장음표시 사용
21쪽
quasdam propositiones. PROPOSITIO L
I circulo ABC, cuius centrum E, Osiribatur triangulam aequilaterum ABC ; se ab angulo B ducatur in AC diameter perpendicularis B H G, per puncta AEC Iarabola si describatur, cuius vertex t E, erit istim para- meterseu latus rectum BET. umbilicas seu punctum ex comparatione I. Et erit GI ad IE, ut s. ad s.
qui laterum est, & circulo inscriptum, erit GH aequalis HE. per structuram autem AEC puncta sunt in parabola, cuius Vertex est Ei est itaque BG circuli diameter & axis parabolae; quare AH ad BG perpendicularis ordinata est in circulo M in parabola, quia ergo est in circulo, erit ut B H ad ΗΑ, ita H Α ad HG. est itaque quadratum AH aequale rectangulo B HGι &quia AH ordinata est in parabola, erit quadratum ΑΗ, aequale rectangulo sub H E M latere recto. est autem H E aequalis HG, ergo latus rectum erit aequale HB. Quod erat demonstrandum. Diuiti su by Corale
22쪽
Sed umbilici I distantia a vertice aequalis est lateris recti qua dranti, id est quadranti BH; est autem BHaequalis tribus quadrantibus totius BG. sit ergo BG. r.erit B H L. sed est EI qua drans B H, erit itaque totius BG quare cum BG fuerit I 6.
erit GH 4. Se EI 3. quare G I valebit s. est itaque GI ad I EVt s. ad 3. PROPOSITIO II. PROBLEMA.DΑτis axe parabois O vertice, Mus rectum seu parametrum . or umbilicum inuenire.
DEMONSTRATIO. SI τ data sectio parabola D E
F, & eius axis EL, Vertex E, propositum est reperire latus rectum ΕΚ. Centro E describatur circulus ut libuerit MON, Se ex utraque parte axis E L, acci piantur arcus hexagoni MO, NO.&a centro Educantur semidiametri EM , EN, quae producantur donec secent parabolam in puniciis A, C. deinde distantia ΕΑ & centro E describatur circulus ABC,&iungantur A, C erit ipsa AC latus trigoni aequi lateri circulo inscripti. quare ex antecedenti theoremate erit B H latus rectum parabolae DEF. cuius quadrans EI est distantia.vmbilici a vertice. Quod saciendum proponebatur. PROPOSITIO III
SI Zata recta linea AB media ac extrema ratione secetur in Toad Iuncta AB, terminos data applicentur usi aequales es perpendiculares BD, AC ἰ ad punctum vero T ducatur GTaequalis maiori menio se ad Ad perpendiculum s o ad lineam FC, qua componior eX Iota AB
23쪽
AB etsi que maiore stimento, a licetur rectangulum aequale rectan gulo BAT quod Fub tota ABqφυque maiori Regmento T A comprehenditur quod faciat latitudinem H F. O posera H F in directam linea FCfaciet totam KC. Dico, quod quatuor puncta Η , G, B, C, δεηι in
parabola cuius latis rectam est BD aquale necta AB
DEM ONSTRATIO. CVM itaque B A secta sit in Τ
puncto in media & extrema ratione; atque ad AB & punctum Tordinata est GT perpendicularis Maequalis AT, erit ipsa GT ordinata in parabola, quae per puncta GB
transibit, cuius axis est BA, vertex
B, parameter vero DB. est enim ut AB, id est BD, ad TA, id est FG, ita TG ad ΤB. Ad AB &punctum A applicata est AC ipsi AB aequalis&perpendicularis, erit ut AB, ad AC, ita AC ad BD. quare erunt puncta BC in parabola cuius axis AB, vertex B& latus rectum seu parameter BD. Sed M punctum H in eadem parabola esse ostendemus. Cum enim factum sit rectangulum H FC aequale rectangulo TAC. erit HEC ad quadratum AC,vtTA ad AB.est autem ut TA ad AB, ita BTad TA;&inuertendo , ut AB ad T Α, ita ΤΑ , ad TBivi autem AB ad TA, ita quadratum AC ad rectangulum TAC seu H FC. erecta itaque cum fuerit a puncto F recta FG aequalis TA & ad H C perpendicularis puncta H G erunt in eadem parabola ac puncta B, C, cuius Vertex B , axis AB & parameter BD. Sed est etiam ut TA ad TB, ita rectangulum TAC ad rectangulum TBD: id est H FC rectangui. ad quadratum GT. quare lineae GT, FG in eodem puncto G ciusdem parabolae Concurrunt; suntque quatuor puncta HGBC in eadem parabola. Quod erat demonstrandum. Sequitur H A aequalem esse AC,§am essem F in media
