장음표시 사용
171쪽
ar A P. VII. M plum. deduci potest ; Si enim cujuslibet radicis eX. gr. I76. assi mas quintuplum nempe Sio. & ejusdem septuplum nempe
I 232. erunt harum trium radicum quadrata Io976.& 774 oo.& IIi73r . in proportione arithmetica, quia disserentia inter primum & secundum 7 3 24. est eadem, quae inter secundum & tertium. Sed & multiplicando primum arithmeticum so976. cum secundo 77 4oo. habebis numerum qVadratum 2 9878i oo. cujus radix, Is 8go. est illorum medius proportionalis, sive etiam productum ex multiplicatione, primi assumti I76. cum quintuplo ejusdem 8So. prout recte monet Clavius: Similiter multiplicando secundum arithmeticum 774 oo. cum tertio III7824. habebis rursus numerum quadratum IIIS O29o16oo. cujus radix Io8 i6o. sive e
iam productum ex multiplicatione primi assumti I76. cum septuplo ejusdem nempe irit. Porro quadratum medii inter primum & secundu arithmeticum nempe 239878i44Qo.&quadratum secundi arithmetici 199693IboooO. nec non quadratum medii inter secundum & tertium arithmeticum empe ii7s oryo16oo. sunt in arithmetica proportione, quia inter primum & secundum quadratum disserentia est yF707S IOOQ. quae etiam est inter quadratum secundum Se tertium , si porro inventorum ab initio quadratorum assumas iisdem aequemultiplicia quaslibet, multiplicando nimirum eadem singula per unum eundemqi numerum ; Vel etiam si eadem dividas per aliquos numeros poteris vero semper per illos numeros eorumve quadrata, qui dividunt
primum numerum assumtum, adhuc proportio existet a rithmetica; Ex. gr. II. dividit alsianuum I76. quare etiam
dividet non solum ipse, sed& ejus quadratum , singula in Venta tria quadrata propertionalitati3 arithmeticae.
172쪽
c A P. VII. δυg. 7s. In regula decima proportionalitatis Geometrica: γιαιῶ tetragonometriae quiddam assine tradit Clavius, quod nimi- invenian-rum possint inveniri duo numeri inter quos cadant quotli- - -- bet medii geometrice proportionales integri & non fracti, si assumantur nimirum duo quilibet numeri proportionem datam habentes &uterque eorum toties continue secum i-medispν pso multiplicetur, quot debent cadere medii proportionales numeri, uno adhue insuper addito, producta enim erunt ' ρ
uli numeri, inter quos cadunt tot medii proportionales ' et quot requiruntur in data proportione; Iam vero quomo-,i C do beneficio exponentium, brevissime&facilime per tabulas quadratorum supra sussicientissim E traditum est.
S. 6, Concludimus tandem quidem cum ClaVio pro- Numerum portionalitatem geometricam problemate r Numeruinta fuemliboequemcunque datum distribuere in quotvis partes propor- D eretionales gstometrice in data proportione, sed multo com- Σ pendiosius & artificiosius idem problema solvimus,ut libre.
r; Numerus, qui determinat, in quot partes datus nume- se per iu-xus dividi debeat, esto exponens designans quantitatem coia ventionem β δm datae proportionis, quae quantitas cossica unitate di-ρμ μ m δ' minuta&divisa per datam proportionem unitate diminu- 'Iam,datiam numerum dividit per partem primam seu minumam, qua inventa & reliquae omnes facilὰ inveniuntur, si nimirum eadem pars minima continue & totiescum data pro- . portione multiplicetur, in quot partes datus numerus dividi debet: Hoc problema, q uomodo illi quod in I. l. propositum est amne sit & duplici solutione gaudeat, haud sine delectatione dijudicari poterit ex g. 3 . & 38. atque ut hoc eo facilius fieri possit, proponimus exemplum ex s. F. desumo tum: Sit datus numerus I Iri47681 o. qui dividendus est ramplum iu 2 . partes continue proportionales & quidem in ratione
173쪽
tripla; quapropter quantitas numeri 3. sub exponents 1 . est ibidem 28t429s3648i. quae unitate diminuta & sic divis
per proportionem datam & unitate diminutam nimirum , I4Ial476824 datum numerum dividit per I. quaesitam nempe primam & minimam partem, quare secunda pars crit 3. tertia 9. quarta 17. &c. Omnes Vero tandem in una summam collectae essicient datum numerum I lN47682 O. g. 77. Si veronon primam seu minimam partem primo omnium sed aliam partem quamlibet vel intermediam vel maximam quaeramus,tunc adhuc quidem datus numerus di-
πὸ ι vidi debet,semper &universaliter per divisiorem jam deter
