장음표시 사용
21쪽
Nam per dissinitionem . multiplicatus in . producit
quadratum suum scilicet Io Et idem .duistus in s. sequentem radice, producit parte altera logiorem quintum, scilicet 1o. Sed talia duo proaucta disterunt quaternari, quoniam multiplicantes differunt unitate. Igitur I 6. cum . cffici 2 o. hoc est quadratus cum radice parte altera longiorem quintum quod suit demonstrandum. Omnis parte altera longae cum radice collaterali coniunctus. eon a collateresem quadratum , Exempli gratia: Parte altera longior quinti loci est a C. Aio, qudd 2 c. cum s. facit quadratum quintum Nam, per dissi. talis parte altera longior fit ec .in .dietiis vero quadratus fit ex s. in se. Sed talia producta disterunt quinario multiplicante quoniam multiplicati dii seiunt unitate. Igitur Σo cum quinario conficit reliquum productum, scilicet quadratum quinari, quod suit
Omnis triangulus cum praecedenti triangulo coniunctum perficit quadratum sibi collateralem. Exempli gratia . Triangulus quintus scilicet 3. cum triangulo praxedenti scilicet Io. perficit quadratum quintum . Nam dis per diff. trianguli constat ex precedenti radice . Igitur aggregatum taliuduorum triangulorum costat ex tali radice, duplo Δ' praecedentis, hoc est, ex s. de duplo ipsius o. Sed duplum ipsius
trianguli M. per antepraemillam est parte altera logior quintus: Ergo dictum triangulorum aggregatum, aequale erit Pgregato, parte altera longiore quinto, de ex radice quinta. Per praecedentem autem , parte altera longior quintus cum radices1 constat quintum quadratum Igitur dictum tria gulorum dccio aggregatum, perficit Quadratum quin . tum quod est propositum Omnis quadratus cum radicesua, cum radice sequenti coniunctus, cocummat quadratum sequentem . Exempli gratia: Quadratus quarti loci scilicet 6 cum radice sua scilicet .&cum radice sequenti . compositus, consummat quadratus equentis loci scilicet 11. Nam per nonam praecedentem, quadratus quartus cum radice sua conluctus, efficit quintum parte altera longiorem perdecimam verbpraemiissem, quintus parte altera longior conflet iunctus cum quinta radice, quintum quadratum . Igitur quartus quadratus cum 'M 1 radicibus acceptus conficit quintum sicut
22쪽
Omnis quadratus eum impari sequente coniunctus, constituit quadratum sequentem. Exempli gratia Quartus quadratus scilicet i6.cum impare quinti loci, scilicet cumi coniunctus, efficiet quintum quadratum . Nam per sextam praemissarum , radix quarta cum quinta componunt imparem quintum cumque per praecedentem, quadratus quartus, cum quarta quinta radicibus , pariter sumptus esticiat quadratum quintum sequitur ut idem quadratus quartus cum impare quinto, hoc est 16. cum s.constituat quadratum quintum scilicet is sicut concludit propositio Omnis quadratus cum duplo suae radicis o nitate coniunctiι confirmi quadratum sequentem. Exempli gratia: Quartus quadratus scilicet in cum duplo suae radicis , hoc est, cum 8. initate coniunctus esticit quadratum sequentem. Nam per 3 huius , duplus radicis quartae, est par quinti loci: cui si addatur unitas, fit per ditifim par quintus. Igitur talis duplus cum unitate, est impar quintus.Verum, per pra cedentem, quartus quadratus cum quinto impare constituit TV sequentem. Igitur 'uartus quadratus cum didio duplo unitate coniunctusci hoc est, i 6.cum 8. I .construit quadratum quintum scilicet 21. quod est propositum. Ex