장음표시 사용
141쪽
e AP. m. quadratb sive Zensi Zenso ejusdem proportionis,erit quaetatus maximus terminus quinque proportionalium ejusdenia tenoris, respectu minimi termini & summae: Idem etiam maximus terminus qninque proportionalium invenitur, si dictum duplum trigonii numeri unitate auctum multiplicetur cum quadrato proportionis datae & producto addatur eadem proportio unitate aucta. Uel etiam si a dicti dupli numeri trigonii unitate aucti quadrato subtrahatur idem dem duplum, cum proportione data & unitate aucta mul- ει,δsin 'tiplicaLum i Vel etiam, si datae proportionis surdesolidum, drum quid Z quod est quadrati quadratum cum radice, vel etiam quadratum cum cubo multiplicatum, unitate diminutum dividatur per eandem proportionem unitate diminutam. si se, 6- F. similiter duplum numeri trigonii, cujus radix triarermini dem gonia est data proportio, si augeatur unitate, Cubo, qVa- αν. drati quadrato, sive Zensi Zenso, nec non sit esolido, illud
ipsum sic auctum, erit quaesitus maximus terminus sex proportionalium, minimum terminum habentium, maximum per quadratum proportionis datae divisum & cum maximo multiplicatum,summam omnium terminorum efficiente Sepositis jam aliis multis & variis modis eundem inveniendi maximum terminum ejusdemtenoris,tantummodo illum modum adhuc subjiciam, quo proportionis datae quadrati Cubus sive Cubi quadratum unitate diminutum & sic di visi mper eandem proportionem imitate diminutam, est i- dena quaesitus maximus terminus. U Si plures ζ. 6. In promptu iam ex praecedentibus est universa θυας ρυρ iis problematis duplex Blutio, in qua simili refulgent praeter multas a ias, tres praecipuae mirabiles cossica ruin quantitatum omnium proprietates , Quia enim duplum numeri quam quadratum radicis trigonix
142쪽
eadem adhuc radice auctum, & in praecedentibus solutionibus sena per accessit, ia unitas in tribus proportionalibus, Trespram ab cubus proportionis datae in quatuor progressionalibus, ρμη c - ιθ Zensi acnsus ejusdem proportionis, in qVinqVe progrestionalibus, )surdesolidum, in sex progressionalibus, simi p=im ei li etiam modo, si porro sic accedat Zonsi - Cubus vel Cubi-Zcnsus emcietur maximus terminus in septem progressio- mum Ierm
nis geometricae terminis & si deinceps accedat bisurde li- - 'dum quod est, si Cubi-Zensus cum radice, vel Zensius cum
surdesolido, vel denique Cubus cum Zensi Zensio multipli- sais ,
cetur: maximus octo terminorum &sic porro per acces, hau Co issionem Zensi-Zensi-Zensus, i. e. si Zensi-Zensius, cum Zenso collactιυe. multiplicetur: maximus novem terminorum & deinceps Biquiae δε-
per accessionem Cubi-Cubi, i.e. Cubi cum Cubo multipli-osim quiocati) maximus decem terminorum, porro adhuc si accedat Zensi-Zensi
gulis per continuam multiplicationem cum radice qVOus- .sia que libuerit crescentibus. g. Altera praecipua Cossicarum quantitatum pro- 99 Tundum Prietas ex proposito problemate ejusdemque altera sblu-gum extione emergens est, quod idem inveniendus mini, non iblum,ut antea demonstratum, in cossicis colleclive sumtis reperiatur, sed etiatiis quibuslibet pro ratione numeri terminorum dati insit, Numera numerus enim terminorum plano hic idem est, quod ir et instrum Cossicis exponens dicitur ι Nam in Cossicis unitatis expo. ρ
maximus ter-T quantitatibus Gran quod singu.
