장음표시 사용
41쪽
nu parte altera longior excedit praecedentem parte altera Iongiorem in duplo praecedentis radicis, ef ideo in ipso pari, mero conterati. Exempli gratia, quintus parte altera longioexo excedit quartum parte altera longiorem scilicet i et in duplo quartae radicis,lcilicet 8. Quod liquido constat. Nam xo fit ex . in s. at Ia ex 4. in . quae producta disterunt in duplo multiplicantis: quoniam ultiplicati differunt binario. Et ideo 1 o. maior est, quIm 12. in ipso pari numero quinto, scilicet 8.quippe qui per tertiam huius,est duplum praedictu radicis. Sic iro alijs locis constat propositum. PRorosi Io io'. Omnis quadratus imparis excedit praecedentis imparis quadratum in quadruplo collaterat maris. Exempli gratia: quadrati quarti imparis , s. in excedit quadratum terti im paris, scilicet 23 in quadruplo quarti paris 6. hoc est inci . Nam per 3 praecedentem p. constat ex parte altera lom
gloriquarto quadruplicato, , nitate. Et per eandem 23. constat ex parte altera longiori tertio quadruplicato cinitate. Igitur 9 excedit ipsum s. in quadruplo dinerentiae, qua parte altera longior quartus excedit parte altera longiorem tertium : Sed per praemissam talis dit Terentia est per numerus quartus, scilicet. 6. ergo 9. excedit ipsum s. in quadruplo quarti paris, ε. hoc est, inci . Quod erat demonstrandum . Quare sicut pro quarto, ita pro alio quocunquo loco propositum concludemus.
Quod sit ex qualibet radice in parte altera longiorem collat ratem si coniungatur cum quadrato conterali constabitur In mo, qui coniunctus cum quadrato trianguli praecedentis, conficit quadratum trianguli collateralis. Exempli gratia : Ex radices .in quintum parte altera longiorem scilicet 1 o filio O.qui iunctus quadrato quinto scilicet 2 . conflat i 11. Aio,quodi1 s. postus cu 'm' io .scum ioo. coficiet Tita , is .c223. Nam,per II praecedentem,quod fit ex radice ue in 1 parte altera sigiorem, si iuga tui cu TF1', csistituit , cubu. Sed, s 1 praecedetem, 'cubus cura Δ co iunctus coficit Tu es ': IgLqd fit ex radice 1 in 1 parte altera logiore, luctum cum T 's' hoc est, ipse nutis 121 si apponatur T' si Oo. conficiet T*Δ' 3'.sia1.quod sui ostendedum, in s loco I militer in ali Plocis constabit propositum.
42쪽
Vnitas primum cubumri duo sequentes impares iuncti sequem tem cubum: tres sequentes tertium cubum. Quatuor succedentes quartum. Quinque post eos quintun . Sex sextum. Septem septimum . Semper uno plures sequentem deinceps in infinitum cubum aggregati constabunt. Disponis tur ab unitate a. per ordinem impares in indefinitum Mesdefghklninop q. Aio, quod b c simul secundum ab unitate, cubum faciunt. quodque festimul tertium cubum: quodque gli l. simul
sumpti quartum cubum quodq; ipsi mi ol'. simul quintum cubum iuncti conficiunt Itaque deinceps Sit enim ipso h b c. aggxegatum r. ipsorum Je fcumulus LMips tum ili Et congeries t. ipsorum, moi q. aceruus u. eratque demonstrandum, quia a erit primus cubus, scilicet
unitas de r. secundus cubus. 4. tertius. 4. Quartus. o.
quintus. hoc modo. Quonia ipsi ab c delati Limn op q. a sunt impares numeri ab unitate per ordinem dispositi: propterea, per is huius , ipsorum v. aggregatum erit' quadratus ab unitate in ordine quindecimus quoniam postremus impar, scilicet'. quindecimus est in ordine impari u lab unitate. Itaque tale aggregatum erit quadratus, qui fit a quinto triangulo, hoc est a numero quindenario Talis ergo squadratus , ex pra: mill 18 erit aequalis quinque cuborum ab unitate dispositorum cumulo . Et ideo totus gnumerus erit quinque talium cuborum congeries . Et per headem ac similiter ostendemus, quod ipsorum a rari ag re hsatum erit quadratus ab unitate decimus t quandoquidem ldecimus est impar hoc est quadratus quarti trianguli qui est numerus denarius: qui quadratus per 3 praeceden- 'tem erit congeries quatuor cuborum ab unitate ordinato Drum. Quamobrem, cum ipsorum a ritu. cumulus sit quin φque cuborum ab unitate continuatorum congeriem atque pipsorum a Ws t. cumulus sit quatuor ab unitate cuborum g qgregatio . necesse est ut v. sit ' cubus ab unitate. Et similiter postquam per eadem ostenderimus, pars sit cumulustrium cuborum ab unitate relinquetur'. quartus ab unitate cubus. Demum ostenso,quod a r. sit duorum cubo cumulus, supererit elle tertius ab unitate cubus . Cumq; a sit unitas erit&r.alter ab unitate cubusci quod erat demon strandum.
