장음표시 사용
421쪽
moueatur sursum simul cum punctis, in quibus semidia meter AC. AD. A E. Quadratricem primariam secat, occurrat perpendicularibus , seu finibus in punctis O. I.G. describet punctum illud concursus lineam curvam HGB. quam Quadratricem differentialem libet nuncupare, eo quod eius basis, ut postea Ostendemus, arcui Quadrantis, &eius semidiametro sit tertio loco Arithmetice proportionalis.
DIiserentiae sinuum Quadrantis, & Quadratricis Arithmeticae simi aequales sinubus Quadratricis differentialis.
Sit in superiori schemate semiairculus CBQ cuius ce trum A. quem diuidat latus AB. erectum super basim C tu duos Quadrantes ABC. AB inic in primo sint duae Quadratrices, altera Geometrica BF. altera Arithmetica BH. Ducatur semidiameter A D. secans Qu.i fratricem primam in L.& circulum in D. hinc perpendicularis DRd. secans δ', in i latus AB. in R. & alterum Quadrantem in d. cui occurrat CL. recta in V. erit o. punctum Quadratricis Arithmeti- ca, Rursum e&L. ducatur ad AB. per pidicularis LV. erit ut BA. ad A V. ita arcus EC. ad arcum CD. seu arcus is huius, areum de. Quare si connectatur CV.&producatur dum secet Dd. in L. erit Z.punctum Quadratricis differena. 7 'μΤ'tialis, atque ideo erit DR. sinus arcus DB. in Quadrant CB. & OR. inus in Quadratrice Arithmetica BH. recta Vero OD. differentia sinuum DR. OR .denique RZ.erit sinus tu Quadratrice differentiali LXYZ. deseripta per puncti a ZYX. modo 27. hujus explicato. Dico RL. rectam, esse a . huius. reeta: DO. aequalem Quoniam parallela sunt DO. CA. e- λ=' serunt in triangulis DLO. ALC. anguli D. O. angulis A. C. ct anguli ad verticem L. aequales, aequiangula igitur sunt a I ι Fis a dicta
422쪽
Curui ac recti proportio promota.
dicta triangula, quare ut CA . ad OD. ita A L. ad DL. sed ut AL. ad DL. ita in triangulo ADR. in quo postae sunt DR. LV. parallelae ) AV. ad UR.& ut AV. ad V R. ita CA. ad RZ. aequiangula enim sunt rriangula CAV.
ZRV. ob eandem rationem, qua diximus esse a quiangula CL A. OLD. ergo ut CA. ad OD. ita CA. ad RZ. aequales igitur sunt UD. R Z. Eodemque modo ostendemus SY. esse aequalem ipsi EZ. atque ita in reliquis. Quod fuit probandum. HInc eurdenter deducitur disserentias Anuum mariam iis, Cr madratricis differentialis esse aequales ni
bus Gad tricis Arithmetica I nimirum rictam Zae diffrentiam us Rae in Euadrante , cr Inus RZ. in Σαώ reice di erantiali , esse aeqvialem sinui RO. Euadratricis Aria America ΒΗ. aequales enim sent DR. Eae igitur ablatis Ra.er DO. quae mois essense sunt aeqMales , superfun/ ZD. O. imos aequales . Ex dictis etiam colligitur ratio qua altera poneriorum aEuadratricum ex altera describa ur. Si enim recto Ce. 6sm ira mouearin continuo ad AB. perpendicularis virectis Aa. RX. ST. TX. interceptis inter larus erectam , se ad tricem di erantialem M. quales sint CH. DO. EL. m. ab arca Iuadrantis , describerar marianis Arithm rica HB. Et contra si eadem G. modo dicto ita mouearuris rectis Cm .EL. o. aequales sint M. AZ.ST. . det
423쪽
43 ICOROLLARIUM III. iDEnique etiam ex demonstratis deduci possi, tam figm
ram a Ba. latere erecto AB. tinea curua BZa. oe basi Aa. contemam esse aqualem Aurae HBC. contentae linea cum R. arcu .ctuarianus m. o recta CH. quam figuram A figurae HBA. eo quod linea M. RZ.ST. TX. lineis ΗC. . IE. GR. item rectaeae. Zaerc. Xb. rectis . ORIS. .
ae ales t ; ideoque trapezia ab discon Iuta quaelibet aqua- It nt , eadem ratione qua prop. I 8. superioris libri probata es , ex postgonis in circulo , atque Hira analogis , i orum circulorum, atque elli um analogia , atque aequalitas. Vnde etiam sequeretur figuram H . Euadranti me aequalem. Sed volumus haec tantum innuisse , ut ea ,si libueris , demon et cm amplius quam nobis Mij fueris .