aegregatione imparium numerorum ab unitate per ordinem successu'sumptorum, coni truuntur quadrati numeri continuati ab unitate, ipsist imparibus coraterales Nam per antepraemissam , unitas imprimis cuin impari sequentesa cit quadratum sequentem scilicet, . Et ipse . quadratus . secundus, cum impari tertio scilicet i facit quadratum tertium, scilicet 9.Itemque p. quadratus tertius cum impari quarto scilicet 7 facit quadratum quartum, scilicet 6. Sc lac deinceps in infinitum , temper 3 repetita propositum
Omnis Tentagonus constituitur ex trianguli 'arte altera longiore collateralibus coniunctis. Nam per diffinitionem ipse, exempli gratia , pentagonus quartus, 21 fit ex T '
Δ'' tertio coniunctis, hoc est ori 6.&6. Sed per Io huius, i parte altera longior quartus, scilicet 2 cum radice quarta, scilicet . conficit T - quartum. Et perdit trianguli, tri gulus quartus constato Δ S ex radice quarta . Igitur Pentagonus quartus constituetur ex parte altera longiore quarto, scilicet D.&ex Δ''quarto scilicet io sicut proponis
23쪽
Omnis item pentagonus conm tur ex triplo praecedenti tria anguli, ex collaterali radice, coniunctis. Exempli gratia: pentagonus quartus scilicet 21 fit ex triplo terti Δ scilicet ex 18.& ex radice ς s. . Nam per dissinitionem, pentagonus quartus scilicet Q. fit ex Δ''pr cedenti tertio ex quadrato
'quarto. Quadratus autem quartus scilicet i6. per II huius, constat exin ' tertio 6. ex Δ''quarto io. coniunctis: ini' quartus ex diffΔ' , constat ex ta tertio in ex radice coniunctis.Igitur lentagonus ' constabit ex tribus triangulis
tertijs, ex radice quarta: quod est propositum Vel sic: qm per praecedentem, Pentagonus 'constabat ex parte altera longiore quarti loci ex Δ''quarto in per g nutus, parte altera longior aequi ualet duobus triangulis tertijs in α'
quartus aequi ualet Δ'' ' radici quartae: iam lentagonus
'atqui ualebit tribus Δ'' terti, sin radici quod est propositum.
Omnis hexagon, primus eo lat ex praecedenti triangulo, erinsuper ex iis omnibres, ex quibus collateralis pentagon is constare oriensus est . Nam cum per diffinitionem pentagonus, una cum praecedenti triangulo constituat collateralem hexagonum , sequitur ut hexagonus ipse constet ex dicto iam triangulo, ex iis simul,ex quibus per duas praecedentes, constare ostensus est Pentagonus. Sicut proportio praesens
Omnis exagonws sit ex quadrato collaterrit, duplo , praec dentis trianguli. Exepli gratia, hexagonus primus quarta loci
scilicet 28. fit ex quadrato quarto, scilicet i6. duplo praec dentis trianguli, scilicet 6. Nam per dissini. hexagonus co
stat ex pentagono collaterali, ex praecedenti Δ''. Pentagonus autem ex quadrato, ex praecedenti triangulo. Igitur hexagonus constabit ex quadrato,& ex duobus praecedentib.
triangulis: quod est propositum. Omnis radix ducta in imparem collateralem produci hexag num primum collatenalem. Exempli gratia radix quarta sci- Iicet .multiplicans quartum imparem, scilicet .facit collateralem hexagonum primum, scilicet 28 . Nam radix . in se duca facit quadratum scilicet 6. Et eadem radix in praecedentem radii em scilicet 3.ducta facit per ' huius, duplum trianguli tertij, stilicetis. Sed per praecedentem, tare cum duplo talis trianguli perficiunt simul hexagonum primum ' loci. Ergo radix ducta in se, ducta in s. hoc est ducta
24쪽
ducta in 'imparem, per 6 huius procreabit hexagonum primum loci , quod est propositum
