장음표시 사용
11쪽
Loci es s sormantur ab unitate,&per unitatis continuam additionem. Impares ab unitate, per binari continuam additi nem Vel ex duabus radicibus. Pares a binario, per binarissemper additionem, uel duplicando radices. Trianguli primi, per continuatam radicum accumulationem. Sive multiplicando as regatum collateralis radicis unitatis in dimidium nulltitudinis radicum. Quadrati primi ex luctu radicum in se , uel ex aggregatione succeiasiva imDarium ab unitate Vel ex coniunctione trianguli collateralis c praecedenti, uel multiplicando aggregatu collateralis imparis Munitatis in dimidium radicis. P rte altera longiores ex ductu collateralis radicis in radicem Imm diate praecedentem Que ex aggregatione continuata patium sine ex duplato triangulo precedenti liue ex praecedenti quadrato cum
Pentagoni primi ex coniunctione collatera lis quadrati cum trianguin
Hexa:on primi ex quadrato collaterati,duploq; praecedetis trianguli. VAex pentagono coli. dictoq; triangulo et Vel ex ductu radicum in imparesci et ex quadrato cum parte altera lungiori P ramides triangule prime ex succernua triangulorum aggregatione. Similiter pyramides quadrate ex quadratorum Pyramides pentag nae ex pentagonorum, pyramides hexagone ex hexagonorum aceruo
Item pyramisse quadrarae primae fiunt ex coniunctione collateralis pyramidis triangulae cum praecedenti. 'Puramides pentagonae primae ex collaterali quadrata pyramide cum praecedenti triangula pyramide.
Pyramides hexagonae primae ex quadrata pyramide collaterali cum duplo praecedentis triangulae pyramidis Vel ex pentagona pyramide collaterali,& triangula pyramide praecedenti. Columaenprimae nunt ex ductu suarum superficierum in radices Cut puta triangulae ex radice in triangulos de sic de caeteris. Item columnaeariangulae primae sunt aequales pyranudibus pentago -
12쪽
nis primis, sin illa: singulis. Quod notatu dignum est: Columnae quadratae primae, siue cubi,fiunt ex ducturamcum in suos
Sive ex columna triangula collaterativi praecedenticu suo mangulo. Vel ex pyramide hexagona prima cum pyramide quadrata praecedeti. Vel ex aggregatione unius, deinde binorum, deinde trium, deinde qdatuor,&sic deinceps imparium. Item columnae pentagonae primae fient ex cubo collaterali cum columna manstula&triangulo praecedentibus. Columnae hexagonae primae item ex columna pentagona collaterali coprecedenti triangula columna&suo mangulo. Trianguli secundi fiunt ex triangulo primo praecedenti triplicato cum
Pro quadratis autem secundis,quadruplicetur dictus mangulus. Pro pentagonis quintuplicetur.&sic deinceps pro sequentibus torismis,adiecta unitate L Item trianguli secundi fient ex mangulo primo collaterali ci qua it to praecedenti.
Guadrati secundi ex quadratocol Peῆtagoni secundi ex pentagono collaterali de quadrato praecedenti Hexast: secundi quianguli ex collaterali hexagono primo cum Quadrato precedenti. Vel ex quadrato collaterali iraecedenti &parte altera longiore colla terati vel ex parte altera longiore tripli
Heptagoni ex hexagono secundo collaterali cum triangulo primo prae octo oni ex heptagono dicto collaterali cum triangulo praecedentim imi ord. Sive quod notatu dignum est ex collaterali impari in se multiplicato e Puramides secundet fiunt ex accumulatione continuata liuarum superficierum, scilicet triangulae triangulorum , quadrate quadratorum secundi ordini&sic deincep - rtem pyramides secundae triangule fient ex pyramide triangula prima.& praecedent pyramide quadrata. Pyramides autem quadratae secundio pyramide quadrata collateralicum praecedenti primi ordinis. Pyramides pentagonae secundae,ex pyramidae pentagona prima, pyramide quadrata pri cedenti prima. . Pyramides hexagonae secunde ex Pyramide hexagona prima pyr
13쪽
mide quadrata precedenti prima. Et sunt aequales cubis collateralibus, ungule singulis quod mirum est. Pyramides heptagona secunde ex hexagona pyramide secunda coli terali cum precedenti triangula pyramide prima Pyramides octogone, secunde ex heptaeona pyramide collaterali cum precedent pyramulo triangula prima. Item inaqueq; dictariim pyramidum fit ex pyramide trian 'ut primi
ordinis multiplicata in numerum laterum uita cum radice conlaterali. Columne iecundonente multiplicatione suarum superscierum in radices collaterales, trian ulta scilicet triangulorum , quadratae quadratorum. Et deinceps similiter. Item omnis columna secundi ordinis, fiet excolumna eiusdem nom nis In primo ordine cum precedenti cubor quadraro coniuncta.
