장음표시 사용
401쪽
I latus erectum inadrantis duplicetur extra Quadrantem , & per eius extremum pem id icnlatis dueatur : ea erit Quadiatrici
Sit Quadrans ABG cuius latus erectum AC. eiusque duplum AK. ac per punctum K. ducta sit perpendicularis KL. sit etiam Quadratrix semicirculi MCT. Dico perpen
dicularem HL.esse Quadratrici Aσι , ra τιν. Asymptoton autem vocamus similitudine eius quae ducitur in Hype bola, apud Apollonium li z. con. prop. I. quae videlicet quo magis producitur,magis ad Hyperbolam accedit,nec tamen unquam cum ea concurrit . Primum igitur quod Quadratrix quo ulterius producitur,eo propius ad rectam ΚL.accedat,ita demonstratur. Producatur basis Quadran- 'tis BA. quantum libet in F. ac persiciatur semicirculus
BCF. &ex quolibet puncto I. Quadratricia in basim productam
402쪽
3 31 Cutui ae recti proportio promota.
ducta demittatur perpudicularis IX. de ducatur AI. itemq; perpendicusaris IH.hinc producatur Quadratrix ex I.inta etiam mouebitur punctum concursus I. in T.& AI promo uebitur inAT.&ductaTS.ad AK.perpendiculari,ascendet ΗΙ. in ST. vi constast ex descriptione Quadratricis, DueLtur ΤV. ad latus Quadrantii productum perpendicularisi. constat HAXI. , SAVT. ene parallelogramma, quoruin aduersa larera aequalia sunt. Igitur aequalia sunt SA.Τv. Item M. XI. maior autem est SA. quain:HA. maior igitur etiam est TV. quam IX. Igitur propius accedit puluctumT.ad rectam KL.quam punctum I Quod in alijs quoque ostendentur: Id autem primo probandum erat. Q29d vero numquam concurray Quadratrix cum per pendiculari KL. ita efficitur. Concurrat, si fieri possit, in puncto D. & ad D. ducatur AD. secans circulum in E. secabit autem, nam cum angulus DXA. sit rectus,et it angulus DAK. acutus, ideoque arcus EC. minor quadrante Ierit, ex descriptione Quadratricis, ut Quadrans BC. ad arcum BCE. ita recta AC. ad rectam AK. sed AC. est diamidia ipsius AK. igitur BC. dimidius ipsius BCE. sed etiaBC. est dimidius ipsius BCF. semicirculi : aequales igitur
sunt arcus BCE. & BCF. pars & totum. Quod est absurdum. Non igitur concurrent Quadratrix & perpendicularis Κ D. Quod crat secundo loco ostendendum . X daabus superioribus propositionibus consat marim
tricem principio, ac gne carere.Nam ideo primumsu
reum non habet, quod babis Euadrantis se prima perpendiacularis in unam lineam coincident , quae sectionem scere nm passimis vltimo ideo caret,quod duae, basis uadraniis, s ultima perpendicularis snt parallelae, ideoque ad concursum ultimi puncti conuenire non possunt. Rursus manis sto verss sinem mariatricem in infimium produci, non ersus mitium. T H E O-
403쪽
3'3THEO REMA XV. PROPOS. XVI. Uadratrix non est figura rectilinea, non Circulus, non Coni sectio.
I d Quadratrix non sit figura rectilinea', apertius est quam ut probari debeat. Sed quod neque Circulus, aut Ellipsis ita probatur. Sit enim, si fieri potest, horum
alteruter; erit in figura I . ae huius, MD. producta estis 3 diameter scum tam cE. quam ipsius CE. parallesas bifariam diuidat: igitur in recta MD. est centrum figurae ; sit in puncto A. secabitur ergo bifariam diameter MD. in . 38. I. C puncto A. aequales igitur erunt MA.& reliqua semidiame- Acestiri. rer vcisus D. Quod est absurdum, cum infinita sit pars Corol. diametri ab A. verius D. & finita ab A. ve sus M. At non huiu esse Parabolam, aut Hyperbolam ita demonstramus. Ineiacm figura i q. ae huius, dicatur MCinesse Parabola ., aut Hyperbola, erit proculdubio ipsius diameter, atque , 18. a. C axis rccta MD. cum tam ipsam CE. quam eius parallelas hi intra figuram duristas bifariam diuidat; cui cuin parallesa ponatur XL. extrema perpendicularis, ea producta culta adratrice conueniet, Quod est absilrdum , est enim. Miles. ἰσυνιπιωτος, Igitur quadratrix non est Parabola, aut Hyperbola . Quod est praetet ea demonstrandum.