Si ex radicibus ab unitate di ositu sumantur tres, ' quinq; Imelseptem, elsub quavis impari multitudine a 'nitate contumati numeri tunc illorum aggregatum aequale erit ei, qui sit ex ductu medii in postremum. Exempli gratia . capiantur septem .7radices sic I. 2 3. . I. 6. 7 quorum medius est scilice. . . 6 Aio igitur,q, horum . numerorum aggregatum aequale erit s. se quod fit ex multiplicatione medii scilicet in postremum .4- . scilicet .mic ostenditur. At cientur propositis radicibus 3 3 totidem singuli singulis aequales, sed ordine praepostero, ap s. iplicati numeli sic fiet, ut crementa decremetis compensata o. isiciant combinationes singulas aequales: utque bini medi ab extremis quid istantes scilicet sint inuicem aequales. Quare congeries totalis amborum ordinum erit planus numerus, qui fit ex ducta octonari in septenarium quae sunt latera plani. Igitur dum ma unius ordinis, qua dimidiu est totalis cumuli producetur ex . in . hoc est ex medio num rorum in postremum. Quod suit demonstrandum. Omnis radix media inter nitatem ct imparem in ordine ra 11dicum, multiplicata in talem imparem, producit triangulum imparis eiusdem collateralem. Exempli gratia, capiantur,sicut in praecedenti, quo tuis imparis muli ' radices ab unitate co-tinuat 2.2.3. . S. 6. 7. septem scilicet Aio, qu bd in his radix aequaliter remota ab unitate Mimparici ut a qui equidlitat ab uno,&a .multiplicata in s. producit collateralem ipsius 3. triangulum Nam , per praecedentem, .qui medius it ipsorum . a. s. trium scilicet ab unitate radicum, uinis postremum, scilicet 3 producit aggregatum ipsorum . 2. . Sed tale aggregatum, per dissanitionem, est triangulus collate-ralis postremae radicis 3.Igitur 1. dumis in .producit' co '-3- Ilateralem ipsius imparis scilicet 6.quod est propositum. Item 3 radix aeque remota ab unitate, a quinario ducta i qumq; Iproducit I F. triangulum. s.collateralem quinari; mula. i. per praecedentem procreat aggregatum ex ipsis i. a. s. q. quo est ipse triangulus, sicut pioponitur. Adhuc radix aeque a distans ab unitate ara in 7 ipsum multiplicata generat s. Δ'. s.colla terate ipsius septenarij: quandoquidem per praece Α-7-2 d.
dentem, producit aggravatum ex ipsis i. -
videlicet triangulum .Et sic dein marguendo per preceden otem, per dii trianguli confirmatur propositum.
25쪽
13 Hexagoni primi ab unitate continuati per ordinem sunt
trianguli numeri locorum imparismis. N. in perrio huius, radices singulae in singulos impares multiplicatae, producunt per ordinem hexagonos ipsos. At per pr.ecedentem, radices singulta in singulos item impares ducae, procreant triangulos imparium collaterales per ordinem . Igitur arianguli imoarium locorum sunt inexagoni per ordinem continuati:
sicut demonstrandum proponitur.
Vnde manifestum est, quod omnis hexagonus tetragonicus est triangulus numerus. Omnis numerus perfectus es hexagonus tetragonicus siuer ' primus. Hoc nos sic demonstrabimus. Exponantur ab unitate continuati numeri pariter pares, hoc est, in proportione continua dupla a. b. c. d. e. quorum aggregatum sit numerus primus, qui sit f. ex e postremo in f producatur g qui per ultimam non elementorum Euclidis, erit numerus persectus. Ostendendum igitur est, quod . hexagonus est, non aequiangulus, hoc paci o. Sit ipsius e.
duplus ipse . Et tunc si ab ipso b. secundo, ela ab ipso h.