Et similiter deinceps, pro sexto, eptimo coeterisq; in infinbram cubis procedi potest, sicut propositio conclusit.
43쪽
iunctus, triplum espcit sua quadratae pyramidis Exempli gra-
s.col.Li tia quintus cubus est 13. quintus quadratus s. quintus
cub s D triangulus II. Aio,qubd horum aggregatum triplum est adiis λε' puram idem quadratam quintam, scilicet cf.quod sic patet.
Io Δ. ' Cubus quintus per 2 huius aequi ualet columnas duas triangulas. cquintam, 'uartam S triangulum quartum. Item per undecimam huius , quadratus quintus aequivalet, duos triangulos, scilicet quintumis quartum. Quamobrem
' aggregatumine lichii in aequitialebit duas columnas trian-- gulas, scilicet quintam riuartam, 'uatuor simul tria
's' stulos scilicet duos quintos duos quartos. Igitur demon . strandum erit, ludit congeries talium duarum columnarum, talium hiatuor triragulorum est tripla ad pyramidem quadratam quintam. Sed cum per u huius,pyramis qua- nrta. I Hist) r. drata quinta constet ex combinatione duarum pyramidum triangulatum quintae riuartae: iam ostendedum erit, quod ro Ur. Δ- congeries praedicta duarum columnarum quatuor triar gulorum, est tripla ad combinationem dictam duarum pyramidum.Et constat sic. Quod per scae huius columna triangula quinta cum duobus triangulis quintis simul conficrunt triplum pyramidis triangulae quintae in per eandem , eolumna triangula quarta cum duobus triangulis quartissimul accepta, triplum facit pyramidis triangulae quartae . Ergo per primam quinti Elementorum Euclidis, tota con
geries duarum columnarum riuatuor triangulorum, tripla erit ad totam combinationem duarum pyramidum e quandoquidem partes singula partibus singulis triplae sunt de
hoc erat demonstrandum. Et similiter pro cubis carieroruin locorum constabit propositum. PRO Pos I Tio . 6 . per 3 Omnis columna pentagona cum Dylo quadrati conteratari '' 'ri s.cM'. 1 . simul sumpta,triplim valet suae pyramidis pentagona. Exemplic. h. Λ , g xi , ζψmmna pentagona quinta 7 cum duplo quadrati quinti a .hoc est cum c fecit 111 quod triplum est ipsius
io. E. Dramidis penetagonae quintς7 3.quod ostenditur sic.Coluna pentagona quinta aequalis est cubo quinto per 3 columne: triangulae quartae triangulo quarto simul acceptis: quibus appono num quadratum quintum Sciro altera quadrato into, appono duos triangulos quintum &quartum, qui
44쪽
duobus triangulis I r. simul sstrandum erit quod triangula quarta, triangulo quinto, quartis imul triplum est pyramidis pentagonae quintae. Sed G . O .et pyramis pentagona quinta, per 36 , constat ex combinatione duarum pyramidum, scilicet quadrata quin te triangultiquarte . Ergo est demonstrandum, quod dicitam aggregatum est triplum huic combinationi quod sic patet, Vna pars illius adgregati, scilicet cubus quintus, cum quadrato quinto de triangulo quinto simul per precedentem, qualis et triplo intei quadratei pyramidas,
.ειὶ multa desunt, qua non sunt in exemplari manuscripto.
ne quinte . Quare ostenden R X IJ sium est, quod supra dimina aggregatum est triplum irinus Tyri. 4. combinationisci quod constabit sic. Vna pars illius aggregati, io. lcilicet
45쪽
scilicet columna pentagona quinta cum duobus quadratis quintis , per praecedentem , aequi ualet triplum pyramidispentagonae quintae, quae fuit una pars combinationisci de similiter reliqua pars aggregati, scilicet columna triangula quarta cum duobus triangulis quartis simul, per so huius, triplum valet pyramidis triangulae quartae, quod.est residuum combinationis.Quamobrem,quoniam duae partes aggregati, duabus partibus combinationis, singulae singulis triplae sunt: propterea, per primam quinti Elementorum, totum aggregatum totius combinationis triplum valebit quod suit demonstrandum. eodem syllogismo pro quo uis alio assignato loco utemur ad roborationem propositi.