143쪽
Quoniam itaque in g. x2. maximus terminus trium terminorum erat proportionis datae Cubus unitate diminutus &sic divisus per eandem proportionem unitate diminuta videmus, quod ipsius Cubi exponens etiam sit 3. Porro in I. 33, maximus terminus quatuor terminorum erat propo tionis datae gensi-gensus unitate diminutus, & per candem proportionem unitate diminutam divisus, gensi-Zensus vero similiter habet exponentem 4. cum numero termino rum coincidentem , Deinde in s. 34. maximus terminus quinque terminorum erat datae proportionis surdesolidum unitate diminutum& per eandem proportionem uriitat diminutam divisum, surdesolidi vero exponens, s. adhuc coincidit cum numero terminorum, & tandem in F. maximus terminus erat proportumis datae gensi Cubus unit te diminutus S per candem proportionem unitate diminutam divisus, ubi rursus Zensi Cubi exponens, 6. idem esta τοmodo
eum numero terminorumue Concludimus itaque universaliter, numerum terminorum esse, exponentem Cossicum,
qui exponit proportionis datae quantitatem Cossicam, quae unitate diminuta & sic divisa per ipsam proportionem datam unitate diminutam exhibet quaesitum progressionis gignatur geometricae maximum terminum, qui ipse etiam divisus χμω im per quadratum proportionis datae, exhibet minimum ejus- σ jς ' dem progressionis terminum,ita,quidena,ut hi extremi termini secum multiplicati producant summa omnium termi
144쪽
CAP. VII. N g. 38. Hisce praesuppositis sequitur, ex Lepius dicto pro- Tertia , blemate Clavii& nostra solutione, tertia & mirabilis sane praetas cos Proprietas quantitatum cossicarum, quod nimirum elidem ab unitate collective sive summatim acceptae, sint aequales quantitati cossicae in ordine proxime isqventi, sed unitat diminutae, & per radicem unitate diminutam divisae ue Ex.gr. si sit progressio ab unitate geometrica in proportion quintupla & quidem sex terminorum, continue cum proportione, s multiplicatorum, qVorum primus est I. secvndus S. ceu Radix tertius, 2s. ceu quadratum, quartus Ir . ceu Cubus, quintus 61s. ceu Zensi-Zensus & sextus sus. ceu furinde lidum; Dico: horum omnium summam inteniendam per g.29. esse aequalem Zensi Cubo IJ61I. unitate diminuto&sic divissi per radicem quantitatis costicae unitate diminutam, nempe quotiens enim δ' . est summa praedicta. f. 39. Cum vero per hos ipsos exponentes Cossicos inta Cossica hoc & similibus casibus tabulis nostraeTetr. tonometriae in-
lignis praxis accrescat, quod Ιplum Vel sola qVantitatum miratis,a. cossicarum verba insinuare possunt, ingrati in illorum, qui ibi m D. Cossicae doctrinae plane ignari sunt, exponam, qVales qVanti Ctibo. ratum cossicarum sint significationes quomodo ulterius procedendo sequentes vocenturi &qvis sit exponentium usust Reseruntur vero omnes quantitates Cossicae per radicis continuam multiplicationem ordine crescentes , in univer sum & principaliter vel ad quadratum numerum, sive Z n- sum vel ad Cubum numerum, vel ad surde solidiim, qui neque quadratus neque Cubus est 3 Ex hisce rribus reliquae quantitates omnes&in infinitum usque possunt clite com
positae, ita quidem & perpetuis his legibus, s i J ut ejusmodi
exponens, qui exacte dividi potest per numerum ternarium bus sit, & quidem illius quantitatis, quae habet exponen- P 3 tem
145쪽