dematur primus, scilicet unitas, erit per penultimam non praedicti, sicut residuum ipsus . ad unitatem, sic residuum ipsius h. ad aggregatum ipsorum a b c d e. Sed - residuum ipsius'. est unitas, perinde aequalis unitati: residuum ipsius h. aequale erit aggregato ipsorum ab c d e. hoc est, ipsi Verum si ab ipso h duplo ipsius e. 4ei inde numero pari subtrahatur unitas , iam superest numerus impar collatera lis ipsius e in radicibus: Ergo talis impar est ipse Quare perdo huius, e radix multiplicans ipsum f. colla te talem imparem, generat hexagonum sibi collareralem Fuit autem tale productum ipse numerus s. omnino igitur g. numerus hexagonus est quod demo strandum suit
13 Omnis numerus perfectus es triangulios , Nam per praec
dentem, Omnis numerus perfectus cst hexagonus primus. Per corollarium autem aurepraemisiae, omnis dio onus talis est,' triangulus : Igitur inanis numerus persectus estia triangulus, sicut propositio cohcludit. Omnis radix excuplicata est ci in unitate, cum i sexcuplo praecedenti tria illi conMncta, consummat hexagonum quiam gulum sequentem Exempli gratia Sumatur .qui quarta radix
26쪽
radix est in tertius triangulus, s ilicet b. Aio, quod .sexcu- plicatus scilicet et . cum unitate,&cum octiplo ipsius o. r si scilicet 6 coniunctus, conficit hexagonum quiangulum 6-3 6 sequentem, scilicetui. Nam radix quart. cum tectio triangulo, per difes , conficit quartum triango in m. Igitur sex, cuplum quartae radicis cum sexcupio terti Δ' . simulem ciunt sex cuplum quarti trianguli. Quare unitas cum sexcu plo ' radicis, sexcupio tertis trianguli simul, sunt aequali aggregato ex Vnitate sex cupio quarti trianguli verima ale a ora uatum, per distinitionem ipsus hexastoni constituit
ipsum nexagonum quintum. Ergo exagonus quintus con
struitur ex nitate, sex cupio radicis quarte, sexcupio tertis quod est propositum. Omnis parte altera longior triplicatus e cum et nitate con a Tiunctus, confici hexagonum aequiangulum collateresem Exempli gratia: Quintus parte altera longior est rc .huius triplum scilicet 6o cum unitate essicit quintum, de quo loquimur, ii xagonum scilicet oi Nam per disti H agonus quin xu ό, οι constat ex unitate Ucx plo trianguli, scilicetio Quin- tus autem parte altera longior, per 8' huius, constat ex duo sibus quartis triangulis Sequitur ergo, ut ex quarti trianguli f*qualeant tribus parte altera longioribus quinti loci : utq; hexagonus quintus confletur ex tribus parte altera longi ribus d ex unitate sicut proponitur.
Vnde manifestum est, quod omnis quadratus cum radice sua coniunctus inde triplicatus, ac mox cum nitate positus conficit hexagonum aequilaterum sequentem Nam per nonam huius , quadratus cum radice sua aequale parte altera longiori sequenti unde corollarium constat ex praernissa.
in tribus numeris aeqitali excessu cres entibus, congeries extre 28 morum aequalis est duplo medii. Exempli gratia, tres mimeri 3.3.7 binario crescentes sint. Aio quod extremi scilicet s. cum .faciunt duplum ipsius, Nam,quanto . minor est
quam 3. tanto'. maior, quae . per hypothesim Excellus itaque binarioresarcit eiusdem desectiim .dc perinde excedens cum deficiente, hoc est tertius cum primo faciunt duplum medij quod est propositum. In tribus
27쪽
a In tribus triangulis continuatis in ordine triangulorum, conia geries extremorum initate excedit duplum medi . Exempli
gratia, tres capiantur continui trianguli, Viput tertius quartus,&quintus scilicet 6. Io.is. Aio, quod extremorum 6.&i s. unitate superat duplum me iij scilicet ipsius o. Nam
in his quartus Δ ' sua radice excedit tertium, hoc est, qua temnario Quintus autem quartum quinario, sicut ratio diffinitionis postulat. Minuatur unitas de quinto: superesti . fietque ut 6. Io. I .aequali cremento procedant scilicet quaternario crescentes. Quare, per pr missam G. cum i . duplum faciut ipsius Io.Igitur 6.cum II. unitate duplum praedictum excedet.& smiliter hoc ipsum in omnibus tribus continua tisit ostendam : sicut temonstrandum proponitur.
Omnis triangulus quadruplicatus cum unitate conrunctus. Fcit aggregatum collateralis sequentis quadratorum. Exempli gratiari triangulus ' scilicet io quadruplicatus cum unitate facit i. aggregatum scilicet quadrato quarti&quinti. Applico enim Δ''proposito praecedentem Δ -&sequentem, scilicet tertium quintum sic6.io. II. atque ita eriti propositionem huius, constabit, quartus quadratus et ex congerie ipsorum io. 6. quarti uerti, triangulo her
Et similiter, quδd quintus quadratus fiet ex cumulo ipsorum ib.&io.quinti&quarti ν ' Quo fit, ut aggregatum talium
quarti quinti quadrato R, quod est l. constet ex congerie Δφῆ extremorum.&ex duplo medii Sed per praecedentem, congeries extremorum aequi ualet duplum medis initate. Igitur aggregatum ex quarto&quinto quadratis constabit ex quadruplo Δ' medij ex unitate. Hoc est, ipse ''medius, quartus in hoc casu, stilicetao quadrupliciter cum unitate conficiet aggregatum ex quarto, quint quadratis 3. scilicet rio sciat demonstrandum proponitur.