COROLLA RIUM.1 .quaditu, quiritu, Et pro optori ad sit conteralis ac praecedem triangulo,
substituere potes exagoram ct triangulum conteralesci quo is, o s iam sunt tantunde . Nam, per undecimam huius, quadratus quintus valet duos triangulos,quintumac quartum. Quire R duo quadrati quinti cum triangulo quarto, simul valent cumulum qiradrati quinti, trianguli quinti, duorum trianguis lorum quarti loci. Sed, per is quadratus quintus,4 duo trianguli quarti conficiunt hexagonum quintum Nergo hexagonus quintus , cum triangulo quinto valebunt duos quadratos quintos, triangulum quartum Mideo pro illis tu stitui possunt in praemissa propositione.
Omnis columna hexagoni Eluiangula in exigono tetragonico conterati, cum i duobus triangulis, collaterali scilicet σ1 sesi prαcedenti,pariter sumpta, triplu facit suae pyramidis hexagona. 'templi stratia , dico, quod columna hexagona aequiangula
Col hex. s. quinta, cilicet os una cum hexagono tetragonico quinto 2 Q ut, . . A cumque triangulo quinto i s. dc triangulo quarto io, οὐ coniuncta facit triplum se e pyramidis quintae, scilicet Iis. - . . ad quod ostendendum lic procedo.Columna hexagona aequiangula quinta, per 3 huius libri, aequalis est columnae tetra- ,exagonus . Onicae quintae cubo quarto, quadrato quarto pariter ae- triang. s. s.' ceptis . His ego appono hexagonum tetragonicum quintum, λΠg-4. triangulum quintum, triangulum quartum patque ita demmonstrandum erit, quod totum huiusmodi aggregatum ex columna hexagona tetragonica quinta, cubo quarto , qua drato quarto, hexagono quinto, triangulo quinto, triangulo
quarto u .nal, triplum et pyramulis exagonae aequiangulae
46쪽
quintae. Cumque talis pyramis conster, per Ao. combin tetr. 1.93.tione duarum pyramissiim scilicet hexagonae tetragonicae per o . uintae, quadratae quartari iam ostendendum erit,'ub luperius dimam aggregatum, triplum est ipsu dictae combi p*r licta. d. s nationis r quod haud obscuresconstat. Nam Vna pars illius ii, qaggregati, scilicet columna hexagona tetragonica quinta,cum lyr. . a hexagono suo quinto, triangulo quinto, per praecedentis so. corollarium,aequivalet triplu pyramidis tetragonicae quin tet: quae una partium combinationis est. Nec secus,reliqua pars aggregati, scilicet cubus quartus cum quadrato quarto,o tria angulo quarto, simul sumptus, per 63. huius, valet similitet triplum Pyramidis quadratae quartae, quae iam de combinatione residua pars est. Itaque quoniam duς partes aggregati duabus combinationis partibus singulei singulis sunt triplei:
iccirco, per primam quinti Elementorum, totum aggrega in totius combinationis triplum erit quod erat demonstrandum. Et argumentatio a quinto loco ad alia quei uis loca transferetur ad conclusionem propositi.
COROLLARI M. Et pro duobus triangulis conteratio precedenti, substituere
potes quadratum collateralem Nam , ne undecimam, quadratus e malis est duobus simul triangulis, collaterali,5 ire:-
Rursum pro hexagono tetragonico, ct quadrato conteralibus, substituere potes hexagonum quiangu μή 'μπιπμm impq lictae tetr. 'collaterales mam, per 32.exempli gratia, hexagonus aequian 'gulus quintus, valet hexagonum tetragonicum quintum cum squadrato quarto. Apponatur trobique numeru impar h. ii. quintus,at tunc hexagonus aequiangulus quintus cum impari Grouinto valebit hexagonum tetragonicum quin tum cum qu ocis drato quarto&impari quinto sed per 3 qu dxδxv imbie S, .&impar quintus sinu valent quadratum quintum . Igitur pδ 1 A. hexagonus aequiangulus quintus cum impari quinto valent 'hexagonum tetragonicum quintum ela quadrarum quintum simul sumptos: perinde itidem subrogari possunt.