minatum,sed datusarumerusnon aliter sic dividitur,nisi prius multiplicatus sit cum quantitate cossica proportionis datae quae habeat exponentem unitate minorem quam nis merus est, qui determinat quota pars sit omnium primo inmmptum. venienda ; Ex. gr. si quinta pars sit invenienda, datus numerus multiplicandus erit cum densit-Zenso proportionis datae, quia exponens 4. designat Zensi-Zensium, & sic de caeteris,retento semper communi divisore. g. 78. Ad proportionem musicam seu harmonicam progredimur, in qua neglectis illis, quae per simplicem multipli fissis, 'fis eationem&divisionem peragi & ex Clavio peti possunt, ali-δ νυromea. qVa thim examinabimus, quorum cum quadratis numeriso itio suum est commercium 3 Harmonica vero seu musica pro-εψε . portio est, quando tribus numeris propositis, disserentia in-Ier primum & secundum numerum se habet in ea ratione . ariis , ad disserentiam inter secundum & tertium in qua ratione eicis propo=- se habet primus numerus ad tertium. eisne flant g. 79. Ex Arithmetica vero proportione trium ternim'es harm. norum gigni tres terminos harmonicae proportionis, si priem 3 -- e mus multiplicet secundum & tertium termi-
174쪽
mani , nee non secundus tertium terminum arithme- cum sariticae proportionis, ut ita ista tria multiplieationis producta p snt tres numeri harmonicd proportionales, docet clavius et in Regula prima proportionalitatis harmonicae ;g. go. Sed nos absque ulla multiplicatione eosdem tres harmonicos terminos eonstituemus, si in tabulis quaeramus medii arithmetieae proportionis termini quadratum & ab illo quadrato subtrahamusquadratum differentiae,seu exceΩsus in ista proportione arithmetica & habebimus tunc media iam terminum harmonicum, ab hoc medio termino subtra. he porro quadratum primi termini arithmeticae proportionis & residui dimidium, si addatur eidem quadrato primi termini, erit summa primus terminus harmonicus, si vero idem dimidium addatur dicto quadrato medii arithmetici &insuper eidem quadrato adhuc quadratum disserentiat, erit trium illorum summa tertius proportionis harmonicae teris' minus. E.g. Sint tres numeri arithmetice proportionales ro66I. Io 8. y Iisis. quorum disserentia est 327 . quadratum medii termini est iro. 36i 4. a quo subtractum differentia quadratum sc6929. relinquit medium terminum harmoniacum 11o6r9ris. si porro ab hoc medio subtrahatur quadratum primi termini us. 63692I. relinquitur 6972294. cujus dismidium 3486i 7. si addatur dicto quadrato primi termini, erit silmma II7i 3o68. primus terminus harmonicus, idem vero dimidium,si addatur dicto quadrato medii arithmetici& insuper quadratum dictae differentiae erit summa horum
trium 12432922 . tertius harmonicus terminus. Similiter ex tribus arithmeticis a. 3. 4. fiunt tres harmonici 6.8. Ita .
nam medii quadratum est 9.& quadrato disserentiae dimi nutum S. medius harmonicus, quadrato primi diminutus
est . cujus dimidium et, si addatur quadrato primi o. habes ' . T ι P imum .
175쪽
primum harmonicum f. idem etiam dimidium, si addatur dicto quadrato medii s. habebis n. & si porro huic addas
quadratum differentiat habebis tr. tertium harmonicum, vides enim, quod differentia r. inter primum & secundum se habeat ad differentiam inter secundum & tertium 4. ficut se habet primus 6. ad tertium Ir. AFomad. g. 8I, Per numerum quadratum, solvit Clavitis curio. i eman ων sissimum problema in Regula VII. proportionalitatis har- vinw--monicae ad Euclidem quod ita ne habet: Sint inveniendi me quinque numeri, in quibus omnes tres proportionalitates
Ibis, istunt, ita, ut primi tres numeri habeant proportionalita-
arithmes eis tem arithmeticam, relicto autem primo, tres insequentes geometri- proportionalitatem geometricam & tres postremi propor-gam re mu- tionalitatem harmonicam ; essicietur autem hoc si constituantur tres termini in proportionalitate geometrica cujuslibet proportionis & repraesentabunt illi tres, quintum, tertium & primum terminum, constituto jam medio termino arithmeuco inter quintum & tertium,jan adsunt omnes praeter secundum, qui erit quadratum tertii termini, divisim per quartum terminum ὁ & si aliqua fractio accesserit, problemati vero satisfieri debeat in numeris integris, reducendi sunt omnes quinque termini ad eqsdem denomi- -- nationem, qua negIecta numeratores erunt quaesiti quinque numeri. Ex.gr. sint constituti quintus,tertius & primus ter minus in proportione geometrica u. 6.& 3. inter tr. & 6. messius arithmeticus est 9. quartus terminus, qui dividit quadratum tertii 36. per ψ. secundum terminum, sunt ergo hi quinque numeri tr. 9. 6. 4 3. illi qui quaeruntur. φυ-odo g gr. Ad Tetragonometriam nostram omnino etiam mvm tur trahi potest, quod Clavius proponit in Regula VIII. Ha s monicae proport: ad EucI. Inveniendi sunt Matuor numeri