Omnis quadratus cum praecedenti quadrato , ct cum sibi collaterali parte altera longiori coniunctua, consummat hexagonuaequiangurum sibi conteralem. Exempli gratiari Quadratus
quintus est 21 quartus praecedens 16 parte altera longior quintus ac Aio , quod horum aggregatum consummathexagonum aequiangulum quintum . Nana, per praemisissem, aggregatum ex quinto quarto qu Miratis, equivalet quadruplo trianguli quarticum nitate iuncto. Per octa
28쪽
nam autem huius , parte altera longior quintus aequiualet duplo trianguli quarti . Ergo aggregatum ex quinto quarto quadratis in ex parte altera longior quinto, aequi- ualet sex plum trianguli quartim nitatem verum tale sex cuplum cum unitate costituit hexagonum aequiangulum quintum, sicut eius diffinitio supponit Igitur hexagonus aequi laterus quintus consummabitur ex aggregato quinti dc quarti quadratorum, quinti parte altera longiorisci quod fuit ostendendum . Similiter in omni casu procedam propositum demonstrans.
Omnis hexagono tetragonicua cum praecedenti quadratoeomunctra complet hexagonum aequiangulum sibi conteralenta. Nam, nisi diffinitiones oblitus es, Hexagonus tetragonicus siue primi generis vocetur, constituitur ex Quadrat cotilaterali, ex duplo Δκ praecedentis axempli gratia hexagonus talis quinti loci, scilicet s.fit ex quinto quadrato a s. ex duplo trianguli quarti Io.Sed tale duplum, per octaua
huius, eubparte altera longior quintus scilicet 2 o. ergo hexagonus tetragonicus quintus aequi ualet aggregat ex quinto quadrato, de quinto parte altera longiore lucrum per piar- missam quintus quadratus, cum quarto quadrato cum quinto parte altera longiore consumma hexagonum aequi- laterum quintum . Igitur hexagonus tetragonicus quintus cum quadrato quarto conflabit hexagonum aequiangulum quintum quod suit demonstrandum. Et similiter in omni casu demonstrabo propositum.
Sunt plerique numeri quadrati, qui commmι quadratum numerum faciunt. Sumatur enim quilibet in ordine impatium quadratus: namque his cuminecedenti quadrato in ordine quadratorum sumpto 6iunctius, perci, huius, quadratuna
conficit Exempli gratia.9.quadratus, quintus in ordine imparium , cum quadrato quarto G. conficit a s. qthidratum quintum. Item a s quadratus, tredecimus impar cum duodecimo quadrato scilicet I coniunctiis, conficit 69. quadratum videlicet tredecimum . Idemque semper tinoi quadrato impari. Constat ergo peros veritas propositi. Et aliter sicci sumantur duo inaequales quadrati numeri, aut ambo pares, aut ambo impares, siue duo plani similes ab.& c.qui cu parem numerum faciant, iam totius a c. dimidius
29쪽
par erit. Esto igitur ipse dimidius a d. qui iam excedit ipsum ab numerum ipso b d ducatur numerus a b in ipsum bis.& fiat e igitur quadratus numerus erit e per primam noni elemetorum. Quandoquidem ex ducti quadratorum seu similium planorum fit. Si desndeta ipsius bH ipse f. numerus. Ac deniqne ipsius a d. vella c. quadratus ipse R. numerus. Sic enim , per quintam secundi elementorum adnumeros redactam, constabit quod ipsorum, e quadratorum grega- tum est aequale ipsi, quadrato Costat ergo rursus propolitae PRO post Tio '. Omnis pyramis triangula cumn praecedenti pyramide triangu Ia coniuncta, construit pyramidem quadratam sibi collateralem . Nam facilitatis gratia, capiatur pyramis quinta constans perdiff. ex quinque triangulis. I. 3.6. Io. 13. pyramis