장음표시 사용
31쪽
Greparallelas bisecabit nempe CV. in s mili quoque ad verticem opposito ESQ producta AS Z bisecabit EQ parallelam GH. ut in tribus figuris cernere licet ducta linea recta ab A puncto ad punctum M NI producta ad F Omisit Sculptor insiguras prop. 6. lineas ab A per M, S ad F ducta oe vidcatur prop. n. qua eadem est. PROPOSITIO X.
culi circumferentia quaesus ducatur diameter , o ad Vsam in sectione ordinata I per terminum vero diametri, qui in flectione, ducatur recta sectionem tangens s es per ordinata terminos tangentes deinde ducantur qua tangenii per diametrireminum ducta occurrant. Si a functo Hamrari , ad quod ordinata insectione ducta eis, dueatur recta linea per binarum tangentium occum sum, productae tangem; , qua per alterum terminum ordinatae ducta eis, occurret in linea , qua ab abero diametri termino ordinata in sectione quidi ans ducta eris.
vel in ellipsi aut in circulo ducta diameter quaeuas DBE intra sectionem, S ad ipsam in sectione ordinata recta AEC. quae propterea bisecta erit in E. per B vero ter minum diametri , qui in sectione, ducatur recta GBI, sectionem vel circulum conis tingens , quae propterea α- qui distabit ordinatae AC. per terminos deinde ordinatae, Diuitigod by Corale
32쪽
nempe A&C, ducantur tangentes CIF, AGF , quae tangenti GBI, quae per B ducta est, occurrant in punctis G I. Dico, quod si ab E puncto diametri, ad quod in sectione ordinatae ueta est, per I punctum, binarum tangentium G BI, FIC occursum, ducatur in hyperbola recta EI H, vel EG M; in ellipsi vero Sc circuli circumferentia ducta EI vel EG ad alteram partem producatur EH vel EM, ipsa productae tangenti, quae per
alterum ordinatae terminum ducta est , occurret in linea H DM, quae per D alterum diametri terminum aequi distans ordinatae AC ducti erit. Id est EI H, quae per I occursum tangentium G Bl, CIF transit,occurret AH in linea MDH.&EGMOccurret CIM in linea MDH. Quoniam ad diametrum DBFordinata est A E C, dc per B terminum ducta est tangens GBI ordinatae aequidistans, erunt inter se aequales G B, BI. dc quia a punctis Α, C ductae sunt tangentes A GF, CIF. erit ut DE ad BE, ita DF ad FB. sed est etiam ut DF ad BF ita D Mad BG in hyperbo a. ab aequali erit ut DE ad BE, ita DH ad BG vel BI ipsi aequalem.&inuertendo ut BE ad DE, ita BI vel BG ad D H. ducta est ab E per I recta ΕΙΗ, ergo in triangulo DEH ob parallelas BI, D H erit ut DE ad BE , ita HE ad EI. &inuertendo ut BE ad DE, ita EI ad HE. sed est ut EB ad ED, ita BI ad DH, erit ab aequali vi EI ad I B, ita EH ad H D. quare D H eadem
est basis communis triangulorum DFH, DEH. ergo EI producta occurrit productae AF in puncto H, quod est an linea MDH. Quod propositum erat. In ellipsi vero de circuli circumferentia, est ut D F ad B F, ita DE ad EB, ut autem DF ad BF, ita D H ad G B, ergo ab aequali erit ut DE ad EB, ita DH ad G B. est autem D H aequalis D M. erit ergo ut DE ad EB, ita D M ad G B. aequidistant autem DM, GB. sunt ergo similia triangula. erit ergo ut
D E ad EM, ita EB ad EG, de permutando ut DE ad E B, ita ME ad EG, suntque aequales ad verticem DEM, GEB,&
33쪽
DB est una linea. quare GEM una linea erit, quae occurret tangenti FCM productae in linea H DM. Quod erat demonstrandum. PROPOSITIO XI. THEO REM A. II so EM poss/ῶν ,st ab altero diametri termino recta diacorur ad occursum bisarum tangenrium , O ad ordinaram ad diametrum Iroducantur, i am ordinatam ad diametrum biseca AEI.