176쪽
, c a P. VII. 'ri, quorum extremi habeant datam proportionem & qui meri eans constituant Harmoniam maximam, hoc est, ut ipsi sint Geo- t entes basemetrice proportionales, qVamvis non continue sed saltem V ρ' discrete, unus autem mediorum cum extremis servet pro portionalitatem arithmeticam , alter vero harmonicam. solutio est talis : Assumi debent duo numeri quilibet habentes datam proportionem, inter quos debet constitui medius arithmetice proportionalis quod facile fit, cum semper sit dimidia summa extremorum) per hos tres arithmetice proportionales juxta 3.79. quaerantur tres harmonice proportionales,qVi erunt tres termini, primus, secundus&quartus quaesiti, tertius vero est medius arithmetice proportionalis inter primum terminum & quartum inventus. Sic ex. gr. duo numeri in dupla proportione i. & r. habent cimplum medium arithmetice proportionalem A ut ita sint per re-
ductionem ad eandem denominationem, neglecta denomia natione, tres arithmetica proportionales 2. 3. q. quia janta quadratum medii est y. et si subtrahas ab hoc quadratum disserentiae s. residuum erit medius harmonice proportionalis, . a quo si porro subtrahas quadratum primi termini A. residuum erit . cujus dimidium z. si addatur qu.idrato primi termini q. summa 6. erit primus Harmonicus & si idem dimidium una cum quadrato differentiae addatur dicto quadrato medii aritbmetici summa trium erit Ir. tertius harmonicus terminus, hi vero tres termini sunt quatuor quaestorum primus, secundus & quartus, tertius vero est medius arithmeticus inter primum & quartum Ir. nimirum s. quare hi quatuor numeri 6.8. 9. Iz. constituunt harmoniam
177쪽
o e A P. VILIIuis eui. g. 33. Atque sic in hoc eapite omnes tres proportionaris re totius litates, arithmetica, geometrica & musica ad tetragonom ρος - vfω- triam nostram applicatae fuere, ita, ut haud dissicile jam sit g ' cognoscere, quam latὰ se diffundat haec docti ina & usus ta- id uisioὸλ bularum tetragonicarum in universam Mathesin, quae ci θρὸ ea proportione6 numerorum & figurarum tota sere vers Geaemetriam tur, quid autem possit circa figuras Geometricas Tetrago νntrodu- nometria nostra, ex ipsis sontibus optime hauriri poteridβερ videlicet ex Elementis I.) Euclidis & quidem Libri I. pr
positione 47. totius Geometriae basi praecipua, ob cujus IKventionem Pythagoras centum bcri es immolasse creditur, ex Libri II. propositione A. cum omnibus seqq. ex L. III. propos. 36. ex Libri VI. propositionibus II. I . II. I9.2Q. 2S. Q. ex Libri VII. propositionibus, 3. 9. IO. II. I . I . I6. II. 2 . M. L . & 16. ex Libri IX. propositionibus Ia.8. 9. Io. I3. ex Libri X. propositionibus, 9. Ir. IS. J8. I9. & omnibus reliquis de quantitatibus potentia commensurabilibus agentibus: ex
Libri XIII. XIV. XU. XVI. propositionibus fere omnibus. 1.) Apollonii de sectionibus conicis, & quidem ex Libri L
iam quam plurima in Geometria practica tradere & siis guris competentibus illustrare proposui quidem mihi sed fata hactenus inhibuerunt , suffciat jani tetragonometriam tabulariam demonstrasse & exercuisse in qua plurimis, ut ad infinitum ejusdem usium adit jam sit perfacilis, in Infinitis vero jam est
178쪽
De eis. Ob erratorum metum facile deterreri potuissem in tan
ta numerorum accumulatione, cum sane totum ejusmodi
opus nullius sit momenti, quod falsis numerorum tabulis nitatur, verum post diligentem revisionem, imo antea factam frequentissimam earundem in descriptione adhibitionem non adeo multa deprehendi, adeo ut illa, quae sunt in descriptione facile a benevolo lectore sentiri & corrigi queant, ni sorte sensum invertant haec sequentia: pag. 62. in
marginali io. pro divisoris, Iege dividendi. pag. Ii3. in linea ro.ma pro quadratum lege Cubum. pag.ri4. linea I9.ma
pro quadratum, lege surdesolidum. pag. II6. linea pro- antepenuit a pro quadratum, lege, proximam praecedentem q-atitatem cossicam: In ipsis tabulis & quidem commodioris correctionis gratia, errata circa illos quadriatorum numeros, qui ad sinistram sequentibus sex numeris sunt antepositi & quidem veri numeri sed male locati, quare per 'ductum lineae alicujus ad suum verum locum vel sursum vel deorsu trahi possimi seorsim sunt sequentes,in quibus majusculi numeri ad illam in tabulis, qui hic apponitur, trahi debent. s.coψI69. I68.OIs 44. 2I8.OOJ22F. 246. oI922F.4 . oo 2496. 929.o oqoo. 936.OF o2s. I O.O2J796. FI I. mor6L FI32.Oo O 4. s66O.OO 289. 732O.ooo249. 793. o 3489. Reliqua errata sunt in sequentibus quadratis,in quis