장음표시 사용
11쪽
tionem maioris inaequalitatis in puncto aequ alitatis cum B. ergo B ad D est in ratione N ad O. Quod erat demonstrandum. PROPOSITIO V. SI fuerint Da primo posita magnitudines, quae rationem inter se Ie-neans eandem, quam habet magnitudo data ad datam magnitudinem; r e vero infinitarum partium additione auctae, eandemque intcrim rationem seruantes, ad duarum aliarum secundo posiarum magnitudinum aequalitatem magis mari que accedant , O ad eam fmul , id os in eodem progressionis termino, perueniant, cum eam adsequentur. Sc-cundo posiυ magnitudines, ad quarum aequalitatem magis ac magis In infinitum primo positae mainitudines accedunt, rationem eandem inurse , ac magnitudo data ad datam tenebunt.
nes A, B, quae rationem inter se habeant, ut P ad Q. ipsaeque simul a iactae in proportione qualibet submultipla continua , additis partibus incrementorum totalium D H. KN veluti in subdupla DE, EF, FG in D H : itemque ΚL, LM , MO, in KN ; eandem inter se rationem struent. Ac sint secundo positae magnitudines CH , IN. ad quarum aequalitatem simul perueniant A, B, quando eam adsequentur. Dico quod secundo positae magnitudines CH, IN, ad quarum aequalitatcm magis ac magis in infinitum auctie accedunt primo positae A , B, rationem inter se tenent eandem, ac magnitudines P, ioc est CH esse ad I N ; vi P ad a. Cum enim magnitudines A, B , seu illis aequales C D , I K , auctae eandem inter se rationem seruent; Sc simul, id est in eodem termino progressionis additarum partium, perueniant ad aequali
12쪽
vero C D, IK simul peruenient ad aequalitatem magnitudinum CH, IN, id est in eodem progressionis additarum partium te mino; eadem ubique erit proportio distantiae ab aequalitatis terminis H, N, cum tot partes similes in una distantia sint, ac in alia. quare erit G H, distantia CG ab aequalitate magnitudinis C H, ad D G, ut ON, distantia I O ab aequalitate IN , ad ΚN. ergo tota DH , ad totam Κ N in eadem erit ratione ac CD ad I K. quare de tota C H erit ad totam I N. ut CD ad I K. id est ut P ad Q. Quod erat demonstrandum. PROPOSITIO VI. . SI ab aliqua magnitudine auferantur partes in insinitum in rarione submultipla continua. qua ablata in serie continua positae, ad alias etiam in simili serie magnitudines quae simul addita adunius magnι-
rudinis aequalitatem magis ac magis accedani eandem semper rationem
prima sincet ad primam, secanda ad secundam fruent; mulque,
O in eodem progressionis iermino, prima magnitudo subtractione pamtium ab siumatur, se secunda additione partium compleatur. magniIudo, a qua sit subtractio, in eadem erit ratione ad magnitudinem , quae ad-Hitone partium insinitarum perficitur; ac partes a prima magnitudine allata es in serie continua acceptae, erunt ad totidem parati additas ιnter se , O in miti serie continua acceptas, quibus secunda magnitudo
SI τ data magnitudo AB, a qua partes in ratione submultipla, ut subdupla in infinitum auferantur AC, C D, DE, EF, FG, in serie continua positae; quae rationem eandem l neant ad alias in serie quoque continua magnitudines, IK, KL, L M, MN, N O quae simul additae ad aequalitatem magnitudinis I P magis ac magis accedant in ita ut AG prima sit ad I K primam ; ut C D secunda, ad KL secundam. simulque & in eodem progressionis termino magnitudo AB partium subtractione absumatur, ac secunda 1 P additione partium I Κ, Κ LCompleatur. Dico, quod magnitudo AB, a qua fit subtractio partium infinitarum, in eadem est ratione ad I P quae additione partium eiusdem rationis componitur; ac parica AC, CD,
13쪽
D E ablatae ab Α S in serie continua acceptae, ad partes totidem I Κ, Κ L , LM additas inter se, in serie continua acceptas, quibus I P componi
Quoniam igitur in serie continua & ratione sub dupla sunt AC , CD, DE, EF, FG, NI in altera serie simili sunt in eadem ratione subdupla I Κ, ΚL, LM , M N ,N O; ita ut sit, ut AC, ad I K; ita C D, ad KL, Se sic deinceps; erunt omnes in AG, ad omnes in Io; ut AC , ad I K. quia vero sita ut
3c in eodem termino progressionis absumitur AB, ac perficitur I P. totidem accipientur in ratione sub dupla partes continuata serie, ac in OP accipientur. M in eadem ratione erit residuum G B, ad residuum O P; ac AG ad IO. & permutando ac inuertendo
AG erit ad G B, ut Ι Ο, ad O P. & componendo A B erit ad G B, ut I P ad O P. M permutando, A B erit ad I P, ut G B ad O P. sed ut G B ad O P ,
ita ΑG ad I O. ab aequali AB erit ad I P ; ut A G, in qua magnitudine partes sunt quinque, ad I O in qua sunt quinque similes. Si ergo ab aliqua magnitudine,&c. Quod erat demonstrandum. ERO POSITIO V II. SI a tetragono initio facis polygona infixibantur , or milia circum-sribantur, atque sequens laterum numero duplum sit antecedent Graiangulis sub fateribus inscripti postgoni, O angulis Amilis circumseripti, huiusique duorum laterum semissibus comprehensa, contincnt excessum , quo postgonum cirrumsicriptum extadit circulum, si defectum, quo inscriptum deficit ab eodem circulo.
