.arcui BC. aequalis existit. Quod erat.
EIusdem propositionis alia demonstratio.
Sit rursus Quadrans ABC. cuius centrum A. basis AC. latus erectum AB. in quo Quadratrix DBG. eum secet in B. puncto, in quo eandem Quadratricem tangat. Dico quod recta FBE. secans AE. basim Quadratricis prod . ciam
417쪽
ctam in E. abscindit rectam AE. aequassem arcui Quadrantis BC. Si enim AE. non sit aequalis arcui Quadrantis , sit eidem aequalis AG. & ducatur GBK. item spirales ABH. patet ex a I. huius quod ΚBG. tangit Quadratricem in B. 11. Iulius sed & ponitur FBE. tangere eandem Quadratricem in B. duae igitur ΚBG. FBE. QEadratricem tangunt, igitur vir que extra Quadratricem cadit, ac in solo puncto B. conuenit; sed & Quadratrix spiralem tangit in B. igitur tota , puncto B. excepto, eXtra eam cadit, ergo utraque recta DE. ΚBG. extra spiralem cadit, solo puncto B. conuenit,ideoque illam contingit in B. Quod est absurdum,non enim duae rectae spiralem in eodem puncto contingunt. Er-go recta AE.est aequalis arcui Quadrantis BC. Quod erat demonstrandum.
Si r xpendicularis ad tangentem Quadratri
cis ex piuicto contactus ducta basim Qua- idrantis productam secet : erit pars dictae basis inter centrum Quadrantis,&ductamia qua- Iis basi Quadratricis . . . Sit circulus HBC. cuius centrum A. diamter ΗC. Iatus
erectum AB. diuidens a cum Hsta in duos Quadran
adrantis Ata Quadratici GBD. cuius basis Au
418쪽
os Curvi ae recti proportio promota.
secans circulum in B. Tangens Quadratricis in puncto B. sit BE. secans basim AC. productam in E. & ex E. ad lBE. ducatur perpendicularis B E. secans basim AC. productamis. Pronis. in F. secabit autem cum angulus BEF. sit acums,& FBE. rectus. Dico rectam AF. esse aequalem AD. basi adratricis. Constat enim ex Pappo lib. q. p. I 6. & Clauio p. q. de Quadratrice,basim Quadratricis esse tertio loco pr portionalem arcui Quadrantis,& ipsius semidiametroniamium ut BC.ad M.tta BA.ad AD. Cum autem rectangulum ad B. sit trian gulum FBE.& in basim FE. demissa per-8. s. pendicularis M.erit ut EA.ad AB. ita AB.ad AF. at vero. EA. est aequalis arcui Quadrantis, ut igitur BC. ad BA.itai: '' . ain. ad AF. ergo ut BA.ad AD.ita BA.ad ARquare aequam les sunt AD. AF. Quod erat demonstrandum.
Uadratricem differentialem delineare.
it semicirculus CBD.cuius centrum A. diameter CD . perpendicularis AB. quae eum diuidat in duos Quadrantes ,
quorum latus erectu commune AB. bases A C. AD. Conuert I tur recta CA. circa
Drverticem sint punctu immobile C. ita ut in toto motu secet latus erectum AE. ascendendo per G.F. E. E. moueatur item A D. ita ut in toto motu secet perpendi- eulariter idem latus erectum M. & arcum Quadrantis DB. ascendendo in KN. IM. ΗL. &c. Ita autem fiat g minus i lle motus, ut quae ratio lateris erecti M. ad pa
419쪽
rem abscissam GA. a recta CG. eadem sit arcus Quadratis BD. ad arcum sectum DN. Item in illis motibus produ- : ctar CG. CF. CE. occurrant perpendicularibus,seu sinibus qui arcus proportionales abscindunt ex arcu Quadran-tis P in punctis Q . O. punctum concursus describet vestigio suo lineam curuam RQPOB. extra Quadrantem ABC. Et quidem quod concurrant lineae Cin KN. patet, quia cum angulus CAG. sit rectus, erit CGA.acutus,ide que&aequalis ad verticem ΚG acutus erit, est autem 'i' se GKm ectus , concurrent igitur Κ G Q Quod vero in nou. concurrant vltra Quadrantem ABC. ita probatur. Quoniam peripheria Quadrantis BD. & latus erectum AB. similiter diuiduntur, perpendicularis NK. auferet ex latere '' recto rectam ΚΒ. minorem ipsa GB. punctum igitur G.cadet sub punctum Κ. ideoque recta CG. producta occurret ipsi NK. vltra AB. in puncto Q Hanc autem lineam Quadratricem Differentialem vocamus , eo quod eius balis, ut postea ostendemus, sit differentia arcus Quadrantis, de eius semidiametri . t
THEOREM A XXVI. PROPOS. XXVIII.
SInus Quadratricis differentialis basi vicinior
In figura superiori, Quadratricis BPR. sint sinus ΚαIP. ille basi vicinior , hic remotior. Dico KQ sse maiorem quam I P. Quoniam, ex descriptione, est ut arcus BD. in ius. ad arcum MD. ita BA. ad A F. erit conuertendo ut arcus M D. ad arcum BD. ita M. ad AB. sed ut BD. arcus ad a cum DN. ita, ex descriptione, BA. ad AG. ergo ex aequalitate est ut arcus M D. ad arcum N D. ita AF. ad AG. sed maior est ratio MD. ad N D. quam I A. ad KA. sunt Corol. 1.18.nim IA. KA. sinus recti arcuum MD. ND. 9 Igitur maior huius.
420쪽
t o Curvi ac recti proportio promota.
conuertendo, ac diuidendo minor ratio IIJ. ad FA. quam ΚG. ad GA Vt autem I F. ad I A. ita I P. ad C A. a quiangula enim sunt triangula C AF. PIF. ob rectos ad A. I.& aequales ad verticem F. &vtΚG. ad GA. ita Κ ad CA. aequiangula enim stini, ob eandem causam, triangula CAG. QKG. ergo minor est ratio I P. ad C A. quam Κ Id CA. minor igitur est IP. quam K Quid crat de monstrandum
nium usus sinuum, maximum e reliquorum maiores qui ei propinquiores fuerint .
PROBLEMA III. PROPOS. XXIX. Vadratricem Arithmeticam describere
bit Quadrans ABC. cuius centrum A. Iatus erectum , AB. basis AC. in quo Quadratrix prima seu Geometricia i , . BNF. Iam vero pro
posita linea motu triurectarum perficietur. . Primo circa centrum A. tanquam cardine moueatur semidiametei AC. ita ut continuo Quadratricem
secet in varijs punctis L. M. N. &c. & eius extremitas C. Quadrantem CB. per- curtat, per puncta D. E. Κ. B. &c. per quae ductae perpendiculares ad AB. nempe DR. ES. ΚT.quae sunt sinus complementorum arcuum DC. EC. KC. etiam continuo cum dictis punctis moueantur ἱ denique recta CA. circa verticem C. punctum, in quo basis & arcus Quadrantis coeunt,