24쪽
PROBLEMA.EL L et y s i M o hyperbolum in conoscare, ita ut axes inierss latera recta etiam aequalia ni inters , eque in verticibus s-
ANA LYSIS. SI et factum. inuentus ergo est conus B AF, in quo hyperbola MCN facta plano ICΚ, quod trianguli per axem B AF
planum ad rectos angulos secat ; hyperboles axis est IC. plano etiam EC ad planum trianguli per axem perpendiculari facta est sectio Ellipsis EPCO, cuius axis transuersus est EC, aequalis axi hyperboles IC. M utriusque sectionis latera recta sunt ae- qualia, de sese in vertice C contingunt. rectae I C aequalis de parallela agatur AD, producta quantum opus fuerit , productis etiam trianguli B AF cruribus ΑΒ, Α F. ducta relia iungantur puncta ED. &per D ducatur BF, quae diameter crit circuli quibasiis est coni, M aequi distans illi BF ducatur GC, quiudiameter erit circuli ad basim paralleli. quoniam
est aequalis, erit axis transsiuersus I C ad latus rectum, ut A D quadratum ad B D F rectangulum. erit etiam EC axis ellipseos qui aequalis est ICὶ ad latus rectum ut EC quadratum ad rectangulum aequale rectangulo BDF. post.i est AD aequalis N aequi distans CI; quare DC erit aequa- Iis AI,&aequi distabit BAI. sunt etiam aequales EC , AD inter parallelas &: aequales EA, DC, ergo & E D, quae termicos
25쪽
ipsarum i ungit, parallela erit A C. sunt autem aequales DG, AI, atque etiam DC, EA ; quare AI, EA sunt aequales. sed sunt etiam aequales EC, CI, quare ab AG bisectus erit angulus LGI, atque etiam recta EI bisecta.&recti erunt EAC, CAI. quoniam vero ED, CD quae cum AD , BF conueniunt in puncto Dὶ aequi distant lateribus AF, ΑΒ, erit GC aequalis BD,&LEaequalis DF. quare GCL rectangulum aequale est rectangulo BD
SYNTHESI S. Componetur autem hoc modo. In cono ad verticem rectangulo BAF, ad quem problema determinatur, facto triangulo pce axem BAF; secetur triangulum plano ICK ad illud perpendiculari, quod planum continuatum alteri laterum producto BIoccurrat, faciatque hyperbolam M CN, cu i saxis transuersus est IC: alio quoque plano perpendiculari idctn triangulum B AP secetur, quod utrique laterum BA, AF non aequi distanter basi aut subcontrarie positum occurrat, faciatque sectionem ellipsim EPCO, cuius axis transuersus EC aequalis sit IC. Dico sectas esse ellipsim de hyperbolam, cuius axes Sc latera recta sunt aequales, & quae sese in vertice contingunt Cum enim recti sint anguli EAC, CAI. & aequales ΕΑ, AIi si ducatur AD aequi distans IC & ei aequalis, iungaturque DC, erit DC parallela AI. eruntque etiam aequales AD, EC, comprehensae inter parallesas Α E, DC aequales, quare & mparallela erit AC. & aequales erunt GC, BD, itemque L C, DF. erit itaque in hyperbola axis IC ad latus rectum, ut quadratum AD ad rectangulum BD Κ. In ellipsi autem erit axis EC ad latus rectum, ut quadratum EC ad rectangulum GC L. utrobique autem aequalia sunt quadrata AD, EC, & rectangula BDF, GCL, quare &lateta recta aequalia erunt cum auistem EC, CK sint in eodem plano trianguli per axem. Latus rectum quod ad axes IE, EC applicabitur ad punctum C , perpendiculare erit ad planum praedicti trianguli, & etiam ad ipsos
axes ; atque adeo sectiones in vertice C continget. quare & in eodem sese sectiones contingent. sectae sunt ergo ellipsis& hyperbola, Vt proponebatur.
