장음표시 사용
151쪽
N ' . PAP. VII. II. 2o. 24. per hosce, singulis his addendo unitatem ut
in s. 48. factum est, prodibunt exponentes I. II. I . I9. 21. 2F. - &e. quapropter si singulas quantitates exponentium, 6. Io. II. I3. m. 24. multiplices cum radice, qYantitate nimirum exponentis I. habebis, quantitates exponentium, 7. I.13.I9.2I. 1 F. &c. nimirum Bisurdesolidum, trisurdellidum, qua-
exponenti- g. I. Rursus inventis qVantitatibus exponentium, 7. II. um t .aa. I3. I9. 2I., si alii exponentes iisdem in proportione dupla - ,δι σέ. accedant, prout in g. 49. factum est, infra exponentem 32. accedent I . 22. 28. & 16. exponentes nimirum quantitatum
τρ εδε s. Rurks sic inventis quantitatibus, quarum expO nentes sunt I . gr. 26. & 28. inveniuntur quantitates, in-o . u. σc. sta 32. exponentium nempe IS. 23. 2y. &.29. per additionem tum exponentis I. & consequenter per multiplicatione ipsarum Jarundem quantitatum cum radice, eruntque, sur
' ' ventum &hic porro per exponentem eundem inventum 3o. sicut etiam porro in exponentibus ultra 32. progredit, cet, si placeat Schema ex g. 14. Quomodo vero unus exponens ab aliis dependeponentium at, brevitatis & facilioris inventionis gratia ex sequenti apparet sthemate, in quo satis curiosas progressiones exami
cis ab ι nare, hujus non loci. .
152쪽
6. 6. s. s. s. 3. 2. s. 3. 3. G I. 2. 2. I. q
2. 2. I. E. I. I. 2. I. I. I. I. I.
gos. Quoniam sic omnes hactenus quantitates expo-mis Cluviilientium infra 32. imo etiam infra 6 . & porro sic proceden- regre νdo omnium , per tabulas quadratorum inveniri possunt, concludimus, problema a Clavio in s. o. propositum, in tot zν. is progressionis geometricae terminis solvi posse, quot hacte- bis sol inus per tabulas inventae sunt quantitates cossicae, tum bre-poteis. vissima tiim jucundissima via; Simul etiam quam plurimata exempla jocosa ad imitationem exempli in S. 46 propositi proponi & una eademque solutione solvi posIe; sussiciat hie vero unicum. Debent inveniri minimus & maximus, 24
terminorum continuae proportionis triplae, ita ut minimus , 'I'. terminus multiplicatus cum maximo, emclat summam ω Amb.is. mnium terminorum S ut maximus terminus sit summa to- tum. . iidem terminorum ejusdem proportionis triplae, cujus mutimus terminus estunitas, Quoniam itaque juxta g. g. 36. &37. duplici modo misi potest hoc problema. & quidem juxta f. 36. per exponentem 23. juxta g. I. vero per expone tem 24. ex schemate vero g. F . apparet, exponantem 23. cura mplures insta se habere exponentes, a quibus dependeat, quam exponens 14. adeoque operationem per exponentem
153쪽
propter, cum exponens 24. sub se habeat in schemate exponentes u. 6. I. E. & I. erit Qxponentis I. quantitas, data proportio 3. & quantitas ponentis 2.quadratum proportionis, 9. & quantitas eXponentis . Cubus proportionis, multiplicando quadratum cum radice, sit tabulat cubicae non sint ad manus, nimirum 27. & hujus quadratum 729. repraesentabit exponentem 6.& porro quadratum illius Fli4 I. repraesentabit exponentem Iti & tandem rursus illius quadratum, j xta I. c. q. inveniendum, nempe 2324. 29 3648Ι. repraesemtat quantitatem exponentis 2 quae unitate diminuta & sic divisa per proportionem datam & unitate diminutam, nimirum 2. est ipse quaesitus maximus terminus, I sLI 7682 o. minimus vero est idem maximus, divisus per quantitate exponentis 23. quae statim innotescit, dividendo quantit tem inventam exponentis 2 . per radicem sive proportionem datam 3. erit nimirum quotiens 94IA I S PS. 16. Si vero saltem probationis gratii velis eundem