47쪽
neriis, nunc de centratibus agendum de quarum numero si forma hexagona aequi-
rura angula tis supersicialis, quam selida, si Dramis se
columnae de qua tamen in primo genere disseruimus, propter tulas firmae dignitutem qua meretur et trobi-o '. 'o'. que tractari. Itaqs quo ad hexagonam a quiangulam. o'. . 06z firmam, hic non repetemus ea, quae in premissis δε-
'o'o' oq. O .Qo , mira forma numeraria cetralis plana superficialis co-ov. 40. .'o'o0o'. uitur ex centrali unitate de ex tot triagulis praecedetibus pri. o0o . mi generis , quot sim sermae ipsius anguli: utpote triangulus centralis ex unitate tribus triangulis . Quaciratus centralis si unitate de quatuor triangulis Pentagonus centralis exin, late eu quinque triagulis Hexagonus ex unitate Uex ut antea. ' o diximus. Heptagoniis ex unitate Uepte Octogonus ex Vnit . . te& octo triangulis primi generis,latcra semper aequalia 4ngulos uni rines constituentibus compaginatur.Itaq;,si lubet, o deinceps. Unde omnis figura centralis superaddi procedenti'. 'o' figurae triagulum. Veru, sicut in Hexagono geometrico latera sunt semidiametris aequalia;it hic, in hexagono numerali unitates angulares tantum inter se distant,quantu ipsae ab unitateoentrali remouenturri&tres unitates proxime semper triagulu o aequilateru faciunt sicut in quadrato primo quatuor unitates Oo o. quadratum consermant.In caeteris autem formis centralibus, . . . hoc est in triandulo, quadrato de pentamno,unitates laterales
. O magis distant quam diametralasci minus uero in formi nex . O . gonum sequentibus,ut in hepta 'on64 oci opono, ut postulaziitus Geometricarum larmarum,quas Arithmetica um Ita tussis Omnis
48쪽
Omnis porr pyramis centralis fit ex aggregatione centra olium serinarum sui nominis ab unitate usq; ad basim suam φο ὐ δέ 'o
successive aggregatarum. Vtpote pyramis triangula, triangu . . . . . . . . larum qui trata, quadratarum, deinceps. Omnis demum o*o . o*ος columna centralis procreabitur ex forma centrali co laterali o . tque sua balis est toties coaceruata , quota est in ordine. . o* o'. siue in radicem lateralem multiplicata. Harum proprietatcs&d,lligantias nunc explicabimus.
Omnis triangulus centralis constat ex collateran triangulo praecedenti quadrato primigeneris Exempli gratia: ti iangulus quintus centralis scilicet M. constat ex triangulo colla letali primi generis, scilicet i s. ex quadrato quarto scilicet G. Qi d sic ostenditur. Tres trianguli primo ex ordine, tertius. quartus, quintus, scilicet, 6.io. II. simul coniuneti, conficiunt triplum med ij, unitatem per 2 huius S d per dissin triplum in dij, hoc est, quarti trianguli, cum Vnitate, conficit quintum triangulu centralem.Igitur quintus triangulus centralis constat ex aggregato trium dictorum triangulorum terti j quarti, si inti. Cumque perta huius, tertius quartus triangulus componat quartum quadratum: sequitur, ut quartus quadratus cum quinto triangulo simul sumptus perficiat quintum triangulum centralem. Qu9derat demonstrandum : a quinto loco transfertur syllogirumus ad quem vis alium: ut propolitio conclulit.
ΡROPOSITIO 68'. Omnis quadratur centralis conlicitur ex duobus quadratis pri
mi generis, scilicet costatera iis praecedenti Exempli gratia. Quadratus sint cetralis i. ci 5ficit ex quinto 'uarto qua dratis primi generis. s. s.&46. d sic patet. Per ici huius, si quadrat ent constat ex quarto&qnto triagulis primi genes IF ris Et praecedete, triagulus' nius cu quadrato . primi generis,c5fici ut triaguluentu cetrale: Igitur quadrat 'sin tusca Di quadrato quarto simul aequi ualet triagulos duos. s. quartum iis Primi generis, sin tu cetrale. Sed triagulus 'intus centralis iocum triangulo'trario primigeneris, per di lin. procreat qua dratum quintum centralem ergo quadratus quintus centralis aequi ualet duos quadratos primi generis, scilicet quintum quartum quod sui demonstrandum . argumentam a quinto ad quem uis propositum locum trans sertiar, ut conclusi, roponit. Id idem demonstratur per o ' huius.