AB altero diametri termino nempe D, ad puncta I, G cor tingentium occursus ducantur rectar DGL , Di Κ. Dico, quod ΑΕ vel CE ordinatam ad diametrum bisecant in punctis L Κ. Cum enim intra easdem parallelas triangula ΑHE, L DE constituta sint, erit ut DE ad DB, ita H A ad HGι ut autem H A ad HG , ita AE ad GI. & inuertendo vi HGadHΑ, ita GI ad AE. vi autem H G ad F Α, ita DB ad DE. & ut DB ad DB, ita GB ad LE. ab aequali erit ut G B ad L E, ita GI ad ΑΕ. sed G B semissis est Gl. quare & LE semissis erit ΑΕ. ergo D GL, vel DI K bisecat ΑΕ, vel CE. Quod erat. demonstra
inrerminata , s adussus terminum B te pedicularis virinque δε- catur GRI. Iantque a quales G A, BI. or ad alta anctum E ducatur perpendicularis AE, qua
34쪽
IE quantumlibet roducti, donec occcurrat GA productae , verbi gratia in V. denique a puncto occursus H ad productam quantumlibet B xducatur perpendicularis ΗD , quae aquidi stabo G B, A E. Dico quod puncium Λ pertinet ad circulum vel est sim, catus diameter vel axis transuersin est BD positione datus , o magnitudine deIerminami a per pendiculari ED.
concurrant in C, & faciant triangulum rectangulum H CD. cum itaque sint aequales G B, BI, Ee aequi distent inter se
G B, H D, erit ut DE ad DH, ita EB ad BI. M permutando. ut DE ad EB , ita H D ad G B. erit ergo ab aequaIi, ut DE ad EB , ita DC ad BC. 8c componendo, ut DB ad DE, ita DC, CB ad BC. iterumque permutando, ut DB ad DC, CB, ita BE ad BC. M antecedentium adsumptis semissibus, erit ut FB ad FC, ita BE ad BC. & permutando, ut FB ad BE, ita FC ad BC.& per conuersionem rationis, vi F B ad F E, ita F C ad FB. t Quadratum ergo FB aequale est rectangulo CFE. Quia ergo est ut CF ad FB, seu FD ad FE; erit componendo, ut CD ad F D, ita DE ad F E. & permutando ut CD ad DE, ita FD seu BF ad FE; per conuersionem rationis, ut DE ad EC, ita EF ad EB. est igitur rectangulum DEB aequale rectangulo CEF. Quare si quadratum ΑΕ aequale est rectangulo C EF, erit A punctum in circumferentia circuli cuius semidiata meter est BD. si vero quadratum AE maius fuerit rectangulo EF vel BED, erit A punctum in ellipsi , cuius latus rectum erit ad transuersum, ut rectangulum C E F ad quadratum A E. Si vero minus fuerit quadratum AE rectangulo C EF vel BED,
erit in ellipsi, cuius latus rectum erit ad transuersum, Ut qua-
. dratum A E ad rectangulum C EF. per ea quae demonstrata tunt pro p. 38. lib. I. Conic. Apollonij. Quod erat demonsti' 'FINIS.
35쪽
AD LECTOREM.AN C de porisimatibus siriptiunculam data mihi occasione Icomposui , cum ante biennium mir illustrissimus ac ampli H Dominus de Fremat in suprema Curia Tholosana Senator integerrimus oe in iudiciis exercendis peritisimus, rerum Mathematicarum dodissimus,propositiones quassam subtili imas σ porsemata quae tam theorematice quam problematice proponi possunt, ad amicos suos huc misit ei. Ex Pappi mnius monumentis , collectionibus Mathematicis portoatum naturamoe Uum discere possumus , cum ex teteribus qui hanc Geometria partem attigerunt , praeter ipsium nullus supersit. Illius tamen sententia legenti flatim obuia non est; textu sique cormptione, crapplicationis porismatum defectu obscurior proculdubio evadit. Interea dum tanto virosa edere libuerit, nostra, qualiacumque tandem ssint, publici iuris facere placuit; ut alios ad eorundeminue ligationem impelleremus; ipsumque Amphsimum Dominum de Fermat, ad sua edenda, utinam is ad alia sublimis intelle
ctus sui Q. μυατα cum omnibus communicanda , excitaremus.