THEOREMA XXVIII. PROPOS. XXXI.
BAsis Quadratricis disserentialis est aequalis
excesibi, quo arcus Quadrantis in quo do scribitur , sua semidiametro maior est.
Sint eadem omnia quae duabus superioribus proposi- , o. huius. tionibus. Dico basim m. seu CIq. Quadratricis diffe- ad F C. id est ad Aa. illi aequalem, ita AR ad FC. c ut 3' paulo post ostendemus ) dc componendo , & per conue δε ac lem arcui Quadrantis BC. Est enim ut AC.
424쪽
1 Curui ac recti proportio pro tu ora
is. &Cla- semidiameter Quadrantis ad A F. basim Quadratricis ita oui arcus Quadrantis BC. ad semidiametrum C A. igitur ut id Ρ' ' a C. ad CA. ita arcus Quadrantis BC. ad eandem CA. ar-' quales igitur sunt recta aC. & arcus Quadiantis BC. est autem Aa . excessus quo Ca. id est arcus Quadrantis superat semidiametrum CA. Q igre patet id quod propositum
Quod autem sit ut AC.a d ΗC. ita AF. ad FC. ita demonstratur. Si non sit eadem ratio AC. ad H C. quae AF. ad FC. erit vel minor, vel maior . Sit primo minor: ideoque fiat ut A F. ad FC. ita AC. ad quampiam minorem it 13. huius. 1a CH. verbi gratia ad D O. est enim maior quolibet sinu sequente DO. FI. ΚGJerit igitur ut A F.ad FC. ita AC. ad' ' DO. sed ut A C. ad D O. ita A L. ad L D. aequiangulaeis. 1. nim sunt triangula CAL. ODL. ob angulos aequales ad D verticem L. & alternos ad D. A. & O. C. inter parallelas comi. i. DO, CA. ideoque Ut C A. ad OD. ita A L. ad D L. estis. huius. igitur ut A F. ad FC. ita A L. ad L D. sed A L. maior est quam Corol AF. & DL. minor quam CF. maior igitur est ratio A L. ad '' 'μμ'ε' 1 D. quam AF. ad FC. sed & probata est aequalis . QV0d est absurdum ;Non igitur minor est ratio AC. ad H C. qua AF. ad FC. Sed dicatur esse maior . erit ergo AF. ad FC. minor ratio,quam AC. ad CD. Fiat igitur ut AC.ad CH. ita recta quaepiam Ag. maior quam AF. ad gC. si enim diuidatur AC. ea proportione quae 'est A C. ad CH. in g. puncto, cum maior sit ratio AC. ad CH. quam AF. ad FC. erit maior ratio Ag. ad g C. quam AF. ad FC. cadet igitur punctum g. inter F. & C. si enim caderet in ipsum punctum F. esset ut A F. ad FC. ita AG. ad G C. quod est absurdum,& contra hypothesin: si inter punctu F. A. esset minor ratio Ag. ad G C. quam AP. ad FC. quod etiam est absumdum & centro A. distantia Ag. describatur arcus I g. secans Quadratriccm in L. secabit autem, cum continuo is, huius. Qu-drati cib radi) augeantur in Q uidi ame, quare si non secaret
425쪽
secaret esset Ag maior semidiathctro .iluode si absurdum, cum sceta sit temidiameter AC. in puncto g. Quoniam aequales sunt Ag. A L. item A D. a centro ad circumse ' '' .rentiam, erit uti g. ad gC. ita AL. ad I D. sed ut Ag. adgC. ita AC. ad CH. ex hypothesi, ergo ut A L. ad L D. ita AC. ad CH. sed ut A L. ad LD. ita AC. ad Do. ut superius probatum est, ex similitudiue triangulorum CAL. ODL. ergo ut AC.ad CH. ita AC. ad DO. aequales igi '' ' tui sunt H C.&DO. Quod est absurdum: maior enim est huius. HC. id est A a. quam DO. id est quam RZ. Igitur cum AC. ad CH. non sit aut minor,aut maior ratio quam AF.ad FC. erit eadem. Ideoque Basis Quadratricis differentialis &c Quod probare Oportebat.