49쪽
Omin pentagonus centraris construitur ex pentagono primi generis collateruli, ex praecedenti quadrato Exempli gratia.
pentagonus quintus centralis si construitur ex duobus sosmis primigeneris,scilicet pentagono quin ro 3 1.de quadrato quarto i s. Quod sic constat Per dissinition pentagonus quintus primi generis construitur ex quadrato quinto triangulo quarto. Et per praecedentem,quadratus quintus cum quadrato quarto faciunt quadratum centrale quin tu .Qtrare, pentagonus quintus cum quadiato ' primi generis valeb ut quadratum 1 centralem cu triangulo quarto primi generis. Verum per distinitionem,T quintus centralis cum triagulo ' procreat pelagonum quintum centralem. Ergo pelagonus
3'centralis aequalebit pelagonu quin tu primi en eris: qd fuit de in onstra tu Qua demostratio, sicut 3'ita cuilibet aeposito loco accomoda Ditur ad cofirmadu propositu.
Omnis hexagonus cetralis constatur ex formis primi generis, scilicet hexagono collateruli in quadrato praecedenti. Haec pro
positio eadem est cum La . Sed hic in ordine centraliu aliter demonstrabitur. Dico igitur, 'exagonus centralis quintus scilicet oi coctatur ex quinto hexagono primi generis. s. ΑΙ.&T quarto i6. Quod qua uicinari huius tuerit demonstrandum, in lic aliter costabit sic. Per dissinitionem ,hex gonus 'primigenetis constat ex Δ'' 'et cientagono quinto primi: per praecedentem, pelagonus I ratis cum quadrato A primi, componunt pentagonum centralem Quare, Hexagonus 1 primi cum T ' ' equi ualebunt triangulum ' cum pentagono centrali quinto. Verum, per distin. pelagonus cent alis 'cum Δ'' ' constituit m xagonum centralem 5 . Ergo hexagonus centralis 1 inlui ualebit hexagonum 'cum T ' 'i generis: quod erat demonstrandum. Et similiter
pro alijs locis argum etatio procedat ad cludedit propositu.
Omnis heptagonus conflatur ex tribus omis primi generis,
siliceti ex Iono si agonico collatera i atque quadrato ct tri similo, praceu cntibus. Exempli gratia, heptagonus I t. n- Ilatur ex prinu generi hcxagono quinto j.quadrato quarto 16. Uian; ulo ' . o. Nam, ex dissinitione, ipse 1 heptagonus constat ex ' heaea sono centrali ix ' iiangulo et
Sed per praecedentem, ipse hexagonus aequina L qu tum
50쪽
hexagonum primi generis, inuadratum quartum . Igitur hexigonus quintus primi generis cum quadrato ariagulo quartis simul conflabunt heptagonum quintum quod est propositum. Similiter in alijs locis confirmatur propositum.
Omnis octogonra est qualis quadrato imparis numeri sibi cotilateralis. Exepli gratia, s 'octogonus est Si.qquidem S est impari s , hoc est novenari j. Nam, per dissinitione, 'oet gonus, struitur ec ' Δ''primi generis octu plicato, ex unitate. Sed, per huius, tale Oetu pluiu unitate est quadratus imparis 3. Igitur talista est ipse octogonus '.quod est,r positum. Non aliter pro caeteris in infinitum locis conflat propositum. PRO Posi TI '. Omnis forma centralis plana constat ex unitates ex radice praecedenti in nummum laterum ductit, ex 'radicem praec dente in eundem numeru ducto. Exepli ta, hexagonus cetralis 386i .costat ex unitate,ex sex cupio radicis ' est a . ex sex cupio Δ'' tertii6. hoc est 36.q, liquido costa per diffii. ipuus hexagoni: sicut in 16 sui oste sum. Nam dicta duo lex Icupla ficiunt sex Δ' ''qui cum unitate compaginat ipsum hex gonu . Si mistini cetrali, sisexcuplis accipe tripla: in ioci 'cetrali,quadrupla; in pelagono,quincupla: in hepta 'ono, septupla: in octogono octu pla ipsi R radicii praecedetium tav. an praecedetiuo in oppropolito loco cludas ppositu. Vn,q, 16 de hexagono, praesens de ol plano cetrali cocludit.