Is enim est, quem omnes Europa Mathematici se piciunt ;quem a Jubtilissimis aetatis nostrae Geometris Bonaventura Ca- uallerio Bononiae, Euangelim Tomicello Florentiae summis laudibus in caelum ferri, eiusque inuenta mirabilia praedicari au
ribus meis audiui. quem etiam virum tam eximiis etirtutibus clarum, multa qIe eruditione ornatum, ac in rebus Mathematicis oculatissimum toto pectore veneror ac colo.
36쪽
NTER antiquorum Geometrarum libros, qui ad locum resolutum pertinebant, recenset Pappus Porismatum opus ab Euclide tribus voluminibus elaboratum: hisque verbis commendat, perutile ad restationem obscuriorum Problematum, ac eorum generum , q/M non comprehendunt eam, qua multitudinem praebet, nam-ram. Pappi Graeca verba a Commandino in Latinum sic versa sunt, quibus sane magna obscuritas subest, ita ut eorum sensum penetrare obuium aut facile non sit. idque aut propter Graeci textus corruptionem & interpolationem, aut propter interpretis vitiosam versonem contigit, vixenim intelligi queunt ista genera, naturam non comprehendentia, quae praebet muυlitudinem : ac praeterea quaeri potest, cuiusnam rei multitudinem hic indicare Pappus voluerit. Huius autem Graecus temtus ab Illustri T. viro in bonae notae Manu scriptis membranis olim visus sic se habebat εςt τωλοῖς ά ροι δα, φιλο-m Qαι Hαλει, --As γε νδ απαίληἄον φύ ως παρεγι s quae lectio differt ab ea , quam habuit Commandinus in Codice Manu scripto, quo ipse Usus est. non obmissurus quippe erat versionem ho-
que etiam legit in recto casu άἀιλουίον, sed άτῆιληβων in secundo seu genitivo. attamen, si Manuscriptus liber, quo usus est, habuit άα υλήώων, male vertit, qua haud compresendunt, de huit enim, quae haud comprehenduntur, se tabere. In huius quoque definitionis membro altero, ψ AI γενύν αδ φυσεω ο
videtur deesse aliquid; cuius enim φύω hic intelligat, quaeri potest ι & videtur ad porismatum, quae hic
definiuntur, & quorum essicacia commendatur, naturam retulisse; quare legendus sic mihi videretur iste locus; me ιαμ ει
37쪽
Mύης κηλῆἴ2- , quae Latine sic reddi queunt : Pori uta a multis c inusiiguntur, ut artificiosa collictio sis propositionum nempe in ad anast m trauiorum seu δε riliorum problematum, O generum, incomprehensibilem multitudinem praebente ipsorum sporismatum in na
rura. verum neque adhuc clarus est horum verborum sensus.