maximum terminum in enire per exponentem, 23. juxta f. 36. invenies in schemate sub exponente 23. exponentes M. II. IO. s. q. 2. I. qVapropter quadratum proportionis datae 9. repraetentabit exponentem 2.&illius quadratum gr. exponentem 4. & quadratum illud 8I. multiplicatum cunia' radice 3. nempe Zq . repraesentabit exponentem y & illius
quadratum F9o 9. repraesentabit exponentem Io. atque multiplicatum cum radice 3. nempe I77I 7, exponentem II. . & illius quadratum, juxta g. s. cap. q. inveniendum , 3I .8IOw6 . repraestentabit exponentem 22. atque multi plicatum cum radice, I I 8827. exponentem ultimum 2I. ceu ultimum terminum proportionis triplae ab vinitat
26. terminorum, per Mem ultimum terminumduxta R
154쪽
c Ap. V It ea hujus eapitis facila invenitur summa omnium terminorum, dividendo nimirum eundem inventia ultimum & primo termino I. diminutum, per proportionem unitate diminutam, ut quotiens sit, q7o7I189 is. & eundem ultimu quotienti a dendo, imma enim IAIZIU6824O. est, ut antea, quaesitus maximus secundum requisita sua terminus , Minimus quaestus vero terminus est antea inventa quantitas,repraesentans exponentem 23. id est numerum terminorum unitate dim,
37. Fortassis non displicebit, praecedentem solutio--π exem-vem applicare exemplo alicui jocoso, quod in arithmeticis μ' Libris passim reperitur; Aliquis in sua Cella habet genero aream . fissimi vini decem dolia, quorum unum quodque continet centum amphoras, is sibi proponit aliquem praedivitem & . avarum decipere, qVapropter eidem oreri mille istas amphoras vini, si sibi & haeredibus suis certo velit promitte ipatio 24. annorum, tot enim quodlibet doliorum habebat Circulos 3 parvos haustus secundum mensuram partis millesimae unius amphorae singulis annis praebere &quidem ita, ut primo anno unicus haustus, secuncto vero anno propter multiplicatam so e familiam tres haustus, tertio amno propter eandem rationem rursus triplo phires, nimirum 27. haustus & sic porro in sequentibus singulis annis, semper&continue triplo plures haustus praebeantur, usque ad ultimum annum 24. quaeritur jam, quot in silmma hamstus praeberi debeant, & inventa est antea in g. g. praecede libus summa 1 raru ua . tot enim haustus praeberi debent ; jam vero, si illam summam dividas per mille haustus habebis, 1 rar 7ω amphoras Vini, i. e. t I militones, &or. v amphorarum, & insuper 2 o haustus, quos forte
155쪽
alienae ex ponentium propraet- circa e runiam subim.ctionem u-υδ CAP. VILg. 63. De prima exponentium universali proprietat