VMNA TRIANGULA Prim cum duplo sui trianguli, facit triplum suς pyramidis.
omnis columna pentagona prima cum duplo quadrati collateralis, tacit triplum sue pyramidis. Omnis columna hexagona prima cum suo hexagono coli.&triangulo, facit triplum suae pyramidis. Omnis columna triangula secunda cum coss.quadrato trianstulo primis, facit triplum sue pyramidis Omnis columni quadrata uecunda cum duplo coli quadrati primi, facit triplum tuae pyramidis. Omnis columna quadrata secunda cum duplo coli. quadrati primi, facit triplum sue pyramidis. Omnis columna pentagona secunda cum duplo quadrati coli primi, dccum triangulo p cedente primo, facit triplum sue pyramidis. Omnis columna hexagona secunda cum hexagono secundo impari collaterati, facit triplum suae pyramidis Item eadem columna cum quadrato & hexagono primis secit triplum iu pyramidis omnis columna septangula cum hexagono secundo S impari collat ratibus,&cum triangulo primo precedenti facit triplum sue pyramidis /omnis columna octangula cum hexagono secundouc impari collate-ralibus, duploque trianguli precedentis primi, facit triplum sue pyramidis . L
14쪽
TETRARE DR v seu Pyramis construitur ex unitate, cum quatuor
radicibus praecedentibus,cum sexcupio trianguli primi, uno retrorsum intermisib,accepti: cum quadruplo pyramidis triangulae secunda praecedentis.
Cubus, construitur ex unitate cum octo radicibus praecedentibus , cuduodecuplo trianguli primi, uno retrorsum intermisso, sumpti rcumq; sexcupio pyramidis quadrata secundae praecedentis. Octahedrum construitur ex unitate, secuplo radicis praecedentis, ex duodecuplo trianguli primi, uno intermisse, recepti, ex octuplo pyramidis triangulae secundae praecedentis . Quod semper exit aequale cubo praedicto. Icosa hedrum construitur ex unitates ex duodecuplo radicis praecedentis, ex uigecuplo trianguli primi, uno retrorsum omiuo,accepti,dc ex uigecupio pyramidis triangulae secundae praecedentis. Dodecanedrum construitur ex unitate, ex uigecuplo radicis praeceden iis, ex trigecuplo trianguli primi, uno retrorsum intercidente, o currentisci de ex duodecuplo pyramidis pentagonae secunte praecedentis. Quod semper in uertitur aequale Icoinhedro dudum memo
Item cubus, aut octahedrum praedictum sunt enim aequales potest aliter construi. Nam dileolitus imparibus ab unitate per ordinem,
unitas faciet primum cunum praeclictuma tres sequentes impares secundum quinque sequentes impares tertium: deindeeri piem succedentes quartum nouem uintum. Et sic deinceps in infinitum impares sub multitudine impari successive coace
Adhuc idem cubus, seu octahedrum producetur ex ductu imparis collateralis in quadratu in secundi seneris collateralem. Et notandum quod talis cubus siue octahedrus sempere pyramis triangula secundi generis in locis imparibus accepta.
Praeterea non omittendum est, quod ex successiua coaceruatione taliucuborum siue octahedrorum ab unitate per ordinem,constituuntur Quadrati quadratorum ab unitate seriatim receptorum . A quiadem quadrati quadratorum , seu bis quadrati producuntur ex quadratis primis in se ductis QRod sicut hactenus ignoratum,ita posta hac iucundum scita fiet speculatiuis ingeniis Deniq; cum his, neq; illud subticebo, quod Tetrahedrum superius memoratum est 5 cubus mixtus quidam terti generis , qui conflatur ex binis semper proximis cubis primi ordinis, scilicet collater
15쪽
li&precedenti. Quemadmodum quadrati secundi ex duobus quadratis primis,collaterali prccedcnte coalescunt. Qu9d non minus erat admirandum.
Hec omnia in tabella premissa per exemi la singula notescunt,&in primo horum Arithmeticorum libello demonstrantur.
ERFECTU Numerus producitur ex multiplicatione ultimi inserie pariter parium ab unitate dispositorum, in totum aggregatum insorum,dum tamen tale aggregatum sit numerus primus, hoc est a
nullo,pr terquam unitate numeratus Tales numeri semper inu
niuntur in ordine triangulori hexagonoru primorum.In hoc numero perfecto partes integrant totum, ut ostendit Euclides in ultima Noni. Secunda conditio ficiens numerum perfectum est imparitas inde impar numerus persectior,quam par: quoniam assinitate habet cum Monade genitrice numerorum,quirepresentat Deum, Mundum, Naturam , Solem, quidquid unicum est. Tertia Conditio,est potestas . Vnde impares numeri, quorum potestas de os cium est Qrmare numeros quadratos, perfectiores sunt paribus, qui formant parte altera longiores. Rursum hexagoni quianguli sunt perfectiores, quam impares communes quoniam rmant cubos. Quarta conditio,est forma. Vnde numeri qui lateri persectiores, quam non quilateri. Sic quadratus persectior,quam altera par te longior. Et cubus persectior, quam solidus non quilat
rus. Item Hexagonus quiangulus persectior quam hexagonus primus. Vnde prima conditio friuola est quoniam nuda & expers est ceterarum fructuosiorum qualitatum. Verum hetc discussio posita est in postremo problematum Mechanicorum.