BAsis Quadratricis Arithmeticae, semidia
meter Quadrantis in quo describitur , Scarcus eiusdem Quadrantis sunt in medietate Arithmetica ; quorum differentiabest basis Quadratricis differentialis.
In eadem figura superioris propositionis Basis AH. Quadratridis grumeticae BH. differt a semidiametro Quadrantis CA. recta HC. quae aequalis est rectae Aa. basi Quadra- 3' tricis differentialis Ba. & semidiameter Quadrantis CAEdisteri a recta Ca. quae est aequalis arcui Quadrantis BC. differentia rectar Aa. quae est basis Quadratricis differe tialis Ba. Quare euidenter probatum est quod propone
Vadratricem quartam , seu diuisuam de scribere. sit
426쪽
is Curvi ac recti proportio promota.
Sit Quadrans AEC. cuius centrum A. latus erectum AB. basis AC. circa centrum A. immotum moueatur sursum semidiameter AC. secans continuo arcum Quadrantis CR.& circa punctum C. tanquam cardinem fixum moueatur sursum recta Q .ita ut continuo secet latus erectum AB. ea ratione qua AB. secat arcum Quadrantis, punctum intersectionis duarum linearum AC. CA. describat lineam curvam NKLMR. Hanc libet Quadrati icem qua tam , seudiui siluam nuncupare, eo quod non tantum quadrando lineariter citculo, led facile prae caeteris diuidendo, accommodata sit.
MAnifestum ea ex desiriptione esse ut BC. ad . De
BA. ad AG. cum in easdem rationes BC. se Βώ. a linei ursum motis AD. ct m. dividantur.
THEOREMA XXX. PROPOS. XXXIV. RAdij Quadratricis quartae a basi remotio
res vicinioribus sunt maiores. Sit Quadrans ABC. cuius centrum A.latuS erectum M. basis AC.& in eo quadratrix quarta EN. modo & notis superioris propositionis descripta, cui accedat Quadratrix prima seu Geometrica BO. cuius basis AO. quas secent semidia metri AD. AE. AF. illam in
427쪽
punctis x. L. M. istam in punctis P. Q. R. manifestum est quod CG. m. CI.& perpendiculares PG. QH. RI. expunctis ubi prima Quadratrix secatur a semidiametris AD. AE. AF. cadent in eadem puncta G. H. I. cum tam lineae CG. CH. CI. quam perpendiculares PG. m. RLdividant rectam AB. eadem ratione qua diuisus est arcus Quadrantis in punctis D. E. F. perficiatur Quadratum
ACXB. circa Quadrantem, & producantur perpendicula- res GP. HQ IR. in S. T. V. puncta lateris erecti Quadrati CX. Dico radium A L. radio AK. esse maiorem. Nam cum aequiangula sint triangula CAΚ. GPΚ.ob aequales ad yy verticem Κ. & alternos CAK. GPK. inter parallelas AQ r. GP. erit ut CA. ad AK. ita GP. ad PK. & permutando ut 4. 6. CA. id est SG. ad GP. ita AK. ad PK. & conuertendo sit GP. ad SG. ita PK. ad KA. & componendo ut GP. cum . SG. ad SG. ita PA. ad A Κ. eodem modo ostendemus esse, ut H sum H T. ad HT. ita Q. ad AL. Cum autem ma- 1o. huius. ior sit GP. quam H naior erit GP. cum SG. quam H pronunc, cum I T. quae ipsi SG. est aequalis. Igitur maior est ratio ' γ' compositae GP: cum SG. ad SG. quam compositae H cum H T. ad F T. Quare maior est ratio PA. ad AK. quam QA. ad A L. minor autem est PA. quam QR .igitur minor rμ huius. est ΑΚ. quam AL. nam si aequales erant PA. Q A. cum PA. maiorem habeat rationem ad AK. quam QA.ad A L. minor esset AK. quam AL. multo magis sequitur PA.cxi- φ stente minore quam QA. ipsam AK. esse minorem quam A L. ) Atque codem modo ostendemus A L. esse min
rem quam A M. Igitur radij Quadratricis, &c. Quod fuit
HInc colligitur basim quarta Euadratricis esse minia
428쪽
a Curui V recti proportio promota.
iri anter Euad africem diui uam se Euadrantem , ν delicet NC. ND. LE. NF. o dine decrescere ita τι mota ma sit NC. ea minor UD. Vs KD. minor LE. o sic deinceps , senim ex aequalibus AC. AD. AE. AF. demamur inoquales, o prior bus minores AN. AU. AL. AM. ut pares exs- pron. propositione , remanens inaeqnales NC. KD. LE. MF. prim is maior quam secunda ine uda quam tertia S atque Ira in x .