in quantum ex additione eorundem innotescere per multiplicationem &quadraturam illorum quantitates possunt, hactenus actum est, sequitur jam altera proprietas, quae est, quod quilibet exponens subtractus ab alio relinquat expo- - ab alist. nentem quantitatis illius, quae fit, si majoris exponentis quantitas dividatur, per quantitatella minoris subtracti exponentis, quo etiam fit, ut dimidium alicujus exponentis denotet exponentem radicis quadratae tertia pars vero radicis cubicae, quinta pars radicis surde-solidae &c. bactenus quidem plane ad instar Logarithmorum ; sicut ergo bene, eio tabulae in I. 14. traditae imo absque illa a radice permultiplicationem & quadraturam ad majores quantitates cossicas ascendere potuimus, sic etiam descendendo ad ra-- dices per divisionem & radicis extractionem pervenire , easdemque invenire poterimus, quanquam fatear, adhibitis simul tabulis cubicis multo compendiosius id peragi stoemstis posse, sit nihil ominus ad interim haec regula pro solis tabulis quadratorum , quod quantitates exponentium nume- ais,ci ri imparis dividi debeant, per quantitem proxime mino- νει minores ris exponentis parium, alicujus pro lubim assii nitae rad, mr majore cis, atque tunc,si quotiens sit idem cum assumta radice, vera inperia - radix assumta est, sin minus tam diu alia atque alia assumen- da est, usque dum quotiens cum assumta radice exasse conis gruat, pr/xis vero hujus rei facilior & selicior est, quam ut initio ante illam credi possit: usus vero hujus rei in se,
tremis iuve- g. 19. Si quatuor continust proportionalium geon'enire fecu - trice dati sint e tremi termini & quaeratur secundus termi--m mi' nus- tunc Radix Cubica ex quadrato primi dati termini, L. ista ni. mulxiplisatQ cum altero extremo dato, cst quaelitus secun-
156쪽
eus terminus; Relegamus hic exempla ad tabuIas Cubitas, Exinictis cum nullo labore ibidem son evolutione expediri queant. σμή μ' f. 6O. Si vero quatuor continue proportionalium dati 'sint extremi termini & quaeratur denominatio proportio- nis; tunc radix cubica ex maximo termino per minorem diviso est quaesita denominatio proportionisi rursus exem- tremis murapta tabulis cubicis committimus, quamvis etiam per qua-vire isno-dratae elaborari possint, ut ex sequentibus colligere licet. minationem g. 6I. Si denter quinque continue proportionalium extremi termini &quaeratur secundus terminus, tunc radix Zetali-Zensica ex cubo primi dati termini multiplicato cum altero extremo dato, est quaesitus secundus terminus, ex. gr. Lisistitiis Cubus primi dati, 9. nempe 729. multiplicatus cum alterό extremisi extremo dato 864 6364O9. producit Zensit - Zensunti, venire δε-o or 7o4ri 6Ι; exponens Zensi-Zensi, est 4. sub se habens su μνdum remum dimidium et . quare per extractionem radicis quadratae juxta f. io. cap. . hic invenitur primo Mnsus 79ὶSSI. cujus ργ ια. radix gyi. est quaesitus secundus terminus. Erinimo S. 61. Si dentur quinque continue, proportionaliumis ruditis Zem extremi termini & quaeratur denominatio proportionis iF-Zensica tunc radix Zensi-Zensica ex malore extremo per minus da- Ditis quin tum extremum divisum est quaesita proportio. EX. gr. ma. questropo jus extremum 864s364 9: divisum per minus extremum sitio alium Prodit quotientem 96os96oi. qui est Zensi-Zensus quae vitiae 'proportionis, jam vero Zensi-Zensi exponens est 4. qui per dimidiationem sit a. & rursus I. per dimidiationem I. qVarsta nem arvom si ex 96 s9 I. extrahatur radix quadrata, erit illa 98oI. & si ti-u. porro ex hoc numero, ceu Zenso, extrahatur radix quadrara, erit illa 99. quaesita proportio. g. 63. Si dentur 6. continise proportionalium extremi Dissis cia quaeratur lacundus terminus, tunc radix surdesolida ex Protorcis