nt cap. VII. tem quotientis. Ex.gr. cossicus exponens, 6. potest exadhedividi per 3. quare exponens 36. habebit quantitatem coni- 'cam, quae dicitur Cubus Zenzi-Zensi-Cubi , vel ordine inverso, Zensi-Zensi-Cubi-Cubus, quia quotiens Ir. est expo- . nens Zensi-Zensi-Cubi ; Similiter exponens 9. exacte potest per 3. quare 9 erit exponens Cubi- ubi, qui quoti-ρὰ, L ess 3. est e ponens Cubi. Γ2J Ut ejuS modi exponens, qui ex- δε ρυadnito acte dividi potest per numerum binarium Zensius sit, & qvii ri Zoso. dem illius quantitatis, quae habet exponentem quotientis , Ex .gr. exponens IO. exacte potest, dividi per 2. qVare Io. erit exponens Zensi surde lidi, vel inverso ordine dicendo, sur- desolidi Zepsi, quia quotiens s. est exponens surde solidi. Sic exponens 32. est Zensus Zensi-Zensi-Zensi-Zensi, propter quotientem ib. f J ut omnes exponentes, qui per ternarium & binarium dividi non possunt, surde solidolum nomi-
ca Lex D. μγ D- ne Veniant, & qVidem ita, ut si planta per nullum numeliis. rum dividi queant, atque sic sint primi numeri, secundum
ris prim . pliciter surdesolidi,minores vero a majoribus distingvantur secundum ordinem eosdem numerando & numerum ordi nis praeponendo ex. gr. quadri- surdesolidus &c ; sunt vero exponentes infra centum omnes surdesolidi sequentes F. 7.II. Numeri ρ ν' 13. 19 3L 7.4I.43.47. S 3. S9.6I. 67. II. 73.79. 33 89-97. - ' quare ex. gr. exponens I. erit unde-surdesolidus, qVia i reris,a surdesolidorum est undecimus. Similiter exponens .est bium insea surdesolidus, quia in ordine surdesolidorum est secundus sentum, vir &c. Si vero possint per aliquem alium praeter binarium &
ris, ab σώ- quotientis sua sortientur nomina ejusmodi e ponentes. Ex. ρο- exponens 11. dici debet surde solidi surdesolidum, & exri
ponens I. dicetur, bisurdesolidi surde solidum, quia si dividam
146쪽
Ap. Omdam 3'. per exponentem surdesolidi s. quotiens erit 7. expOnens bisuraesolidi ; Idem concipe de aliis omnibus. S. 4O. Quemadmodum jam exponcntes cossici ad deno- Exponeη minandas quantitates cossicas insignem habent ustam , ita etiam iidein exponentes& tabulis quadratorum & tabulis Cuborum s quas fere elaboratas possideo & suis usibus adornatus DEO dante, publico donabo J haud spernendum
afferunt commodum y exponunt enim exponentes utrobique, quae & quomodo omnes quantitates ex continua multiplicatione seu progressione fictae, in tabulis inveniri queant & debeant,& ut taceam hic Cubicas tabulas, ad usum tabularum quadratorum nostrorum solum nos applicabimus, praemittendo uniUersales exponentium proprietates quarum prima est, quod quilibet exponens cuilibet alii additus, faciat exponentem, habentem quantitatem cossicam, quae per multiplicationem producitur istarum quantitatum, quarum exponentes sunt additi. f. I. Imprimis ergo in tabulis quadratorum habetur antitas exponentis 2. nempe ipsius Aensi, sive quadrati, quia radicis exponens, eidem exponenti additus facit 2. e. ponentem Zenii sive quadrati, sed & radix multiplicata cum radice producit quadratum ; Deinde in tabul is habetur quantitas exponentis q. quia in tabulis, quilibet quadratus minor quam Iocoo . potest assumi ceu radix cujus quadratum, erit Zensi-Zensus, sive quadrati quadratum,habens di m exponentem 4. nempe exponentem Zensi sibi ipsi additum, alii vero Xens Zensi in tabulis non reperiuntur, quam quorum radix non est major quam 3i6. Porro in tabulis habetur quantitas exponentis 8. ceu exponenti s . sibi ipsi additi, quia in tabulis quilibet Zens Zensus minor quam I COO. ceu radix assuimus in iisdem suum habet
in rabulis quantitas exponentis
147쪽
rao CAP. VILbet quadratum, quod erit Zensi-Zensi-Zensus, alii vero tria