Vir eruditissimus huius loci sensum sic explicat, Porimata conferre ad anal bis obscuriorum problematum, O generum hoc est problematum generaliumὶ ex dictis enim apparet porismatum propositiones esse generalissimas, deinde subiungit Pappus, cum natura multitudinem, qua vix potest animo comprehendi, subminis ei; quibus verbis infinitas illas & miraculo proximas eiusdem problematis indicat solutiones. Merit , dubitare potest quiuis anm usurparit Pappus pro γυ& an subaudienda sit
Vox , Velitque dicere porismata ex natura sua multitudinem solutionum eiusdem problematis praebere. Ex illis verbis corruptis proculdubio & obscuris naturam po-rismatum elicere non possumus. constat solummodo fuisse pro positiones ad analysim perficiendam collectas & valde utiles,
obscuriorumque problematum resolutioni lucem maximam at tulisse. Ideo vero ait uniuersalem habere porismata contemplationem, quod eodem semper modo se habeant, di ad multa se extendant. Pergit porro Pappus: horum autem steries omπυ neque theorema rumsunt inequeproblematum,sed mediam quodammodo inser haec formam ac naturam habent, ira ut eorum propositiones formari posun/ωt theorematam , vel ut problematum. quo factam es, ut ex multu Geometris a-δεν quidem ea genere esse rheoremata, alij vero probismata opinati siunt, dum adsolam tantum propositionis formam respicerent. Quibus docet inter quas propositiones referri possint Porismata, Minter theoremata ac problemata medium locum tenere dicit; quam vero ob rationem mediae sint, tradit, quia formari possunt illae ut theoremata, quae in sola contemplatione rei orm cca , vel του δεο-m, aut proprij alicuius, quod ipsi inest, versatur. quia efferri quoque possunt ut problemata, in quibus aliquid essici aut reperiri imperaturi neutrius vero naturam induunt, nisi qua tum ad enunciationis formam externam, quae accidentalis ipsis est. Quoniam vero theoria utpote natura simplicior , prior est effectione, theoremata etiam antecedent problematai quae ver Diuitiam by GOrale
38쪽
media sunt, succedent theorematibus, S priora problematibus erunt; atque adeo per ipsa, utpote media ad finem, a theorematibus ad problemata progrediemur. Quare & pori simatum
natura talis crit, ut a theoria ad effectionem tendat i& rationem: modumque ostendat efficiendi id, quod theoremate demonstratur ori eςr. Hae itaque propositiones, dum considerantur ut media ad finem , pura theoremata non sunt, quoniam cssiciendi modum exhibent; non sunt etiam pura problemata, quia nondum in ipsis essicitur propositum, sed solummodo ad illud alio
in loco essiciendum afferuntur. Haecque nostra explicatio Pappi verbis sequentibus accommodata videtur. arguit enim Geo-m et ras illos recentiores, qui porismata in theorematum aut problematum genus retulerunt , ostenditque eos rem bene non cepi n. Horum aurem, inquit, Irium iusserentiam veteres multo me lius cognouisse ex definitionibus persumum es. Dixerunt enim theorema sis, quod proponitur in i us propositi demonstrationem. Problema, quod assertur inconctructionem propositi. Porisma vero, quod proponitur in ponfisum, hoc est in inuentionem o inustationem proposii. Ex qua porismatis definitione colligere possumus , veteres Geometras eo nomine propositiones aliquas con notasse, quatenus ad
effectionem &inuentionem dirigebantur, S rationem essiciendi problematis continebant, adeoque eme ut media ad finemia Quare tales etiam propositiones seorsim acceptae, nec ad in uintionem quaesiti, dc effcctionem problematis, cui iuueniendo in inseruire possunt, adhibitae, poris mala amplius non erunt, sed pura theoremata. Quod vero rationem cuiusdam effectionis contineant, in problemata conuerti poterunt, quibus aliquid eH- cietur. Quod effectum, si ad aliud, ut medium ad finem, adplicabitur, problema sine ipso haud facile essiciendum absoluet;& porismata propositiones illa: tunc erunt & dicentur. Addit praeterea Pappus: Immutata es autem hac orismatis δε- finitio a iunioribus, qui nequeunt omnia inue gare, sed his elementas muntur , o ostendumsolummodo qsod hoc es quod quaeritur, non autem istad imum inuestigant. cumqαe o ex definitione V a ,or ex is,qua no bis tradita sunt, redarguerentur, ab accidente Apprima de ierunt:
Porima est, quod h&pothes deficii a locali rheoremate. Haec Pappus depor smatis definitione es natura. pauca equidem, intellictu dis ilia, te. Olbia ue inuoluta s ex his vero sontem is sensum elicere conabimur.