16쪽
M Euclides agat de planis, sebias,
quadratis, cubisq; numeris te caeteru
alteriusinodi firmis, it triangulis,pentigonis , hexagontis stu sequentibus tum superficialibus, quam solidis neque apud nonros, neqs apud
Graecos quemmam saltissit ipsi quispiam nec ipse
Pthagoras,siue Iamblicus,aut Nicomachus, a quibus Boetius noster , quicquid de Arithmeticis tradidit, mutuatus es Iordanus autem,me quidem
iudicio melius utique egisset,si ab alijs omissi plenius tractasset,potiusquam in repetendis ijs, quae ab Euclidestiis fuerunt demεnstrata uBru insidasset: ' igitur conabimur ea, quae seper bisi numera
riis formis, nobis occurrunt, exponere multa Inte
rim sciliori ita demonstrantes, stu ab alijs authoribus aut neglecta,aut non animaduersa supplentes. Sed iam a diffinitionibus inchoantes, reliqua com
17쪽
. . . . Ο Ο. . . . . . . . . Q
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a A RIΤHME ICO RVM DIFFINITIONES.
Unitas es principium cst connitutrix omnium ni erorum, constituens autem imprimu seipsam . omnis igitur numerus aut est unitas, quae respondet punctori quam a punctum non habet partem in continitis, sicut unitas in discretis. Aut est linearis, qui respondet lineae Aut superficialis, qui respondet superficiei. Aut solidus qui solidum in geometricis imitatur Post unitatem itaque primus linearium numerorum est Binarius sicut linea finita duo extrema sortitur. Primus superficialium ternarius Gicut Triangulum figurarum eo meo tricarum prima est. Primus solidorum quaternarius quoniam pyramis triangula in numeris, sicut eadem in continuis solidis prima est. Sicut igitur monas pucto ita dias lineae Trias superliciei, ac tetras solido assimilatur Linearium numer rum, Par est que Binarius metitur. Impar vero, qui stari unitatem addit,ves minuit. Suherficialium autem primi penetis
numerorum, alij rrianguli sunt Alis quadrati, Alis pentago ni Alij cxagoni, Mexagonorum , ali Tetragonici alii
Aequianguli, a forma scilicer, in qua disponuntur, numeroq; angulorum aut laterum vocati. Radices numerorum sunt lab unitate, de secundum unitatis cremetum successine accrescunt. Triangulus numerus est, in primo genere, a aggregatione radicum ab unitate acceptarum constitutus trianguli sormam acquirit. Quadratus autem, qui ex radice in seducta procreatur Pentagonus verb, qui ex quadrato, triangulo praecedenti coniunctis quinque lareram acquirit figuram. Hexagonus tandem, qui pentagono adhuc triangulu adiungens, sextum lucrifacit latus Hae itaque figurae ex triangulis, o quadratis compaginantur. Nam Hexagonus aequi ingulus ex VnItare se multiplicato triangulo construitur. Ex his super cialibus formis totidem Pyramides, totidemque colu ne conficiuntur, qui solidi numeli merito vocantur. Nam Pyramistri igula ex aggregatione triangulorum ab unitate per ordinesti mptorum abricatur. Similiter . Pyramis quadrata, exin mulo quadrato ruri: Pentagona, Pentagonorum:&Exagona, exagonorum ab unitate continuatim sumptorum erigetur. Vnde, duplex erit hexagona Pyramis, scilicet a suis Ingi Lehexagonis constructae Columna vero triangula ex ductu radicis in suum triangulum. Quadrata quae cubus Vocatur, ex ductu radicis in suum quadratum Pentagona, cx ductu radicis in Pengigonum. Et hexagona triusque speciei ex radice
18쪽
in hexagonum multiplicata procreabitur. Sunt cla numeri parte altera longiores, quorum quilibet fit ex dueti collat ratis radicis in procedentem. His ita se habetibus, licendum est de eorum proprietatibus colliganti s.