possitionem demonstrabimus. Sit quadrans circuli N A B F, latus tetragoni inscripti AF. latus octogoni BF; heccaede cagoni latus CF, quae polygona duplo laterum numero aucta sunt. Diuiligeo by Coosl
14쪽
Sint vero tetragoni circumscripti, semisses laterum AM, MFi Octogoni circumscripti laterum semisses B L, L F; Heccaedeca-goni circumscripti semisses laterum CD, DF; & latera AM, MF;BL, LF; CD, DF; tangant circulum in punctis, in quibus
terminantur anguli inscriptorum. erit ergo BLF trianguli basis BF. & trianguli AM Fbasis AF; Continet autem triangulum ΑMF trilineum mixtum ΑM FB. cxcessum circumscripti tetragoni supra circulum;-ABFΚ spatium,contentum arcu ABFScipsi subtensa AKF, defectum inscripti tetragoni a circulo. Item que BL F triangulum sub latere octogoni inscripti, & angulo circumscripti L; eiusque duorum laterum seminibus B L, L Fcontinet excessum polygoni octogoni circumscripti supra circulum nempe trilineum BL FC. &defectum a Circulo octogoni inscripti, comprehensum nempe arcu BCF M subtensa BF. &sic deinceps. Quod erat demonstrandum.
Semper itaque superabit circumscriptum polygonum Circulum, quamdiu silmile inscriptum deficiet ab eo. & ii ad aequalitatem circuli attingere possent, simul in eodemque progressionis termino aequales fierent; id est in similibus circumscriptis &mscriptis figuris, Zc a tetragono laterum numero aequalibus. Semper Diuiti eo by GOrale
15쪽
per etenim polygoni inscripti latus basis erit trianguli, quod angulum basi oppositum habebit similis circumscripti polygoni , 5e duo crura semitas laterum praedicti circumscripti: M.
continebit triangulum illud excessum ac defectum &si in aliqua figurae inscripta triangulum illud continens excessum 5 defectum non erit, tunc circumscripta cum inscripta 6c circulo conueniet de aequales inter se erunt; dum enim minuitur circumscripta figura polygona, terminum alium imminutionis nota habet, quamcirculi magnitudinem; dumque augetur inscripta, alium incrementi terminum non habet quam eundem circulum, ad cuius aequalitatem aecedunt. PROPOSITIO VIII.