EX ijs quae hae propissione demonHrata sunt colligi vi-
desur , 'adrarricem nullum alium habere essendi nis Eum, praerer eum quem illi tribuit motus puncti , in quo se se diameter Ruadrantis se perpendicularis ad latus erecri EuadranIis intersecant: neque ullam punctam in ea linea reperira , quod concursus ille non essetat. Euare basim V L atritas inter recenseniam, cuin E atisr esses na. i D dd basis
404쪽
Curui ac recti proportio promota.
basis Euadraniis inter centrum Euadrantis, s punctu mari atri eis in incra bas, intercepta. Nam punctum Eum dratricis in bas meque est, cum ibi se e basis Euadrantis , o prima perpendicularis non secent, sed concurrani a neque esse potest, cum alio modo quam motu interscctionis linea
madratrix non procreetur. Σπomodo ergo veteres referen-
re Pappo Collectionum lib. q. p. 16. se ab illo, Clauio in comment. in 6. elementorum prop. q. de Euadratrice , demon-srant basim Euadratricis , quae ν euera nec es, nec esse peres , e tertio loco proportionalem is peripheriam Euadransis, is eius diametrum e Vereor admovium ne illud Theorema aliter proponendum t, hoc nempe modo, in quo nihil
SI ex centro inadrantis, in quo descripta est
Quadratrix, alius Q cladrans describatur intra Quadrantem, qui aut ipse, aut eius tangens Quadratricem secet. non erit eius basis a cui Quadrantis, eiu sque semidiametro tertio loco proportionalis: si vero neque ipse, neque eius tangens Quadratricem secet, erit eius basis arcui Quadrantis, & semidiainctro tertio loco proportionalis . Sit Quadrans ABD. cuius cenrrum A. basis AB. latus erectum A D. Quadratrix DF. centro A. alius Quadrans AGF. describatur,cuius basis AF. qui Quadrantem ABD. aut secet sua pcripheria in I .aut sua tangente FL.in L. Dico non esse ut DB. ad DA. ita DA.ad AF.Ducatur enim in prima figura perpendicularis HI. in secunda tangens FL. Me dicatur esse ut DB. ad DA. ita DA. ad AF. sequetur in prima
405쪽
prima subtensam ΗΙ. esse aequa lem arcui ΗF. in secunda tangentem FL. esse aequalcm arcui ΗΕ quorum utrumque est absu dum; Quod quidem quia tum a Pappo lib. q.prop. I 6.tum a Cl uio fusius prop. . de Quadratruce demonstratur , eo lectorem rein Secundam partem propositionis ita probamus nos eX pruma. Sit Quadrans A . cuius centrum A. basis AB. latus er
cium AD. Quadratrix DE. Q drans AGE. cuius basi AH
qui neque ipse neque eius tangens EL. secet Quadratricem.
Manifestum est eum ita se habere , ad ipsam Quadrarricem, ut
ipse totus intra Quadratricem,
Quadratricem cadat: alias enim aut ipse, aut eius tangens arcum BD. secaret, ideoque ex prima parte huius,non esset tertio loco
proportionalis. Dico esse ut DB. ad AD. ita AD. ad AE. Si enim non sit eadem ratio DB. ad AD. quae AD. scilicet AB. ad A E. erit vel maior vel minor et fit primo maior;fiataque eadem, ac sit ut DB. ad DA. ita AB. ad AI. erit AI. minor quam AE. nam cum sit ut DB. ad DA. id est ad AB. ita AB. ad AI.& maior sit ratio m. ad DA. quam AB. ad AE. ex hypothesi,maior erit ratio AB. ad AI.quam AB. ad AE. ideoque minor est AI. quam AE. ergo descriptus Quadrans AMI. cadit intra Quadrantem AGE.
sed Quadrans AGE. cadit intra Quadratricem DE. igitur
406쪽
Curui ac recti proportio pmmota.