39쪽
Immutatam a iunioribus porismatis definitionem queritur ;& huius immutationis causam tradit; quod scilicet omnia pori sitiata inuestigare non possent, quae adferri debent ad inuentionem propositi; quare ostendebant solummodo quod hoc est quod quaeritur, nec illud inuestigabant, quam ob causam etiam effectionem geometricam non adsequebantur. Cum itaque non inuestigarcnt, quia id praestare non poterant, propositionum illarum naturam, quae in porismum, seu propositi inuentionem
afferuntur, non viderunt mediam esse inter theorematis ac pro blematis naturam,& Connectere theoriam cum effectione; quia
scilicet per id, quod illis propositionibus emcitur , problema
propositum absoluitur;&illa verba , sed his Aranentu utuntur, sic intelligenda esse videntur, ut iuniores illi Euclidaeis potismatibus , ut elementis usi sint, non ut propositionibus , quae ad eia Lectionem immediate deducebant. Ignorarunt itaque naturam, quia nescierunt usum & finem; illas itaque propositiones non censuerunt proponi in porismum, seu ad inuestigationem propositi. At cum redarguerentur ab antiquorum Geometrarum sectatoribus Si eruditis, qui propositiones illas medias esse ostendebant , quod ad propositi inuentionem adferrentur, & effectionem problematis perficerent, & ideo ab antiquis recte esse definitas, aliam commenti sunt porismatis definitionem,& dixerunt Porsena esse, quod spothes deficit a Iocati theoremare, id est esse propositionem; in qua pauciora data supponerentur, quam in locali theoremate. quod locale theorema est, ut mihi videtur, propositio in qua ostenditur aliquid in tali loco esse, de ad eum pertinere, ut punctum illud esse in linea, circulo, parabola.&c. Illam lineam pertinere ad circulum,parabolam, &C. Tota ergo quaestio versabatur inter iuniores & veterum assertores de modo definiendi porismatis : illas propositiones quin iuniores
cognorint non est dubium, sed carum naturam male explicarunt, cum non animaduerterent quem ordinem ad locum in
analysi ac synthesi tenerent, aliasque proprietates a Pappo in
40쪽
matibus dicitur, qualia sunt ab Euclide conscripta tori ata. proprie vero talia dicuntur quanis ex demonstratis aliud quodlibet theorema nobis non proponentibus emergit es offertur, quodprosterea porisma appetiarunt, quasi lucrum exstent/stica demons tione obiter spreter exispectationem factum. Longe differt haec definitio ab ea quam attulit Pappus . notat enim Proclus porisma ab accidente, & ex eo dictum esse vult, quod obiter & aliud agendo nouum theorema lucrifaciamus. Α t veteres ab ipsius ordine in analysi & synthesi & a fine ad quem dirigitur, ipsum definierunt. poterit tamen Sc descriptio Procliporismati conuenire, siquidem in analysi nouus locus aliquando patefit, & nouum theorema, ex quo immediate problematis solutio petenda est, quo ignoto non inueniretur quaesitum. Quamuis igitur a veterum definitione aliquomodo recedere
videatur vir eruditissimus in his quae dicit, sed cum ex se postolora o GDiio alium locum venamur, nouus se locus pori a moratur ab Euclide, conciliari tamen poterit eius sensus, qui idem est ac Procli, cum veterum placitis; dummodo concedat locum illum secundum, quem venamur, ideo secundum appellari, quod in analysi peracta offeratur demonstrandus ac inueniendus, & ad inuestigationem propositi afferendus; tunc enim erit porisma,& propositio quae aliquando deficiet hypothesia locali theoremate ; id est in qua non tot supponentur ac in analysi, quae theorema est illius, quod synthesi demum problema efficitur. Notandum quoque est Pappum non omnibus porismatibus, sed quibusdam tam sim, accidens illud, per quod iuniores po-risma uniuersaliter definierunt, tribuisse; quod aperte dicit his verbis, huius autem generis pori atum quae deficiunt hypothesi a locali theoremate) loci idi uni una secies; atque de hac ipsa abundὸ tractetur in resoLIo loco oseorsum autem Epo naribin codecta, insicri-piaque ac tradita sunt, quod magis di se ac copiosa sit caeteris seciebus. Quare iuxta Pappi sententiam in definiendo uniuersaliter poris mate errauerunt adhuc iuniores, cum differentiam ex accidenti specifico ad totum genus definiendum adsumpserint. Sunt itaque pori sinata, quae non deficiunt hypothesi a locali theoremate, at horum species ad pauciora se extendit. Unum addo, periodi sequentis membrum primum corruptum videri, quod sic vertit Commandimis, Locorum igitur series iunt decem. h huit itaque textus Graecus διί τοπω sed quatuor Diuili od by Coral