quarta co- stans ex moriangulis. I. 3 6 io. Aio,qubd horu aggregatum facit pyramidem TV quinta Nam per ii huius, iecundustriangulus ab unitate scilicet . cum unitate facit 1 quadratum scilicet .Item 1 in ' trianguli, scilicet 3 dc 6 faciunt om scilicet s.Item dcaec scilicet 6.desio faciunt 'quintum quadratum 1 igitur natas, aggregata talium quadratorii in consumant quinque per ordinem ab unitate quadratoc: ideo, perdiflin. construunt ipsam T quintam pyramidem: idemque similiter, in omni exemplo, cuiuslibet pyramidis Δ praecedenti demonstrabo, per ri huius a mendo toties, quoties combinatur Δ'' Quare pyramis quinta Δ scilicet 3 1 cum praecedent pyramidein scilicet ro. construut 33 pyramidem TV quinta. Quod est propositum. PRO Pos IT 1 33 . Omnis pyramis pentagona conctituitur ex pyramide triangu tu collaterali, ex duplo praecedentis. Cum per difflening na pyramis construatur ex pentagonis ab unitate per ordine
aggregati Mi, Gepli gra, quinta pyramis pentagona consta-
3 bit ex vilitate, 'uatuor equentibus pentagonis superficia-6 libus. Quatuor aut tales pentagoni, per distin. fiuit coniun-I chione quatuor collateralium quadratorum, S quatuor prς- cedentium Δ singuli singulorum. Quadrati quoque tales λο- Q LP 7s Q per ici huius constat ex coniunctione quatuor collateralium n 'ς ac totidem praecedentium Δ'''. igitur quinta puramis pentagona constabit ex aggregatione unitatis quatuors quentium triangulorum,duplici totidem p reccdentiti trian-
30쪽
1lorum. Sed perdissi. unitas,&quatuor sequentes ta saci ut pyramidem Δ ' quintam: quatuor pre cedentcs Δμ faciunt pyramidem quartam. Ergo qumta pyramis pentagona construetur ex aggregatione pyramidis α quintae duploque Q. Quod 'it propolitum. Similis est coeterorum4 corum semonstratio.
omnis pyramis pentagona constatur ex pyramide quadrata 'i, tollaterali, expyramide Δ praecedenti. Nam cum exempli uesgcatia, pyramis pentagona 3 perire cedentem,aequivalet ag gregato ex quinta Δμ pyramide, ex duplo pyramidis Δ quartae: per ante praemiiIam pyramidis O quintae, lyramidis triangulae quartae cumulus conitruat oramidem u fiet ex pyramidem' collaterali, ex pyramide quadrangula
precedentis, licui proponitur.
Omesis pyramis hexagona tetragonica constituitur ex pyram de pentagona collatera ι. ix pyramide triangula praecedenti. Exempli gratia, ostendam , pyramidis hexagona quinta aequale aggregato duarum pyramidum, scilicet pentagonae collateialis. triangulae quartae sic per dissin. pyramidis he xigona quinta coalescit ex unitates ex quatuor he agonis a i uperficialibus sequentibus states autem hexagoni, pur dissi singuli x quatuor pentagonis collateralibus, ex totidem pnecedentibus trianguIis. Cumque unitus inuatuor pen o
tagoni sequentes per dictureia ficiant quintam pyramidς
p ntagonam quatuorque trianguli praecedentes conficiant esse
quartam pyramidem ttiangulum tam , pyramis hexagona O IS. I. quinta, scilicet os . conflabitur ex Pyramide pentagona quinta scilicet 3. 4 pyramide triangula quarta, scilicet 2o.Qsimiliter per aliis locis accommodabitur demonstratio
Omnis pyramis exagona tetragonica constat ex pyramide niangula praecedenti, is insuper ex us, ex quibus pentagora pyramis collateralis costare ostensa est Cu enim, per praecia tem, pyramidis hexagona,exempli gratia,quinti loci costat exra pyramide. 'in ex pyramide pentagona cinia, peragona PTramides