Ab his propagantur quincuplices Pyramides, totuplices columnae, in quibus omnibus positio unitatum, aut triangularem, aut tetragonam seruat sormam. Sed hexagonus aequi laterus hic reponi dignus est visus, propter colligantiam, quam cum primo hoc generebormarum seruat Reponetur: in secundo mox genere, quandoquidem construitur ex centrali unitate, ex triangulo in latet umnumerum ducto, hoc est sexctificato:& ipsius tam pyramis, quam columna semper habet pro axe linearem numerum , siue radicem collateralem ex centralibus scilicet unitatibus superficierum colimpositam. Quae omnia hic in tabella per numerarios characteres, tam ad distulitionum, quam ad demo nitrandorum exempla exua in bimus, ab unitate usque ad denarium procedere contenti.
FORMAE NUMER ARI E PRIMI GENERIS.
19쪽
QVox unitates habet numerin quilibet, totum in ordine
radicum locum sortitur. Et ἡ contrario, quotum in radiciabus locum obtinet quiuis numerus, tot quoque complectitur istitates. Nam radices ab unitate exordium capientes per singulos locos singulas acquirunt unitates . Quapropter millenarius numerus , quoniam ex mille constat unitatibus millesimus est in ordine radicum Et vicissim numerus, qui millesimum in radicibus locum sortitur, mille comprehendet unitates, hoc est millenarius ipse numerus erit. Et nocest quod proponitur demonstrandum. Omnis datus numerus inuenitur in ordine radicum . Estoditus numerus a.quicunque sit,aio quδd a. numerus inuentis tur in ordine radicum omnino. Habeat enim a quo tuis unitates, utputa mille iam enim per praecedentem a numerus millelimum obtinebit in radicibus locum. Quod est propositum.
I dices singula duplicatae constituunt pares singulos per
ordinem. Nam talia dupla mensurantur a binario rquandoquidem per binarium multiplicantur ideo perdis finitionem sunt ipsi pares numeri;quorum primus semel, secundusiis , tertius ter; sic deinceps a binario mensu
impares ab unitate per binarii appositionem succe me
fiunt, . Nam unitas Dinario apposita, per differen facit imparem , scilicet ternarium : Sed per praemissam pares numeri propagantur a binario per binari crementum : per differen impares addunt paribus singuli singuialis nitatem Igitur impares propagabuntur a ternario per idem binari crementum , singuli singulos impares unitate semper excedant. Quod est propositum. in ordine radicum impares pares alternatim ct inuicem succedunt, . Nam per praemissam, impares ab unitate per binarium crescunt quo fit ut in radicibus, unitas, , nosemper intermissis numero, sequeres sint impares: per antep- missam verb, pares almario per binarium crescunt;quare in radicibus binarius, dem no semper intermisib, sequentes sunt pares. Sic ergo fit, ut impares, in imparibus, pares semper in locis
20쪽
locis , patibus radicum inueniantur alternatim, sicutproponitur.
Omnis radix cum radice praecedenti sicit sibi collateralem
imparem:cum sequenti verὸ sequentem. Nam binarius cum unitate facit ternarium istim ternario autem iunetiis, facit binario maiorem: Mideo imparem sequentem scilicet s.pet quartam praemiissem. Rursus, cum ternarius coniunctus eum binario, taciat quinarium, imparem sibi collateralem Iam idem cum quaternario radice sequenti faciet binario maiorem, hoc est,imparem sequentem, per quartam praecedetem,
qui septenarius est . Eodemque modo in infinitum, sicut propositio concludit. Omnis radix multiplicata in radicem sequentem,producit duplum trianguli sibi collateralis , Exempli gratia, ducatur
quaternarius in sequentem radicem, scilicet quinarium in I producuntur 1o Aio, qubd o.duplus est ad triangulum ipsi x quaternario collateralem Sumantur enim ab unitate ad quaternarium radices: quibus applicentur totidem&ordine 'praepostero ab unitate radices, singulae singulisci sic enim fiet ut crescentes cum decrescentibus singuli singulis coniuncti numeri faciant quatuor summas aequalec hoc est quatuor quinarios.quare earum aggregatum erit planus numerus,quin ex ductu quaternam in quinarium ic idcircorio erit
talis planus. Duplus autem est planus ipse ad triangulum qua rei nari, quandoquidem, per dist. talis triangulus staggregatum unius dictorum ora inuinci quod et dimidium plani Igitur 1 o duplus erit ad triangulum quaternaris. Et similiter in omni casu id quod proponitur demonstrabimus.
Omnis triangulus duplicatus, Jcit numerum parte altera
longiorem seqisentem . Exempli gratia , triangulus quarti loci,est denarius. Aio,qubd io.duplicatus efficit parte altera longiorem quinti loci. Nam per diff. talis parte altera longior producitur ex radice colla terati in praecedentem scilicet ex s. in . Sed per praemillam ex ductu . in . fit duplum trianguli quarti Ergo tale duplum aequale est, parte altera longior quinti loci quod est propositum Omnis quadratus cum radice sua coniunctius, conscit sequen 'tem parte altera longiorem , Exempli gratia, quadratus