157쪽
*asum Ao-Zensii-Zenso primi dati termini, multiplicato cum alteri εω extra' termino dato, est quaesitus secundus terminus. Ex. gr. primi η ς termini dati p. Zensi rensus 616r. multiplicatus cum altero ' 'extremo dato, 8789o6is. producit s 56so39o62F. surde loli' dum quaesiiti secundi termini, ergo radix surdesoluta erit ex trahenda, quod ipsum quomoda fieri possit, arithmetici vix audent tradere, quamvis tradi possit, varius labor vero nihilominus erit intolerabilis, cum econtra tabulae quadratorrum mirum in modum radicem turdesolidam facili me ex. 4 2 hibeant illi , qui in tabulis illis sumienter exercitatus e '' ti quidem sequentem in modum, Extrahenda est radix sur- desolida ex prodicto numero s766sol9o62S. Primo Omnium assumo ex tabulis quadratum aliquod magnum eX. gr. 988ob6o o. pro divisore dati surdesolidi, ut ibi una modo, videam, quot numeri in quotiente sint futuri, quoniam igi
tur divi ris initialis p. major eit initiali dividendi 1. & quia
divisor habet io. numeros, requirentur in dividendo II. numeri pro uno quotiente faciendo, sed quoniam dividendus tantum habet duodecim numeros, apparet exinde per ejusmodi divisionem in quotiente tantum duos minae ros,quales quales etiam sint, quod hactenus,non quaeritur, futuros esse ilam vero si divisoris radicem 99έoo. accipias tanqVam qua dratum, vides quod ejus vel saltem proxiine minoris qua drati numeri, 9922J. radix IF. habeat tres numeros, quia Vero juxta si s8. quotiens radici debet esse aequalis, sic vero haec ipso major es et, hinc aliud quadratum pro divisore e t eligendum, quod in quotiente saltem tot producat numeros, quot habet divisoris radix Zeta-Zensica , quod ipsumta vero eveniet in quadrato habente ut antea Io. numeros &cujus initialis minor est quam dividendi initialis . quale Omnium primum & maximum est quadratum J766427969
158쪽
per quod si dividamus surdesolidum absque ulla operatione - & solo initialium intuitu habebimus quotientem Ioo. jam
vero ej csdem quadrati radix, 7J937. si tanquam quadratum eonsideretur, erit ejus vel saltem quadrati proxime minoris radix, 27s. sed multo major quam quotiens Ioo. Assume aliam minorem radicem e. g. 24J. cujus quadratum 6oo2s.& cujus porro quadratum est 36o3. &c. hactenus enim tantum initialibus quadratorum opus est, per quos initia Ies vetsaltem primum eorum, debet explorari surdesolidum da tum primi solum quotientis ergo, ut videamus,an ille etiam. sicut initialis radicis sit r. sed statim apparet adhuc esse,Ι. quia initialis quadrati nempe s. in initiali surdesolidi, s. tantum semel continetur, initialis quotientis, non erit r. nisi initiales quadrati saltem sint dimidium initialium surdesolidi atque sic quotiens mero intuitu roo. quod ipsum omnium primo continget in quadrato cujus initiales sunt 2883.2s. m. cujusque radix F369J. tanquam quadratum babet radicem 2 i.& quoniam quotiens roo. adhuc minor est qVam radix 23I.qVaeratur ergo que dratum minus priori,cujus initiales dividunt initiales surde lidi, ut secundus qVotiens sit I. vel 2. quale ex.gr. est quadratum 2J2O.o4. &c. per quod in quotiente proveniunt 118. sed radici si scroo. ceu quadrati radix est b,..