Quae est trigesima prima libri I. Archimedis de Sphaera ae Cylindro. CVivs Lis ετ dbara superficies quadrupla in circuli maximi qui in ea accipi potes. DEMON STRATIO.'AROHi MEDES lib. I de Sphaera de Cylindro proposit. 2I. demonstrauit figurae solidae sphae. rae inscriptae superficiem, quae conicis superficiebus constat, minorem esse quadruplo maximi sphaerae illius circuli. propositione Verd 29. eiusdem lib. osi tendit figurae solidae, quae sphaerae circumscripta est, superficiem maiorem esse quadruplo maximi circuli eorum quae in sphaera describuntur. His positis, quod proponitur est de
Sit sphaera ABDE. Solidum ei inscriptum, quod conicis superficiebus constat, concipiatur ΑCBLDMEN genitum ex
16쪽
reuolutione octogoni super diametro AD ut axe. concipiatur aliud simule solidum FO GPH QIR. circumscriptum sphaerae Aegenitum ex reuolutione octogoni super dimetiente FH. Sit praeterea Κ magnitudo sphaerae superficiei aequalis, ad quam comparantur superficies solidorum inscripti & circumscripti, quae conicis superficiebus constant. Sit Salia magnitudo aequalis quadruplo circuli maximi eorum qui in sphaera data accipi
Sunt ergo duae magnitudines nempe superficies circumscripti solidi & inscripti comparatae ad K superficiem sphaerae: quarum altera, nempe circumscripti FGNI maior est sphaerae superficie: altera, nempe inscripti ABDE, minor est. circumscripti vero solidi superficies, duplicato serie continua laterum polygoni numero minuitur,mad aequalitatem superficiei sphaerae , hoc est magnitudinis K magis ac magis accedit. inscripti autem solidi superficies duplicato quoque laterum polygoni numero augetur , & ad aequalitatem superficiei sphaerae, hoc est magnitudinis K etiam aceedit, & si aequales fieri possent, simul
aequarentur, Ut ex prop. anteced. corollario patet. Imminuta
vero quantumlibet superficies circumscripti solidi maiorem semper tenet rationem quam aequalitatis ad S quadruplum circuli maximi eorum , qui in sphaera AB DE describi possunt. aucta vero quantumlibet superficies inscripti solidi minorem semper tenet rationem quam aequalitatis ad eandem S quadruplum circuli maximi. Quare ex demonstratis propositione l.
huius superficies solidorum circumscripti Ac inscripti aequales factae magnitudini Κ, id est superficiei sphaerae, tenebunt ad S rationem aequalitatis. Quare Κ magnitudo aequalis est magnitudini S. est autem K aequalis sphaerae superficiei,&Squadruplo maximi in ea circuli. Quare sphaerae superficies aequalis est quadruplo circuli maximi eorum, qui in ea describi posisunt. Quod erat demonstrandum.
CI R c v LI sunt inter se in diametrorum ratione duplicatas seu
17쪽
DE MONSTRATIO. . Sis τ duo circuli
in aequales, quo rum maior sit cuius centrum A; minor cuius centrum K. in
diameter D H. Inseribantur etia quadrata DF HB,& circa illa octogoni BCDEFGHI. Sunt erso duae magnitudines, quadratum nempe DB FH circulo A inscriptum, te aliud circulo Κ etiam inscriptum, quae crescunt spatiis DCB octies, Maliis sexdecim, polygono sequenti duplo laterum numero inscripto, & sic deinceps. 5 in circulo A omnia spatia nempe quadratum D H, & ipsi ordine superaddita alia, polygonorum
inscriptione, eandem inter se proportionem in serie continua accepta seruant; ac omnia spatia in circulo Κ, quadratum
nempe DH,& ipsi ordine superaddita alia, polygonorum inscriptione. est enim quadratum D H circuli Α, ad quadratum circuli Κ; ut octogonum circuli Α, ad octogonum circuli Κsic deinceps. inscriptione vero polygonorum magis ac magis ad circuli aequalitatem spatia omnia simul sumpta accedunt Zenusquam illam adsequuntur, residuae sunt enim partes CL B, C MB: at simul & in eodem progressionis termino adsequerentur, si aequales fieri possibile est et . Quare ex demonstratis in propositione s. huius erit residuum CL B ad residuum C MBivi omnes antecedentes magnitudines simul sumptae in circulo Α, ad omnes similes itecedentes in circulo Κ simul sumptas. M tota magnitudo ex residuo CL B&antecedentibus spatiis composita in circulo A. id est circulus Α ad totam magnitudinem ex residuo CMB&antecedentibus similibus spatiis compositam in circulo Κ id est ad circulum Κὶ ut omnia antecedentia spatia circuli Α, ad omnia antecedentia spatia circuli Κ t, atque etiam ut primum circuli Α spatium nempe quadratum D H, ad primum circuli Κ spatium nempe quadratum
D H. Qitare circulus A est ad circulum Κι ut quadratum
18쪽
DH cIrculi. A, ad quadratum D H circuli K. Quod erat dimonstrandum. Centro minoris circuli ascribi debet T. PROPOSITIO X. OMNis Cylindrin triplus es coni eandem basim atque actitudinem habentis.