di Quadrans AMI. eiusque tangens IM. cadit intra Quadratricem,secatque suum quadrantem verbi gratia in Q. i& Quadratricem in N. ergo ex priori parte huius AI. non est tertio loco proportionalis. Quod est absurdum. Sed ratio DB. ad DA. ponatur minor, quam DA. ad AE. fiantque eadem . ac sit ut DB. ad D A. id est, ad AB. . ita AB. ad AP- erit AP. maior quam AE. nam cum sit ut DB. ad AB. ita AB. ad AP. minor autem sit ratio DB. ad AB. quam AB. ad AE. minor etiam erit ratio AB. ad AP. quam AR ad AE. ideoque maior est AP. quam AE. γergo descripti Quadrantis AQP. basis A P. cadet ultra punctum E. & vltra tangentem EL. secabit igitur arcus QP. tangentem EL. verbi gratia in R. ideoque cum tam gens EL. cadat extra Quadratricem,etiam punctum R. cadet extra Quadratricem, ac proinde Quadrans A QP. s cabit Quadratricem in S. Non igitur basis AP..est tertio loco proportionalis aicut DR & semidiametro AD: ex
Prima parte huius. Erit igitur basis AE. Quod erat
Ex dictis manifessum est Euadratricem non sua basi,
quae vere neque extat . neque extare ρθIeB, ad circuli
retragoni mam conducere , sedueamet mentia ; - am si habitudinem habeas Euadrans inferior qualem modo dixiamus, Da vi eam neque sua peripheria, neque sua tangente secet, erit dicti Auadrantis bases arcus primam Euadranus , o simidiametro tertio loco proponionalis. Vereres ramen cum uadratricis , motu , qui ad eam peruenire non potes , de ierant ; repexime videntur ad punctum quoddam in bas madrantis , ad quod isne a motu prognnira ,seMI rius punctum inles ionis motum continuo. gi accediti ac tandem propius quam ad aliud vitam punctum , quod in
ins ae signari pisi , ita vi s vel minimam mobm haberene uta, tandem Ase contingerem. diuo pacto, o nos rum it
407쪽
fae linea, tu in ali aeratricibus, quas in demon Milones adducemus , BASIS notionem a merens.
' THEOREM A XVII. PROPOS. XVIII
Vadratrix spiralem tangit in pundo, ubi
In semicircula CBX. cuius centrum A. snt descriptae& Quadratrix HBF. secantes semicirculum dictum in puncto B. a quo creetum est latus Quadrantis AB. ut patet ex Earum description . Dico quod quadratrix HBF. spiralem ABG. contingit in . puncto B. Ducatur, AE. secans spiralem in G. & Quadratricem in F. Quadranotem in E. & FN. Ω-cetBA. perpendiculariter: Erit, ex descriptione spiralis, ut BA. id est, EA. ad AG. ita arcus Quadrantis BC. ad arcum E C. & ut BA. ad NA. ita idem Quadrantis arcus BC. ad arcum E C. ex descriptione Qui adratricis ; ergo ut B A. ad AG. ita BA.ad AN. aequales igitnr sunt AG. AN. At vero in triangulo rectangulo FNA. basisFA. maior est quam latus NA . ergo FA. maior est quam GA. ideoque punctum F. cadit su-ura punctum G. Idemque in quolibet alio puncto Quadra, . tricis demonstrabitur: Tota igitur Quadratrix cadit extra spiralem, ac cum ea in solo puncto B. concurrit. Quod erat demonstrandum . .
408쪽
Curvi ae recti proportio promota. THEOREM A XVIII. PROPOS. XIX.
Adius Quadratricis in Quadrante vicinior
basi, remotiore minor est. In Quadrante ABC.cuius basis AC. latus erectum AB.eentrum A. sit Quadratrix BK. cuius basis AK. radi j AD.
AF. ille vicinior, hic remotior a basi AK.ac secantes Quadrantis arcum ille in I. hic in I . Dico radium AD. min rem esse radio AF. Si enim non sit minor, erit vel aequalis, vel miuor. Sit primum aequalis: ac ductis FG. DE. ad AB. perpendicularibus in triangulis rectangulis AED. AGF. ponanturbasus A D. AF. sinus toti, erit EA.
sinus anguli EDA. id est 1 AC. 6 GA. sinus anguli GFA.id est HAC.