124. quotiens vero, 228. ergo inter 22q. &228. Vera erit ra- tintie pro
di x ne i Dipe serte incidendo in quaesitam radicem surdesoli- portionaliadam M 64. Si dentur sex continue proportionalium dito ex μ υμμι tremi Se quaeratur denominatio proportiodis tunc in jus misisti.,em ei tremum dividendum erit per minus, & erit quotientis Fa proρονιι
dix surde solida quaesita proportio, sive ejus denominatio. Ex. gr. majore extremo 8789G62F. diviso per minus extre-εά-pitio,. naim q. crit quotiens 976J6as. surdesolidum, ex quo extra
159쪽
c A P. VII. henda jam est radix surde lida sequenti modo: Quia maximum in tabulis quadratum plane non potest esse divisor data. surde solidi,quia illud Io. hoc vero 7. tantum habet numeros, quaerendo aliquod quadratum 7. numeros habens & minus dato surdesolido, erit illud omnium primum & maximum s 61611' per accidens cum surdesolido idem, quotiens ve-
ro in ejusmodi divisione tantum erit unitas, cum e contra liqvadrati illius radix 3Ir . tanquam quadratum accipiatur, erit ejus vel saltem proxime minoris qVadrati radix, S . major quam quotiens I. assune ergo quadratum quQddanais sex numeros tantum habens Se cujus initialis eli minor,
quam initialis surde solidi, eritque illud omnium primum &maximum, 976i 3. quod primo intuitu dividit surde lolidum ita, ut quotiens sit io. sed illius quadrati radix 988. si
t nquam quadratum accipiatur, erit ejus vel saltem proxime minoris quadrati 96I. radix JI. maior quam quot MnS I videmus jam quod inter Io. & ῖi. sit vera radix, quare qua rendum est quadratum , quod dividit surde solidum ita, ut primus quotiens sit r. quod invenies, si quaeras aliquod, quod inbet initiales, dimidio surdesolidi initialium aequales, nem-se, 88. dic. quale inVenies circa radices 699. vel 693. jam vero, si has radices ceu quadrata accipias, &carundem vis saliena proximὸ minoris quadrati radicem quaeras, erit illa,26. adeoque vera inter ro. & 26. de sic tandem per leviusic . Iam attentionem observabis, quod circa radicem 2F. I v ra radix surdesolida, quemadmodum etiam ipsa illa est, cum Zensi-Zensus ejus 39o621. dividat surdesolidum etiaru
f. 6F. Si dentur septem continue proportionalium duo
160쪽
pus erit extractione Cubi-Zensica, in illo quidem, ex surde--i . A
LIido alterius cujusvis extremi, cum altero extremo dato e tr . multiplicato, in hoc vero, ex majori extremo per minus divitos Ex. gr. alterutrius extremi p. surde solidum S 'O 9- ,- ργυον- multiplicatum cum altero extremo I O62F. producit quaesiti tionalem, a- secundi terminicubi -Zentum Sso3. 86w28. Idem Cubi-Zen- licui extrasus Ili consideretur tanquam quadratum, erit ejus in tabulis 'no v c radix quadrata exacte prin. sed haec ipsa radix debet consii μμ λ - lG derari ut Cubus, nam genti-Cubus habet exponentem 6. at Zmpropo que radice quadrata ex illo extracta, erit per dimidiation exponens s. denotans cubum, quare radix cubica erit extra Re ramo ,, henda aut per imitationem extractionis radicis sirde lidae, .n ις cubi- dividendo nimirum Cubum per quantitatem hahentem ex- 'UPAE, PHponentem unitate minorem, Cubi exponente, aut per bulas Cubicas, in quibus praecise numeri 9II13. Tadix cubica etsi M. quaesitus secundus terminus, vel radix Chibi-Zensici Numeri 8;o3.36 13. Similiter majus:datum extremum diavi tam per minus eaetremum facit quotientem RM'. Cubi ta sum quaesitae proportionis, at vero, si eae hoc Cub Zenss Datu αα numero extrahamus radicem quadratam, erit illa in tabit cρη-μὸlis ias.repraesentans si imit Cubum numerum, cujus radiY cir-8 Vst
bicae , ipsa qiuaesita radix Cubi-Zensica, seu quaesita pro
f. 66. Si dentur octo continu8 proportionalium duo reves mei extremi &quaeratur vel secundus terminus ceu primus mi eis m propor
dius post alterutrum, vel proportionis denominatio , Ut nor ρ' ue casu erit extrahenda radix bisurdesolida , illo qui desti a su ex Cubi-Zenso alterutrius extremi, naturip tb- ties aeno