Esse autem axem ellipsis EC ad latus rectum, ut quadratum E C ad rectangulum G CL sic ostendemus. a vertice coni A
26쪽
ducatur AH. quae basi trianguli per axem facti GC productae occurrat in H. &aequi distet E C. erit igitur axis transuersus EC ad latus rectum, ut quadratum AH ad rectangulum G H C. propter paralicias AH, EC, est ut AH adHG, ita EC ad C G. de propter parallelas EL, AC , est ut AH ad H C, ita EC ad CL, per compositionem itaque rationis ut quadratum AH ad rectangulum GHG, ita quadratum EC ad rectangulum GCL, ergo hoc quadratum E C est ad rectangulum GCL , ut axis ellipsis EC ad latus rectum. In synthesi autem huius problem. ut sectio subcontraria vitetur, in cono scaleno ellipsis primum, deinde hyperbola secabitur. PROPOSITIO V.
ONuM reperire in quo circulus es hyperbola secentur, Osese
in verticibus contingant, quorumque axes transuras ac latera recta aequalia sist.
A N A L Y S I S.IN cono BAF, sectus est circulus GC , & hyperbola ECH quorum
latera sunt aequalia, axes transuersi nempe G C, IC, atque etiam latera recta aequalia. erit ergo aequi crurum
GCI triangulum. ducta sit AD aequalis de parallela IC. & iungatur D C, erit DC aequalis AI,&ipsi parallela,
atque adeo erit etiam eidem DC aequalis & parallela GA; sed AD est aequalis I C. crunt ergo aequales AD, G C. atque etiam inter se aequales erunt GC, BD, intra easdem parallelas comprehensae. est in hyperbola axis I C ad latus rectum, vetquadratum AD, ad rectangulum B DF; quare erit in circulo, ut quadratum G C ad aequale rectangulum rectangulo B DF, nempe ad rectangulum G C G , cum in circulo latus rectum aequalest axi . sed BD aequalis est GC, ergo BD, DF inter se aequales erunt, cum sit GC quadratum aequale rectangulo BDF. Conus ergo B AF crit rectus , M AD per centrum circuli BF, qui basis est coni, transibit,&aequales erunt AD, BD. Diqitigod by Corale
27쪽
Componetur autem, secto cono basi aequi distanter & facto circulo GKC, & ducta per ipsius centrum AD aequali GC. a puncto autem C accepta Cl occurrens in I producto lateri BA. quaesit aequalis ADS ipsi parallela. & per IC ducto plano ICL,&facta hyperbola ECH. &factum erit problema. P RO P O S I TI O VI. SI adeundem axem,
idemque latus rectum des ibantur iu
sola, vel circulus ohypobola,quae se e in ve ricibus contingant. Oin sperbola ad axem ordinara ducamr, ct ad ordinatae terminum ι-nea sperbolam tan gens s ab altero vero ose inata , qui cum axe conuenit, termino ad ePVsim vel circulum duc rur tangens, istaeque amba tangentes producantur, donec rem, qua per alterum verticem est seres ves circuli ducitur ordinaris aequid ans, occurranis ambae in uno puncto concurrunt, quod in ducta per alum merticem esii s vel circuli linea recta positum est
N T axis Α D M latus rectum DO, ad quae describan
bus D contingant; & in hyperbola ad axem AE ordinata ducatur FE,& 'ad huius oldinatae terminum F in sectione duca
28쪽
' tur hyperbolam tangens FC. ab altero Vero termino E, qui cum iaxe conuenit, ad ellipsim ducatur tangens EV, illaeque ambae tangentes producantur ad GH, quae per alterum verticem duincta est ordinatis aequi distans, eique occurrant. Dico ambas FC, EV tangentes concurrere in uno puncto H, quod in linea GH positum est. Per vertices D tducatur MD ordinatis aequi di stans,& in directum lateris recti DO posita. dcdu catur ab V contactu rectae E H M ellipseos recta VC. quia tangit
hyperbolem FH, & axem secat in G ; erit ut AE ad ED, ita AG ad CDi sed ut AC ad CD, ita AH ad MD. ergo ab aequaliut AE ad ED, ita AH ad MD. pariter quia ellipsim tangit EH; erit ut ΑΕ, ad ED; ita AC, ad CD. ergo ordinata VC occurrit AD in C puncto intersectionis AD, FH. sed ut AE ad
ED, ita AH ad BS. In utraque igitur sectione eandem rati nem habent inter se latera rectangulorum ΑΗ, MD, '& AH, D S. quare sunt similia rectangula. sed & utrobique sunt aequalia quadranti figurae sub lateribus AD, DO, quare M latera MD, DS aequalia erunt, & m utrique rectangulo Communis erit. Quare FHEH in puncto H, quod in GPI situm est , concurrunt. Quod erat demonstrandum. PROPOSITIO UIL
I, Iso EM 'sitis. Si ad punctum Ibberim terminum ordinat in hyperbola ducatur ad ipsam sectionem rangens CG. Dico quod raventes ESΗ, VSG Aese intersecabist i puycto quod es in laiciae
29쪽
E TER CITATI O II. DEMONSTRATIO
CVM enim ad Qia, alterum terminum rectae FQ. ordinatae in hyperbola, ducta sit ad ipsam tangens QCG, sitque DS aequalis MD, faciet angulum QCE angulo FCE similem Maequalem. quare erit rectangulum ΑΗ, MD hoc est AH, DSὶ in hyperbola, aequale rectangulo AH, DS in ellipsi. sed A Hest communis utrique rectangulo , ergo & D S utrique communis erit. Quare ESH, QSG in puncto se intersecabunt quod in latere recto D O iacet. Quod crat demonstrandum. PROPOSITIO VIII.