tabulis non dantur, quam quorum radix non est major quam Ip. quia radicis II. quadratum est, 2 . & hujus quadratum, nimirum Zensi-Zensus radicis II. est Io 976. cujus quadratum in tabulis non datur, nisi id ipsum per g. 3. c. q. AE quaerere velis. Ulterius in tabulis datur quantitas exponen- πρ ς' η in eeu Disti ex additione exponentis 3. secum ipso, nimbrum Zensi-Zensi-Zensi Zensus, plures vero in tabulis notia dantur, quam quorum radix non est major quam 4. quia radicis s. Zensi-Zensi-Zensus, est 39o62F. cujus quadratum inessahi; a, tabulis rursus non datur i Tandem exponentis 32. quantitas ιυιὴ siti semel tantum in tabulis datur, quando nimirum radix est a. 3a. hujus enim Zensus est 4. Zensi-Zensus i6. Zensi-Zensi-Zenissus, 216. Zensi-Zensi-Zensi-Zensus, 66yῖ6. cujus quadratum in tabulis, 4294. 967296. est ipse Zensi-Zensi-Zensi-Mnsi Zem sus, 3. 42. Omnes sic exponentes ab unitate in dupla prothb bbisis portione inventi, nempe, I. 2. q. 8.I6. a. 64. &c. designanti ea expo- quantitates, quae per quadraturam continuam determinarimm quisZ possunt ἱ Quapropter si in progressione continua cujuslibet proportionis, seu denominationis minimus terminus concipiatur tanquam unitas habens exponentem O. den minatio vero proportionis tanquam radix, erit numerus terminorum unitate diminutus ipse exponens.
In prN g. 3. Hinc, si detur denominatio proportionis, in pro-Mfὸfὸοmri gressione ab unitate, S quinque terminorum, & quaeratur νγiea, si de- quintus terminus, erit is, Zensi-Zensius datae proportionis,
tur denomio quia numerus terminorum unitate diminutus facit expo- Natiερηρ' nentem 4. E. g. quaeritur quintuS ab unitate terminus ita
148쪽
ea . Vra. msitus quintus terminus 3 Similiter si detur progressio ab unitate in proportione ri, duodecupla, Zensi Zensus numeri ia. hoc est quadrati I44. quadratum ro7 6. est quaesitus quintus
g. 44. Si porro detur proportio progressionis ab unita. Q.Vρ ρώ
novem terminorum & qua ratur nonus terminus et erit α
is propter exponentem 3. Zenu-ZenlDZensus proportionis datae. E. g. proportionis IJ. Zensi - Zensi - Zensus est --2 62.89o6rs. est quaesitus nonus progressionis terminus, quia proportionis datae quadratum est 2rs. & hujus quadratum sobas. & hujus quadratum quaesitus nonus terminus. . g. 4s. Si ulterius detur proportio progressionis ab uni - vom tale & I7. terminorum, & quaer4tur decimus septimus terminus ue erit propter exponentem 16. Zensi in Zensi 4 Zensi. Zensus, proportionis datae quaesitus decimus septimus terminus i Ex gr. datae proportionis 3. quaesitus decimus septimus terminus in progressione ab unitate, est 4 .o 672I. quia ejusdem quadratum est 9. & hujus quadratum Si. & hujus quadratum 616I. & hujus quadratum, qua situs decimus se-
g. 46. Cum in arithmetica jocosa soleat proponi ali- ίρορ δε quis casus in quo progressionis geometricae quaeritur trigesi R sim ruus secundus vel etiam 33tius terminus, nolo hic subsistere in inventione turmini decimi septimi i Proponi vero solet ille casus hoc modo , Quidam alieni generos eqvi cupidus, Prabomisi Domino hoc accepit reiponsum ; Tibi lubentissime ce- ex Arisb-dam Equum, si pro calcei ipsius claviculis, numer ,rr.& in- me Icasuper una, in casum alicujus deperditae diligenter asservan-TT d , mihi solvas pantam pecuniam, qVantam eisciet summa, oidis s. si pro prima clavicula tantum solvatur unicus nummu , pro ram comissςcunda vero solvantur duo nummi, prse tertia quatuor, pro flent Usim