NPM. cuius basis sit semicirculus H O P. superficies eidem opposita ac parallela semicirculus BFD. altitudo illius XC. Sit etiam coni semissis ABFD. cuius basis semicirculus B F D eadem vel .aequalis basi Cylindri; altitudo autem C A aequalis ΚC alti tudini Cylindri. Dico Cylindrum
BFDHOM triplum esse coni ΑΗ F D. Basi semissis Cylindri inscribantur polygonorum semisses, tetragoni HOM, octogoni HNOPM, & superficiei oppositae similium polygonorum semisses inscribantur, tetragoni videlicet BFDoctogoni BEFG D. & parallelae sint BF, FD duabus HO, O M. & latera octogoni B E, EF,&c. lateribus aequalibus HN, NO,&c. rectis existentibus angulis H NI, B EI. Si cylindri semissis, planis per opposita latera BF, HO. itemque FD, O M ductis secetur, prisina auferetur ab eo BFDMOH, cuius duae superficies triangulares oppositae BFD &HO M. parallelae M aequales inter se, tres aliae B H M D, BF O H, D FOM , parallelogrammae erunt. ductis
deinde planis per latera octogoni BE, EF,&HN, NO prisma
19쪽
auseretur BHNO FE& ex alia parte aliud aequale DGFO PM. atque inscriptis sequentibus polygonis in ratione dupla laterum, prismata auferentur in infinitum, quae cum sub eadem altitudine comprehendantur , erunt inter se Ut bases Coni pariter basi, quae aequalis est cylindricae vel eadem, similes polygoni inscripti sint; & secetur conus planis per Verticem Α, & latera BF, DF ductis, ablatus erit pyramidis quadrilaterae semissis, nempe pyramis ABFD. quae basim eandem atque aequalem altitudinem habet ac prisma BHOM DF;ductis deinde planis per verticem A & latera BE, EF, auferetur pyramis ABEF , eandem basim ac aequalem altitudinem habens, ac prisma BHNOFE:&ex altera parte pyramis A F G D , quae eandem basim atque aequalem altitudinem ac prisma FOPMDG habet. atque inscriptis sequentibus polygonis in ratione dupla laterum, pyramides triangulis comprehensis sub lateribus vltimi inscripti polygoni & lateribus antecedentis insistentes in infinitum auferentur; quae cum sub aequali altitudine sint, inter se erunt ut bases. Sunt ergo duae magnitudines, prisma nempe B HOM DF, Ss pyramis ABF cuius basis est triangularis; crescit autem pri sima duobus additis prismatibus BEFONH, DGFOPM intra
latera tetragoni Moctogoni comprehensis. quatuor deinde prismatibus comprehensis inter latera octogoni de polygoni sexdecim angulorum,&sic deinceps in ratione dupla. suntque pri iamata sub eadem altitudine inter se ut bases; hoc est prisma
BHOM DF est ad prisma BHNOFE, ut basis BFD ad basim
BEF. de sic deinceps in infinitum. Crescit etiam pyramis ABFD, additis duabus pyramidibus, quae insistunt triangulis BEF, DFG, tetragoni & octogoni lateribus comprehensis; & quatuor deinde pyramidibus, quae insistunt triangulis intra octogonum, & sexdecim angulorum polygonum comprehensis, & sic deinceps in ratione dupla. Suntque omnes sub eadem altitudine ; inter se itaque erunt ut bases. hoc est pyramis ABFD est ad pyramidem AB EF, ut basis BFD ad basim BEF , de sic deinceps in infinitum. Crescunt itaque prismata in eadem proportione ac pyramides: Min serie continua sibi inuicem respondent; simulque ad aequalitatem cylindri prismata, & ad coni aequalitatem pyramides
20쪽
accedunt, simulque aequarentur, si tandem figurae basi inscriptae insisterent , quae circulum, qui balis est, aequare posset. quamis obrem ex demonstratis in propositione s. huius ab aequalitate cylindri distabunt ptismata collecta BHOM DF,BHNOFE, DFOPGM in eadem proportione, ac totidem omnes collectae. pyramides ABFD, AB EF , ADGF, ab aequalitate coni distabunt, eritque ut summa prismatum, ad differentiam ipsius a cylindro; ita summa pyramidum totidem ad differentiam ipsius a cono;&componendo, ut summa prismatum Ac differentia acylindro lid est cylindrus) ad differentiam , ita summa pyramidum ac differentia a cono id est conus ad differentiam, de conuertendo, ut cylindrus, ad summam omnium prismatum; ita conus ad summam omnium pyramidum. Sed omnia prismata tripla sunt omnium pyramidum. ergo de cylindrus tripluserit coni. Quod erat demonstrandum.