IIsDEM positis , si ad terminum axis coniuguri IK ducatur NI tangens efbim vel circulum, quae occurrat rectae G H. sasN fon-cto occursus per ellilsis vel circuli centrum ducatur NBX. Dico hoc ἀNBX esse huc bosti Gymptoton.
DEMONSTRATIO. ER ret enim N I aequalis AB,&NA aequalis I B seu B Κ,
quae potest quadrantem figurae lateribus AD, DO contenetae. transit autem NBX per centrum ellipsis vel circuli & MDO aequid istae GH , propterea erit triangulum DB X, triangulo NBA aequale 3e simile, ideo et it ut BR ad AN, ita B D ad DX. ergo DX est aequalis ΒΚ. Se poterit B X quadrantem figurae sub lateribus i propterea, quae a centro B per terminum illius ducetur NBX, erit hyperboles asymptotos. Quod erat
demonstrandum. COROLLA RI V M.
Hinc constat, quod in circulo contingente hyperbolam asymptotos parallela est diametro figurae iub lateribus , id est B X,&AO aequi distant. cum enim DX, ΒΚ sint inter se aequales, atque etiam AD, D O inter se aequales , &BΚ sit semissis DO, erunt aequales ΒΚ, Xo. critque ut AD ad D O, ita BD ad D X; quare BX, AO aequi distant. At in ellipsi contingente, si axis latere recto maior sit, ut in
30쪽
prima figura: erit DX maior semisse DO, cum media proportionalis sit inter BD de semissem DO. non erit ergo ut AD ad DO, ita BD ad D X. maiorem quippe DX habet rationem ad DB, quam DO ad DA , cum DB sit semissis DA, at DX maior quam semissis DO. minorque est XO quam B T. ergo proinductae ΑO, B X infra BO ad partes hyperbolae conuenient.
Si vero axis minor sit latere recto, tunc erit DX minor semisse Do. & propterea NA aequalis D X, minor erit B T. Concurrent ergo AO, NX ad partes ellipseos supra rectam GH. PROPOSITIO I x.
IIsDEM possiis. Si ab A termino axis transuersi AD, adpunctum S commanis intersectionis tangentium Eff, G, vel DO, E Η δε- caetur recta ASZ, qua ordinatus ad axem in ellipse or hyperbola; mel circolo or hyperbola . puncto conticuum fieret. Dico quod ordinatas CV, E in punctas RZ i u bisecat.
DEMONSTRAΤIO. Es τ enim in ellipsi vel circulo, vi H M ad MS, ita H Gad
C v εἶ & permuta do vi H M ad H C, ita M S ad CV. sed est etiam vi H M ad H C, ita AD ad AC. quare ab aequali ve AD ad AC, ita MS ad CV. est autem ut AD ad AC, ita DS ad CR; atqui est DS semissis totius M S, ergo &CR totius CV semissis erit. Quare bisecta est CV in R. Eadem erit demonstratio in hyperbola. est enim vi H Fad HM. ita FE seu EQ ad MS. vi autem H F ad HM , ita AE ad A D. ergo ab aequali, ut A E ad AD, ita EQ ad M S. sed est etiam ut AE ad AD, ita EZ ad DS. M inuertendo ut AD ad AE, ita DS ad EZ. est vero DS semissis totius M S. ergo MEZ semissis erit totius E ad bisecat ergo recta AZ ordinatas CV, EQ. Quod erat demonstrandum. Idem demonstrari potest adsumptis triangulis G SH, CSU, ESQ similibus & ad verticem oppositis. Cum enim ob aequales FE, E , seu MD, D S. aequales sint GA , AH , bisecat AS rectam GH, quare S: omnes in codem triangulo G SH ipsi