B Ass Qesa ira tricis diuisitiae diuidit semidia
metrum inad rantis in quo deicribitur , in ratione 1emidi metri ad arcum Qua
429쪽
BN. cuius basis N A. Dico quod basis NA . diuidit semidiametrum A C. in ratione Semidiametri A C. ad arcum Quadrantis BC. seu esse ut A C. ad CB. ita NA. ad NG. continuetur Quadrans CB. in I.& sit CBI. semicirculus,& ABI. Quadrans in quo Quadratrix disserentialis seu secunda BEH. cuius basis AH. & in priori Quadrant
GA. ita CN. ad N A. Nam cum AH. sit
cxcessus quo arcus BCi superat semidiametrum A C. erit tota H C. aequalis arcui BC. ergo ut arcus Quadrantis BC.ad semidiametrum AC. ita CN. ad NA Quod vero sit vi H C. ad AC. itc. NC. ad AN. ita probatur. Si enim contrarium asseratur, maior erit,aut minor proportio HC .ad AC.quam NC.ad A. Sit primum maior . Quoniam maior est proportio UC.ad CA quam NC. ad NA. erit conuertendo injncyr. ratio CH. ad HC.quam NA. ad N C. quare erit eadem ad minorem aliquam ipsa CH. vcibi gratia ad DE. paralle- tam basi AC.& interceptam inter arcum Quadrantis, lineam quadratricis disterentialis, quae minor est quam CH. nam DF.sinus arcus DB. chminor sinu toto A C. est FE. minor quam AH. ideoque tota DE. tota CP ' in inor est ductisque A D. CE. rccti sis transibunt per idem punctum huius Quadratricis Κ. ut patet ex descriptione harum linearum 28. & 3 q. huius atque adco sit ut A C. ad DE. ita NA. ad N C. cicd ut CA .ad PE ita AK. ad KD. ob similitudinem triangulorum CAK. I DK. ergo ut AN. ad NC. i a AK. ad ΚD. b d A X. maior cst Corol. i.as quam AN. & ΚD. in inor quam N C. eigo maior est ratio huius. AK. ad ΚD. quam Ad l. ad N C. Loesi etiam eadem.
ut mox probabimus, sed H C. est aequalis arcui Quadrantis BC.
430쪽
Curui ac recti proportio promota.
Sed dicatur ratio FIC. ad CA. minor rati e CN. ad NA. erit igitur minor ratio NA. ad CN. quam CA. adHC. fiatque ut CA.ad F C. ita A V. ad VC. erit A V. m jor quam AN. sit enim esset aequalis remaneret minor r tio AN. ad NC. quam CA. ad HC, si minor , minor esset ratio AV. ad VC. quam AN.ad NC. sed ponitur etiam minor ratio AN. ad NC. quam CA. ad HC. igituri minor esset ratio AV. ad VC. quam CA. ad F C. quod est contra hypothesin ex distantia A V. describaturatacus V K. secans Quadratricem divisivam in K. secabit autem , cum continuo huius quadratricis radij am 3s. huius. geantur in Quadrante , quare si non secaret esset AV. maior semidiametro quod est absurdum cum secta ponatur semidiameter AC. in V. puncto ea ratione, quae est CA. adHC. Quoniam aequales sunt AV. AK. item A C. AD. a centro ad suas circonferentias erit viAV ad VC. ita AK. ad KD. sed ut AV. ad VC. ita cx hypothesi CA .ad CH .ergo ut AK.ad ΚD.ita CA.ad CH.sed est etiait AK. ad KD. ita CA. ad DE. ob similitudinem . triangulorum C AK. EDK. est ergo ut CA . ad CH. ita' CA. ad DE. aequales igitur sunt CIq. DE. Quod est absurdum , maior enim est DE. sinus totus sinu partiali DF. Corol. is. & AH. basis Quadratricis sinu FE. igitur tota CF . tota .h - DE. maior est. Non igitur ratio HC. ad CE. minor est ratione CN. ad NA. sed nec maior, igitur aequalis ergo basis Quadratricis diuisuar&c. Quod erat &c.
PROBLEMA V. PROPOS. XXXVI. HActenus nonnullas lineas protulimus , quae sua potissinum bas, tetragonismos ipsa vero perlocha, diuisoni circuli ope-