149쪽
in eap. VII. quarta octo nummi & sic porro continue dupI6 plus pro sit
gulis ad ultimam usque claviculam,quaeritur jam, quot numipro trigesima tertia clavicula solvi debeant, ut postea tot nummorum summa perg.19.hujus capitis determinari queat, quoniam itaque numerus terminorum unitate diminu tus est exponens 32.& proportio data a. ceu radix, erit ipsius
quadratum 4. & hujus quadratum l6. & hujus quadratum 216. & hujus quadratum 6Js06. & tandem hujus quadratum
4294.967296. quaesitus trigesimus tertius terminus, quia ab exponente r. in dupla proportione usque ad exponentem 3r. inclusivE existunt quatuor termini, quare etiam post pri naum quadratum A. adhuc quatuor quadrata continua ratione sumi debent , Invento sic ultimo termino, determina tio inamae facilis est per 5.29. hujus capitis,erunt nempe Is8993 I9t. nummorum seu imperialium, 19. milliones cum
misto tonnis auri ni fallor atque insuper 3 a 6i 6 i. reliqui grossis&nummis ex singulari gratia remissis, quod pro uno εν- ,ν.. 'exlVO generosissimo qVamvis satis iniquum est pretium, de a bsyliis. coetero absque exponentibus & tabulis in vulgari arithmeti geometrisa, ca omnes 33 termini ordine inveniri S poni debuissent uni a quolibex us termini ultimi gratativito 'μνον' ἔ . Suffciant praemis a de progressione ab unitate γγ ID. si Vero primus progressionis terminus non sit unitas, sed qVt- , ibistisistis, libet alius numerus datus, & detur simul proportioni, de
proportio- nominatio & qvlaratur vel quintus vel nonus v l decimu nis, quomst septimus vel trigesimus tertius &c. tetminus; adhuc ellam, do g sicut praecedentibus casibus, quadrata continu8 quaerut o. p pomonis datae pro ratione exponentium,designato iis Mitis ' rum a numero rerminorum unitate diminuto, ultimum Vc m. -υe- proportionis quadratum multiplicandum est cum dato δο νηr e pruno termino. bic ex. gr. proportionis datae v. Zensi ay GOosl
150쪽
ea P. VII: Eensi-zensus gry o 72I. multiplicatus eum dato minimo
termino I o. producit 8III O72Ioo . quae litum nonum te minum. Sic porro ex. gr. proportionis datae ur. Zensi-Zensus est 22II. 37392I. cum dato minimo progressionis termino Exempιδε. Ioo. multiplicatus 22I7m92ICO. est quaesitus quintus progressionis arithmeticae terminus. g. 48. Sic itaque quantitates exponentium ab unitam momis in proportione dupla progredientium per tabulas eum suo reliquorum usu ostenta sunt, quomodo&reliquae exponentium quanti-M- - tates, per eosdem exponentes inveniantur, jam videndum
Imprimis si singulis inventis exponentibus in dupla propor- - ita ratione a. q. 8.I6. 2. Sc. addas unitatem prodibunt exponen- per ωλιωtes . F. 9. 77. I. Sc. quapropter si singulas quantitates ex- --nian- ponentium in dupla proportione ab unitate, multiplices μ' cum radisie, hoc est, cum quantitate exponentis r. habebis AFρη . quantitates exponentium 3. F. 9. II. I. &c. nimirum Cubum, .surde solidum. Cubi Cubum, quini-surdesolidum, trisu 'desolidi Cubum &c. g. 49. Hisce quantitatibus sic inventis per hos: invenien- Gomodo
r qVantitates exponentium , qui jam inventis in pro- exponentia portione dupla accedunt 3 Sic enim exponenti s. accedunt in proportione dupla 6.I2.24. &c. exponenti F. accedunt in proportione dupla Io. ro. &c. exponenti 9. accedit II. & sic 'porro 3 quapropter si singularum quantitatum, quarum exponentes. sunt φ.F.9. II s. quaerantur quadrata& horum quadratorum rursus quadrata & sic deinceps, emergent quaesitae