maior autem est angulus GFA. qua
angulus EDA. nempe HAC. quam IAC. igitur maior est ratio anguli GFA. ad angulum EDA. id est i HAC. ad IA C. id est, a
cus ΗC. ad arcum IC. quam GA. ad EA. Rursus cum ex, descriptione Quadratricis sit ut arcus CB. ad arcum CH. ita BA. ad AG. erit conuertendo, ut arcus CH. ad arcum CB. ita AG. ad AB. sed ex eadem destr iptione,est ut arcus CB. ad arcum CI. ita AB. ad AE. ergo ex aequali, erit Ut arcus HG ad arcum IC.ita recta GA.ad rectam EA.Quod est absurdum ; ostensa est enim ratio maior HC. ad I C. quam GA. ad EA. Sed AD. dicatur esse maior quam AF. abscindatur AR. aequalis ipsi AF. & ducatur RL. ad AB. perpendicularis, cadet punctum L. sub punctum E.maiorque erit EA. quam LA. Rursus autem, ut priori parte huius,ostendemus minorem esse rationem GA .ad LA. quam HC. ad IC. sed adhuc minor est ratio GA. ad EA. quam GA. ad LA. igitur minor est ratio GA. ad EA. quam Uta ad IC. est autem, & eadem ratio GA. ad AE. quae
409쪽
arcus HC.ad arcum IC. V prima parte huius probatum est. Quod est absurdum, non igitur AD. maior est quam AF. sed nec aequalis, igitur minor. Quod erat demon
HInc colligitur basem Anadratricis es omnium odisiarum minimam 3 se reliquorum minores qui bas vicia
RV sui constar d erentias radiorum Euadratricis , sese tauadrantis eo maiores es , quo bas viciniores: et i DI. esse maiorem ipsa FH. inaeqώales enim AD. AF. ilia minor, haec maior ex aquatibus AL AH. relin ani inaequa. s. dςfin ἐσσ DI. m. illam maiorem hanc minis . p R'
Inus Quadratricis in Quadrante basi vici
Sint eadem quae superiori propositione. Dico sitnim Quadratricis ED. qui vicinior est hasi AIC. esse maiorem sinu GF. qui remotior est. Si enim non sit maior, sit aequalis , aut minor: ac sit primum aequalis 3 ponanturque sinus toti rectae GF. ED. erit GA. tangens anguli GFA. id est, HAC. & EA. tangens anguli EDA. id est, IAC. & maior est angulus GFA. angulo EDA. id est HAC. ipso IAC. Igitur maior est ratio tangentis GA. ad tangentem EA. αε primi quam anguli GFA. ad angulum EDA. id est , quam anguia hWμε la HAC. ad angulum IAC. id est , quam arcus ΗC. ad a
cum IC. Sed etiam ex desciiptione ςuadratricis,& ex
410쪽
4oo Curiti ac recti proportio promota
progressu superioris propositionis, est ut GA. ad EA. Ita H C. ad IC. Quod est absurdum - probatum enim est esse maiorem rationem GA. ad EA. quam HC. ad IC. Sed dicatur dine minor ED qnam GF. erit ipsius tangens minor, quam cum ponitur aequalis ipsi GF. Igitur tunc multo maior erit ratio GA. ad EA. quam anguli GFA. ad angulum EDA. id est , quam HAC.ad IAC.id est,quam arcus HGad arcum IC. Quod est absurdum; cum ex progressu pri0rus propositionis , & prima parte huius,constet esse ut GA. ad EA. ita ΗC. ad IC. Non ergo ED. ipsi GF. aequalis est, aut minor; igitur maior. Quod erat proband um.
HIne eonstar basem maria tricis esse omnium snuum tuus Euadratricis maximum ; reliquorum eos essi maiores , qui 1lti propinquiores fuerint.
tem secat ducta auferat ex bas inadrantis producta rectam aequalem arcui Ru drantis ι ea in dictoi puncto tanget Quadiatri
- Sit Quadrans ABC. cuius basis AC. latus erectum AB. in quo Quadratrix VB. secans arcum Quadrantis in B. puncto: a quo ducta BE. auferat ex basi AC. producta rectam AE. aequalem arcui Quadrantis CB. Dico quod re-EB.producta tangit Quadratricem in puncto B.sumantur duo qui bet arcus aequales BK. BL. vltra citraque punctum B. per quos ducantiu semidiametri AK. AL. secantcs Quadratricem pillam O. ista producta in R. a quibus iunctis ducantur ON. R M. perpendsculares ad AB. pro-